Tài liệu Ôn thi vip Toán ĐH 2011 số 4

Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 có tất cả các cạnh bằng a, góc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 300.. Hình chiếu H của điểm A trên mặt phẳng A1B1C1 thuộc đờng thẳng B1C1.. Tỡm giỏ

http://ductam_tp.violet.vn/ đề thi thử đại học lần thứ nhất khối A Trờng THPT Trần Hng Đạo Môn: Toán Thời gian: 180 phút

I.Phần chung cho tất cả thí sinh (7 điểm)

Câu I (2 điểm) Cho hàm số có đồ thị là (C)

1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

2.Chứng minh đờng thẳng d: y = -x + m luôn luôn cắt đồ thị (C) tại hai

điểm phân biệt A, B Tìm m để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất

Câu II (2 điểm)

1.Giải phơng trình 9sinx + 6cosx – 3sin2x + cos2x = 8

2.Giải bất phơng trình

Câu III (1 điểm) Tìm nguyên hàm

Câu IV (1 điểm) Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 có tất cả các cạnh bằng a, góc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 300 Hình chiếu H của điểm A trên mặt phẳng (A1B1C1) thuộc đờng thẳng B1C1 Tính khoảng cách giữa hai đờng thẳng AA1 và B1C1 theo a

Câu V (1 điểm) Cho a, b, c và Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức

II.Phần riêng (3 điểm)

1.Theo chơng trình chuẩn

Câu VIa (2 điểm).

1.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đờng tròn (C) có phơng trình

(x-1)2 + (y+2)2 = 9 và đờng thẳng d: x + y + m = 0 Tìm m để trên đờng thẳng d có duy nhất một điểm A mà từ đó kẻ đợc hai tiếp tuyến AB, AC tới đờng tròn (C) (B, C là hai tiếp điểm) sao cho tam giác ABC vuông

2.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(10; 2; -1) và đờng

qua A, song song với d và khoảng cách từ d tới (P) là lớn nhất

Câu VIIa (1 điểm) Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau và khác 0

mà trong mỗi số luôn luôn có mặt hai chữ số chẵn và hai chữ số lẻ

2.Theo chơng trình nâng cao (3 điểm)

Câu VIb (2 điểm)

1.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đờng tròn (C): x2 + y2 - 2x + 4y

- 4 = 0 và đờng thẳng d có phơng trình x + y + m = 0 Tìm m để trên đờng thẳng d có duy nhất một điểm A mà từ đó kẻ đợc hai tiếp tuyến AB, AC tới đờng tròn (C) (B, C là hai tiếp điểm) sao cho tam giác ABC vuông

2.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(10; 2; -1) và đờng

A, song song với d và khoảng cách từ d tới (P) là lớn nhất

Câu VIIb (1 điểm) Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau mà trong mỗi

số luôn luôn có mặt hai chữ số chẵn và ba chữ số lẻ

-Hết-đáp án đề thi thử đại học lần 1 khối a – môn toán

I.Phần dành cho tất cả các thí sính

m

I

(2

điể

m)

1 (1,25 điểm)

a.TXĐ: D = R\{-2}

b.Chiều biến thiên

+Giới hạn:

Suy ra đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng là x = -2 và

một tiệm cận ngang là y = 2

0,5

+

Suy ra hàm số đồng biến trên mỗi khoảng và 0,2

5 +Bảng biến thiên

x -2

y’ + +

2

y

2

0,2 5

c.Đồ thị:

Đồ thị cắt các trục Oy tại điểm (0; ) và cắt trục Ox tại

điểm( ;0)

Đồ thị nhận điểm (-2;2) làm tâm đối xứng 0,25

2 (0,75 điểm)

Hoành độ giao điểm của đồ thị (C ) và đờng thẳng d là

nghiệm của phơng trình

x

y

O 2 -2

ờng thẳng d luôn luôn cắt đồ thị (C ) tại hai điểm phân

biệt A, B

Ta có yA = m – xA; yB = m – xB nên AB2 = (xA – xB)2 + (yA – yB)2

= 2(m2 + 12) suy ra AB ngắn nhất  AB2 nhỏ nhất  m = 0

Khi đó

0,5

II

(2

điể

m)

1 (1 điểm)

Phơng trình đã cho tơng đơng với

9sinx + 6cosx – 6sinx.cosx + 1 – 2sin2x = 8

 6cosx(1 – sinx) – (2sin2x – 9sinx + 7) = 0

 6cosx(1 – sinx) – (sinx – 1)(2sinx – 7) = 0

0,5

 (1-sinx)(6cosx + 2sinx – 7) = 0



0,2 5

5

2 (1 điểm)

ĐK:

Bất phơng trình đã cho tơng đơng với

BPT (1) 

0,5

0,2 5 Vậy BPT đã cho có tập nghiệm là:

III

1

điể

0,5

Câu

IV

1

điể

m

Do nên góc là góc giữa AA1 và (A1B1C1),

theo giả thiết thì góc bằng 300 Xét tam giác vuông

AHA1 có AA1 = a, góc =300 Do tam giác

A1B1C1 là tam giác đều cạnh a, H thuộc B1C1 và

nên A1H vuông góc với B1C1 Mặt khác nên

0,5

Kẻ đờng cao HK của tam giác AA1H thì HK chính là khoảng

cách giữa AA1 và B1C1

0,2 5

Câu

V

1

điể

m

Ta cú: P + 3 =

Để PMin khi a = b = c = 1

0,5

0,5

Phần riêng.

1.Ban cơ bản

Câ

u

VIa

2

1.( 1 điểm)

Từ phơng trình chính tắc của đờng tròn ta có tâm I(1;-2), R

= 3, từ A kẻ đợc 2 tiếp tuyến AB, AC tới đờng tròn và

=> tứ giác ABIC là hình vuông cạnh bằng 3 0,5

A1

C

C

1

B1

K

H

m

0,5

2 (1 điểm)

Gọi H là hình chiếu của A trên d, mặt phẳng (P) đi qua A và

(P)//d, khi đó khoảng cách giữa d và (P) là khoảng cách từ H

đến (P)

Giả sử điểm I là hình chiếu của H lên (P), ta có => HI

lớn nhất khi

Vậy (P) cần tìm là mặt phẳng đi qua A và nhận làm véc

tơ pháp tuyến

0,5

vì H là hình chiếu của A trên d nên

là véc tơ chỉ phơng của d) Vậy (P): 7(x – 10) + (y – 2) – 5(z + 1)

= 0

 7x + y -5z -77 = 0

0,5

Câ

u

VIIa

1

điể

m

Từ giả thiết bài toán ta thấy có cách chọn 2 chữ số chẵn

(vì không có số 0)và cách chọn 2 chữ số lẽ => có

= 60 bộ 4 số thỏa mãn bài toán

0,5

Mỗi bộ 4 số nh thế có 4! số đợc thành lập Vậy có tất cả

.4! = 1440 số

0,5

2.Ban nâng cao.

Câ

u

VIa

2

điể

m

1.( 1 điểm)

Từ phơng trình chính tắc của đờng tròn ta có tâm I(1;-2), R

= 3, từ A kẻ đợc 2 tiếp tuyến AB, AC tới đờng tròn và =>

0,5

2 (1 điểm)

Gọi H là hình chiếu của A trên d, mặt phẳng (P) đi qua A và

(P)//d, khi đó khoảng cách giữa d và (P) là khoảng cách từ H

đến (P)

Giả sử điểm I là hình chiếu của H lên (P), ta có => HI lớn nhất khi

Vậy (P) cần tìm là mặt phẳng đi qua A và nhận làm véc

tơ pháp tuyến

0,5

vì H là hình chiếu của A trên d nên

là véc tơ chỉ phơng của d) Vậy (P): 7(x – 10) + (y – 2) – 5(z + 1) =

0

 7x + y -5z -77 = 0

0,5

Câ Từ giả thiết bài toán ta thấy có cách chọn 2 chữ số chẵn 0,5

u

VIIa

1

điể

m

(kể cả số có chữ số 0 đứng đầu) và =10 cách chọn 2 chữ số

lẽ => có = 100 bộ 5 số đợc chọn

Mỗi bộ 5 số nh thế có 5! số đợc thành lập => có tất cả 5!

= 12000 số

Mặt khác số các số đợc lập nh trên mà có chữ số 0 đứng đầu là

Vậy có tất cả 12000 – 960 = 11040 số thỏa mãn bài toán

0,5