Sử dụng từ điển toán học tiếng anh trong việc nghiên cứu và mở rộng các bài toán, khái niệm chuyên sâu môn đại số tuyến tính,đề tài nghiên cứu khoa học sinh viên

Tên đề tài NCKHSV: Sử dụng từ điển toán học tiếng Anh trong việc nghiên cứu và mở rộng các bài toán, khái niệm chuyên sâu môn Đại số tuyến tính.. Nguyễn Hoàng Thịnh Lớp: CĐA-K51 Tóm tắt

PHẦN MỞ ĐẦU

Tính c ấp thiết của đề tài

Trường Đại học Giao thông Vận tải – Cơ sở II nổi bật với truyền thống sinh viên có tư duy học tập tốt, thể hiện qua việc tìm kiếm tài liệu tiếng nước ngoài, đặc biệt trong môn Đại số tuyến tính Tuy nhiên, nhiều sinh viên gặp khó khăn trong việc đọc hiểu tài liệu do phải làm quen với các khái niệm toán học phức tạp được viết bằng tiếng Anh.

Ngành kỹ thuật có số lượng từ điển chuyên ngành Anh – Việt hạn chế, khiến sinh viên khó tiếp cận tài liệu toán học tiếng Anh Nhằm hỗ trợ sinh viên sử dụng tài liệu này hiệu quả hơn, nhóm nghiên cứu đã thực hiện đề tài này Đề tài không chỉ dịch các khái niệm toán học sang tiếng Anh mà còn mở rộng và ứng dụng các khái niệm này để giải quyết các bài toán chuyên sâu trong Đại số tuyến tính.

M ục tiêu nghiên cứu của đề tài

Tạo một tài liệu tra cứu về Đại số tuyến tính bằng tiếng Anh, dịch các khái niệm và tổng hợp ví dụ, nhằm hỗ trợ sinh viên trong việc nghiên cứu tài liệu tiếng Anh.

Mở rộng các khái niệm và áp dụng giải các bài toán chuyên sâu trong Đại số tuyến tính.

Ph ạm vi và đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của đề tài là các khái niệm trong môn Đại số tuyến tính ở bậc đại học, tập trung vào phần ma trận Các khái niệm này được nghiên cứu từ nguyên gốc tiếng Anh và được đối chiếu với tiếng Việt.

Nội dung chính của bài viết tập trung vào các khái niệm chuyên sâu trong Đại số Tuyến tính, nhằm giải quyết những bài toán khó và ít gặp Phạm vi nghiên cứu được thực hiện thông qua việc sử dụng các từ điển Toán học Anh – Việt và từ điển Anh.

– Việt và các giáo trình toán học cùng một số tài liệu tiếng Anh mà các sinh viên lớp Cầu đường Anh K51 được học, sưu tầm.

Phương pháp nghiên cứu

Dịch các khái niệm sang tiếng Anh và kết hợp với các ví dụ:

Nhóm nghiên cứu sẽ chuyển các khái niệm từ giáo trình Đại số tuyến tính và Từ điển toán học sang tiếng Anh, kèm theo ví dụ cụ thể để làm rõ từng khái niệm Đây là nền tảng để nhóm mở rộng và áp dụng các khái niệm này nhằm giải quyết các bài toán chuyên sâu ở chương 3.

2.2 Dịch các khái niệm và tổng hợp các ví dụ thành một tài liệu tra cứu môn Đại số tuyến tính

A matrix is a rectangular arrangement of numbers, where each number is referred to as an entry Matrices are typically represented using parentheses or brackets.

[ ] We can add, subtract and multiply matrices together, under certain conditions

The determinant is a scalar property of a matrix, representing the volume enclosed by its row vectors Only square matrices possess determinants, which are essential for determining the invertibility of a matrix The determinant of a matrix A is denoted as "det A" or | A |.

The transpose of a matrix A, written A T or A’, is the matrix obtained by writting the columns of matrix A to rows of matrix A’ or A T

Observe that the transpose of a row vector is a column vector Similarly, the transpose of the column vector is a row vector

(A T ) T = A (A + B) T = A T + B T , A and B being of the same order (KA) T = KA T , k be any scalar (real or complex)

(AB) T = B T A T ; A and B being conformable for the product AB

It is or a diagonal matrix (usually a square matrix) in which the entries outside the main diagonal ( ↘ ) are all zero The diagonal entries themselves may or may not be zero

The n – square identity or unit matrix,denoted by I n , or simply I , is the n-square with 1’s on the diagonal and 0’s elsewhere

The identity matrix I is similar to the scalar 1 in that, for any n – square matrix A,AI = IA = A More generally, if

In linear algebra, if \( B \) is an \( m \times n \) matrix, then the equations \( BI_n = I_m B = B \) hold true, where \( I_n \) and \( I_m \) are the identity matrices A scalar matrix, denoted as \( kI \), consists of the scalar \( k \) on its diagonal and zeros elsewhere It is important to note that multiplying a matrix \( A \) by the scalar matrix \( kI \) is equivalent to multiplying \( A \) by the scalar \( k \), as demonstrated by the relationship \( (kI)A = k(IA) = kA \).

A square matrix \( A \) is considered invertible or non-singular if there exists a unique matrix \( B \) such that \( AB = BA = I \), where \( I \) represents the identity matrix Consequently, if \( AB_1 = B_1A = I \) and \( AB_2 = B_2A = I \), it follows that \( B_1 = B_2 \).

= B 1 I = B 1 (AB 2 ) = (B 1 A)B 2 = IB 2 = B 2 We call such a matrix B the inverse of A and denote it by A -1 Observe

A, then A is the inverse of B

A real matrix A is orthogonal if A T = A -1 – that is, if AA T =

A T A = I Thus, A is necessarily be square and invertible

It is a matrix Ā obtained from a given matrix A by taking the complex conjugate of each element of A

The notation A* is sometimes used, which can lead to confusion since this symbol is also used to denote the conjugate transpose

Two matrices A and B are similar if B is related to A by a matrix T in the following way: B = T -1 A T In this case,

T is said to be the similarity transformation matrix

Matrices which are similar have the same eigenvalues

Special cases include the similarity matrix T being an elementary transformation matrix, or an orthogonal matrix or a unitary matrix

There are two kinds of triangular matrix – upper triangular matrix and lower triangular matrix

It is one for which the square, cube, or some finite power equals zero For instance, any strictly lower triangular matrix is nilpotent

A partitioned matrix or a block matrix is a matrix M that has been constructed from other smaller matrices These smaller matrices are called blocks or sub-matrices of M

A matrix A is symmetric if A T = A Equivalently, A = [ a ij ] is symmetric if symmetric elements (mirror elements respect to the diagonal) are equal – that is, if each a ij = a ji

The rank of a matrix is the highest number of linearly independent column vectors or row vectors it contains, with both definitions being equivalent.

An idempotent matrix \( M \) satisfies the condition \( M^2 = M \) Aside from the identity matrix, all idempotent matrices are singular, meaning they have fewer independent rows and columns than their total number of rows and columns.

This can be seen from writing MM = M, assuming that M has full rank (is non-singular), and pre-multiplying by

When an idempotent matrix is subtracted from the identity matrix, the result is also idempotent This holds since

2.2 Ứng dụng các khái niệm mới vào giải các bài toán thường gặp trong Đại số tuyến tính Giải các bài toán chuyên sâu bằng các khái niệm mở rộng

2.2.1 Problem 1: Use nilpotent matrix to An by analyzing matrix A to form A = B + C

A nilpotent matrix is one for which the square, cube, or some finite power equals zero For instance, any strictly lower triangular matrix is nilpotent

We have this formular if BC = CB:

2.2.2 Problem 2: Using the idempotent matrix to calculate the matrix A n

The matrix M is idempotent if and only if M2 = M

Therefor we have another way to firgure out An by using this matrix

2.2.3 Problem 3: Using similar matrix and diagonal matrix to calculate the matrix A n

Two matrices A and B are similar if B is related to A by a matrix T in the following way: B = T -1 A T

A square matrix A is said to be invertible or non – singular if there exists a matrix B such that AB = BA = I, where I is the identity matrix

2.2.5 Problem 5: Using the triangular matrix to solve simultaneous equations by Gauss method and apply to calculate determinant of triangle matrix

2.2.6 Problem 6: Using the orthogonal matrix to convert quadratic form to canonical form and is orthogonal by the diagonal matrix

A real matrix A is orthogonal if A T = A -1 – that is, if AA T =

A T A = I Thus, A is necessarily be square and invertible

Sau khi hoàn thành đề tài “Sử dụng từ điển toán học tiếng Anh trong việc nghiên cứu và mở rộng các bài toán, khái niệm chuyên sâu môn Đại số tuyến tính”, nhóm nghiên cứu đã thu được nhiều kinh nghiệm và bài học quý giá.

Thông qua việc dịch các khái niệm Toán học sang tiếng Anh, nhóm chúng em đã tiếp cận được nhiều từ vựng chuyên ngành, từ đó cải thiện khả năng dịch thuật của bản thân.

Ôn tập và mở rộng kiến thức về Đại số tuyến tính giúp phát triển khả năng tư duy toán học, từ đó ứng dụng hiệu quả vào các môn học cơ sở và chuyên ngành trong tương lai.

Thông qua việc làm việc nhóm, chúng em đã học cách tổ chức và phân công công việc cho từng thành viên nhằm đạt hiệu quả tối ưu Đồng thời, chúng em cũng hiểu rõ hơn về cách khai thác tài liệu liên quan đến nội dung nghiên cứu.

Kỹ năng trình bày bài báo và báo cáo khoa học đã được nâng cao, đồng thời kỹ năng thuyết trình và nói trước đám đông của nhóm cũng được cải thiện đáng kể.

• Lấy ví dụ minh họa cho từng bước thông qua một bài

1 Bộ môn Toán trường Đại học Giao thông Vận tải

2 Tổ Từ điển của Nhà xuất bản Khoa học Kĩ thuật, khoa Toán và Thư ký vụ ban Toán thuộc Uỷ ban Khoa học và Kĩ thuật Nhà nước (1972), Từ điển

4 Ph.D Seymour Lipschutz (Temple University) + Ph.D Marc Lars Lipson (University of Virginia)(2008), Schaum’s Outline of Linear Algebra Fourth Edition

Nh ận xét của cán bộ hướng dẫn

Nhóm nghiên cứu lớp Cầu Đường Anh K51 đã thành công trong việc thực hiện đề tài nâng cao vốn tiếng Anh chuyên sâu về Đại số tuyến tính, đặc biệt là các khái niệm liên quan đến ma trận đặc biệt Họ đã biết cách sử dụng các khái niệm chuyên sâu về ma trận để mở rộng và giải quyết nhiều bài toán đặc sắc Qua đó, nhóm đã bước đầu tiếp cận được phương pháp nghiên cứu khoa học.

Theo đánh giá của giáo viên hướng dẫn đề tài đạt loại tốt

Lời đầu tiên nhóm nghiên cứu xin được gửi lời cảm ơn chân thành đến

DỊCH CÁC KHÁI NIỆM VÀ TỔNG HỢP CÁC VÍ DỤ THÀNH M ỘT TÀI LIỆU TRA CỨU MÔN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Definition of matrix

A matrix is a rectangular arrangement of numbers, with each number referred to as an entry Matrices are typically enclosed in parentheses or brackets They can be added, subtracted, and multiplied, provided certain conditions are met.

The size of a matrix with n rows and m columns is denoted by n x m In denoting the size of a matrix we alwayslist the numberof rows first and the number of columns second

Matrices are used to solve problems in:

Definition of determinant

The determinant is a scalar characteristic of a matrix, representing the volume enclosed by its row vectors Only square matrices possess determinants, which are essential for determining the invertibility of a matrix The determinant of a matrix A is denoted as "det A" or | A |.

The determinant of a 2×2 matrix is defined by

The determinant of a 3×3 matrix is defined by

• The determinant operation converts matrix multiplication into scalar multiplication; det(AB)(A)det(B), where A B are square matrices of the same size

• Similar matrices have the same determinant

• The transpose operation does not change the determinant: detA T A

• The determinant of a diagonalizable transformation is equal to the product of its eigenvalues, counted with multiplicities a b ad bc c d = − a b c e f d f d e d e f a b c h i g i g h g h i aei bfg cdh ceg bdi afh

• The determinant is homogeneous of degree n This means that det(kM)=k n detM, k is a scalar

• The inverse of a matrix will exist only if the determinant is not zero

• The determinant is a real number, it is not a matrix

• The determinant can be a negative number.

Transposed matrix

The transpose of a matrix A, written A T or A’, is the matrix obtained by writting the columns ofmatrix A torows of matrix A’ or A T

For the square matrix the transpose is

Observe that the transpose of a row vector is a column vector Similarly, the transpose of the column vector is a row vector

• (A + B) T = A T + B T , A and B being of the same order

• (KA) T = KA T , k be any scalar (real or complex)

• (AB) T = B T A T ; A and B being conformable for the product AB

A diagonal matrix is a square matrix characterized by having all entries outside the main diagonal equal to zero The diagonal entries can be either zero or non-zero Therefore, a matrix \( D = (d_{i,j}) \) with \( n \) rows and \( n \) columns is considered diagonal if it meets these criteria.

For example, the following matrix is diagonal:

The term diagonal matrix may sometimes refer to a rectangular diagonal matrix, which is an m-by-n matrix with only the entries of the form d i,i possibly non-zero For example:

The n – square identity or unit matrix,denoted by I n , or simply I , is the n- square with 1’s on the diagonal and 0’s elsewhere

The identity matrix \( I \) functions similarly to the scalar \( 1 \) in that for any \( n \)-square matrix \( A \), the equations \( AI = IA = A \) hold true In a broader context, for an \( m \times n \) matrix \( B \), the relationships \( B I_n \) and \( I_m B = B \) also apply Additionally, the scalar matrix \( kI \), which features \( k \) on the diagonal and \( 0 \) elsewhere, demonstrates that \( (kI)A = k(IA) = kA \) Thus, multiplying a matrix \( A \) by the scalar matrix \( kI \) is equivalent to multiplying \( A \) by the scalar \( k \).

A square matrix A is said to be invertible or non – singular if there exists a matrix B such thatAB = BA = I,where I is the identity matrix Such a matrix

A matrix \( B \) is considered unique if it satisfies the conditions \( AB_1 = B_1A = I \) and \( AB_2 = B_2A = I \), leading to the conclusion that \( B_1 = B_2 \) This implies that \( B_1(AB_2) = (B_1A)B_2 = IB_2 = B_2 \) We define such a matrix \( B \) as the inverse of \( A \), denoted as \( A^{-1} \) It is important to note that this relationship is symmetric; if \( B \) is the inverse of \( A \), then \( A \) is also the inverse of \( B \).

Inverse matrixof a square matrix A, if it exists, is a matrix denoted A -1 with the property that AA -1 = A -1 A = I.If the inverse of A exists, the solution of A * x = b can be immediately written down x = A -1 * b

We have two ways to find invertible matrix:

 The fist way is to find det A:

 The second way is Gauss – Jordan:

Theorem 6.1: A and B are invertible, then AB is invertible and

(AB) -1 = B -1 A -1 More generally, if A1, A2,…, An are invertible, their product is invertible and (A1A2…An) -1 = An -1

Theorem 6.2: If A is invertible matrix,

• k ≠ 0, matrix kA is also invertible and (kA) -1 = (1/k).A -1

A real matrix A is orthogonal if A T = A -1 – that is, if AA T = A T A = I Thus,

A is necessarily be square and invertible

The notation A* is sometimes used, which can lead to confusion since this symbol is also used to denote the conjugate transpose

Two matrices A and B are considered similar if there exists a matrix T such that B = T^{-1} A T, where T is known as the similarity transformation matrix Similar matrices share the same eigenvalues, and specific instances of the similarity matrix T can include elementary transformation matrices, orthogonal matrices, or unitary matrices.

There are two kinds of triangular matrix – upper triangular matrix and lower triangular matrix.An upper triangular matrix U is defined by

A lower triangular matrix L is defined by

Consider the following matrix A and its powers: ij ij or i j

A partitioned matrix, also known as a block matrix, is formed by combining smaller matrices referred to as blocks or sub-matrices For example, when partitioning a 5x5 matrix, we can define the resulting matrices and represent them accordingly.

A matrix A is symmetric if A T = A Equivalently, A = [ aij] is symmetric if symmetric elements (mirror elements respect to the diagonal) are equal – that is, if each a ij = a ji

Theorem 13.1: Prove that the sum of two symmetric matrices is a symmetric matrix

Let A nd B be symmetric matrices of the same order

Theorem 13.2:if A is a symmetric matrix, it’s proved that kA is symmetric Proof: Since A is a symmetric ,we have A'=A

This shows that kA is symmetric

Theorem 13.3:For any square matrix A with real number entries, prove that(A+A') is symmetric

Let A be a square matrix with real numbers entries.Then ,we have

Example: if A is symmetric,show that B'AB is symmetric

A matrix \( A \) is defined as skew-symmetric if it satisfies the condition \( A^T = -A \), which means that each element \( a_{ij} \) is equal to the negative of its transposed counterpart \( -a_{ji} \) Consequently, the diagonal elements of a skew-symmetric matrix must be zero, as the equation \( a_{ii} = -a_{ii} \) leads to \( a_{ii} = 0 \) It is important to note that a matrix must be square for the conditions \( A^T = A \) or \( A^T = -A \) to hold true.

1 A square matrix A is said to be skew – symmetric if A ' = -A

2 The diagonal elements of a skew – symmetric matrix are all zero

3 It may be checked that 1 ( ')

2 A − A is skew- symmetric for every square matrix A

Any square matrix is expressible as the sum of a symmetric matrix and a skew-symmetric matrix

5 A matrix which is both symmetric and skew symmetric is a zero matrix

The rank of a matrix is the highest number of linearly independent column vectors or row vectors it contains, and both definitions are equivalent.

If r is less than c, the maximum rank of the matrix is r

If r is greater than c, the maximum rank of the matrix is c

The rank of a matrix would be zero only if the matrix had no elements If a matrix had even one element, its minimum rank would be one

An idempotent matrix \( M \) satisfies the condition \( M^2 = M \) Except for the identity matrix, idempotent matrices are singular, meaning they have fewer independent rows and columns than their total number of rows and columns This can be demonstrated by assuming \( M \) has full rank and pre-multiplying by \( M^{-1} \), leading to the conclusion that \( M = I \) Additionally, when an idempotent matrix is subtracted from the identity matrix, the resulting matrix remains idempotent.

Chương 3: Ứng dụng các khái niệm mới vào giải các bài toán thường gặp trong Đại số tuyến tính Giải các bài toán chuyên sâu bằng các khái niệm mở rộng

3.1 Problem 1: Use nilpotent matrix to A n by analyzing matrix A to form

So how to use nipotent matrix to solve this problem:

3.2 Problem 2: Using the idempotent matrix to calculate the matrix A n

The matrix M is idempotent if and only if M 2 = M Therefor we have another way to firgure out A n by using this matrix

The first step is transform matrix A to form A = (B+C):

3.3 Problem 3: Using similar matrix and diagonal matrix to calculate the matrix A n

Two matrices A and B are similar if B is related to A by a matrix T in the following way: B = T -1 A T.

Ex1: The third and the most difficul way to caculate A n is using similar matrix

3.4 Problem 4: Use the invertible matrix to solve matrix equations

A square matrix A is said to be invertible or non – singular if there exists a matrix B such thatAB = BA = I, where I is the identity matrix

3.5 Problem 5: Using the triangular matrix to solve simultaneous equations by Gauss method and apply to calculate determinant of triangle matrix

Solving simultaneous equations by Gauss method

3.6 Problem 6: Using the orthogonal matrix to convert quadratic form to canonical form and is orthogonal by the diagonal matrix

Identity matrix

The n – square identity or unit matrix,denoted by I n , or simply I , is the n- square with 1’s on the diagonal and 0’s elsewhere

The identity matrix \( I \) functions similarly to the scalar \( 1 \), as it satisfies the equation \( AI = IA = A \) for any \( n \)-square matrix \( A \) In a broader context, for an \( m \times n \) matrix \( B \), the relationships \( B I_n = I_m B = B \) hold true Additionally, the scalar matrix \( kI \), which features \( k \) on the diagonal and \( 0 \) elsewhere, demonstrates that \( (kI)A = k(IA) = kA \) Thus, multiplying a matrix \( A \) by the scalar matrix \( kI \) is equivalent to multiplying \( A \) by the scalar \( k \).

Invertible matrix

A square matrix A is said to be invertible or non – singular if there exists a matrix B such thatAB = BA = I,where I is the identity matrix Such a matrix

In linear algebra, a matrix \( B \) is considered unique if it satisfies the conditions \( AB_1 = B_1A = I \) and \( AB_2 = B_2A = I \), leading to the conclusion that \( B_1 = B_2 \) This implies that \( B_1(AB_2) = (B_1A)B_2 = IB_2 = B_2 \) We define such a matrix \( B \) as the inverse of \( A \), denoted as \( A^{-1} \) Notably, this relationship is symmetric; if \( B \) is the inverse of \( A \), then \( A \) is also the inverse of \( B \).

Inverse matrixof a square matrix A, if it exists, is a matrix denoted A -1 with the property that AA -1 = A -1 A = I.If the inverse of A exists, the solution of A * x = b can be immediately written down x = A -1 * b

We have two ways to find invertible matrix:

 The fist way is to find det A:

 The second way is Gauss – Jordan:

Theorem 6.1: A and B are invertible, then AB is invertible and

(AB) -1 = B -1 A -1 More generally, if A1, A2,…, An are invertible, their product is invertible and (A1A2…An) -1 = An -1

Theorem 6.2: If A is invertible matrix,

• k ≠ 0, matrix kA is also invertible and (kA) -1 = (1/k).A -1

Orthogonal matrix

A is necessarily be square and invertible.

Conjugate matrix

The notation A* is sometimes used, which can lead to confusion since this symbol is also used to denote the conjugate transpose.

Similar matrix

Two matrices A and B are considered similar if there exists a matrix T such that B = T^{-1} A T, where T is known as the similarity transformation matrix Similar matrices share the same eigenvalues Notable instances of the similarity matrix T include elementary transformation matrices, orthogonal matrices, and unitary matrices.

Triangular matrix