Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường parabol đã cho và tiếp tuyến vừa xác định ở trên.. Quay quanh Ox.[r]
Trang 1I/ CÁC BÀI TOÁN VỀ HÀM SỐ:
Tính đơn diệu của hàm số:
1 Cho hàm số : 1 3 1 2 3 4
3
(1) m là tham số.
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m 0
2/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C), trục hồnh và hai đường thẳng x 1; x 1
3/ Tìm m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng 0;3
2 Cho hàm số: y= 1
3 x
3− 1
2 (sin a+cos a) x
2
+ ( 3 4 sin 2a ) x tìm a để hàm số luơn đồng biến
3 Cho y=x3
+( a −1) x2
+ ( a2−4) x+9 tìm a để hàm số luơn đồng biến
4 Cho y= 1
3 ( a+1) x
3
−(a −1 ) x2+ (3 a −8) x+ a+2 Tìm a để hàm số luơn nghịch biến
5 Cho hàm số y=x3+3 x2
+( a+1) x +4 a Tìm a để hàm số nghịch biến trên (-1;1)
6 Cho hàm số y= x
2
− 8 x
8 ( x+a) Tìm a để hàm số đồng biến trên [1;+∞).
7 Cho hàm số y= −2 x2−3 x +a
2 x+1 Tìm a để hàm số nghịch biến trên (-1/2; +∞).
8 Cho hàm số y= x
2
−2 ax +a+2
x − a tìm a để hàm số đồng biến với mọi x > 1
9.Cho hàm số y= 1
3 mx
3
− (m−1 ) x2+ 3 (m−2) x+ 1
3 Tìm m để hàm số đồng biến [2;+∞).
10 Cho hàm số y=x3+ 3 x2+ mx+m tìm m để hàm số đồng biến trên một đoạn cĩ độ dài đúng bằng 1
11 Cho: y=x3− 3 ax2+3 ( a2− 1) x +a2− a3 .Tìm a để hàm số đồng biến với
∀ x ∈ [ −3 ;− 1 ] ∪ [ 0 ;2 ]
Bài toán tiếp tuyến cơ bản:
1 Cho hàm số y=x3− 3 x2+2 viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến qua A(-1;-2)
2 Cho hàm số y=f (x )= 3 x +2
x +2 Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp đi qua A(1;3)
3 Cho hàm số y=f (x )= x
2
− x+1
x Viết phương trình tiếp tuyến qua A(2;-1)
4 Cho hàm số y=f (x )= 1
2 x
4
2 x
2 Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến qua gốc O(0;0)
5 Cho hàm số y=x3− 3 x (1)
a) Chứng minh rằng khi m thay đổi, đường thẳng y=m ( x+1 )+2 luơn cắt đồ thị (1) tại điểm A cố định
b) Tìm m để đường thẳng đĩ cắt (1) tại 3 điểm A, B, C khác nhau sao cho tiếp tuyến tại B và C vuơng gĩc vơi nhau
6 Cho hàm số y= x
2
−3 x +2
x tìm trên đường thẳng x =1 những điểm M sao cho từ M kẻ được hai tiếp
tuyến tới (C) mà hai tiếp tuyến đĩ vuơng gĩc
Cực trị :
1 Cho hàm số y=(m+2) x3+3 x2+mx −5 Tìm m để hàm số cĩ cực đại, cực tiểu
Trang 22 Cho hsố y= 1
3 mx
3− (m−1 ) x2
+ 3 (m−2) x+ 1
2 Tìm m để hsố đạt cực trị tại x1, x2 và x1 + 2x2 = 1
3 Cho hàm số y= − x
2
+3 x+m
x − 4 Tìm m để | yCD− yCT| =4
4 Cho hàm số y=f (x )=x3−( m−3 ) x2+ mx+m+5 Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 2
5 Cho hàm số y=f (x )=mx3+3 mx2−(m −1) x −1 Tìm m để hàm số khơng cĩ cực trị
6 Cho hàm số y=f (x )=x4+4 mx3+3 (m+1) x2+ 1 Tìm m để hàm số chỉ cĩ cực tiểu khơng cĩ cực đại
7 Cho hàm số y= x
2
+ mx− m+8
x − 1 Tìm m để hàm số cĩ cực đại, cực tiểu nằm về hai phía đường thẳng
9 x − 7 y −1=0
8 Cho hsố y=2 x − 1+ 2 m
x − 1 a.Tìm m để hàm số cĩ cực đại, cực tiểu b.Tìm quỹ tích các điểm cực
đại
9 Cho hàm số: y=4 x3− mx2− 3 x+m Cmr ∀ m hàm số luơn cĩ cực đại, cực tiểu trái dấu
10 Cho hàm số y= − x2+mx −m2
x − m ( Cm) Tìm m để (Cm) cĩ cực đại, cực tiểu Lập phương trình đường
thẳng đi qua hai điểm cực đại, cực tiểu
Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số:
1 Tìm giá trị lớn nhất và nhở nhất của hàm số: y= x +1
√x2+1 trên đoạn [-1;2]
2 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: a) y=x + √ 4 − x2 b) y=xex− 1 trên [-2;2] c) y=log1
3
( x2+ x − 2) trên [3;6] d) y= | x2+2 x −3 | + 3
2 ln x trên [ 1 2 ; 4 ]
3 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y= | x3+3 x2+72 x +90 | trên [-5;5]
1 y=− sin 3 x −3 sin3x 2 y=sin x −cos2x + 1
2 3 y=4 cos2x +3 √ 3 sin x +7 sin2x
4 y=x +cos2x trên [ 0; π
4 ] 5 y=5 cos x −cos 5 x trên [ − π 4 ;
π
4 ]
II/ NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN
1 Tìm nguyên hàm của hàm số sau
1 y= 3 x +1
( x+ 1)3 2 y= 1
x4−2
3 x2+ 3 x +3
x3−3 x+2
y=e3 x sin 4 x
2 Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) khi biết f(x) = cos 5 x cos 3 x và G ( π 4 ) =1
3 Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) biết f ( x )= e
cos 24 x
.sin 8 x
4
√ ecos24 x+ 15 và G ( π 8 ) =0
4 Tính các tích phân:
Trang 31. ∫
0
π
0
π
2
cos x
√ 2+cos 2 x dx
3 ∫
0
π
2
dx sin2x cos2x
4 ∫
π
4
π
2
dx sin4x 5
∫
0
π
2
4 sin3xdx
1+cos x 6. ∫
0
1
e2 xdx
1+e− x 7. ∫
0
π
x sin x
2+cos2x dx 8. ∫
0
2 π
√ 1+sin 2 x dx 9
∫
0
π
2
√sin x
√sin x +√cos xdx
10 ∫
1
e
√ 1+ln x
x dx 11. ∫
1
e
sin ( ln x ) dx
12 ∫
1
e
( x ln x)2dx (PVBC:98) 13 ∫
0
π
2
exsin2
(πx ) dx 14 ∫
1
2
√ x ln xdx 15
∫
0
7
3
( x+1 )dx
3
√ 3 x+2 dx
(GT:89)
16 ∫
0
2
x2
√ 4 − x2dx 17 ∫
0
(π 2)3
sin3
√ x dx (KT:01) 18 ∫
0
π
2
1+sin x 1+cos x e
xdx 19.
∫
π
6
π
3
√ tg2x+cot g2x − 2 dx (Mỏ:00 )
20 Tìm a, b để hàm số f ( x )= a
x2+
b
x + 2 thoả mãn điều kiện: f
'
( 1 2 ) = −4 và
∫
1
2
1
f(x)dx=2 −3 ln 2
III/ DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG, THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY :
1 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
1 y=x ln2x ; trục Ox; x = 1; x = e 2 y=e x ; y=e − x , x=1 3
y= | x2−4 x+3 | ; y=3
4 x − y3+1=0 ; x+ y − 1=0 ; y=0 5 ( C1) ; y = 27
x ( P1) : y=x
2; ( P2) : y= x2
8
6 ( P): y=x2− 4 x +5 và 2 tiếp tuyến của (P) tại 2 điểm A(1;2) và B(4;5)
2 Trên mặt phẳng toạ độ cho 2 đường Parabol: y=8 − 3 x −2 x2 và y=2+9 x −2 x2
1 Xác định a và b sao cho đường thẳng y=ax +b đồng thời là tiếp tuyến của 2 parabol Xác đinh toạ
độ của các tiếp điểm
2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường parabol đã cho và tiếp tuyến vừa xác định ở trên
3 Tính thể tích các vật thể sinh ra giới hạn bởi các hình phẳng được giới hạn:
1.(C): y=xe x ; x = 1; y = 0 quay quanh Ox 2.(C): y=sin x
2 .cos x ;y = 0; x = 0; x=
π
2 quay
quanh Ox
3 ( P): y=( x − 2)2;( Δ): y=4 a Quay quanh Ox b Quay quanh Oy
Trang 4IV/ PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG – ĐƯỜNG THẲNG – MẶT CẦU :
1 Viết phương trình đường thẳng qua điểm A(3;2;1) cắt và vuơng gĩc với đường thẳng (Δ) cĩ phương
trình: x
2 =
y
4 =
z +3
1
2 Viết phương trình đường thẳng qua điểm M(-4;-5;3) và cắt hai đường thẳng
( D1) : x +1
3 =
y+3
z −2
2 =
y+1
3 =
z −1
−5
3 Viết phương trình đường thẳng qua điểm A(0;1;1) vuơng gĩc với (D): x −1
( D') :
x+ y − z +2=0
x +1=0
¿ {
(ĐHD:98)
4 Cho (P): 2 x + y +z −1=0 và (d ) : x − 1
2 = y=
z+2
−3
Viết phương trình đường thẳng qua giao điểm của (d) và (P) vuơng gĩc với (d) và nằm trong (P)
5 Viết phương trình đường thẳng qua M(-1;2;-3) và vuơng gĩc với ⃗ a (6 ;−2 ;−3 ) và cắt (D):
x −1
3 =
y+1
2 =
z −3
5
6 Cho A(2;-1;1),
( Δ ):
y+z − 4=0
2 x − y − z +2=0
¿ {
a Viết phương trình (P) qua A và vuơng gĩc với (Δ)
b Xác định toạ độ điểm B đối xứng với A qua (Δ)
7 Viết phương trình đường thẳng (d) vuơng gĩc với mặt phẳng (P): x + y + z = 1 và cắt hai đường thẳng:
( d1) : x −1
2 =
y+1
−1 = z ; ( d2) :
x − 2 y +z +4=0
2 x − y +2 z+1=0
¿ {
8 Cho mặt phẳng (P) qua A(0;0;1), B(-1;-2;0), C(2;1;-1) a Viết phương trình mặt phẳng (P).
b Tìm những điểm các đều 3 điểm A, B, C
9 Cho
(d ) :
2 x − y −11=0
x − y − z +5=0
¿ {
( Δ ): x −5
2 =
y −2
1 =
z− 6
3
a.CMR: (d) và (Δ) thuộc một mặt phẳng b Viết phương trình mặt phẳng đĩ
c Viết phương trình hình chiếu song song của (d) theo (Δ) lên mặt phẳng (P)
3 x −2 y −2 z −1=0
10 Cho ( Δ1) : x − 3
y −1
2 =
z − 1
3 ; ( Δ2) : x − 7
1 =
y − 3
2 =
z −9
− 1
Hãy viết phương trình chính tắc của đường thẳng (Δ3) đối xứng với (Δ2) qua (Δ1) (tức là điểm K’ bất kỳ thuộc (Δ3) luơn cĩ điểm K thuộc (Δ2) đối xứng với K’ qua (Δ1) và ngược lại)
11 Cho A(0;0;-3), B(2;0;-1) và mặt phẳng 3 x − 8 y +7 z −1=0
a Tìm toạ độ giao điểm I của đường thẳng AB và mặt phẳng (P)
b Tìm toạ độ C ∈(P) sao cho tam giác ABC đều
Trang 512 Cho (D1): x −7
1 =
y −3
2 =
z − 9
−1 (D2):
¿
x+2 y −2 z+9=0
y − z +1=0
¿ {
¿
a CMR: (D1) ┴ (D2)
b Viết phương trình đường vuông góc chung của (D1) và (D2)
13 Cho các điểm A(-2;1;0), B(-2;0;1), C(1;-2;-6), D(-1;2;2)
1 Tính thể tích khối tứ diện ABCD
2 Viết phương trình mặt phẳng (ABC), (ABD) Viết phương trình tham số của CD
3 Tính khoảng cách giữa AB và CD
4 Tìm trên CD một điểm I sao cho I cách đều (ABC) và (ABD)
5 Cho G là điểm thoả mãn GA→ + GB→ +GC→ +GD→ =→0 Xác định xem G nằm trong tứ diện
ABCI hay tứ diện ABDI
14.Trong không gian với hệ toạ độ trực chuẩn Oxyz cho hai đường thẳng:
( Δ) :
x − 8 z+23=0
4 y − 4 z +10=0
¿ {
;
( d ):
x − 2 z −3=0
y +2 z+2=0
¿ {
1 Viết phương trình mặt phẳng chứa (Δ) và chứa đường vuông góc chung (Δ) và (d)
2 Lập phương trình đường thẳng qua M(1;-1;-2) vuông góc vơi (Δ) và cắt (d)
3 Viết phương trình song song với Oz và cắt cả hai đường thẳng (Δ) và (d)
15 Cho A(0;1;2), B(2;3;1), C(2;2;-1)
1 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, B, C Chứng minh rằng O cũng nằm trên mặt phẳng (P)
2 Chứng minh rằng tứ giác OABC là hình chữ nhật, tính diện tích hình chữ nhật
3 Tính thể tích hình chóp S.OABC biết S(9;0;0)
4 Viết phương trình phân giác trong góc B của Δ ABC
5 Cho
(d ) :
x=1+2 t y=− 1− t
z =3+t
¿ { {
(là tham số) Viết phương trình đường vuông góc chung của (d) và AB
16 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M(0;0;1), N(3;0;0) và tạo với mặt phẳng (Oxy) góc π
3
17 Viết phương trình mặt cầu có tâm I(2;3;-1) và cắt
(d ):
5 x − 4 y +3 z+20=0
3 x − 4 y +z −8=0
¿ {
tại hai điểm A và B sao cho AB = 16
Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc
(d ) :
2 x +4 y − z −7=0
4 x +5 y +z − 14=0
¿ {
và tiếp xúc với hai mặt phẳng có phương
trình (P): x + 2y – 2z – 2 = 0 và (Q): 2x + 2y -2z + 4 = 0
18 Cho mặt phẳng (P): 16x – 15y – 12z + 75 =0
a Lập phương trình mặt cầu (S) tâm là gốc toạ độ O, tiếp xúc với mặt phẳng (P)
b Tìm toạ độ tiếp điểm H của mặt phẳng (P) với mặt cầu (S)
c Tìm điểm đối xứng của gốc toạ độ O qua mặt phẳng (P)
Trang 619.(S): x2
+y2
+z2− 2 x − 4 y − 6 z − 67=0 ,(Δ):
¿
3 x −2 y +z − 8=0
2 x − y +3=0
¿ {
¿
; (Q) : 5 x+2 y +2 z −7=0
a Lập phương trỡnh mặt phẳng chứa (Δ) và tiếp xỳc với (S)
b Lập phương trỡnh hỡnh chiếu vuụng gúc của (Δ) lờn mặt phẳng (Q)
20 Viết phương trỡnh mặt phẳng chứa đường thẳng (d) và tiếp xỳc với mặt cầu (S) cú phương trỡnh:
(S) x2
+ y2
+ z2+2 x −6 y +4 z − 15=0 (d)
¿
8 x −11 y+8 z −30=0
x − y − 2 z =0
¿ {
¿
21 Trong khụng gian với hệ trục toạ độ Đề cỏc vuụng gúc Oxyz, cho bốn điểm A(1;2;2), B(-1;2;1),
C(1;6;-1), D(-1;6;2)
a CMR: ABCD là tứ diện cú cỏc cặp cạnh đối bằng nhau
b Tớnh khoảng cỏch giữa AB và CD
c Viết phương trỡnh mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD
22 Trong khụng gian với hệ trục toạ độ Đề cỏc vuụng gúc Oxyz cho hai đường thẳng (d1) (d2) cú phương
trỡnh
( d1) :
x=2 t
y=t
z =4
¿ { {
( d2) :
x+ y −3=0
4 x +4 y +3 z −12=0
¿ {
a CMR: (d1) và (d2) chộo nhau
b Tớnh khoảng cỏch giữa (d1) và (d2)
c Viết phương trỡnh mặt cầu (S) cú đường kớnh là đoạn vuụng gúc chung của (d1) và (d2)
V/ SOÁ PHệÙC:
1 Tìm môđun của số phức z = 4 – 3i + (1-i)3
2 Tìm phần thực và phần ảo của số phức z biết số phức z thoả mãn:
2
(1 ) (2 i i z ) 8 i (1 2 ) i z
3 Giải phơng trình trên tập số phức: 1 x2 4 x 5= 0 2 2iz + 1 - i = 0 3 z4 6 z2 25 0
4 3 x 2 (2 y 1) i x 1 ( y 5) i
5
2
2
6
2
2
3
c x
4 Trên mặt phẳng phức tìm các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn: z i 2
5 Giả sử M(z) là điểm trên mặt phẳng toạ đô biểu diễn số phức z Tìm tập hợp những điểm M(z) thỏa mãn
điều kiện sau: a) z 1 i 2
6 Tính 1
1
1 3
2 2 i 2 1 i i 2 i 3 i 2009
3
100 (1 ) i
Trang 77 Cho số phức
Hãy chứng minh rằng:
;
1
z
8 Tìm số phức z, nếu
2 z 0
9 Tìm căn bậc hai của các số phức sau:
10 Chứng minh rằng nếu một phơng trình bậc hai với hệ số thực có nghiệm phức thì cũng nhận
là nghiệm.
11 Tìm m để phơng trình: x2 mx 3 i 0 có tổng bình phơng 2 nghiệm bằng 8.
12 Giải hệ phơng trình
2 2
1 2
1 2
13 Viết các số phức sau dới dạng lợng giác:
1 3 )(1 3)(1 ) )
1 ) sin cos
i
i
14 Tuỳ theo góc , hãy viết số phức sau dới dạng lợng giác: (1 cos i sin )(1 cos i sin )