500 bài toán bất đẳng thức chọn lọc

[ Titu Vàreescu, Gabriel Dospinescu ] Cho a, b, c, d là các số thực thỏa mãn ñiều kiện.. Chứng minh rằng.[r]

Trang 1

500

Cao Minh Quang

♦♦♦♦♦

ĩnh Long, Xuân M u Tý, 2008

Trang 2

500 Bài Toán B t ð ng Th c Ch n L c

♦♦♦♦♦

1 Cho , ,a b c là các s th c dương Ch ng minh r ng

( )2 ( )2 ( )2

2

a + −b + b + −c + c + −a ≥

Komal

2 [ Dinu Serbănescu ] Cho a b c, , ∈( )0,1 Ch ng minh r ng

(1 )(1 )(1 ) 1

abc+ −a −b −c <

Junior TST 2002, Romania

3 [ Mircea Lascu ] Cho , ,a b c là các s th c dương th a mãn ñi u ki n abc= Ch ng 1 minh r ng

3

b c c a a b

a b c

Gazeta Matematică

4 N u phương trình 4 3 2

x +ax + x +bx+ = có ít nh t m t nghi m th c, thì

2 2

8

Tournament of the Towns, 1993

5. Cho các s th c x y z, , th a mãn ñi u ki n x2+y2+z2=1 Hãy tìm giá tr l n nh t c a

bi u th c

3 3 3

3

6. Cho a b c x y z, , , , , là các s th c dương th a mãn ñi u ki n x+ + =y z 1 Ch ng minh

r ng

( )( )

2

ax+by+cz+ xy+yz+zx ab+bc+ca ≤ + + a b c

Ukraine, 2001

7 [ Darij Grinberg] Cho , ,a b c là các s th c dương Ch ng minh r ng

( )2 ( )2 ( )2 ( )

9 4

a b c

b c + c a + a b ≥

+ +

8 [ Hojoo Lee ] Cho , ,a b c≥ Ch ng minh r ng0

4 2 2 4 4 2 2 4 4 2 2 4 2 2 2

9 Cho , ,a b c là các s th c dương th a mãn ñi u ki n abc= Ch ng minh r ng2

3 3 3

a +b +c ≥a b+ +c b c+ +a c a+ b

JBMO 2002 Shortlist

10 [ Ioan Tomescu ] Cho , ,x y z là các s th c dương Ch ng minh r ng

( )( )( )( ) 4

1

xyz

x x y y z z ≤

Trang 3

11 [ Mihai Piticari, Dan Popescu ] Cho , ,a b c là các s th c dương th a mãn ñi u ki n

1

a+ + = Ch ng minh r ngb c

( 2 2 2) ( 3 3 3)

5 a +b +c ≤6 a +b +c + 1

12 [ Mircea Lascu ] Cho x x1, 2, ,x n∈ ℝ , n≥2, a> sao cho 0

2

2 2 2

1 2 , 1 2

1

a

n

−

Ch ng minh r ng

2

0, , 1, 2, ,

i

a

n

13 [ Adrian Zahariuc ] Cho a b c, , ∈( )0,1 Ch ng minh r ng

1

b c c a+ c a a b+ a b b c≥

14 Cho , ,a b c là các s th c dương th a mãn ñi u ki n abc≤ Ch ng minh r ng1

a b c

b+ + ≥ + + c a

15 [ Vasile Cirtoaje, Mircea Lascu ] Cho , , , , ,a b c x y z là các s th c dương th a mãn ñi u

ki n a+ ≥ + ≥ +x b y c z a, + + = + + Ch ng minh r ngb c x y z

ay+bx≥ac+xz

16 [ Vasile Cirtoaje, Mircea Lascu ] Cho , ,a b c là các s th c dương th a mãn ñi u ki n 1

abc= Ch ng minh r ng

1

a b c ab bc ca

Junior TST 2003, Romania

3 3 3 2 2 2

2 2 2

a b c a b c

b +c +a ≥ b + c + a

JBMO 2002 Shortlist

18 Cho x x1, 2, ,x n>0, n> th a mãn 3 ñi u ki n x x1 2 x n= Ch ng minh r ng1

1

1 x x x +1 x x + +1 x n x x n >

+ + + + +

Russia, 2004

19.[ Marian Tetiva ] Cho x y z, , là các s th c dương th a ñi u ki n x2+y2+z2+2xyz=1

Ch ng minh r ng

a) 1,

8

xyz≤

2

x+ + ≤y z

Trang 4

c) 3 2 2 2,

4

xy+yz+zx≤ ≤x +y +z

2

xy+yz+zx≤ + xyz

20 [ Marius Olteanu ] Cho x x1, 2, ,x5∈ ℝ sao cho x1+x2+ + x5= Ch0 ng minh r ng

cosx +cosx + + cosx ≥ 1

21 [ Florina Cârlan, Marian Tetiva ] Cho , ,x y z là các s th c dương th a mãn ñi u ki n

x+ + =y z xyz Ch ng minh r ng

xy+yz+zx≥ + x + + y + + z +

22 [ Laurentiu Panaitopol ] Cho , ,x y z là các s th c th a mãn ñi u ki n x y z, , > − 1

Ch ng minh r ng

2

JBMO, 2003

23 Cho , ,a b c là các s th c dương th a mãn ñi u ki n a+ + = Ch ng minh r ngb c 1

2

a b b c c a

b c c a a b

24 Cho , ,a b c≥ th a mãn ñi u ki n 0 4 4 4 ( 2 2 2 2 2 2)

2

a +b +c ≤ a b +b c +c a Ch ng minh

r ng

( )

2 2 2 2

a +b +c ≤ ab+bc+ca

Kvant, 1988

25 Cho x x1, 2, ,x n>0,n> th a mãn ñi u ki n2

Ch ng minh r ng

1 2

1998 1

n

x x x

Vietnam, 1998

26 [Marian Tetiva ] Cho , ,x y z là các s th c dương th a mãn ñi u ki n 2 2 2

x +y +z =xyz

Ch ng minh r ng

a) xyz≥27,

b) xy+yz+zx≥27,

c) x+ + ≥ , y z 9

d) xy+yz+zx≥2(x+ +y z)+ 9

27 Cho , ,x y z là các s th c dương th a mãn ñi u ki n x+ + = Ch ng minh r ngy z 3

x+ y+ z≥xy+yz+zx

Trang 5

Russia 2002

28 [ D Olteanu ] Cho , ,a b c là các s th c dương Ch ng minh r ng

3

b c a b c c a b c a a b c a b

a b c c a a b b c

b c a c b a c b a

India, 2002

( )

3 ab bc ca

b bc c c ac a a ab b a b c

Proposed for the Balkan Mathematical Olympical

31 [ Adrian Zahariuc ] Cho x x1, 2, ,x n là các s nguyên ñôi m t phân bi t nhau Ch ng minh r ng

2 2 2

1 2 n 1 2 2 3 n 1 2 3

x +x + +x ≥x x +x x +x x + n−

32 [ Murray Klamkin ] Cho x x1, 2, ,x n≥0,n> th a mãn 2 ñi u ki n x1+x2+ + x n= 1 Hãy tìm giá tr l n nh t c a bi u th c

1 2 2 3 n 1 n n 1

x x +x x + +x−x +x x

Crux Mathematicorum

33.Cho x x1, 2, ,x n>0 th a mãn ñi u ki n x k+1≥x1+x2+ + x k v i m i k Hãy tìm giá tr

l n nh t c a h ng s c sao cho x1+ x2 + + x n ≤c x1+x2+ + x n

IMO Shortlist, 1986

34 Cho các s th c dương , , , , ,a b c x y z th a mãn ñi u ki n a+ = + = + = Ch ng x b y c z 1 minh r ng

(abc xyz) 1 1 1 3

ay bz cx

 +  + +  ≥



Russia, 2002

35 [ Viorel Vâjâitu, Alexvàru Zaharescu ] Cho , ,a b c là các s th c dương Ch ng minh

r ng

( )

1

a b c

a b c+b c a+c a b≤ + +

36 Cho , , ,a b c d là các s th c th a mãn ñi u ki n a2+b2+c2+d2= Tìm giá tr nh 1

nh t c a bi u th c

( ) ( ) ( ) ( )

a b+ +c d +b c+ +d a +c d+ +a b +d a+ +b c

37 [ Walther Janous ] Cho , ,x y z là các s th c dương Ch ng minh r ng

Trang 6

( )( ) ( )( ) ( )( ) 1

x x y x z + y y z y x +z z x z y ≤

38 Cho a a1, 2, ,a n n, ≥ là n s th c sao cho 2 a1<a2< < a n Ch ng minh r ng

1 2 2 3 n 1 2 1 3 2 1 n

a a +a a + +a a ≥a a +a a + +a a

39 [ Mircea Lascu ] Cho a b c, , là các s th c dương Ch ng minh r ng

4

40 Cho a a1, 2, ,a n là các s nguyên dương l n hơn 1 T n t i ít nh t m t trong các s

1

1,

3, ,a ,a 1

n

a − a a nh hơn ho c b ng 33

Adapted after a well – known problem

41 [ Mircea Lascu, Marian Tetiva ] Cho , ,x y z là các s th c dương th a mãn ñi u ki n

xy+yz+zx+ xyz= Ch ng minh r ng

8

xyz≤ ,

2

x+ + ≥ , y z

c) 1 1 1 4 x( y z)

x+ y+ ≥z + + ,

( ) { }

2

z

−

42 [ Manlio Marangelli ] Cho , ,x y z là các s th c dương Ch ng minh r ng

( 2 2 2 )( 2 2 2) ( )3

3 x y+y z+z x xy +yz +zx ≥xyz x+ +y z

43 [ Gabriel Dospinescu ] Cho , ,a b c là các s th c dương th a mãn ñi u ki n

{ } { }

max a b c, , −min a b c, , ≤ 1

Ch ng minh r ng

1+a +b +c +6abc≥3a b+3b c+3c a

44 [ Gabriel Dospinescu ] Cho , ,a b c là các s th c dương Ch ng minh r ng

( )

+ +  +  + ≥ + +  + + 

45 Cho 0 k+1 2

1

, a 2

k k

a

n

= = + Ch ng minh r ng

1

n

− < <

TST Singapore

46 [ Călin Popa ] Cho a b c, , ∈( )0,1 th a mãn ñi u ki n ab+bc+ca= Ch ng minh r ng1

Trang 7

2 2 2



47 [ Titu Vàreescu, Gabriel Dospinescu ] Cho x y z, , ≤1 th a mãn ñi u ki n x+ + = y z 1

Ch ng minh r ng

1 x +1 y +1 z ≤10

48 [ Gabriel Dospinescu ] Cho x+ y+ z= Ch ng minh r ng1

( ) (2 ) (2 )2 15 ( )( )( )

1−x 1−y 1−z ≥2 xyz x+y y+z z+x

49 Cho , ,x y z là các s th c dương th a mãn ñi u ki n xyz= + + + Ch ng minh r ngx y z 2 a) xy+yz+zx≥2(x+ +y z),

2

x+ y+ z≤ xyz

50 Cho , ,x y z là các s th c th a mãn ñi u ki n x2+y2+z2= Ch ng minh r ng2

2

x+ + ≤y z xyz+

IMO Shortlist, 1987

51 [ Titu Vàreescu, Gabriel Dospinescu ] Cho x x1, 2, ,x n∈( )0,1 và σ là m t hoán v c a

{1, 2, , n Ch ng minh r ng}

( )

1

n i

i

x

=



≥ +    

−    − 



∑

52 Cho x x1, 2, ,x n là các s th c dương th a mãn ñi u ki n

1

1 1 1

n

+

∑ Ch ng minh r ng

( )

1 1

i

x n

x

Vojtech Jarnik

53 [ Titu Vàreescu ] Cho n> và 3 a a1, 2, ,a n là các s th c th a mãn ñi u ki n

1

n i i

a n

=

≥

∑

1

n

i

a n

=

≥

∑ Ch ng minh r ng

{ 1 2 }

max a a, , ,a n ≥ 2

USAMO, 1999

54 [ Vasile Cirtoaje ] Cho , , ,a b c d là các s th c dương Ch ng minh r ng

0

a b b c c d d a

b c c d d a a b

55 Cho ,x y là các s th c dương Ch ng minh r ng

1

x +y >

Trang 8

France, 1996

(a+b b)( +c c)( +a)≥4(a+ + − b c 1)

MOSP, 2001

57 Cho a b c, , là các s th c dương Ch ng minh r ng

( 2 2 2) ( )( )( ) ( )

a +b +c a+ −b c b+ −c a c+ −a b ≤abc ab+bc+ca

58.[ D.P.Mavlo ] Cho a b c, , là các s th c dương Ch ng minh r ng

( 1)( 1)( 1)

1

a b c

a b c b c a abc

+ + + + + + + + + ≥

Kvant, 1988

59.[ Gabriel Dospinescu ] Cho x x1, 2, ,x n là các s th c dương th a mãn ñi u ki n

1 2 n 1

x x x = Ch ng minh r ng

( )

1

n

x



60 Cho , , ,a b c d là các s th c dương th a mãn ñi u ki n a+ + = Ch ng minh r ngb c 1

min ,

4 9 27

d

a b c abcd  

Kvant, 1993

(1+a2) (2 1+b2)2(a−c) (2 b−c)2≥ +(1 a2)(1+b2)(1+c2) (a−b) (2 b−c) (2 c−a)2

AMM

62 [ Titu Vàreescu, Mircea Lascu ] Cho , ,x y z là các s th c dương th a mãn ñi u ki n 1

xyz= và α≥ Ch ng minh r ng1

3 2

y z z x x y

63 Cho x x1, 2, ,x y y n, ,1 2, ,y n∈ ℝ th a mãn ñi u ki n 2 2 2 2 2 2

1 2 n 1 2 n 1

x +x + +x =y +y + +y =

Ch ng minh r ng

( 1 2 2 1)2

1

2 1

n

i

x y x y x y

=



 ∑ 

Korea, 2001

64 [ Laurentiu Panaitopol ] Cho a a1, 2, ,a n là các s nguyên dương khác nhau t ng ñôi m t

Ch ng minh r ng

2 2 2

3

n

TST Romania

65 [ Călin Popa ] Cho , ,a b c là các s th c dương th a mãn ñi u ki n a+ + = Ch ng b c 1 minh r ng

Trang 9

( ) ( ) ( )

3 3 4

a c ab +b a bc +c b ca ≥

66 [ Titu Vàreescu, Gabriel Dospinescu ] Cho a b c d, , , là các s th c th a mãn ñi u ki n

( 2)( 2)( 2)( 2)

1+a 1+b 1+c 1+d =16 Ch ng minh r ng

3 ab bc cd da ac bd abcd 5

( 2 )( 2 )( 2 ) ( )

a + b + c + ≥ ab+bc+ca

APMO, 2004

68 [ Vasile Cirtoale ] Cho , ,x y z là các s th c th a mãn các ñi u ki n 0< ≤ ≤x y z,

2

x+ + =y z xyz+ Ch ng minh r ng

a) (1−xy)(1−yz)(1−zx)≥ , 0

b) 2 1, 3 2 32

27

x y≤ x y ≤

69 [ Titu Vàreescu ] Cho , ,a b c là các s th c dương th a mãn ñi u ki n a+ + ≥b c abc

Ch ng minh r ng ít nh t m t trong ba b t ñ ng th c sau ñây là ñúng

a+ + ≥b c b+ + ≥c a c+ + ≥ a b

TST 2001, USA

70 [ Gabriel Dospinescu, Marian Tetiva ] Cho , ,x y z là các s th c dương th a mãn ñi u

ki n x+ + =y z xyz Ch ng minh r ng

(x−1)(y−1)(z− ≤1) 6 3−10

71 [ Marian Tetiva ] Cho , ,a b c là các s th c dương Ch ng minh r ng

( )2 ( )2 ( )2

3 3 3 3 3 3

4

a b b c c a

Moldova TST, 2004

72 [ Titu Vàreescu ] Cho a b c, , là các s th c dương Ch ng minh r ng

( 5 2 )( 5 2 )( 5 2 ) ( )3

a −a + b −b + c −c + ≥ a+ +b c

USAMO, 2004

73 [ Gabriel Dospinescu ] Cho x x1, 2, ,x n>0,n> th a mãn 2 ñi u ki n

2

1 1

1

k

x

= =

Ch ng minh r ng

( )

2

1 1

4

1

k

= =

  > + +

74 [ Gabriel Dospinescu, Mircea Lascu, Marian Tetiva ] Cho , ,a b c là các s th c dương

Ch ng minh r ng

Trang 10

( )( )( )

2 2 2

2 3 1 1 1

a +b +c + abc+ ≥ +a +b +c

75 [ Titu Vàreescu, Zuming Feng ] Cho , ,a b c là các s th c dương Ch ng minh r ng

( ) ( )

8

a b c b a c c b c

a b c b a c c a b

USAMO, 2003

76 Cho ,x y là các s th c dương và ,m n là các s nguyên dương Ch ng minh r ng

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 1 )

n− m− x + +y + + m+ −n x y +x y ≥mn x + −y+y + −x

Austrian – Polish Competition, 1995

77 Cho , , , ,a b c d e là các s th c dương th a mãn ñi u ki n abcde= Ch ng minh r ng1

10

a abc b bcd c cde d dea e eab

ab abcd bc bcde cd cdea de deab ea eabc

78 [ Titu Vàreescu ] Cho , , 0,

2

a b c∈ π



  Ch ng minh r ng

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

0

TST 2003, USA

79 Cho a b c, , là các s th c dương Ch ng minh r ng

4 4 4 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3

a +b +c + a b +b c +c a ≥ a b+b c+c a+ ab +bc +ca

KMO Summer Program Test, 2001

80.[ Gabriel Dospinescu, Mircea Lascu ] Cho a a1, 2, ,a n>0,n>2 th a mãn ñi u ki n

1 2 n 1

a a a = Hãy tìm h ng s k n nh nh t sao cho

( )( ) ( )( ) ( )( )

1 2

1 2 2 1 2 3 3 2 1 1

n

a a

k

a a a a + a a a a + + a a a a ≤

81 [ Vasile Cirtoaje ] Cho , , , , ,a b c x y z là các s th c dương Ch ng minh r ng

( 2 2 2)( 2 2 2) 2( )( )

3

ax+by+cz+ a +b +c x +y +z ≥ a+ +b c x+ +y z

Kvant, 1989

82 [ Vasile Cirtoaje ] Cho , ,a b c là ñ dài ba c nh c a m t tam giác Ch ng minh r ng

 + + − ≥  + + 

83 [ Walther Janous ] Cho x x1, 2, ,x n>0,n> th a mãn ñi u ki n 2 x1+x2+ + x n= 1

Ch ng minh r ng

1 1

1

i

n x

   − 

Trang 11

84 [ Vasile Cirtoaje, Gheoghe Eckstein ] Cho x x1, 2, ,x n là các s th c dương th a mãn ñi u

ki n x x1 2 x n= Ch ng minh r ng1

n x +n x + +n x ≤

TST 1999, Romania

85 [ Titu Vàreescu ] Cho , ,a b c là các s th c không âm th a ñi u ki n 2 2 2

4

a + + +b c abc=

Ch ng minh r ng

0≤ab+bc+ca−abc≤ 2

USAMO, 2001

86 [ Titu Vàreescu ] Cho a b c, , là các s th c dương Ch ng minh r ng

3

a b c

+ +

TST 2000, USA

87 [ Kiran Kedlaya ] Cho , ,a b c là các s th c dương Ch ng minh r ng

3

a ab abc a b a b c

a

88. Tìm h ng s k l n nh t sao cho v i b t kì s nguyên dương n không chính phương, ta

có

(1+ n) (sin π n)> k

Vietnamese IMO Training Camp, 1995

89. [ Tr n Nam Dũng ] Cho x y z, , là các s th c dương th a ñi u ki n (x+ +y z)3=32xyz Tìm giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a bi u th c

( )

4 4 4

4

x y z

Vietnam, 2004

90. [ George Tsintifas ] Cho a b c d, , , là các s th c dương Ch ng minh r ng

( ) (3 ) (3 ) (3 )3 2 2 2 2( )4

16

a+b b+c c+d d+a ≥ a b c d a+ + +b c d

91 [ Titu Vàreescu, Gabriel Dospinescu ] Cho , ,a b c là các s th c không âm th a mãn ñi u

ki n a + + = và n là s nguyên dương Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c b c 1

( ) ( ) ( )

ab bc ca

ab+ bc+ ca

( ) ( ) ( ) 3 ( 3 )

a b +b c +c a ≥ abc abc

93 [Tr n Nam Dũng ] Cho , ,a b c là các s th c dương th a mãn ñi u ki n a2+b2+c2=9

Ch ng minh r ng

Trang 12

( )

2 a+ +b c −abc≤10

Vietnam, 2002

94 [ Vasile Cirtoaje ] Cho , ,a b c là các s th c dương Ch ng minh r ng

 + −  + − +  + −  + − +  + −  + − ≥

95 [ Gabriel Dospinescu ] Cho n là s nguyên l n hơn 2 Tìm s th c l n nh t m n và s

th c nh nh t M n sao cho v i các s th c dương b t kì x x1, 2, ,x n (xem x n=x x0, n+1=x1),

ta có

( )

1 1 2 1 1

n

i

x

96 [ Vasile Cirtoaje ] Cho , ,x y z là các s th c dương Ch ng minh r ng

( )

x xy y +y yz z +z zx x ≥ x y z

97 [ Vasile Cirtoaje ] Cho , , ,a b c d là các s th c dương Ch ng minh r ng

( 3 )( 3 )( 3 )( 3 ) ( ) ( 2)( 2)( 2)( 2)

2 a +1 b +1 c +1 d + ≥ +1 1 abcd 1+a 1+b 1+c 1+d

Gazeta Matematic ă

( )4 ( )4 ( )4 4( 4 4 4)

7

a+b + b+c + c+a ≥ a +b +c

Vietnam TST, 1996

1 a b+1 b c+1 c a≤2 a+2 b+2 c

Bulgaria, 1997

100 [Tr n Nam Dũng ] Cho , ,a b c là các s th c dương th a 21ab+2bc+8ca≤12 Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c

a+ + b c

Vietnam, 2001

101 [ Titu Vàreescu, Gabriel Dospinescu ] Cho , , , , ,a b c x y z là các s th c dương th a mãn

ñi u ki n xy+yz+zx= Ch ng minh r ng3

( ) ( ) ( ) 3

b c + +c a + +a b + ≥

( ) ( )

3 5

b c a c a b a b c

Japan, 1997

Định dạng
Số trang	20
Dung lượng	285,97 KB