Chuyên đề Mặt tròn xoay - Mặt cầu

Bài t p 3: Cho hình chóp S.ABCDcó áy ABCD là hình vuông và SA vuông góc v i áy... ng th ng i qua tâm..[r]

Ch 1: M T NÓN TRÒN XOAY

I- LÝ THUY T:

1/ nh ngh a:

Cho ng th ng ∆ M t ng th ng l c t ∆ t i O và t o

v i ∆ m t góc α không i ( 0 0)

0 <α <90

M t tròn xoay sinh b i ng th ng l khi quay quanh ∆ g i là

m t nón tròn xoay (hay n gi n là m t nón)

∆ : tr c c a m t nón

l : ng sinh c a m t nón

O : nh c a m t nón

2α : góc nh

2/ Hình nón và kh i nón:

a/ Hình nón: Cho m t nón N v i tr c ∆ ,

nh O và góc nh là 2α

G i ( )P là m t ph ng vuông góc v i ∆ t i I

(I ≠O), c t m t ph ng theo thi t di n là ng tròn ( ); ( )P' là m t ph ng vuông góc v i ∆

t i O

Khi ó ph n c a m t nón N gi i h n b i hai m t ph ng( )P và ( )P' cùng v i ng tròn ( )

c g i là hình nón

b/ Kh i nón:

Là ph n không gian gi i h n b i hình nón, k c hình nón ó

Nh n xét:

+ Thi t di n c a hình nón và m t ph ng qua nh c a hình nón là 1 tam giác cân t i nh

m t nón (có c nh tam giác là l )

+∀M ∈C O R( , ):SM = : cách xác nh 1 l ng sinh c a hình nón

3/ Di n tích hình nón và th tích kh i nón:

Cho hình nón N có chi u cao h, ng sinh l và bán kính áy R

* Di n tích xung quanh và di n tích toàn ph n:

2

xq

2

tp xq

S =S +S = πRl+ πR

∆

O

l α

P'

P

I

α

r l O

∆

Giáo viên: LÊ BÁ B O T Toán THPT Phong i n 2

II- BÀI T P MINH H A:

Bài t p 1: Cho hai i m , A B c nh M t ng th ng d thay i luôn i qua A và cách

B m t o n không i

2

= AB

a Ch ng minh r ng d luôn n m trên m t m t nón tròn xoay

Bài gi i:

Xét tam giác AHB vuông t i H:

0

1

2

HB AB

Suy ra ng th ng d là ng sinh c a m t nón v i góc

nh 2α =1200 (không i), tr c là ng th ng AB (c nh)

Nh n xét:

ch ng minh m t ng th ng ã cho luôn n m trên

m t m t nón tròn xoay, c n ch rõ m t tròn xoay v i các thu c tính không i

Bài t p 2: Cho kh i nón tròn xoay có ng cao h=20cm, bán kính áy R=25cm M t

m t ph ng( )P i qua nh c a kh i nón và có kho ng cách n tâm O c a áy là 12cm Hãy xác nh thi t di n c a ( )P v i kh i nón và tính di n tích thi t di n ó

5 41 cm

l = SO +OA =

Thi t di n tà tam giác SAB cân t i S G i I là trung i m AB

Ta có: OI AB AB (SOI)

⊥

⊥

⊥ suy ra (SOI) (⊥ SAB) và (SOI) (∩ SAB)=SI

D ng OH ⊥SI OH ⊥(SAB) hay d(O SAB,( ) )=OH

Xét tam giác SOI vuông t i O:

225

OH =OS +OI ⇔ OI =OH −OS = suy ra OI =15 cm

Xét tam giác OIA vuông t i I: AI = OA2−OI2 =20 cm AB=40 cm

và SI = SA2−AI2 =25 cm

V y 1 1.40.25 500 cm2

SAB

Bài t p 3: Cho hình nón nh S, ng cao SO, A và B là hai i m thu c ng tròn áy

sao cho kho ng cách t O n AB b ng a và SAOˆ =30 , 0 SABˆ =600 Tính dài ng sinh

c a hình nón theo a

Bài gi i:

t SA= G i I là trung i m ABl OI AB

⊥

Xét tam giác SOA vuông t i O:

2

SA

600

S

A

B O

I

I O

H B

A

S

H

d

d

α

h

h

B A

Lop12.net

2

SI

SA

Xét tam giác SOI vuông t i O:

2

SO +OI =SI ⇔ +a = ⇔ =l a

Nh n xét: Hoàn toàn chúng ta có th bi u di n l theo OA và AI, áp d ng nh lí Pitago trong tam giác AIO

Bài t p 4: Cho kh i nón có bán kính áy r = 12 cm và có góc nh là 0

120

α = Tính di n tích c a thi t di n i qua hai ng sinh vuông góc v i nhau

Bài gi i:

Nh n xét: Thi t di n là tam giác cân SAB v i SA=SB=l

Xét tam giác SOA vuông t i O:

2

OSA

α

cm

sin

2

l

α

Lúc ó:

2

96 cm

SAB

Bài t p 5: Cho tam giác ABC vuông t i A G i V V1, 2, V3 l n l t là th tích c a kh i nón sinh ra khi l n l t cho tam giác ABC quay quanh AB, AC và BC CMR: 2 2 2

V =V +V Bài gi i:

G i H là hình chi u c a A trên BC

2 1

2 2

1 3 1 3

Nh n xét: Kh i tròn xoay nh n c khi quay tam giác ABC quanh BC là h p c a hai kh i nón chung ng tròn áy v i bán kính AH

3

V = BH πAH + CH πA H

V +V = AB π AC + AC π AB

600

S

A

B O

C

B

A

C

H

A' B

A

C

Giáo viên: LÊ BÁ B O T Toán THPT Phong i n 4

2

3 2

3

π

π III- BÀI T P T LUY N:

Bài t p 1: Cho hình chóp t giác u S.ABCD c nh áy b ng a, c nh bên h p v i áy m t góc

600 G i (T) là ng tròn ngo i ti p áy ABCD Tính th tích hình nón có nh S và áy (T) Bài t p 2:Trong m t ph ng ( )P cho i m O c nh Xét nh"ng ng th ng d thay i luôn i qua O và h p v i ( )P m t góc 300 Ch ng minh r ng d luôn n m trên m t m t nón xác nh

Bài t p 3:Cho hình l p ph ng ABCD A B C D ' ' ' ' c nh a Tính di n tích xung quanh c a hình nón có nh là tâm O c a hình vuông ABCD và áy là hình tròn n i ti p hình vuông ' ' ' '

A B C D

Bài t p 4:Thi t di n qua tr c c a m t hình nón là m t tam giác vuông cân có c nh góc

vuông b ng a

a) Tính di n tích xung quanh và di n tích toàn ph n c a hình nón

b) Tính th tích c a kh i nón t ng ng

c) M t thi t di n qua nh và t o v i áy m t góc 600

Tính di n tích c a thi t di n này Bài t p 5:Cho S.ABC là hình chóp tam giác u có c nh bên b ng a và có góc gi"a các m t bên và m t áy là α M t hình nón nh S có ng tròn áy n i ti p tam giác u ABC Hãy tính di n tích xung quanh c a hình nón này theo a và α

Bài t p 6:Tính th tích kh i nón có thi t di n qua tr c là m t tam giác u c nh a?

Bài t p 7:Xét tam giác vuông OAB, vuông t i O có OA=4, OB= N u tam giác vuông 3 quay quanh c nh OA thì m t nón t o thành có di n tích xung quanh b ng bao nhiêu?

Bài t p 8:M t hình nón có dài ng sinh b ng l và góc gi"a ng sinh và m t áy

b ng α Tính th tích kh i nón

Bài t p 9:N u hình nón có góc nh b ng 0

60 và di n tích áy b ng 9π thì th tích hình nón b ng bao nhiêu?

Bài t p 10:Tính di n tích thi t di n l n nh!t c a hình nón có dài ng sinh l , chi u cao

h khi c t b i m t ph ng qua nh hình nón?

Lop12.net

Ch 2: M T TR TRÒN XOAY

I- LÝ THUY T:

1) nh ngh a:

Cho ng th ng ∆ M t ng th ng l song song v i ∆ và

cách ∆ m t kho ng không i R M t tròn xoay sinh b i ng

th ng l khi quay quanh ∆ g i là m t tr tròn xoay

(hay n gi n là m t tr )

∆ : tr c c a m t tr

l : ng sinh c a m t tr

R : bán kính c a m t tr

2) Hình tr và kh i tr :

a) Hình tr : Cho m t tr có tr c ∆ , ng sinh l và bán kính R

C t m t tr b i 2 m t ph ng ( )P và ( )P' cùng vuông góc v i ∆ ta c thi t di n là 2 ng tròn ( )C và (C/)

Khi ó ph n c a m t tr gi i h n b i hai m t ph ng ( )P và ( )P' cùng v i hai ng tròn ( )C và (C/) c g i là hình tr

b) Kh i tr :

Là ph n không gian gi i h n b i hình tr , k c hình tr ó

3) Di n tích hình tr và th tích kh i tr :

Cho hình tr có chi u cao h, ng sinh l và bán kính áy R

* Di n tích xung quanh và di n tích toàn ph n:

Sxq =( ) ( )=2πRl

2

tp xq

S =S +S = πRl+ πR

Nh n xét:

+ Rõ ràng h =l

+ M t ph ng b t kì song song v i tr c c a tr (hay qua tr c) c t hình tr theo thi t di n là hình ch nh t

+∀M ∈C O R( , ):MN//OO': cách xác nh 1 ng sinh c a hình tr

II- BÀI T P MINH H A:

Bài t p 1: Cho m t ng tròn n m trên m t ph ng ( )P T m t i m M n m trên ng tròn ta k# ng th ng m vuông góc v i m t ph ng ( )P Ch ng minh r ng nh"ng ng

th ng m nh v y n m trên m t m t tr tròn xoay

Bài gi i:

Do ng tròn (O) có bán kính R không i nên ng th ng

m song song và cách 1 kho ng R v i ng th ng OO’

qua O, vuông góc (P)

T ây suy ra, ng th ng m luôn n m trên m t tr v i

tr c c a tr là ng th ng OO’ và có h=R (y.c.b.t)

Nh n xét: ch ng minh m t ng th ng ã cho luôn n m

trên m t m t tr tròn xoay, c n ch rõ m t tròn xoay v i các

thu c tính không i

∆

P

M m m

A

M

O

O'

R

M

l h

l

R O

O'

Giáo viên: LÊ BÁ B O T Toán THPT Phong i n 6

Bài t p 2: Cho hình tr có bán kính áy R =53 cm, chi u cao h = 56 M t thi t di n song song v i tr c là hình vuông Tính kho ng cách t tr c c a tr n m t ph ng thi t di n Bài gi i:

G i thi t di n là hình vuông ABCD và H là trung i m AB

Ta có: OH AB OH (ABCD)

⊥

⊥

Do OO'//(ABCD) d(OO',(ABCD) )=d(O ABCD,( ) )=OH

Xét tam giác OAH vuông t i H:

45 cm

K t lu n: d(OO',(ABCD) )=45 cm

Bài t p 3: M t hình tr có bán kính áy b ng R và thi t di n qua tr c là m t hình vuông Tính di n tích xung quanh hình tr và th tích kh i tr theo R

Bài gi i:

G i thi t di n là hình vuông ABCD

2

= =

V y Sxq = π2 Rl = π4 R2 ( v.d.t)

và V =h R.π 2 = π2 R3 ( v.t.t)

Bài t p 4: M t hình tr có bán kính áy b ng 50 cm và có chi u cao h = 50

a) Tính di n tích xung quanh c a hình tr và th tích kh i tr c t o nên

b) M t o n th ng có chi u dài 100 cm và có hai u mút n m trên hai ng tròn c a

áy Tính kho ng cách t o n th ng ó n tr c c a hình tr

Bài gi i:

a) Sxq = π2 Rl =5000 cmπ 2

và V =h R.π 2 =12500 cmπ 3

b) D ng BB’ // OO’ OO'//(ABB')

d OO AB', =d OO', ABB'

G i H là trung i m AB’

'

⊥

⊥

⊥ Suy ra: d(OO',(ABB') )=d(O ABB,( ') )=OH

Xét tam giác ABB’ vuông t i B’: AB'= AB2−BB'2 = AB2−OO'2 =50 3 cm

Xét tam giác OHB’:

2

4

AB

K t lu n: d(OO AB', )=OH =25 cm

M r ng: Xác nh o n vuông góc chung c a hai ng th ng OO’ và AB

+ D ng HK // OO’

H

O' O

D

A

B

C

O'

O

P

K B'

B

A H O

O'

Lop12.net

+ D ng KP // OH

Suy ra, o n PK là o n vuông góc chung c a hai ng th ng OO’ và AB

Bài t p 5: (Kh i A- 2006) Cho hình tr có các áy là hai hình tròn tâm O và O’, bán kính áy

b ng chi u cao và b ng a Trên ng tròn áy tâm O l!y i m A, trên ng tròn áy tâm O’ l!y i m B sao cho AB=2a Tính th tích kh i t di n OO’AB

Bài gi i:

K# ng sinh AA’ G i D là i m i x ng v i A’ qua O’

và H là hình chi u c a B trên ng th ng A’D

Do BH ⊥ A D' và BH ⊥ AA' nên BH ⊥(AOO A' ' )

Suy ra: ' ' 1 '

3

Ta có A B' = AB2−A A' 2 = 3a BD= A D' 2−A B' 2 =a

'

BO D

2

a

Vì AOO’ là tam giác vuông cân v i c nh góc vuông b ng a nên ' 1 2

2

AOO

S∆ = a

V y th tích kh i t di n OO’AB là

Bài t p 6: Cho hình tr có bán kính áy R =70 cm, chi u cao h =20 cm M t hình vuông có các nh n m trên hai ng tròn áy và m t ph ng hình vuông không song song v i tr c hình

tr Tính di n tích hình vuông ó

Bài gi i:

G i H là K l n l t là trung i m c a c nh AB và CD c a

hình vuông ABCD

Ta có: OH//O K' HK∩OO'={ }I

D th!y: OIH O IK' c.g.c( ) OI O I'

HI KI

=

= hay I là trung i m c a OO’ và HK

t AB= x 0( < x≤2R=140 cm)

Xét tam giác OHB vuông t i H:

2

4

x

OH = OB −HB = R − (1)

Xét tam giác OHI vuông t i O, ta có:

T (1) và (2) suy ra:

III- BÀI T P T LUY N:

Bài t p 1: Cho m t ph ng( )P , m t i m A n m trên( )P , m t i m B n m ngoài ( )P sao cho hình chi u H c a B lên ( )P không trùng v i A M t i m M di ng trong m t ph ng ( )P

H

O' O

C

A

B

D K

I

A'

A

B

O O'

Giáo viên: LÊ BÁ B O T Toán THPT Phong i n 8

sao cho ta luôn có ABMˆ =BMHˆ Ch ng minh r ng i m M luôn n m trên m t m t tr tròn xoay có tr c là AB

Bài t p 2: Cho kh i tr có bán kính R=5cm, kho ng cách hai áy b ng 7cm C t kh i tr

b i m t m t ph ng song song v i tr c và cách tr c 3cm Tính di n tích c a thi t di n

Bài t p 3: Cho l$ng tr tam giác u ABC.A’B’C’ c nh áy b ng a , chi u cao a 3 Tính

di n tích toàn ph n m t tr n i ti p, m t tr ngo i ti p l$ng tr

Bài t p 4: Cho kh i tr có chi u cao b ng 20 cm và có bán kính áy b ng 10 cm Ng i ta k# hai bán kính OA và O’B’ l n l c trên hai áy sao cho chúng h p v i nhau m t góc 30 0

C t kh i tr b i m t m t ph ng ch a ng th ng AB’ và song song v i tr c OO’ c a kh i

tr ó Hãy tính di n tích c a thi t di n

Bài t p 5: M t hình tr có bán kính áy R và có thi t di n qua tr c là m t hình vuông

a) Tính di n tích xung quanh và di n tích toàn ph n c a hình tr

b) Tính th tích c a kh i tr t ng ng

c) Tính th tích c a kh i l$ng tr t giác u n i ti p trong kh i tr ã cho

Bài t p 6: M t hình tr có bán kính áy R và ng cao b ng R 3; A và B là hai i m trên hai ng tròn áy sao cho góc h p b i AB và tr c c a hình tr là 30 0

a) Tính di n tích xung quanh và di n tích toàn ph n c a hình tr

b) Tính kho ng cách gi"a AB và tr c c a hình tr Xác nh o n vuông góc chung c) Tính góc gi"a hai bán kính áy qua A và B

d) Tính di n tích c a thi t di n qua AB và song song v i tr c c a kh i tr

Bài t p 7: Cho hình tr có áy là hai ng tròn tâm O và O’; ABCD là hình vuông n i ti p

ng tròn tâm O, AA’, BB’ là các ng sinh c a hình tr Bi t bán kính áy c a hình tr là

R và m t ph ng(A’B’BA) h p v i áy m t góc 600 Tính di n tích t giác A’B’CD

Bài t p 8: Cho hình tr n i ti p m t m t c u bán kính R ( ng tròn áy c a hình tr trên

m t c u)

a) Cho bi t chi u cao c a hình tr b ng h Tính di n tích xung quanh hình tr và th tích kh i tr ã cho

b) Tính giá tr l n nh!t c a th tích hình tr n i ti p m t c u bán kính R cho tr c

Lop12.net

Ch 3: M T C U

I- LÝ THUY T:

1/ nh ngh a:

Cho i m I c nh và m t s th c d ng R

T p h p t!t c nh"ng i m M trong không gian cách I

m t kho ng R c g i là m t c u tâm I, bán kính R

K/h: S I R ( ; )

S I R = M IM =R

2/ V trí t ng i gi a m t c u và m t ph ng:

Cho m t c u S I R( ; ) và m t ph ng ( )P G i H là hình chi u vuông góc c a I lên ( )P

d =IH là kho ng cách t I n m t ph ng ( )P Khi ó:

+ N u d >R : M t c u và m t ph ng không có i m chung

+ N u d =R : M t ph ng ti p xúc m t c u

Lúc ó: ( )P gl mp ti p di n c a m t c u H: ti p i m

+ N u d <R : M t ph ng c t m t c u theo thi t di n là

ng tròn có tâm H và bán kính r= R2−IH2

L u ý: Khi m t ph ng (P) i qua tâm I thì mp(P) c g i là m t ph ng kính và thi t di n lúc

ó c g i là ng tròn l!n

3/ V trí t ng i gi a m t c u và ng th ng:

Cho m t c u S I R( ; ) và ng th ng ∆ G i H là hình chi u c a I lên ∆ Khi ó:

+ IH R> ∆ không c t m t c u

+ IH R= : ∆ ti p xúc v i m t c u ∆ : Ti p tuy n c a (S)

+ IH R< : ∆ c t m t c u t i hai i m phân bi t

*L u ý:

+ Xác nh: d I( ; )∆ =IH

+ Lúc ó:

2

2

AB

R= IH +AH = IH +

4/ Di n tích m t c u và th tích kh i c u: Cho S I R( ; ) Khi ó:

* Di n tích m t c u: S = 4 π R2

* Th tích kh i c u: 4 3

3

=

∆

∆

α

Giáo viên: LÊ BÁ B O T Toán THPT Phong i n 10

II- BÀI T P MINH H A:

D"ng 1: V# TRÍ T$%NG &I C'A M T C U VÀ M T PH(NG

Bài t p 1: Cho m t c u S O R( ; ) và m t i m A bi t OA=2R Qua A k# 1 ti p tuy n v i m t

c u t i B và k# 1 cát tuy n c t S O R( ; ) t i C, D Bi t CD=R 3

a) Tính dài o n AB b) Tính kho ng cách t O n ng th ng CD

Bài gi i:

a) Tính dài o n AB:

Xét OAB∆ vuông t i B, ta có:

3

AB= OA −OB =R

b) Tính kho ng cách t O n ng th ng CD:

G i H là trung i m CD OH ⊥CD

Xét OHC∆ vuông t i H, ta có:

Bài t p 2: Cho m t c u S O R( ; ) ti p xúc v i mp(P) t i I G i M là 1 i m n m trên S O R( ; )

nh ng không ph i i x ng v i I qua O T M k# 2 ti p tuy n v i S O R( ; ) và hai ti p tuy n

này vuông góc, c t (P) t i A, B Ch ng minh r ng: AB2 = AI2+BI2

Bài gi i:

Do MAB∆ vuông t i M, ta có:

MA +MB = AB (1)

D th!y, do OI ⊥( )P và A B, ∈( )P nên AI và BI là các ti p

tuy n c a S O R( ; )

Lúc ó, do t A d ng c 2 ti p tuy n AM và AI t i S O R( ; )

v i các ti p i m M, I nên ta có: AM = AI (2)

T ng t : BM =BI (3)

T (1), (2) và (3) suy ra: AB2 = AI2+BI2 ( p.c.m)

Bài t p 3: Cho m t c u v i S O R( ; ) L!y 1 i m A trên m t c u và g i ( )α là m t ph ng qua

A sao cho góc gi"a OA và ( )α b ng 300

a) Tính di n tích thi t di n t o b i ( )α và hình c u

b) ng th ng ∆ qua A và vuông góc v i ( )α c t m t c u t i B Tính AB

Bài gi i:

a) Tính di n tích thi t di n t o b i ( )α và hình c u:

G i thi t di n c a ( )α và S O R( ; ) là ng tròn tâm H

và bán kính AH

Do AH ⊥( )α góc gi"a OA và ( )α là góc gi"a OA và

A, t c là góc OAH =300

Xét AOH∆ vuông t i H, ta có:

H

R D

A

R O

R

R

A

M

O

I

I

∆ B

300

R

H A

O

α

Lop12.net