trieäu ñoàng, ngay töø luùc naøy ba meï Kita caàn phaûi coù keá hoaïch göûi tieàn vaøo ngaân haøng ñeå coù ñuû soá tieàn cho naêm hoïc ñaàu tieân cuûa Kita, neáu bieát raèng laõi suaát [r]
Trang 1TRẮC NGHIỆM CÁC BÀI TOÁN THỰC TIỄN
GVBM : ĐOÀN NGỌC DŨNG
Câu 1 : Người ta muốn xây một nhà kho hình chữ nhật có diện tích mặt sàn là 648 (m2) và chiều cao cố định bằng các bức tường xung quanh và bên trong để ngăn nhà kho thành 3 phòng hình chữ nhật có kích thước như nhau Giá mỗi mét tường là 600.000 (VNĐ) Vậy cần phải xây các phòng theo kích thước nào để tiết kiệm chi phí nhất ?
A Theo kích thước 12 18 B Theo kích thước 9 24
C Theo kích thước 8 27 D Theo kích thước 3 72
Câu 2 : Thầy A có một tờ giấy hình tròn với bán kính bằng 12 Sau đó thầy cắt ra một hình quạt với góc ở
tâm là 120o và phần còn lại cũng là một hình quạt Lúc này thầy A tạo ra hai hình nón với hai hình quạt này
Tỉ số thể tích của khối nón nhỏ so với khối nón lớn là bao nhiêu ?
A
8
4
10
5
10
Câu 3 : Cho tam giác OAB vuông tại O và OA = OB = 4 Lấy một điểm M thuộc cạnh AB và gọi H là hình
chiếu của M trên OA Thể tích của khối tròn xoay được tạo nên khi quay OMH quanh OA lớn nhất là bao nhiêu ?
81
256
81
3 8
Câu 4 : Một hình hộp chữ nhật kích thước 44h chứa một khối cầu lớn có bán kính bằng 2
và 8 khối cầu nhỏ bán kính bằng 1 Biết rằng các khối cầu đều tiếp xúc nhau và tiếp xúc với
các mặt của hình hộp (như hình vẽ) Hãy cho biết thể tích của khối hộp
Câu 5 : Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí A có khoảng cách đến bờ biển là AB = 5 km Trên bờ biển có một
cái kho ở vị trí C cách B một khoảng 7 km Người canh hải đăng có thể chèo đò từ vị trí A đến vị trí điểm M trên bờ biển với vận tốc 4 km/h rồi đi bộ đến C với vận tốc 6 km/h Hỏi vị trí điểm M cách vị trí điểm B một khoảng bao nhiêu để người đó đi đến kho là nhanh nhất ?
12
5 5
14 km
Câu 6 : Một cái phễu đựng nước có dạng hình chóp tứ giác đều S.ABCD Đổ nước vào
phễu sao cho chiều cao của mực nước bằng 23 98 cm Sau đó ta đậy nắp phễu và lật
úp lại (lấy ABCD làm mặt đáy phễu) thì lúc này chiều cao của mực nước là 4 cm Hỏi
chiều cao của cái phễu là bao nhiêu ?
Câu 7 : Được sự hỗ trợ từ Ngân hàng Chính sách xã hội địa phương, nhằm giúp đỡ các sinh viên có hoàn
cảnh khó khăn hoàn thành việc đóng học phí học tập, một bạn sinh viên A đã vay của ngân hàng 20 triệu đồng với lãi suất 12 %/năm, và ngân hàng chỉ bắt đầu tính lãi sau khi bạn A kết thúc khóa học Bạn A đã hoàn thành khóa học và đi làm với mức lương là 5,5 triệu đồng/tháng Bạn A dự tính sẽ trả hết nợ gốc lẫn lãi suất cho ngân hàng trong 36 tháng Hỏi số tiền m mỗi tháng mà bạn A phải trả cho ngân hàng là bao nhiêu ?
A m = 1,12 1 12
12 , 0 20 12
,
1
3
3
12 , 0 20 12 ,
1
2
2
C m = 1,12 1 12
12 , 0 36 12
,
1
3
3
12 , 0 36 12 ,
1
2
2
Trang 22
Câu 8 : Hình dưới mô tả một cái ao chứa nước nuôi cá tra được tạo thành bởi
chóp cụt ABCD.EFGH và hình chóp I.EFGH, các đáy của hình chóp cụt là các
hình chữ nhật và hình chiếu của I trên các đáy chính là tâm của các đáy, biết
độ dài các đoạn thẳng như trong hình vẽ Cứ 10 ngày thì thay
2
1 nước cũ Hỏi lượng nước một lần thay là bao nhiêu ?
Câu 9 : Một màn hình chữ nhật cao 1,4 m được đặt ở độ cao 1,8 m so với tầm mắt (tính từ đầu
mép dưới của màn hình) Để nhìn rõ nhất phải xác định vị trí đứng sao cho “góc nhìn” lớn
nhất Hãy xác định vị trí đứng đó (Góc BOC được gọi là “góc nhìn”)
Câu 10 : Một xe ô tô đi từ A đến B, cùng lúc có người đi xe đạp từ B đến A Ba phút sau khi hai xe gặp
nhau, ô tô quay ngay lại đuổi theo xe đạp, khi đuổi kịp lại quay ngay để chạy về B Nếu sau khi gặp lần đầu một phút ô tô quay lại còn xe đạp sau khi gặp tăng vận tốc
7
15 lần thì ô tô cũng chỉ mất từng ấy thời gian Tìm tỷ số vận tốc của xe ô tô và xe đạp
Câu 11 : Trong trận đá bóng Việt Nam gặp Thái Lan tại sân vận động quốc gia Mỹ Đình, đơn vị Thai Ticket
phân phối hơn 1000 vé cho cổ động viên xứ Chùa Vàng Nếu giá bán 100.000 đơn vị tiền tệ/ vé thì tất cả số vé đều được bán hết và giá vé nếu cứ tăng thêm 2.000 đơn vị tiền tệ thì sẽ có 10 vé không được mua nữa Hỏi đơn vị Thai Ticket muốn có lợi nhuận cao nhất thì phải bán vé với giá bao nhiêu?
Câu 12 : Trên một chiếc xe khách tuyến đường cố định 1 ngày có khoảng 100 khách lên xe với giá vé là
70.000đ/vé Chủ xe nhận thấy rằng cứ tăng giá vé thêm 5.000đ thì số hành khách lại giảm 6 người/ngày Hỏi chủ xe nên tăng giá vé thêm bao nhiêu để có được lợi nhuận là cao nhất?
Câu 13 : Một cửa hàng bánh sinh nhật vừa khai trương định bán bánh với giá 100.000đ/cái thì sẽ bán được
50 cái/ngày Theo thống kê chủ quán phải trả 1 triệu rưỡi tiền nhiên liệu và 1 triệu tiền nhân công mỗi ngày Qua khỏa sát chủ quán thấy rằng cứ tăng thêm 10.000 đồng thì lại mất 4 vị khách mỗi ngày Hỏi chủ quán nên bán bánh với giá bao nhiêu để thu thập là cao nhất? Khi đó ông lời được bao nhiêu tiền mỗi ngày?
Câu 14 : Một công ty khai thác thủy lợi cho biết đã kết thúc đợt xả nước đẩy mặn xuống sông Hương Gíup
người dân Huế đảm bảo nước sinh hoạt, phục vụ nông nghiệp Đợt xả nước có công suất 2
800x (m2/s) Sau đợt xả đó trữ lượng nước còn lại khoảng 500 triệu m3 Gỉa sử việc xả nước chống mặn diễn ra liên tục x (ngày) Nếu tiếp tục xả 20% lượng nước còn lại với khả năng xả lớn nhất (ứng với x tương ứng) đó thì công việc này sẽ mất bao nhiêu thời gian (ngày) Chọn đáp án gần đúng nhất
Câu 15 : Một người nông dân nuôi cá trê trong một cái hồ cho rằng Nếu trên mỗi đơn vị diện tích của mặt
hồ có x con cá thì trung bình mỗi con cá sau một vụ cân nặng được tính theo công thức: P(x) = 7500 – 75x (gam) Hỏi phải thả bao nhiêu con cá trên một đơn vị diện tích của mặt hồ để sau một vụ thu hoạch được nhiều cá nhất?
Câu 16 : Một bác sĩ ở bệnh viện đa khoa đã tính độ giảm huyết áp của bệnh nhân A theo công thức:
F(x) = 0,02x2(30 – x) trong đó x là liều lượng thuốc được tiêm cho bệnh nhân (x được tính bằng miligam) Tính liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân A để huyết áp giảm nhiều nhất
Trang 3Câu 17 : Khi sản xuất vỏ lon sữa bò hình trụ, các nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu sao cho chi phí nguyên liệu
làm vỏ hộp (sắt tây) là ít nhất, tức là diện tích toàn phần của hình trụ là nhỏ nhất, lúc đó chiều cao của lon sữa gần giá trị nào nhất sau đây? Biết thể tích thực ghi trên lon bằng 314 cm3
Câu 18 : Một công ty mỹ phẩm vừa cho ra mắt sản phẩm mới là lọ kem dưỡng da chống lão hóa Vỏ ngoài
sản phẩm có dạng hình cầu bán kính R, bên trong là bình dựng kem có dạng hình trụ bán kính r nội tiếp hình cầu (như hình vẽ) Theo dự kiến nhà sản xuất dự định để khối cầu có bán kính R3 2(cm) Tìm bán kính r để thể tích thực ghi trên bìa hộp là lớn nhất ( nhằm thu hút khách hàng)
A
2
6
2
2 3
Câu 19 : Người ta muốn sơn một cái hộp không nắp, đáy hộp là hình vuông và có thể tích là 4 (đơn vị thể
tích) ? Tìm kích thước của hộp để dùng lượng sơn tiết kiệm nhất Giả sử độ dày của lớp sơn tại mọi nơi trên hộp là như nhau
A Cạnh ở đáy là 2 (đơn vị chiều dài), chiều cao của hộp là 1 (đơn vị chiều dài)
B Cạnh ở đáy là 2 (đơn vị chiều dài), chiều cao của hộp là 2 (đơn vị chiều dài)
C Cạnh ở đáy là 2 2 (đơn vị chiều dài), chiều cao của hộp là 0,5 (đơn vị chiều dài)
D Cạnh ở đáy là 1 (đơn vị chiều dài), chiều cao của hộp là 2 (đơn vị chiều dài)
Câu 20 : Anh Bách vay ngân hàng 100 triệu đồng, với lãi suất 1,1%/tháng Anh Bách muốn hoàn nợ cho
ngân hàng theo cách : sau đúng một tháng kể từ ngày vay, anh bắt đầu hoàn nợ, và những lần tiếp theo cách nhau đúng một tháng Số tiền hoàn nợ ở mỗi lần là như nhau và trả hết nợ sau đúng 18 tháng kể từ ngày vay Hỏi theo cách đó, tổng số tiền lãi mà anh Bách phải trả là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng nghìn)? Biết rằng, lãi suất ngân hàng không thay đổi trong suốt thời gian anh Bách vay
A 10773700 (đồng) B 10773000 (đồng) C 10774000 (đồng) D 10773800 (đồng)
Câu 21 : Một vật chuyển động với vận tốc
3 t
4 t 2 , 1 t
(m/s) Tìm quãng đường S vật đó đi được trong
20 giây (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)
Câu 22 : Anh A mua nhà trị giá 500 triệu đồng theo phương thức trả góp Nếu cuối mỗi tháng bắt đầu từ
tháng thứ nhất anh A trả 10,5 triệu đồng và chịu lãi số tiền chưa trả là 0,5%/tháng thì sau bao nhiêu tháng anh trả hết số tiền trên ?
Câu 23 : Khi nuôi cá thí nghiệm trong hồ, một nhà sinh vật học thấy rằng: Nếu trên mỗi đơn vị diện tích của
mặt hồ có n con cá thì trung bình mỗi con cá sau một vụ cân nặng P(n) = 480 – 20n (gam) Hỏi phải thả bao nhiêu con cá trên một đơn vị diện tích của mặt hồ để sai một vụ thu hoạch được nhiều cá nhất ?
Câu 24 : Một cửa hàng bán lẻ bán 2500 cái tivi mỗi năm Chi phí gửi trong kho là 10$ một cái mỗi năm Để
đặt hàng chi phí cố định cho mỗi lần đặt là 20$ cộng thêm 9$ mỗi cái Cửa hàng nên đặt hàng bao nhiêu lần trong mỗi năm và mỗi lần bao nhiêu cái để chi phí hàng tồn kho là nhỏ nhất ?
A Đặt hàng 25 lần, mỗi lần 100 cái tivi B Đặt hàng 20 lần, mỗi lần 100 cái tivi
C Đặt hàng 25 lần, mỗi lần 90 cái tivi D Đặt hàng 20 lần, mỗi lần 90 cái tivi
Câu 25 : Một người lần đầu gửi vào ngân hàng 100 triệu đồng với kỳ hạn 3 tháng, lãi suất 2% một quý theo
hình thức lãi kép Sau đúng 6 tháng, người đó gửi thêm 100 triệu đồng với kỳ hạn và lãi suất như trước đó Tổng số tiền người đó nhận được 1 năm sau khi gửi thêm tiền gần nhất với kết quả nào sau đây?
Câu 26 : Năm 1994, tỉ lệ khí CO2 trong không khí là 6
10
358 Biết rằng tỉ lệ thể tích khí CO2 trong không khí tăng 0,4% hằng năm Hỏi năm 2016, tỉ lệ thể tích khí CO2 trong không khí là bao nhiêu ? Giả sử tỉ lệ tăng hằng năm không đổi Kết quả thu được gần với số nào sau đây nhất ?
Trang 44
A 6
10
6
10
6
10
6
10
7908
Câu 27 : Cần phải đặt một ngọn đèn điện ở phía trên và chính giữa một cái bàn hình tròn có bán kính a Hỏi
phải treo ở độ cao bao nhiêu để mép bàn được nhiều ánh sáng nhất Biết rằng cường độ sáng C được biểu thị bởi công thức 2
r
sin k
C ( là góc nghiêng giữa tia sáng và mép bàn, k là hằng số tỉ lệ chỉ phụ thuộc vào nguồn sáng)
A
2
a
2
2 a
h
a
2
3 a
h
Câu 28 : Bạn An gửi tiết kiệm số tiền 58000000 đồng trong 8 tháng tại một ngân hàng thì nhận được
61329000 đồng Khi đó, lãi suất hàng tháng là :
Câu 29 : Chiều dài bé nhất của cái thang AB để nó có thể tựa vào tường AC và mặt
đất BC, ngang qua cột đỡ DH cao 4m song song và cách tường CH = 0,5m là :
Câu 30 : Một con cá hồi bơi ngược dòng (từ nơi sinh sống) để vượt khoảng 300km (tới nơi sinh sản) Vận tốc
dòng nước là 6km/h Giả sử tốc độ bơi của cá khi nước đứng yên là vkm/h thì năng lượng tiêu hao của cá trong t giờ cho bởi công thức E(v) = cv3t trong đó c là hằng số cho trước E tính bằng Jun Vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên để năng lượng của cá tiêu hao ít nhất bằng :
Câu 31 : Người ta cần làm một cái bồn chứa dạng hình trụ có thể tích 1000 lít bằng inox để chứa nước, tính
bán kính R của hình trụ đó sao cho diện tích toàn phần của bồn chứa đạt giá trị nhỏ nhất:
2
3
r
r
2
1 r
r
Câu 32 : Giả sử tỉ lệ lạm phát của Việt Nam trong 10 năm qua là 5% Hỏi nếu năm 2007, giá xăng là
12000VND/lít Hỏi năm 2016 giá tiền xăng là bao nhiêu tiền một lít?
Câu 33 : Sự tăng trưởng của một loại vi khuẩn tuân theo công thức S = A.ert, trong đó A là số lượng vi khuẩn ban đầu, r là tỉ lệ tăng trưởng (r > 0), t là thời gian tăng trưởng Biết rằng số lượng vi khuẩn ban đầu là 100 con và sau 5 giờ có 300 con Hỏi sau 10 giờ có bao nhiêu con vi khuẩn ?
Câu 34 : Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được cho bởi công thức G(x) = 0,025x2(30 – x), trong đó
x > 0 (mi-li-gam) là liều thuốc cần tiêm cho bệnh nhân Để huyết áp giảm nhiều nhất thì cần tiêm cho bệnh nhân một liều lượng bằng :
Câu 35 : Một người cần thanh toán các khoản nợ sau :
30 triệu đồng thanh toán sau 1 năm (khoản nợ 1)
40 triệu đồng thanh toán sau 1 năm 6 tháng (khoản nợ 2)
20 triệu đồng thanh toán sau 3 năm 3 tháng (khoản nợ 3)
Chủ nợ của người này đồng ý cho thanh toán một lần duy nhất A triệu đồng sau 3 năm (khoản nợ này có tiền nợ ban đầu bằng tổng tiền nợ ban đầu của ba khoản nợ trên) Biết rằng lãi suất là 4% năm, giá trị của A gần với con số nào sau đây nhất :
Câu 36 : Anh Phong có một cái ao với diện tích 50 m2 để nuôi cá diêu hồng Vụ vừa qua, anh nuôi với mật độ 28 con/m2 và thu được 1,4 tấn cá thành phẩm Theo kinh nghiệm nuôi cá của mình, anh thấy cứ thả giảm
đi 8 con/m2 thì mỗi con cá thành phẩm thu được tăng thêm 0,5 kg Để tổng năng suất cao nhất thì vụ tới anh nên mua bao nhiêu cá giống để thả? (giả sử không có hao hụt trong quá trình nuôi)
Trang 5A 488 con B 658 con C 342 con D 700 con
Câu 37 : Hai năm sau bạn Kita sẽ vào đại học, dự kiến chi phí cho mỗi năm học đại học của bạn Kita là 10
triệu đồng, ngay từ lúc này ba mẹ Kita cần phải có kế hoạch gửi tiền vào ngân hàng để có đủ số tiền cho năm học đầu tiên của Kita, nếu biết rằng lãi suất ngân hàng là 7,6 %/năm, thì số tiền ba mẹ bạn Kita phải gửi là số nào gần với các số sau nhất?
Câu 38 : Để thiết kế một chiếc bể cá hình hộp chữ nhật có chiều cao là 60 cm, thể tích 96000 cm3 Người thợ dùng loại kính để sử dụng làm mặt bên có giá thành 70000 VNĐ/m2 và loại kính để làm mặt đáy có giá thành 100000 VNĐ/m2 Tính chi phí thấp nhất để hoàn thành bể cá
Câu 39 : Anh Bách có 400 triệu đồng vì không đủ tiền để mua nhà, nên anh ta quyết định gửi tiền vào ngân
hàng vào ngày 1/1/2017 để sau đó mua nhà với giá 700 triệu đồng Hỏi nhanh nhất đến năm nào anh Bách đủ tiền mua nhà Biết rằng anh Bách chọn hình thức gửi theo năm với lãi suất 7,5% một năm (lãi suất này không đổi trong các năm gửi), tiền lãi sau một năm được nhập vào vốn tính thành vốn gửi mới nếu anh Bách không đến rút và ngân hàng chỉ trả tiền cho anh Bách vào ngày 1/1 hằng năm nếu anh Bách muốn rút tiền
Câu 40 : Một người cần đi từ khách sạn A bên bờ biển đến hòn đảo C
Biết rằng khoảng cách từ đảo C đến bờ biển là 10 km, khoảng cách từ
khách sạn A đến điểm B trên bờ gần đảo C là 40 km Người đó có thể đi
đường thủy hoặc đi đường bộ rồi đi đường thủy (như hình vẽ) Biết kinh phí
đi đường thủy là 5 USD/km, đi đường bộ là 3 USD/km Hỏi người đó phải đi đường bộ một khoảng bao nhiêu để kinh phí nhỏ nhất ? (AB = 40 km, BC = 10 km)
A
2
2
ĐÁP ÁN ĐỀ TOÁN THỰC TIỄN
Trang 66
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1 : Người ta muốn xây một nhà kho hình chữ nhật có diện tích mặt sàn là 648 (m2) và chiều cao cố định bằng các bức tường xung quanh và bên trong để ngăn nhà kho thành 3 phòng hình chữ nhật có kích thước như nhau Giá mỗi mét tường là 600.000 (VNĐ) Vậy cần phải xây các phòng theo kích thước nào để tiết kiệm chi phí nhất ?
A Theo kích thước 12 18 B Theo kích thước 9 24
C Theo kích thước 8 27 D Theo kích thước 3 72
Hướng dẫn : chọn A
TH1 : Gọi chiều rộng của một phòng là x ( x > 0),
chiều dài của một phòng là y (y > 0)
(hình 1)
Khi đó diện tích của một phòng là xy Diện tích của nhà kho là 3xy
Theo giả thiết ta có : 3xy = 648 y =
x
216 Tổng chiều dài các bức tường cần phải xây dựng là : l = 6x + 4y = 6x +
x
216
4 = 6x +
x
864 Để chi phí xây dựng thấp nhất thì tổng chiều dài của các bức tường phải nhỏ nhất
Xét hàm số f(x) = 6x +
x
864 , với x > 0
Ta có : f ’(x) = 6 – 2
x
864 , f ’(x) = 0 x = 12 Từ bảng biến thiên ta thấy rằng tổng chiều dài các bức tường
nhỏ nhất bằng 144 m khi chiều rộng căn phòng là 12 m, suy ra
chiều dài căn phòng là 18 m
TH2 : Xây nhà kho như 2 hình vẽ sau : hình 2 và hình 3
Ta thấy ở hình 2 kết quả như TH1, ở hình 3 kết quả tổng chiều
dài các bức tường là 84 3 (m) > 144 (m)
Vậy ta phải xây mỗi căn phòng theo kích thước 12 18 để chi
phí xây dựng là nhỏ nhất
Câu 2 : Thầy A có một tờ giấy hình tròn với bán kính bằng 12 Sau đó thầy cắt ra một hình quạt với góc ở
tâm là 120o và phần còn lại cũng là một hình quạt Lúc này thầy A tạo ra hai hình nón với hai hình quạt này
Tỉ số thể tích của khối nón nhỏ so với khối nón lớn là bao nhiêu ?
A
8
4
10
5
10
Hướng dẫn : chọn C
Ta có diện tích hình tròn là : S = r2 = .122 = 144
Gọi diện tích hình quạt nhỏ là S1, diện tích hình quạt lớn là S2
Theo giả thiết ta có : S48
3
1
3
2
S2 Gọi r1 là bán kính đường tròn đáy của hình nón nhỏ, r2 là bán kính đường tròn đáy của hình nón lớn
Vì bán kính hình tròn là 12 nên độ dài đường sinh mỗi hình nón là l = 12
Ta có : S1 = r1l r1.12 = 48 r1 = 4 ; S2 = r2l r2.12 = 96 r2 = 8
Gọi h1 là đường cao của hình nón nhỏ, h2 là đường cao của hình nón lớn
Khi đó : h l r2 122 42 128
1
2
2
2
Thể tích của khối nón nhỏ là : 4 128
3
1 h r 3
1
1
2 1
Thể tích của khối nón lớn là : 8 80
3
1 h r 3
1
2
2 2
f(x)
144
Trang 7Ta có tỉ số thể tích của khối nón nhỏ so với khối nón lớn là :
10
10 80
8 3 1
128 4
3
1 V
V
2
2
2
Câu 3 : Cho tam giác OAB vuông tại O và OA = OB = 4 Lấy một điểm M thuộc cạnh AB và gọi H là hình
chiếu của M trên OA Thể tích của khối tròn xoay được tạo nên khi quay OMH quanh OA lớn nhất là bao nhiêu ?
81
256
81
3
8
Hướng dẫn : chọn A
Đặt OH = x, thì AH = 4 – x Do tam giác AHM vuông cân tại H nên HM = 4 – x
Khi tam giác OMH quay quanh trục OA tạo thành khối nón tròn xoay có chiều cao là OH = x, bán kính đường tròn đáy là r = HM = 4 – x
3
1 x x 4 3
1 h r 3
1
Xét hàm số x x 16x
3
1 x
f 3 2 với 0 x 4
Ta có : x 16x 16
3
1 x
'
4
x 4
3 x
Bảng biến thiên :
3
f(x)
81
256
Từ bảng biến thiên ta thấy rằng thể tích khối nón tròn xoay lớn nhất là :
81
256
V
Câu 4 : Một hình hộp chữ nhật kích thước 44h chứa một khối cầu lớn có bán kính bằng 2 và 8 khối cầu nhỏ bán kính bằng 1 Biết rằng các khối cầu đều tiếp xúc nhau và tiếp xúc với các mặt của hình hộp (như hình vẽ) Hãy cho biết thể tích của khối hộp
Hướng dẫn : chọn D
Giả sử bốn quả cầu nhỏ tiếp xúc nhau như hình vẽ
Gọi tâm các quả cầu lần lượt là A, B, C, D Khi đó ABCD là hình vuông có cạnh bằng 2
Gọi H là giao điểm của AC và BD thì AH 2
Gọi O là tâm quả cầu lớn Xét các quả cầu (1), (3) và quả cầu lớn (như hình vẽ)
Khi đó ta có : AO = 3, AH 2 nên OH AO2 AH2 7
Suy ra khoảng cách từ tâm O đến mặt đáy là 71
Do đó, h2 7122 7
Vậy thể tích của khối hộp chữ nhật là :
2 2 7 32 32 7
4
4
Câu 5 : Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí A có khoảng cách đến bờ biển là AB = 5 km Trên bờ biển có một
cái kho ở vị trí C cách B một khoảng 7 km Người canh hải đăng có thể chèo đò từ vị trí A đến vị trí điểm M
Trang 88 trên bờ biển với vận tốc 4 km/h rồi đi bộ đến C với vận tốc 6 km/h Hỏi vị trí điểm M cách vị trí điểm B một khoảng bao nhiêu để người đó đi đến kho là nhanh nhất ?
12
5 5
14 km
Hướng dẫn : chọn C
Ta đặt khoảng cách BM = x (km), với 0 x 7 thì MC = 7 – x và AM = 25x2
Thời gian để người canh hải đăng chèo đò từ vị trí A đến vị trí M trên bờ biển là :
4
x 25
h1 2
Thời gian để người canh hải đăng đi bộ từ vị trí M đến vị trí kho C là :
6
x 7
h2 Tổng thời gian để người canh hải đăng di chuyển từ vị trí A đến vị trí kho C là :
6
x
7 4
x 25 h
h
h 1 2 2
Xét hàm số f(x) =
6
x
7 4
x
25 2 với 0 x 7
Ta có : f ’(x) =
6
1 x 25 4
x
2
, f’(x) = 0 x2 5 Từ bảng biến thiên ta thấy rằng để người canh hải đăng di chuyển từ vị trí A đến vị trí kho C là nhanh nhất thì vị trí điểm M cách vị trí điểm B một khoảng là 2 5 km
Câu 6 : Một cái phễu đựng nước có dạng hình chóp tứ giác đều S.ABCD Đổ nước vào
phễu sao cho chiều cao của mực nước bằng 23 98 cm Sau đó ta đậy nắp phễu và lật
úp lại (lấy ABCD làm mặt đáy phễu) thì lúc này chiều cao của mực nước là 4 cm Hỏi
chiều cao của cái phễu là bao nhiêu ?
cm
Hướng dẫn : chọn B
Giả sử mực nước ban đầu tạo thành mặt A’B’C’D’
Sau khi lật úp phễu lại thì mực nước tạo thành mặt MNPQ
Gọi H = MP NQ, SO’ = d(S, (A’B’C’D’)),
SH = d(S, (MNPQ)), SO = d(S, (ABCD))
MNPQ S ABCD S ABCD MNPQ
'
D
'
C
'
B
'
A
.
3
1 S
SO 3
1 S
'
SO 3
ABCD MNPQ ABCD
'
D
'
C
'
B
'
A
S
S SH SO
S
S
'
2 2
OH SO SO ' SO SO
SH SH SO SO
' SO '
Đặt SO = x, ta được phương trình : 23 983 x3 x43 xSO10
Vậy chiều cao của cái phễu là 10 cm
Câu 7 : Được sự hỗ trợ từ Ngân hàng Chính sách xã hội địa phương, nhằm giúp đỡ các sinh viên có hoàn
cảnh khó khăn hoàn thành việc đóng học phí học tập, một bạn sinh viên A đã vay của ngân hàng 20 triệu đồng với lãi suất 12 %/năm, và ngân hàng chỉ bắt đầu tính lãi sau khi bạn A kết thúc khóa học Bạn A đã hoàn thành khóa học và đi làm với mức lương là 5,5 triệu đồng/tháng Bạn A dự tính sẽ trả hết nợ gốc lẫn lãi suất cho ngân hàng trong 36 tháng Hỏi số tiền m mỗi tháng mà bạn A phải trả cho ngân hàng là bao nhiêu ?
A m = 1,12 1 12
12 , 0 20 12
,
1
3
3
12 , 0 20 12 ,
1
2
2
C m = 1,12 1 12
12 , 0 36 12
,
1
3
3
12 , 0 36 12 ,
1
2
2
f(x)
2 5 f
Trang 9 Hướng dẫn : chọn A
Năm thứ nhất trả gốc và lãi, số tiền còn lại là : (1 + 0,12).20 – 12.m = (1,12).20 – 12.m
Năm thứ hai, số tiền còn lại : [(1,12).20 – 12.m].(1,12) – 12.m
Năm thứ ba, số tiền còn lại : {[(1,12).20 – 12.m].(1,12) – 12.m}.(1,12) – 12.m = 0
20.(1,12)3 – 12.m.(1,12)2 – 12.m.(1,12) – 12.m = 0 12.m.[1 + (1,12) + (1,12)2] = 20.(1,12)3
1,12 1.12
12 , 0 12 , 1 20 m 12
, 1 20 1 12
,
1
1 12
,
1
m
Vậy bạn A mỗi tháng phải trả cho ngân hàng
1,12 1.12
12 , 0 12 , 1
20
3
3
triệu đồng
Câu 8 : Hình dưới mô tả một cái ao chứa nước nuôi cá tra được tạo thành bởi chóp cụt ABCD.EFGH và hình
chóp I.EFGH, các đáy của hình chóp cụt là các hình chữ nhật và hình chiếu của I trên các đáy chính là tâm của các đáy, biết độ dài các đoạn thẳng như trong hình vẽ Cứ 10 ngày thì thay
2
1 nước cũ Hỏi lượng nước một lần thay là bao nhiêu ?
Hướng dẫn : chọn A
Gọi S là diện tích hình chữ nhật ABCD, S’ là diện tích hình chữ nhật EFGH
Thể tích của khối chóp cụt ABCD.EFGH là :
30.80 30.80.28.78 28.78 3436,727m3
3
5 , 1 ' S ' S S
S
3
h
Thể tích của khối chóp I.EFGH là : S'h'
3
1 '
V với h’ = IJ – FK = 1,8 – 1,5 = 0,3 Vậy 28 78 0,3 218,4m3
3
1
'
Thể tích của hồ nuôi cá là : V1 = V + V’ 3436,727 + 218,4 = 3655,127 m3
Vậy lượng nước một lần thay là V1
2
1 1827,5635 m3
Câu 9 : Một màn hình chữ nhật cao 1,4 m được đặt ở độ cao 1,8 m so với tầm mắt (tính từ đầu mép dưới
của màn hình) Để nhìn rõ nhất phải xác định vị trí đứng sao cho “góc nhìn” lớn nhất Hãy xác định vị trí đứng đó (Góc BOC được gọi là “góc nhìn”)
Hướng dẫn : chọn A
Góc BOC lớn nhất khi tanBOC lớn nhất Đặt OA = x, x > 0 Ta có :
76 , 5 x
x 4 , 1 x
8 , 1 x
2 , 3 1 x
4 , 1
OA
AB OA
AC 1
OA
AB OA AC B
O A tan C O A tan 1
B O A tan C O A tan B
O A C O A tan
C
O
B
Xét hàm số f(x) =
76 , 5 x
x ,
1
2 với x > 0 Ta có : f’(x) =
2 2
2
76 , 5 x
064 , 8 x 4 , 1
, f’(x) = 0 x = 2,4 Bảng biến thiên :
f(x)
24 7
Vậy để nhì rõ nhất thì ta đứng cách màn hình 2,4m
Câu 10 : Một xe ô tô đi từ A đến B, cùng lúc có người đi xe đạp từ B đến A Ba phút sau khi hai xe gặp
nhau, ô tô quay ngay lại đuổi theo xe đạp, khi đuổi kịp lại quay ngay để chạy về B Nếu sau khi gặp lần đầu
Trang 1010 một phút ô tô quay lại còn xe đạp sau khi gặp tăng vận tốc
7
15 lần thì ô tô cũng chỉ mất từng ấy thời gian Tìm tỷ số vận tốc của xe ô tô và xe đạp
Hướng dẫn : chọn B
Gọi x (km/phút) là vận tốc của ô tô, y (km/phút) là vận tốc của xe đạp
Theo bài ra ta nhận thấy rằng chuyển động của ô tô từ A đến chổ gặp lần thứ nhất trong cả hai trường hợp đều mất một số thời gian như nhau và chuyển động của ô tô từ chỗ gặp lần thứ nhất đến B trong cả hai trường hợp cũng đều mất thời gian như nhau Như vậy ta chỉ quan tâm tới quãng thời gian : ô tô gặp xe đạp lần thứ nhất, tiếp tục chạy, rồi quay lại gặp xe đạp lần thứ 2, và quay lại chỗ gặp xe đạp lần thứ nhất
Ta hãy tính thời gian trong mỗi trường hợp Trường hợp thứ nhất, sau khi gặp xe đạp lần thứ nhất, ô tô chạy thêm 3 phút theo chiều đến B Trên đường ngược lại tới chỗ gặp lần thứ nhất cần 3 phút Trong thời gian này xe đạp đã đi được 6y km tính từ chỗ gặp nhau lần thứ nhất Ô tô gặp xe đạp lần thứ hai với vận tốc chênh lệch (x – y) km/phút và cần thời gian
y x
y
phút Trên đường ngược lại từ chỗ gặp lần thứ hai tới chỗ gặp nhau lần thứ nhất cũng bị mất
y x
y
phút, nghĩa là mất
y x
y 12 6 y x
y
6 y x
y 6 3 3
Tương tự, trường hợp thứ hai mất
y 15 x 7
y 60 2
y 7
15 x
y 7
15 2 y 7
15 x
y 7
15 2 1 1
Hai thời gian này bằng nhau vì vậy ta được phương trình :
y 15 x
y 60 2
y x
y 12 6
Bài toán dẫn đến phương trình thuần nhất bậc hai : 7x2 – 16xy – 15y2 = 0
Đặt
y
x
t , ta được phương trình 7t2 – 16t – 15 = 0
Giải phương trình trên ta được t = 3
Vậy tỉ số vận tốc của xe ô tô và xe đạp là 3
Câu 11 : Trong trận đá bóng Việt Nam gặp Thái Lan tại sân vận động quốc gia Mỹ Đình, đơn vị Thai Ticket
phân phối hơn 1000 vé cho cổ động viên xứ Chùa Vàng Nếu giá bán 100.000 đơn vị tiền tệ/ vé thì tất cả số vé đều được bán hết và giá vé nếu cứ tăng thêm 2.000 đơn vị tiền tệ thì sẽ có 10 vé không được mua nữa Hỏi đơn vị Thai Ticket muốn có lợi nhuận cao nhất thì phải bán vé với giá bao nhiêu?
Hướng dẫn : Chọn C
Gọi giá vé để đơn vị Thai Ticket muốn có lợi nhuận cao nhất là: 100.000 + x (đơn vị tiền tệ)
Suy ra số vé không bán được là:
000
210x (vé), ở đây
200x là số nguyên
Suy ra lợi nhuận của đơn vị Thai Ticket là: x x x x
200
1 200 000 1 000 100
4
b a ab
2
4
000 300 x
000 200 x 000 100
2
Dấu bằng có khi và chỉ khi 100.000 + x = 200.000 x = 50.000
Vậy đơn vị Thai Ticket nên bán vé với giá 150.000 đơn vị tiền tệ/vé
Câu 12 : Trên một chiếc xe khách tuyến đường cố định 1 ngày có khoảng 100 khách lên xe với giá vé là
70.000đ/vé Chủ xe nhận thấy rằng cứ tăng giá vé thêm 5.000đ thì số hành khách lại giảm 6 người/ngày Hỏi chủ xe nên tăng giá vé thêm bao nhiêu để có được lợi nhuận là cao nhất?
Hướng dẫn : Chọn B