Tuyển chọn các bài toán số học trong kỳ thi vào lớp 10 chuyên Toán và lời giải chi tiết

Trong các kì thi tuyển sinh lớp 10 các trường chuyên trên toàn quốc thì các bài toán về số học xuất hiện một cách đều đặn trong các đề thi với các bài toán ngày càng hay và khó hơn.. Tr[r]

TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN SỐ HỌC TRONG KÌ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN

LỜI NÓI ĐẦU

Các vị phụ huynh và các thầy cô dạy toán có thể dùng có thể dùng chuyên đề này để giúp con em mình học tập Hy vọng tuyển tập các bài toán số học thi vào lớp 10 chuyên toán sẽ có thể giúp ích nhiều cho học sinh phát huy nội lực giải toán nói riêng và học toán nói chung

Mặc dù đã có sự đầu tư lớn về thời gian, trí tuệ song không thể tránh khỏi những hạn chế, sai sót Mong được sự góp ý của các thầy, cô giáo và các em học!

Chúc các thầy, cô giáo và các em học sinh thu được kết quả cao nhất từ chuyên đề này!

Trong các kì thi tuyển sinh lớp 10 các trường chuyên trên toàn quốc thì các bài toán về số học

xuất hiện một cách đều đặn trong các đề thi với các bài toán ngày càng hay và khó hơn Trong đó ngoài các bài toán có dạng khá quen thuộc thì cũng có nhiều bài toán rất mới mẻ Nhằm đáp ứng nhu cầu của giáo viên toán THCS và học sinh về các chuyên đề toán THCS, website www.thuvientoan.net

giới thiệu đến thầy cô và các em tuyển chọn các bài toán số học trong kì thi vào lớp 10 chuyên toán Chúng tôi đã kham khảo qua nhiều đề thi để viết chuyên đề này

TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN SỐ HỌC TRONG ĐỀ THI TUYỂN SINH

LỚP 10 CHUYÊN TOÁN

Trong c{c kì thi tuyển sinh lớp 10 c{c trường chuyên trên to|n quốc thì c{c b|i tón về

số học xuất hiện một c{ch đều đặn trong c{c đề thi với c{c b|i to{n ng|y c|ng hay v| khó hơn Trong đó ngo|i c{c b|i to{n có dạng kh{ quen thuộc thì cũng có ngiều b|i to{n rất mới mẻ Trong chủ đề n|y, chúng tôi đã tuyển chọn v| giới thiệu một số b|i to{n số học được trích trong c{c đề thi tuyển sinh chuyên to{n c{c năm gần đ}y

Bài 1 Chứng minh rằng nếu số nguyên k lớn hơn 1 thoả mãn 2

k 4 và 2 

k 16 l| c{c số nguyên tố thì k chia hết cho 5

Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Tỉnh Hưng Yên năm học 2009 – 2010

Do đó suy ra k216 không l| số nguyên tố

 Trường hợp 3 Xét k 5n 3 n    , khi đó ta được k2 25n230n 9 nên  k216 5

Do đó suy ra k24 không l| số nguyên tố

Do vậy từ c{c trường hợp trên suy ra để k24 và k216 l| c{c số nguyên tố thì k phải chia hết cho 5

Bài 2 Cho một tam gi{c có số đo ba cạnh l| x, y, z nguyên thỏa mãn điều kiện:

     

Chứng minh tam gi{c đã cho l| tam gi{c đều

Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Tỉnh Bình Định năm học 2009 – 2010

Lời giải

Ta có 2 2 2   

2x 3y 2z 4xy 2xz 20 0 Ta có x, y, z l| c{c số nguyên dương nên từ đẳng

thức đã cho ta suy ra được y l| số chẵn Đặt    *

y 2k k N v| thay v|o điều kiện trên ta

Suy ra x y z 2 Vậy tam gi{c đã cho l| tam gi{c đều   

Bài 3 Tìm số tự nhiên abc thoả mãn điều kiện   2

c

M| ta lại thấy a b 9a 3k 1 9a không chia hết cho 3 nên    10 a b  9a không chia 

hết cho 3 hay c không thuộc tập hợp N

 Nếu a b 3  ta có      

10 3 9a 6 1 3a

c

35 7 Vì ta có 0 a 4  và 1 3a 7 suy ra  a2, khi đó c 6; b 1 Ta có số 216 thoả mãn yêu cầu b|i to{n  

Vậy số abc 216 l| số cần tìm

Bài 4 Cho ba số nguyên dương a, p, q thỏa mãn c{c điều kiện:

i) ap 1 chia hết cho q ii)  aq 1 chia hết cho p 

2 p q

Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội năm học 2009 – 2010

Lời giải

Từ giả thiết ta được ap 1 aq 1 pq suy ra     a pq ap aq 1 pq 2    

Mà a pq pq nên ta được 2 ap aq 1 pq   Do a, p, q l| c{c số nguyên dương nên

 

ap aq 1 và pq l| c{c số nguyên dương Suy ra ap aq 1 pq   

Mà do a p q  1 nên ta được 2a p q  pq hay





pqa

2 p q B|i to{n được chứng

minh xong

Bài 5 Tìm tất cả c{c cặp số nguyên  a; b nghiệm đúng điều kiện

Vì y nguyên tố nên ta được c{c trường hợp sau.

k 1 3 , điều n|y không xẩy ra vì 2 

k 1 không chia hết cho 3

y 3 2 2x y 2 2k 3y y 3 4k 12 y 3 2k y 3 2k 12

Từ đó tìm được y 7 , thay v|o ta được  x 8; z 13  

Vậy c{c số nguyên dương x; y; z  8;7;13 thỏa mãn yêu cầu b|i to{n 

Bài 7 Giả sử m v| n l| c{c số nguyên dương với n 1 Đặt S m n 2 24m  4n Chứng minh rằng:

 Trường hợp 1 Nếu m n , khi đó theo như chứng minh trên ta được 

mn 1 S mn nên S không thể l| số chính phương

 Trường hợp 2 Nếu m n , khi đó ta được S m n Lại có  2 2   2

Giả sử tồn tại c{c bộ số a; b; c gồm c{c chữ số trong hệ thập ph}n a, b, c đôi một kh{c 

nhau v| kh{c 0 sao cho đẳng thức ab b

c

ca đúng

Khi đó đẳng thức trên trở thành 10a b c   10c a b  hay 2.5.c a – b  b a – c

Suy ra 5 l| ước số của b a – c  Do 5 nguyên tố v| 1 a, b,c 9 , lại có   a c nên ta được 

Từ đó suy ra 2a 9 3  hoặc 2a 9 9  vì a5

Trường hợp n|y tìm được a; b; c  6; 5; 2 , 9; 5;1   thỏa mãn yêu cầu b|i to{n

 Trường hợp 2 Với a c 5  ta được a c 5  nên       

2c 1 nên ta được 2c 1 3  hoặc 2c 1 9  vì c 0 Trường hợp n|y tìm được a; b; c  6; 4;1 , 9; 8; 4   thỏa mãn yêu cầu b|i to{n

 Trường hợp 3 Với c a 5  ta được c a 5  nên         

2a 9 Do đó trường hợp n|y không xét

Vậy c{c bộ số thỏa b|i to{n l| a; b; c  6; 5; 2 , 9; 5;1 , 6; 4;1 , 9; 8; 4      

Bài 9 Tìm tất cả c{c dãy số tự nhiên chẵn liên tiếp có tổng bằng 2010

Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Quốc Học Huế năm học 2010 – 2011

Nên suy ra y 1  2; 3; 5; 6;10;15; 30; 67;134; 201; 335; 402; 670;1005; 2010 

Hay ta được y1; 2; 4; 5; 9;14; 29; 66;133; 200; 334; 401; 669;1004; 2009 Đến đ}y ta có + Với y 1 ta có  2x 1 1005  2x 1004 nên dãy số cần tìm là 1004, 1006

+ Với y 2 ta có  2x 2 670  2x 668 nên dãy số cần tìm l| 668, 670, 672

+ Với y 4 ta có  5 2x 4  20102x 398 nên dãy số cần tìm l| 398, 400, 402, 404, 406 + Với y 5 ta có  6 2x 5  20102x 330 nên dãy số cần tìm l| 330, 332, 334, 336, 338,

340

+ Với y 9 ta có  10 2x 9  20102x 192 , nên dãy số cần tìm l| 

192, 194, 196, 198, 200, 202, 204, 206, 208, 210 + Với y 14 ta có  15 2x 14  20102x 120 nên dãy số cần tìm l| 120, 122, 124, 126, ,

Vậy chỉ có 7 dãy số tự nhiên chẵn liên tiếp như trên thoả điều kiện b|i to{n

Bài 10 Tìm tất cả c{c số nguyên dương a, b sao cho  2

Do a, b, k l| c{c số nguyên dương nên ta suy ra được m 1

Do đó ta suy ra được b 1 m 1    0, điều n|y dẫn đến a 1 k 1 ka    0

M| ta có a l| số nguyên dương nên ta suy ra được k 1 ka 0   hay k a 1   1

M| k cũng l| số nguyên dương nên từ k a 1   1 ta được k a 1   0 hoặc k a 1   1 + Nếu k a 1   0 ta suy ra được a 1 0   a 1, khi đó ta được b 1 m 1    2

Do 2 l| số nguyên tố nên từ b 1 m 1    2 ta được b 1 1  hoặc b 1 2  Từ đó suy ra



b 2 hoặc b 3

Do đó trong trường n|y ta được hai cặp số nguyên dương thỏa mãn b|i to{n l| a 1; b 2  

và a 1; b 3  

+ Nếu k a 1   1, khi đó ta được k 1;a 2 , khi đó ta được   b 1 m 1    0 Từ đ}y suy

ra b 1 hoặc m 1 Với m 1 , kết hợp với hệ thức mb a k  ta suy ra được b 3 Do

đó trong trường n|y ta được hai cặp số nguyên dương thỏa mãn b|i to{n l| a 2; b 1 và  

 

a 2; b 3

Vậy c{c cặp số nguyên dương  a; b thỏa mãn yêu cầu b|i to{n l|        1; 2 , 1; 3 , 2;1 , 2; 3

Bài 11 Tìm tất cả c{c số nguyên x, y, z thỏa mãn c{c điều kiện x y z và   3 3  2

Do y l| một số nguyên nên ta được y0; 1; 2 

+ Với y 0 , khi đó ta có hệ phương trinh   

Từ phương trình trên suy ra 2t27t 0 t 2t 7  0 0 t 3  (do t )

Mặt kh{c cũng theo phương trình trên thì t 7 nên ta được t0 Suy ra y 2y 3  0 nên



y 0

Do đó ta được x 1 Thử lại ta thấy    x; y  1; 0 thoả mãn phương trình đã cho

Vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên l|    x; y  1; 0

Bài 13 Tìm tất cả c{c số nguyên tố p có dạng  2 2  2

p a b c với a, b, c l| c{c số nguyên

dương sao cho a4b4c chia hết cho p 4

Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội năm học 2011 – 2012

Lời giải

Do vai trò của a, b, c như nhau nên không mất tính tổng qu{t ta giả sử 1 a b c  

Khi đó do p a 2b2c nên 2 p2 a2b2c22 p hay

a4b4  c4 2a b2 22b c2 22c a2 2 p M| ta lại có a4b4c4 p nên ta được

Lại có ab 2ab a  2b nên ta được 2 1 ab c  2 a2b2c2 p, do đó ab c ; p 2 1 Từ

Vậy p 3 l| số nguyên tố thỏa mãn yêu cầu b|i to{n 

Bài 14 Cho ba số tự nhiên x, y, z thoả mãn điều kiện 2 2  2

x y z Chứng minh rằng xy 12

Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Tỉnh Ninh Bình năm học 2011 – 2012

Lời giải

Trước hết ta có nhận xét: Với số tự nhiên n thì

+ Nếu n 3k 1  n2 9k26k 1 nên  n2 chia 3 có số dư l| 1

 Nếu x, y, z đều không chia hết cho 3 thì x ; y ; z đều chia cho 3 dư 1 khi đó 2 2 2 x2y 2

chia cho 3 dư 2 v| z chia cho 3 dư 1, điều n|y m}u thuẫn với 2 x2y2 z 2

Do đó trong hai số x, y tồn tại ít nhất một số chia hết cho 3 nên suy ra suy xy 3

 Nếu x, y, z đều không chia hết cho 4 thì x ; y ; z đều chia cho 4 dư 1 hoặc dư 0 Khi đó 2 2 2xẩy ra c{c khả năng sau

+ Nếu x2y chia cho 4 dư 2 v| 2 z2 chia cho 4 dư 1, điều n|y m}u thuẫn với x2y2 z 2

Do đó trong hai số x, y tồn tại ít nhất một số chia hết cho 4 Do đó suy ra xy 4

+ Nếu x2y chia hết cho 8 v| 2 z chia cho 8 dư 4, điều n|y m}u thuẫn với 2 x2 y2 z 2

Do đó trong hai số x, y tồn tại ít nhất một số chia hết cho 4 Do đó suy ra xy 4

Vì xy 3 và xy 4 Mà 3 và 4 l| hai số nguyên tố cùng nhau nên ta được xy 12

Bài 15 Tìm tất cả c{c số nguyên tố p sao cho tồn tại cặp số nguyên  x; y thoả mãn hệ:

Lấy hiệu theo vế của hai đẳng thức đã cho ta được p p 1   2 y x y x     3

Suy ra ta được 2 y x y x p 4       Mặt kh{c từ  1 ta thấy p l| số lẻ v| x 1

Do đó ta có   2  2 2  

p 1 2x x x x 1 nên p x

Từ  2 ta lại có y 1 nên  2  2  2 2  2

p 1 2y y y y 1 suy ra p y

Từ  3 ta suy ra được y x Từ đó ta được 0 y x p Chú ý p l| l| số nguyên tố lẻ nên   

từ  4 ta suy ra được x y p M| ta lại có 0 x y 2p nên ta được    x y p  

Thay vào  3 ta được p 1 2 y x     Từ đó suy ra 

Thay p 7 vào   2 ta được 72 1 2y nên 2 y 5 

Vậy p 7 thỏa mãn yêu cầu b|i to{n 

Nhận xét Ngoài cách giải như trên ta còn có thể giải bằng cách xét các khả năng của p: Với p chẵn

không xẩy ra Với p 4k 1 khi đó ta được       

2 2

các giá trị của k để 8k24k 1 là các số chính phương 

Bài 16 Tìm tất cả c{c số nguyên dương x ,x ,1 2 ,x ; nn thỏa mãn c{c điều kiện sau:

x 5.1 4

11x

+ Với n 4 thì bất đẳng thức trên xẩy ra dấu bằng nên x1 x2 x3 x4 4

Vậy c{c bộ số thỏa mãn yêu cầu b|i to{n l|

 Xét n 2010 hoặc n 2011 hoặc n 2012 thì đều thỏa mãn thỏa mãn yêu cầu b|i to{n

 Xét n 2001; n 2011; n 2012 , khi đó ta có c{c khả năng sau   

+ Nếu n lẻ thì n 2010; n 2011    n 2011; n 2012    n 2010; n 2012  1 Do đó để tích l| số chính phương thì n 2001; n 2011; n 2012 l| ba số chính phương Nhưng   

Vậy n2010; 2011; 2012 l| c{c số thỏa mãn yêu cầu b|i to{n

Bài 18 Giả sử a v| b l| c{c số nguyên dương sao cho   2 

Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Tỉnh Hải Dương năm học 2011 – 2012

Lời giải

+ Nếu d 0 thì bất đẳng thức cần chứng minh hiển nhiên đúng

+ Nếu d 0 Giả sử a dm; b dn với m, n là các số nguyên dương  

 a b l| số nguyên lớn nhất 

không vượt qu{ a b Do đó ta được   

 

d a b Bài to{n được chứng minh

Bài 19 Ta tìm hai số nguyên dương x, y sao cho  

xy 2 , không thỏa mãn đề b|i

 Với xy Khi đó giả sử bộ ba số nguyên dương x; y; z thỏa mãn đề b|i

Do đó ta có y x 22 xy 2 hay   x xy 2   2 x y   xy 2  nên 2 x y xy 2     Suy ra tồn tại số k nguyên dương sao cho 2 x y   k xy 2   1

+ Với k 2 suy ra x y xy 2 nên    x 1 y 1     3 0, điều n|y vô lí

Từ 53 số tự nhiên đã cho chọn được 3 số m| tổng của chúng l| a1 chia hết cho 3 Xét

50 số còn lại chọn được 3 số m| tổng l| a chia hết cho 3 Lặp lại lập luận n|y từ 53 số ta 2

chọn được 17 bộ số m| mỗi bộ số gồm 3 số có tổng lần lượt l| a ;a ; ;a1 2 17 sao cho mỗi

tổng đều chia hết cho 3

Chứng minh tương tự nhận thấy từ 5 số tự nhiên bất kì m| mỗi số đều chia hết cho 3

ta chọn được 3 số có tổng chia hết cho 9 Vậy từ 17 số a ;a ;1 2 ;a17 ta chọn được 5 bộ mỗi

bộ gồm 3 số có tổng lần lượt l| b ; b ;1 2 ; b5 sao cho b 9i với i1; 2; 3; 4; 5 Từ 5 số chia hết cho 9 l| b ; b ; b ; b ; b1 2 3 4 5 chọn được 3 số m| tổng của chúng l| chia hết cho 27 Tổng của

3 số n|y chính l| tổng của 27 số ban đầu Vậy từ 53 số tự nhiên bất kì luôn chọn được 27

số m| tổng của chúng chia hết cho 27

Bài 21 Tìm tất cả c{c số nguyên x, y, z thoả mãn 2  2  2  2 2 

Từ phương trình trên suy ra z 3 và 2 z2 33 Vì z nguyên nên z 0 hoặc z 3

 Với z 0 , khi đó phương trình trên trở th|nh   2  2 

x 3 3 nên không có số nguyên x n|o thỏa mãn

 Với z 3 , khi đó ta được   2 2 

x 3 11y 8 Từ đó suy ra 2 

11y 8 nên y 0 Từ đó suy 

ra không có số nguyên x n|o thỏa mãn

Vậy phương trình có c{c nghiệm nguyên l| x; y; z  0;1; 0 , 0; 1; 0 , 6;1; 0 , 6; 1; 0        

Bài 22 Tìm c{c số nguyên tố p sao cho hai số 2 p 1   và  2 

2 p 1 l| hai số chính phương

Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Quốc Học Huế năm học 2011 – 2012

Lời giải

Giả sử tồn tại c{c số nguyên tố p để 2 p 1 và    2 p 2 1 l| hai số chính phương 

Do 2 l| số nguyên tố nên suy ra p 1 và  2

cũng l| c{c số chính phương Giả sử tồn tại c{c số nguyên dương x v| y thỏa mãn

Đặt   2  

p 1 2x 1 và 2   2 

p 1 2y 2

Lấy hiệu theo vế của hai đẳng thức đã cho ta được p p 1   2 y x y x     3

Suy ra ta được 2 y x y x p 4       Mặt kh{c từ  1 ta thấy p l| số lẻ v| x 1

Do đó ta có p 1 2x  2 x2x2  x 1 nên p x

Từ  2 ta lại có y 1 nên  p2 1 2y2 y2y2 y21 suy ra p y

Từ  3 ta suy ra được y x Từ đó ta được 0 y x p Chú ý p l| l| số nguyên tố lẻ nên   

từ  4 ta suy ra được x y p Mà ta lại có 0 x y 2p nên ta được    x y p  

Thay vào  3 ta được p 1 2 y x     Từ đó suy ra 

Vậy p 7 thỏa mãn yêu cầu b|i to{n 

Bài 23 Cho a, b, c l| c{c số nguyên sao cho 2a b,2b c,2c a đều l| c{c số chính phương   

a) Biết rằng ít nhất một số trong ba số chính phương trên luôn chia hết cho 3 Chứng minh rằng tích a b b c c a      chia hết cho 27

b) Tồn tại hay không c{c số nguyên thỏa mãn điều kiện ban đầu sao cho

a b b c c a không chia hết cho 27      

Trích đề TS lớp 10 trường PTNK ĐHQG Thành phố Hồ Chí Minh năm học 2011 – 2012

Lời giải

phương M| ta lại có a b b c c a          1 1 2 2  không chia hết cho 27

Vậy a 0; b 1; c 2 l| bộ số thỏa mãn yêu cầu b|i to{n   

Bài 24 Tìm số nguyên dương n sao cho n 2n 1  

k 13u4k 1 v

Vậy không tìm được n thỏa mãn yêu cầu bài toán

Bài 25 Tìm tất cả c{c bộ hai số chính phương n; m m| mỗi số có đúng 4 chữ số, biết rằng mỗi chữ số của m bằng chữ số tương ứng của n cộng thêm với d, ở đ}y d l| một số nguyên dương n|o đó cho trước

Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Tỉnh Vĩnh Phúc năm học 2012 – 2013

Bài 26 Tìm hai số nguyên a, b để 4 4

a) Chứng minh rằng số 287 l| một số điều hòa

b) Chứng minh rằng số n p (với p l| một số nguyên tố) không thể l| số điều hòa  3

c) Chứng minh rằng nếu số n p.q (với p v| q l| c{c số nguyên tố kh{c nhau) l| số điều hòa thì n 2 l| một số chính phương

Trích đề TS lớp 10 trường PTNK ĐHQG Thành phố Hồ Chí Minh năm học 2012 – 2013

287 3 1 7 41 287 nên 287 l| số điều hòa

b) Giả sử n p l| số điều hòa Vì p l| số nguyên tố nên c{c ước dương của  3 n p là  3

1; p; p ; p

Ta có  3 2  2 2 4 6  6 3  2 2 4 6   3 2 

Do đó ta được 8 p m| p l| số nguyên tố nên p 2 Khi đó  p p 36p2p28 8 Do vậy 

đẳng thức trên không xẩy ra với p l| số nguyên tố Nên điều giả sử l| sai hay n p  3

không thể l| số điều hòa

c) Ta có n pq l| số điều hòa với p v| q l| c{c nguyên tố kh{c nhau Do đó ta được

Bài 28 Tìm c{c số nguyên tố p sao cho   2 3 4

Vậy p 3 l| số nguyên tố thỏa mãn yêu cầu b|i to{n 

Bài 29 Với mỗi số nguyên dương n ta ký hiệu Sn l| tổng của n số nguyên tố đầu tiên như sau

M a 3a 1 với a l| số nguyên dương

a) Chứng minh rằng mọi ước của M đều l| số lẻ

b) Tìm a sao cho M chia hết cho 5 Với những gi{ trị n|o của a thì M l| lũy thừa của

a 1 5 suy ra a 1 5 Do đó a chia cho 5 dư 1, tức l| 

tồn tại số tự nhiên k thỏa mãn a 5k 1 

Đặt 2   n  *

a 3a 1 5 n N Ta có 5 5 và theo trên ta có n a 5k 1  nên ta được

  2     n  2      n      n

Nếu n 2 ta có 5 5 , mà n 2 25k k 1 5   2 M| 5 không chia hết cho 5 nên đẳng thức trên 2không thỏa mãn

Vậy n 1 Từ đó ta có 25k k 1   0 với k l| số tự nhiên nên suy ra k 0 v| do đó a 1

Do vậy a 1 thì M l| lũy thừa của 5

Bài 31 Cho x, y l| c{c số tự nhiên kh{c 0 Tìm gi{ trị nhỏ nhất của biểu thức  2x y

Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Tỉnh Thanh Hóa năm học 2013 – 2014

Lời giải

Đặt k 2x nên k l| số chẵn Ta đi tìm gi{ trị nhỏ nhất của A 36k5 y

Dễ thấy A 11 khi k 2; y 2 hay   x 1; y 2 Ta chứng minh   A 11 l| gi{ trị nhỏ nhất của A

+ Nếu y l| số chẵn thì 36k 0 mod 3 ; 5  y 1 mod 3 nên   36k5y 2 mod 3  

Mà 1 1 mod 3   nên phương trình trên vô nghiệm

Do đó phương trình trình vô nghiệm

Vậy gi{ trị nhỏ nhất của A l| 11 khi x 1; y 2  

Bài 32 Tìm tất cả c{c cặp số nguyên dương  a; b sao cho 



2

a 2

ab 2 l| số nguyên