3.2 Trong các bài toán có tham số về đường tròn, người ta thường cho một họ đường cong Cm mà các hệ số trong phương trình của nó chứa một tham số m và phần lớn các kết luận của loại toán[r]
Trang 1PHẦN I: CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Dạng 1: Các bài toán thiết lập phương trình đường tròn
1.1) Phương trình đường tròn có tâm tại điểm I(a ; b) và bán kính bằng R có dạng:
( x a ) ( x b ) R
* Phương trình x2 y2 2 ax 2 by c 0, với điều kiện a2 b2 c 0, là phương trình đường tròn có tâm I(a ; b), bán kính R a2 b2 c
1.2) Đối với bài toán thiết lập phương trình đường tròn thì công việc chủ yếu là xác định tâm
và bán kính của đường tròn Trong công việc này điều quan trọng là phải nhớ một số tính
chất sau:
* Đường tròn (C) đi qua điểm A thì tọa độ của A thỏa mãn phương trình của (C)
* Đường tròn (C) đi qua hai điểm A, B thì tâm I của nó phải nằm trên đường trung trực của đoạn AB
* Đường tròn (C) đi qua hai điểm A, B, C thì tâm I của nó là giao điểm của các đường trung trực của các đoạn thẳng AB, BC, CA (thực chất chỉ cần tìm giao điểm của hai trong ba đường trung trực của các đoạn thẳng), còn bán kính R là khoảng cách từ tâm I đến A (hoặc
B, hoặc C); đây chính là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
* Đường tròn (C) tiếp xúc với đường thẳng thì bán kính R của (C) bằng khoảng cách từ tâm I đến
* Đường tròn (C) tiếp xúc với đường thẳng tại điểm A thì tâm I của (C) nằm trên đường thẳng vuông góc với tại A
* Đường tròn (C) tiếp xúc với hai cạnh của một góc thì tâm I của (C) nằm trên đường phân giác của góc ấy
* Đường tròn (C) tiếp xúc với ba đường thẳng thì tâm I của (C) là điểm cách đều ba đường thẳng ấy (cũng là giao điểm của của hai trong ba tia phân giác của hai trong ba góc do các đường thẳng ấy giao nhau tạo nên); đây cũng chính là đường tròn nội tiếp trong tam giác do
ba đường thẳng ấy giao nhau tạo thành
Bài 1: Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết A(1; 3), B(5; 6), C(7; 0).
Bài 2: Lập phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC biết A(-1; 7), B(4; - 3), C(- 4; 1).
ĐS: Pt phân giác trong góc A: x + 1 = 0, pt phân giác trong góc B: x + y - 1 = 0
PT đường tròn: ( x 1)2 ( y 2)2 5.
Trang 2Bài 3: Lập phương trình đường tròn đi qua hai điểm A(1 ; 2), B(3 ; 1) và có tâm nằm trên
đường thẳng (d): 7x + 3y + 1 = 0
Nhận xét: Nếu gọi I là tâm đường tròn cần tìm thì I d, mặt khác do IA = IB nên I thuộc đường trung trực của đoạn AB Từ đó ta có lời giải như sau.
Bài giải: Cách 1
Gọi M là trung điểm của AB thì M(2 ; 3) Gọi
2
là đường trung trực của AB, khi đó đi qua M(2 ;
), nhận làm véc tơ pháp tuyến có
3
2 AB (2; 1)
dạng:
M
I
B A
(d): 7x + 3y + 1 = 0
3
2
Gọi I tà tâm đường tròn cần tìm, I = d , do đó tọa độ tâm I là nghiệm của hệ
phương trình:
Lúc này
1
( ; )
2
x
x y
I
x y
y
R IA
Vậy đường tròn cần tìm có phương trình: ( 1)2 ( 3)2 50.
x y
Cách 2
Gọi đường tròn (C) cần tìm có dạng: ( x a )2 ( x b )2 R2. Theo giả thiết A, B thuộc (C), tâm của (C) thuộc đường thẳng (d) nên ta có hệ phương trình:
2
1 2 (1 ) (2 )
3
2
4
a
a b
R
Vậy đường tròn cần tìm có phương trình: 1 2 3 2 50
Trang 3Bài 4: Trong mặt phẳng tọa độ cho (d): x - 7y + 10 = 0 Viết phương trình đường tròn có tâm
thuộc đường thẳng (): 2x + y = 0 và tiếp xúc với (d) tại A(4 ; 2)
Nhận xét: Nếu gọi I là tâm đường tròn cần tìm thì I , mặt khác do đường tròn tiếp xúc với (d) tại A nên IA vuông góc với (d) tại A Từ đó ta có lời giải như sau.
Bài giải: Gọi đường tròn (C) cần tìm có tâm I, bán kính R Từ IA (d ) nên I thuộc đường thẳng d1 vuông góc với d: x - 7y + 10 = 0 d1 có dạng: - 7x - y + m = 0
A(4 ; 2) d1 nên - 7.4 - 2 + m = 0 m = 30
Vậy phương trình d1: - 7x - y + 30 = 0 hay 7x + y - 30 = 0
Tọa độ điểm I là
d d I
nghiệm của hệ phương trình:
Lúc này
2 2 (4 6)2 (2 12)2 200.
d1
: 2x + y = 0 (C)
A(4;2)
I
d: x - 7y + 10 = 0
Vậy đường tròn cần tìm có phương trình: ( x 6)2 ( y 12)2 200.
Bài 5: Lập phương trình đường tròn đi qua điểm A(4 ; 2) và tiếp xúc với hai đường thẳng
(d1): x - 3y - 2= 0 và (d2): x - 3y + 18 = 0
Bài giải: Gọi phương trình đường tròn (C) là: ( x a )2 ( y b )2 R2.
Khi đó vì A (C) nên ta có (4 a )2 (2 b )2 R2 (1)
Vì (d1) tiếp xúc với (C) nên ta có (2)Vì (d2) tiếp xúc với (C) nên ta có
2
3 2
1 ( 3)
a b
R
(2)
2
1 ( 3)
a b
R
Từ (2) và (3) suy ra
Thay (4) vào (2) ta có R 10 Từ (4) suy ra a = 3b - 8, thay vào (1) ta có
Trang 42 2 2 2 2
2
Vậy có hai đường tròn thỏa mãn là: (x1)2(x3)210 và 29 2 23 2
Bài 6: Lập phương trình đường tròn có tâm trên đường thẳng x = 5 và tiếp xúc với 2 đường
thẳng (d1): 3x - y + 3 = 0 và (d2): x - 3y + 9 = 0
Bài giải:Gọi I(5 ; y0) là tâm của đường tròn và R là bán kính của đường tròn (C) cần tìm Khoảng cách từ I đến đường thẳng (d1) là: 15 0 3, còn khoảng cách từ I đến đường
10
y
thẳng (d2)
là: 5 3 0 9 Từ đó ta có phương trình
10
y
0
0
Vậy có hai đường tròn thỏa mãn yêu
cầu đầu bài là:
(C1): ( x 5)2 ( y 2)2 40 và
(C2): ( x 5)2 ( y 8)2 10.
(d2)
(d1)
I -1
3
-2
x = 5 5
y
x O
Bài 7:
Trong mặt phẳng tọa độ cho đường tròn (C): x2 y2 12 x 4 y 36 0
Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với hai trục tọa độ và tiếp xúc ngoài với (C)
Nhận xét: Đường tròn tâm I(a ; b), bán kính R muốn tiếp xúc với hai trục tọa độ thì tâm I phải cách đều hai trục tọa độ và thỏa mãn a b R Từ đó ta có lời giải như sau.
Trang 5Bài giải:
Viết lại đường tròn (C):
( x 6)2 ( y 2)2 4.
Vậy (C) là đường tròn tâm I(6 ; 2) và bán
kính R = 2 Gọi đường tròn cần tìm có tâm
I1(a ; b) và bán kính R1:
1 ( x a ) ( x b ) R
Do đường tròn cần tìm tiếp xúc với hai trục
tọa độ nên ta có: a b R1.
(C)
(C3)
(C1)
I3
-6
6 2
2
y
Xảy ra hai trường hợp
Trường hợp 1: a = b, R1 a Vì đường tròn cần tìm tiếp xúc ngoài với (C) nên ta có:
2
16 36 4 (1)
18
a
a
Trường hợp này có hai đường tròn là:
(C1):( x 2)2 ( y 2)2 4 và (C2): ( x 18)2 ( y 18)2 324.
* Nếu a < 0 thì (1) a2 12 a 36 0 a 6. Kết hợp điều kiện a > 0 thì không có giá trị nào của a thỏa mãn
Trường hợp 2: a = - b, R1 a
Lúc này làm tương tự như trên ta có
2
8 36 4 (2)
Giải phương trình (2) ta tìm được a = 6 Vậy đường tròn thứ ba phải tìm là:
(C3): ( x 6)2 ( y 6)2 36.
Bài 8:
Cho tam giác ABC có ba cạnh nằm trên ba đường thẳng
AB: x - 4 = 0
BC: 3x - 4y + 36 = 0
Trang 6AC: 4x + 3y + 23 = 0
Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC
Nhận xét: Xuất phát từ nhận định rằng tâm J của đường tròn nội tiếp phải là giao điểm của các phân giác trong của các góc của tam giác, ta viết phương trình hai đường phân giác trong và giải hệ phương trình để tìm tọa độ giao điểm.
Bài giải: * Cách 1
Đỉnh A là giao của hai đường thẳng AB, AC nên tọa độ của A là nghiệm của hệ:
(4; 13)
A
Đỉnh B là giao của hai đường thẳng AB, BC nên tọa độ của B là nghiệm của hệ:
(4;12)
B
Đỉnh C là giao của hai đường thẳng AC, BC nên tọa độ của C là nghiệm của hệ:
( 8;3)
C
Phương tình các đường phân giác của góc B, do hai đường thẳng x - 4 = 0 và 3x - 4y + 36 =
0 tạo thành là
Để tìm
1 2
2 28 0 (d )
2 4 0 (d )
x y
x y
phương trình đường phân giác trong của góc B, ta làm như sau:
Thế tọa độ của A(4 ; -13) vào phương trình của đường (d2) ta có: 8 + 13 + 4 > 0
tọa độ của C(-8 ; 3) vào phương trình của đường (d2) ta có: - 16 - 3 + 4 < 0
Chứng tỏ hai đỉnh A, C nằm về hai phía đối với (d2) Vậy (d2): 2x - y + 4 = 0 là đường phân giác trong của góc B
Bằng cách tương tự, ta tìm được đường phân giác trong của góc C là:
(d3): 3x + y + 1 = 0
Vậy tâm J của đường tròn nội tiếp tam giác ABC là giao điểm của (d1) và (d3) nên tọa độ của
J là nghiệm của hệ:
( 1;2)
J
Ta lại có bán kính r = d(J; AB) = 4 = 5
1
x
Trang 7Vậy phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC là: (x + 1)2 + (y - 2)2 = 25.
* Cách 2
Gọi D là chân đường phân giác trong của
góc A trên cạnh BC Theo tính chất
đường phân giác ta có
Do
4
ngược hướng nên ta có
,
DB DC
5
4
DB DC
J
B
A
Điểm D chia đoạn BC theo tỉ số k = 5 Vậy
4
5
4 ( 8) 8 4
1
8
12 3
4 7 5 1 4
D
D
x
D y
BD BD
Gọi J là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, khi đó J là chân đường phân giác trong của góc B trên AD, tương tự như trên ta có J là điểm chia đoạn thẳng AD theo tỉ số k' = 25
3 25 3
8
4 3.( )
( 1;2)
1 3
13 3.7 2
1 3
J
D
x
J y
Ta tìm ra bán kính r = 5
Vậy phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC là: (x + 1)2 + (y - 2)2 = 25
Dạng 2: Các bài toán về vị trí tương đối giữa các đường thẳng, các đường tròn
Trong mục này ta bàn đến vị trí tương đối giữa các đường thẳng với đường tròn, giữa các đường tròn với nhau Ta nhắc lại một số kết quả chính
2.1) Vị trí tương đối giữa các đường thẳng và đường tròn
Cho đường thẳng (d): Ax + By + C = 0 (A2 + B2 0)
và đường tròn (C): ( x a )2 ( x b )2 R2 tâm I(a ; b), bán kính R
Trang 8Giả sử khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng (d) là h = Khi đó
2 2
Ax+By +C
A B
* Nếu h > R: đường thẳng (d) và đường tròn (C) không cắt nhau
* Nếu h = R: đường thẳng (d) và đường tròn (C) tiếp xúc nhau
* Nếu h < R: đường thẳng (d) và đường tròn (C) cắt nhau tại hai điểm phân biệt
2.2) Vị trí tương đối giữa hai đường tròn
Cho hai đường tròn (C1): 2 2 2 với tâm I(a1 ; b1) và bán kính R1
( x a ) ( x b ) R
(C2): 2 2 2 với tâm I(a2 ; b2) và bán kính R2
( x a ) ( x b ) R
Khi đó I I1 2 ( a1 a2)2 ( b1 b2)2
* Nếu I1I2 > R1 + R2: hai đường tròn ở ngoài nhau
* Nếu I1I2 = R1 + R2: hai đường tròn tiếp xúc ngoài nhau
* Nếu R1 R2 < I1I2 < R1 + R2: hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm
* Nếu I1I2 = R1 R2 : hai đường tròn tiếp xúc trong
* Nếu I1I2 < R1 R2 : hai đường tròn đựng nhau
2.3) Các bài toán về tiếp tuyến với đường tròn thường có ba dạng chủ yếu:
* Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn tại một điểm cho trước nằm trên đường tròn
* Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn xuất phát từ một điểm nằm ngoài đường tròn hoặc thỏa mãn một điều kiện nào đó
* Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn
2.4) Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ cho đường thẳng (d): x - y + 1 = 0 và đường tròn (C): x2 +
y2 + 2x - 4y = 0 (1) Tìm điểm M thuộc (d) sao cho qua M vẽ được hai đường thẳng tiếp xúc với (C) tại A và B sao cho A AMB 600
Nhận xét: Giả sử đã tìm được M thuộc (d) thỏa mãn yêu cầu bài toán, khi đó theo tính chất đường tiếp tuyến ta có MI là phân giác góc AAMB, từ đó ta tính được MI và vì vậy tọa độ M hoàn toàn được xác định.
Bài giải:
Trang 9Ta có (1) ( x 1)2 ( y 2)2 5
Vậy (C) là đường tròn tâm I(-1 ; 2) và bán kính
R = 5 Từ
do
A 600
AMB A AMI 300 MI 2 IA
đó MI = 2R = 2 5 Gọi tọa độ M(x0; y0), theo
bài ra ta có hệ phương trình
3; 4
3; 2
30 0 (d)
I
B
A
M
Vậy trên (d) có hai điểm M cần tìm là M1(3 ; 4) hoặc M2(-3 ; -2)
Ví dụ 2:
Trong mặt phẳng tọa độ cho đường tròn (C): x2 + y2 + 2x - 4y = 0 và điểm A(11 9) Viết
;
2 2 phương trình đường thẳng qua A và cắt (C) theo một dây cung có độ dài bằng 10
Bài giải:
Viết lại (C): ( x 3)2 ( y 2)2 5
Vậy (C) là đường tròn tâm I(3 ; 2) và bán
kính R = 5 Gọi đường thẳng (d) đi qua
A(11 9) có dạng
;
2 2
11a 9b
ax + by - - = 0
a x b y b
11/2
9/2
I
N H M
2
(d2)
(d1)
A 8/3
4 3
y
x O
Giả sử (d) cắt (C) tại hai điểm M, N sao cho MN = 10 Kẻ IH vuông góc với (d) tại H
1
2
Theo bài ra ta có phương trình
( ;( ))
2
d I d IH R MH
2 2
3
3
a
Trang 10Với a = - 3b chọn a = 3, b = -1, khi đó phương trình cần tìm là (d1): 3x - y - 12 = 0.
Với chọn a = 1, b = -3, khi đó phương trình cần tìm là (d2): x - 3y + 8 = 0
3
b
a
Vậy có hai phương trình đường thẳng phải tìm là (d1) và (d2)
Ví dụ 3: Lập phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn sau:
(C1): x2 + y2 - 4x - 2y + 4 = 0
C2): x2 + y2 + 4x + 2y - 4 = 0
Bài giải: Viết lại (C1): ( x 2)2 ( y 1)2 1 Vậy (C1) có tâm I1(2 ; 1) và bán kính R1 = 1
Viết lại (C2): ( x 2)2 ( y 1)2 3 Vậy (C2) có tâm I2(-2 ; -1) và bán kính R2 = 3
Gọi phương trình tổng quát của đường thẳng là Ax + By + C = 0 với A2 + B2 0
2 ( ; ) A B C 1
2
Từ (1) và (2) ta suy ra 3 2 A B C 2 A B C Ta xét hai trường hợp:
i) 3(2A + B + C) = - 2A - B + C C = - 4A - 2B, thế giá trị C vào (1) ta được
0
3
A
A
Với A = 0, chọn B = 1 khi đó C = - 2 phương trình () là: y - 2 = 0
Với A = 4 , chọn A = 4, B = - 3 khi đó C = - 10 () là: 4x - 3y - 10 = 0
3
B
ii) 3(2A + B + C) = 2A + B - C C = -A - , thế giá trị C vào (1) ta được
2
B
0
3
B
Với B = 0, chọn A = 1 khi đó C = - 1 phương trình () là: x - 1 = 0
Với B = A, chọn A = 3, B = 4 khi đó C = - 5 () là: 3x + 4y - 5 = 0.4
3
Vậy có 4 tiếp tuyến chung là: x - 1 = 0, y - 2 = 0, 4x - 3y - 10 = 0, 3x + 4y - 5 = 0
Nhận xét:
Trang 11* Khi lập các tiếp tuyến chung của hai đường tròn, ta thấy nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau thì tiếp tuyến chính là đường thẳng đi qua tiếp điểm và vuông góc với đường thẳng nối hai tâm của đường tròn
(d2)
(d1)
I 1
* Cho hai đường tròn (C 1 ), (C 2 ) không cắt nhau, gọi (d 1 ), (d 2 ) là các tiếp tuyến chung ngoài
và (d 1 ) (d 2 )= I Khi đó I nằm trên đường nối hai tâm của hai đường tròn Tương tự nếu J
là giao điểm của hai tiếp tiếp tuyến bên trong thì J cũng nằm trên đường nối hai tâm của hai đường tròn
Ví dụ 4:
Cho 2 đtròn (C): 2 2 2 2 Tiếp tuyến chung
ngoài và trong lần lượt cắt đường nối tâm của hai đường tròn tại A và B Viết phương trình đường tròn đường kính AB
Bài giải:
(C) có tâm I(-1; 2), R = 3
(C’) có tâm I’(7;-6), R’ = 1
Ta có A và B lần lượt là điểm
chia II’ theo tỉ số
B
I'
nên có tọa độ là A(11; - 10), B(5; - 4) Phương trình đường tròn đường kính AB là:
x2 + y2 – 16x + 14y + 95 = 0 ( x 8)2 ( y 7)2 18.
Dạng 3: Phương trình chùm đường tròn và họ đường tròn phụ thuộc tham số.
Trước hết ta đưa ra một số khái niệm sẽ sử dụng sau
3.1) Chùm đường tròn
* Định nghĩa: Cho hai điểm A(x1; y1), B(x2; y2), tập hợp các đường tròn đi qua hai điểm A, B gọi là chùm đường tròn
* Phương trình chùm đường tròn:
Trang 12Dạng 1: Cho đường tròn (C): x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 (a2 + b2 - c > 0) và đường thẳng ():
Ax + By + C =0, giả sử () cắt (C)
Khi đó: ( x2 + y2 - 2ax - 2by + c) + ( Ax + By + C) = 0 với 2 2 0 là phương trình chùm đường tròn đi qua giao điểm của () và (C)
Dạng 2: Cho đường tròn (C): x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 (a2 + b2 - c > 0) và đường tròn (C'):
x2 + y2 - 2a'x - 2b'y + c' = 0 (a'2 + b'2 - c' > 0), giả sử (C) và (C') cắt nhau
Khi đó: ( x2 + y2 - 2ax - 2by + c) + ( x2 + y2 - 2a'x - 2b'y + c' ) = 0 với 2 2 0 là
phương trình chùm đường tròn đi qua giao điểm của (C) và (C').
3.2) Trong các bài toán có tham số về đường tròn, người ta thường cho một họ đường cong
(Cm) mà các hệ số trong phương trình của nó chứa một tham số m và phần lớn các kết luận của loại toán này được qui về một số dạng sau:
* Xác định giá trị của tham số m để các đường cong của họ (Cm) thỏa mãn một số yêu cầu nào đó, chẳng hạn để (Cm) là các đường trong, vị trí tương đối của đường thẳng với đường tròn, của hai đường tròn,…
* Tìm các điểm cố định mà họ đường cong đi qua
* Loại toán tìm quỹ tích của một điểm nào đó khi tham số m thay đổi
* Chứng minh họ đường tròn luôn tiếp xúc với đường thẳng cố định
3.3) Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1:
Lập phương trình đường tròn đi qua A(1; -2) và các giao điểm của đường thẳng (d): x - 7y +
10 = 0 và đường tròn (C): x2 + y2 - 2x + 4y - 20 = 0
Bài giải:
Đường tròn cần tìm thuộc vào chùm đường tròn sau:
( x2 + y2 - 2x + 4y - 20 ) + ( x - 7y + 10 ) = 0 với 2 2 0
Rõ ràng 0 vì nếu = 0 x - 7y + 10 = 0 và nó không phải là phương trình đường tròn Khi 0, có thể cho = 1, vậy chùm có dạng
x2 + y2 - 2x + 4y - 20 + ( x - 7y + 10 ) = 0 (1)
Nó qua điểm A(1 ; - 2) khi 1 + 4 - 2 - 8 + ( 1 + 14 + 10) = 0 25 25 1
Thay = 1 vào (1) ta được
x2 + y2 - 2x + 4y - 20 + x - 7y + 10 = 0 x2 + y2 - x - 3y - 10 = 0
Vậy (2) là phương trình đường tròn, đó là phương trình đường tròn cần tìm