slide phần thống kê mới nguyenvantien0405

Giả sử rằng số tài liệu chuyển bằng fax trong một ngày có phân phối chuẩn, với độ tin cậy 95%, hãy ước lượng số trang tài liệu được chuyển đi trong một ngày... Chọn ngẫu nhiên16 công[r]

CHƯƠNG 7 ƯỚC LƯỢNG

THAM SỐ

Nhắc lại thống kê mẫu

• Thống kê mẫu: hàm của các bnn thành phần trong mẫu

• Cho mẫu ngẫu nhiên: W=(X1;X2;…Xn), thống kê mẫu có dạng:

• T=f(X1;X2;…;Xn)

• Thống kê T cũng là một bnn

Các thống kê mẫu thường dùng

Ước lượng

• Tổng thể có tham số  chưa biết

• Ta muốn xác định tham số này

• Lấy một mẫu nn cỡ n

• Từ mẫu này tìm cách xác định gần đúng giá trị của tham số  của tổng thể

• Ước lượng điểm: dùng một giá trị

• Ước lượng khoảng: dùng một khoảng

Ước lượng điểm

• Tổng thể có tham số chưa biết Giả sử 

• Từ mẫu ngẫu nhiên cỡ n đã chọn

• Hãy dùng 1 thống kê mẫu T để ước lượng cho 

 X X1, 2 , , X n 

Ước lượng điểm

• Dùng một giá trị để thay thế cho giá trị của tham số  chưa biết của tổng thể

• Giá trị này là giá trị cụ thể của một thống kê T nào đó của mẫu ngẫu nhiên

• Cùng với một mẫu ngẫu nhiên có thể xây dựng được rất nhiều thống kê mẫu để ước lượng cho tham số 

• Ta dựa vào các tiêu chuẩn sau: không chệch, hiệu quả, vững …

Ước lượng không chệch (ƯLKC)

• Thống kê T=f(X1;X2;…;Xn) gọi là ước lượng không chệch của tham số  nếu:

• Nếu E(T) thì ước lượng T gọi là một ước lượng chệch (ƯLC) của tham số 

• Độ chệch của ước lượng:

E(T) 

E(T)  

là ƯL không chệch của

là ƯL không chệch của

là ƯL không chệch của là ƯL chệch

Ước lượng KC tốt hơn

• Cho X, Y là hai ULKC của tham số 

• Có nghĩa là:

• Nếu:

• Thì Y là ước lượng tốt hơn X (do phương sai nhỏ hơn nên mức độ tập trung xung quanh tham số  nhiều hơn)

   

V X V Y

Ví dụ 1.

• Cho mẫu ngẫu nhiên (X1,X2, …, Xn)

a) CMR: các thống kê sau:

đều là các ước lượng không chệch của 

b) Trong các ước lượng trên ước lượng nào là tốt hơn

Ước lượng hiệu quả

• Thống kê T=f(X1;X2;…;Xn) gọi là ước lượng hiệu quả của tham số  nếu:

• T là ULKC của 

• V(T) nhỏ nhất so với mọi ULKC khác xây dựng trên cùng mẫu ngẫu nhiên trên

• Ta thường dùng bất đẳng thức Crammer-Rao để đánh giá

BĐT Cramer-Rao

• Cho tổng thể có dấu hiệu nghiên cứu X là bnn

có hàm mật độ xác suất dạng f(x,θ) và thỏa mãn một số điều kiện nhất định

• Cho T là một ƯLKC của θ Ta có:

Ví dụ 2.

• Cho mẫu ngẫu nhiên (X1,X2, …, Xn) lấy từ tổng thể

có kì vọng  và phương sai 2 Xét 2 thống kê:

a) CMR: cả 2 thống kê trên đều là các ước lượng không chệch của .

b) Trong hai ước lượng trên ước lượng nào là tốt hơn.

 

1

2 2

Ví dụ 3

• Cho tổng thể có phân phối chuẩn N(μ;σ2) CMR:

là ước lượng hiệu quả nhất của tham số μ

2 2

Ví dụ 3

• Theo bất đẳng thức Cramer-Rao ta có:

• Vậy thống kê là ƯLKC có phương sai nhỏ nhất trong các ước lượng không chệch của tham số μ của tổng thể

X

Ước lượng vững

• Cho thống kê T=f(X1;X2;…;Xn)

• Thống kê T gọi là ước lượng vững của tham số θ nếu:

• Khi này ta nói thống kê T hội tụ theo xác suất

đến tham số θ khi cỡ mẫu tiến về vô cùng

• Để đánh giá ước lượng vững ta dùng BĐT Chebyshev (Trê bư sép)

Tóm lại

• Ta có thể xấp xỉ các tham số trên bằng các thống kê mẫu trong thực hành, tính toán khi cỡ mẫu khá lớn

Ôn tập

• Một thống kê mẫu là một hàm của các biến ngẫu nhiên thành phần của mẫu và do đó nó là một biến ngẫu nhiên?

• Trung bình mẫu là ước lượng vững và hiệu quả của kỳ vọng của biến ngẫu nhiên gốc?

• Tổng của hai ước lượng không chệch là một ước lượng không chệch?

• Phương sai mẫu là ước lượng không chệch, hiệu quả của phương sai của bnn gốc?

Ước lượng khoảng

• Giả sử tổng thể có tham số  chưa biết Dựa vào mẫu ngẫu nhiên ta tìm khoảng (a; b) sao cho:

P(a <  <b)=(1 - ) khá lớn

Khi đó ta nói, (a;b) là khoảng ước lượng của tham

số  với độ tin cậy (1 - )

Độ tin cậy thường được cho trước và khá lớn

Ước lượng khoảng

• (a; b): khoảng tin cậy hay khoảng ước lượng

• (1 - ): độ tin cậy của ước lượng

• |b - a|=2ε: độ rộng khoảng tin cậy

• ε : độ chính xác (sai số)

• Vấn đề: tìm a, b như thế nào? (1 - ) là bao nhiêu thì phù hợp

• a, b là 2 thống kê mẫu

Bài toán

• Tổng thể có tỷ lệ p chưa biết (về tính chất A nào đó)

• Ta lấy mẫu cỡ n (trên 30)

• Tìm (a,b) sao cho:

P a  p b    

ƯLK tỷ lệTổng thể Tỷ lệ mẫu Kích thước mẫu

Khoảng tin cậy

• Hai phía:

• Chú ý:

1 2

Độ chính xác, độ tin cậy, cỡ mẫu

2 1 4

t n

Ví dụ 1

• Một nghiên cứu được thực hiện nhằm ước lượng thị phần của sản phẩm bánh kẹo nội địa đối với các mặt hàng bánh kẹo Kết quả điều tra mẫu ngẫu nhiên 100 khách hàng thấy có 34 người dùng sản phẩm bánh kẹo nội địa

• Hãy ước lượng tỷ lệ khách hàng sử dụng bánh kẹo nội địa với độ tin cậy 95%?

• Đ/S: từ 24,72% đến 43,28%

Ví dụ 2

• Một ks muốn ước lượng tỷ lệ khách có nhu cầu nghỉ nhiều hơn 1 ngày Họ muốn có độ tin cậy 96% và sai số không quá 5% Hỏi cần lấy mẫu thích hợp là bao nhiêu

• A Nếu chưa có thông tin gì về phép ước lượng này

• B Nếu dựa vào tài liệu trước đây cho biết tỷ lệ này là 25%

Phân phối của trung bình mẫu

Tổng thể Trung bình mẫu Kích thước mẫu

Tùy ý

Không chuẩn nhưng đối xứng.

Chuẩn hóa ppxsTổng thể TB mẫu Chuẩn hóa

Ước lượng cho 

• Ta thông qua thống kê Z (vì đã có ppxs xác định)

• Với cùng độ tin cậy, tìm khoảng ước lượng cho Z

• Giải bpt tìm ngược lại khoảng ước lượng cho tham số 

Khoảng tin cậy_th 1,2

• Khoảng tin cậy hai phía của μ:

Nhớ các khoảng tin cậy_th 3

• Trường hợp 3 ta thay  bằng s Nguyên nhân: S

là ước lượng không chệch, hiệu quả, vững,… của 

• Chú ý: pp Student xấp xỉ với N(0,1)

2

S t

n



  

Nhớ các khoảng tin cậy_th 4

• Trường hợp 4: phân phối Student và chưa biết

 Do đó ta dùng S và dò giá trị tới hạn trong bảng t

Ví dụ 1

• Trong kho hàng xí nghiệp A có rất nhiều sản

phẩm Lấy nn 100 sp cân lên ta thấy

a) Các sp từ 1050 gr trở lên là sp loại 1 Ước

lượng trọng lượng trung bình của các sp loại 1

với độ tin cậy 98% (giả sử trọng lượng sp có pp

chuẩn)

Xi (gr) 800-850 850-900 900-950 950-1000 1000-1050 1050-1100 1100-1150

Ví dụ 1

b) Nếu muốn ước lượng tỷ lệ sp loại 1 với độ tin

cậy 98% và độ chính xác 3% thì cần điều tra

thêm bao nhiêu sản phẩm nữa

c) Giả sử trong kho để nhầm 1000sp của xí

nghiệp B và trong 100 sp lấy ra có 9 sp của xí

nghiệp B Hãy ước lượng số sp của xí nghiệp A

trong kho với độ tin cậy 82%

Cách làm bài

• Xác định bài toán dạng gì: ước lượng hay kiểm định

• Ước lượng tham số nào: trung bình; phương sai hay

tỷ lệ tổng thể.

• Xác định khoảng tin cậy

• Từ độ tin cậy xác định giá trị tới hạn

• Tính độ chính xác 

• Thay vào công thức và kết luận.

• Các dạng bài: tìm khoảng ước lượng; tìm cỡ mẫu; tìm độ tin cậy.

Ví dụ 2

• Một công ty muốn ước lượng số tài liệu (trang) được chuyển bằng fax trong một ngày Kết quả thu thập được từ 15 ngày cho thấy trung bình một ngày có 267 trang tài liệu được chuyển bằng fax, và theo kinh nghiệm từ các văn phòng tương

tự thì độ lệch chuẩn là 32 trang Giả sử rằng số tài liệu chuyển bằng fax trong một ngày có phân phối chuẩn, với độ tin cậy 95%, hãy ước lượng số trang tài liệu được chuyển đi trong một ngày

Ví dụ 3.

• Công ty điện thoại thành phố muốn ước lượng thời gian trung bình của một cuộc điện thoại đường dài vào ngày cuối tuần với độ tin cậy 95% Mẫu ngẫu nhiên 20 cuộc gọi đường dài vào cuối tuần cho thấy thời gian điện thoại trung bình là 14,8 phút; độ lệch chuẩn hiệu chỉnh 5,6 phút Giả sử thời gian gọi có pp chuẩn

• Đáp số:  12,1791;17,4208 

Ví dụ 4

Biết lương tháng của công nhân (Đv: triệu đồng) trong một nhà máy có phân phối chuẩn Chọn ngẫu nhiên16 công nhân khảo sát:

a Giả sử  = 0,63, hãy ước lượng mức lương trung bình

hàng tháng của một công nhân với độ tin cậy 96%.

b Giả sử chưa biết  Hãy ước lượng với độ tin cậy 99%

cho mức lương trung bình Để có sai số  0,08 triệu đồng thì cần khảo sát tối thiểu bao nhiêu công nhân?

Lương tháng 0.8 1,0 1,2 1,3 1,5 1,7 2 2,3 2,5

Số công nhân 1 1 2 2 2 3 2 2 1

Ước lượng phương sai

• Tổng thể có phân phối chuẩn

• Phương sai tổng thể chưa biết

• Lấy mẫu cỡ n Tìm cách ước lượng phương sai với độ tin cậy (1-)

• Biết  hoặc chưa biết 

• Cách làm tương tự ước lượng trung bình và tỷ lệ

Phân phối của hàm PS mẫuTổng thể PS mẫu Hàm của PS mẫu

~

n

i i

X

nS Z

2

1 2

1

n

i i

Nhớ các khoảng tin cậy_TH1

Nhớ các khoảng tin cậy_TH2

Ví dụ 1

• Mức hao phí nhiên liệu cho một đơn vị sản phẩm là bnn có pp chuẩn Xét trên 25 sản phẩm ta có kết quả sau:

• Hãy ước lượng phương sai với độ tin cậy 95% trong 2 trường hợp:

a) Biết kỳ vọng là 20?

b) Không biết kỳ vọng?

X 19,5 20 20,5

Ví dụ 2

• Năng suất lúa một vùng (tạ/ha) là bnn có phân phối chuẩn Thu hoạch ngẫu nhiên 100 ha ta có số liệu sau:

• Ước lượng năng suất lúa trung bình của vùng với

độ tin cậy 95%

• Tìm khoảng tin cậy với hệ số tin cậy 95% cho

100 21

2

Bài 2

• Điểm trung bình môn Toán của 100 sinh viên dự thi môn XSTK là 6 với độ lệch chuẩn mẫu đã hiệu chỉnh là 1,5

a) Ước lượng điểm trung bình môn XSTK của toàn

thể sinh viên với độ tin cậy 95%?

b) Với sai số 0,5 điểm Hãy xác định độ tin cậy?

Bài 3

• Tuổi thọ của một loại bóng đèn được biết theo qui luật chuẩn với độ lệch chuẩn 100h.

a) Chọn ngẫu nhiên 100 bóng để thử nghiệm thì

thấy mỗi bóng tuổi thọ trung bình là 1000h Hãy ước lượng tuổi thọ trung bình của bóng đèn với

Bài 4

• Một lô hàng có 5000 sản phẩm Chọn ngẫu nhiên

400 sản phẩm từ lô hàng thì thấy có 360 sản phẩm loại A

a) Hãy ước lượng số sản phẩm loại A trong lô hàng

với độ tin cậy 96%?

b) Tìm khoảng tin cậy bên phải của tỉ lệ sản phẩm

loại A trong lô hàng ở độ tin cậy 97%?

c) Nếu muốn ước lượng số sản phẩm loại A của lô

hàng đạt độ chính xác 150 sản phẩm và độ tin cậy 99% thì phải kiểm tra bao nhiêu sản phẩm?

Bài 6

• Để ước lượng số cá trong hồ người ta đánh bắt

2000 con, đánh dấu rồi thả xuống hồ Sau đó người ta đánh lên 400 con thì thấy có 40 con bị đánh dấu

Với độ tin cậy 95%, số cá trong hồ khoảng bao nhiêu con?

Bài 7

• Để ước lượng tỷ lệ sản phẩm xấu của một kho

đồ hộp, người ta kiểm tra ngẫu nhiên 100 hộp thấy có 11 hộp xấu

a) Ước lượng tỉ lệ sản phẩm xấu của kho đồ hộp

với độ tin cậy 94%?

b) Với sai số cho phép 3%, hãy xác định độ tin

cậy?

Bài 8

• Mức hao phí nhiên liệu cho một đơn vị sản phẩm là bnn có pp chuẩn Xét trên 25 sản phẩm ta có kết quả sau:

• Hãy ước lượng phương sai với độ tin cậy 95% trong 2 trường hợp:

a) Biết kỳ vọng là 20?

b) Không biết kỳ vọng?

X 19,5 20 20,5

700- 900

800- 1000

900- 1100

1000- 1200

1100- 1300

1200- 1400

1300- 1500

1400-Số

ngày

Bài 9

a) Ước lượng số lượt gửi xe trung bình một ngày ở FTU

với độ tin cậy 99%.

b) Khi ước lượng tỉ lệ những ngày đông với mẫu trên,

nếu muốn độ tin cậy là 95% và độ chính xác tối đa 8% thì cần điều tra tối thiểu bao nhiêu ngày?

c) Ước lượng độ lệch chuẩn của số lượt gửi một ngày

với độ tin cậy 95% biết

• Số lượt xe gửi trung bình là 1000 lượt/ngày

• Không biết số lượt gửi xe trung bình

Bài 10

• Trọng lượng các bao gạo được đóng gói tự động với

trọng lượng qui định là 27,5 kg Kiểm tra ngẫu nhiên 41

bao trong kho gồm 2000 bao gạo, ta thấy:

a) Với mẫu trên, ước lượng trọng lượng trung bình một

bao gạo với độ tin cậy 95%.

b) Với mẫu trên, ước lượng số bao gạo từ 27 kg trở

xuống trong kho với độ tin cậy 90%.

Trọng lượng bao (kg) 25 26 27 28 29