Ôn tập thi tốt nghiệp THPT môn Toán 12

* Dạng toán 1 là trường hợp đặc biệt của dạng toán 2 khi đường cong gx=0 2/ Theå tích cuûa moät vaät theå troøn xoay Thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra khi hình phẳng giới hạn bởi đư[r]

KHẢO SÁT HÀM SỐ

A/ TÓM TẮT LÝ THUYẾT

I Đạo hàm :

 Qui tắc tính đạo hàm :

(u1 u 2 … u  n)’ = u1’ u 2‘ … u  n‘

(uv)’ = u’v + uv’

(uvw)’ = u’vw + uv’w + uvw’

(ku)’ = ku’

( ) 'u u v uv' 2 '





 Bảng đạo hàm :

(C)’ = 0 (C : hằng số )

(x)’ = 1

(sinx)’ = cosx

(cosx)’ = – sinx

(ex)’ = ex

(ax)’ = axlna

(sinu)’ = u’cosu (cosu)’ = – u’sinu

(eu)’ = u’eu

(au)’ = aulna.u’

II Sự đơn điệu của hàm số :

 Định lí : Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm và liên tục trên K.

+ Nếu f’(x) > 0,  x K thì hàm số f(x) đồng biến trên K

+ Nếu f’(x) < 0,  x K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K

 Chú ý : Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K Nếu f’(x) 0 ( f’(x) 0 ),   x K và f’(x) = 0 chỉ xãy ra tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến ( nghịch biến ) trên K

 Qui tắc tìm các khoảng đơn điệu :

1/ Tìm t xác định

2/ Tính đạo hàm f ' x( )

3/ Lập bảng biến thiên rồi kết luận

 Chú ý :

yax bx cxd

+ Đồng biến trên R

'

0 0

y

a



  

2

'

1 1

x

x

















x

x

2

1 )'

1

)'

(x   x 

2

'

' 1

u

u u

















u

u u

2

' )'

' )' (u   u 1u

2 2

1

cos

x

2 2

1

sin

x



2

'

sin

u

u



2 2

'

cos

u

u

x

x)' 1

a x

x

a

ln

1 )'

u

u

u)' '

a u

u u

a

ln

' )'

+ Nghịch biến trên R

'

0 0

y

a



  

cx d





'

)

(

a b

c d a d c b y

cx d cx d



+ Đồng biến trên các khoảng xác định khi ad – cb > 0

+ Nghịch biến trên các khoảng xác định khi ad – cb < 0

III Cực đại và cực tiểu

1/.Điều kiện cần : Nếu hàm số y f (x) có đạo hàm tại x0 và đạt cực trị tại điểm này thì f'(x0)0

2/.Điều kiện đủ :

 D  1: Giả sử hs y f (x) xác định tại điểm x0

1 Nếu đạo hàm f ' x( )đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua x0 thì x0 là điểm cực đại

2 Nếu đạo hàm f ' x( )đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x0 thì x0 là điểm cực tiểu

 D  2: Giả sử hs y f (x)có đạo hàm liên tục tới cấp hai tại x0 và f'(x0)0, f"(x0)0

thì x0 là điểm cực trị

1 Nếu f"(x0)0thì x0 là điểm cực tiểu

2 Nếu f"(x0)0 thì x0 là điểm cực đại

 Chú ý :

* Cách tìm tham số để hàm số y = f(x) đạt CĐ (hoặc CT) tại điểm x = x0 :

- Cách 1: + Tìm f’(x)

+ Giải f’(x0) = 0 tìm tham số

+ Thử lại tham số nào thoả đề bài thì nhận

- Cách 2: dùng dấu hiệu 2

* Hàm số yax3bx2cxd:

+ Có cực trị (có 2 cực trị)

'

0 0

y

a



   + Không có cực trị

'

0 0

y

a



  

* Hàm số yax4bx2c:

+ Có 1 cực trị y’ = 0 có 1 nghiệm

+ Có 3 cực trị y’ = 0 có 3 nghiệm

IV Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) :

 Phương pháp :

1/ Trên (a;b) ( f(x) xác định trên (a;b))

 Tính đạo hàm f ' x( )

 Lập bảng biến thiên trên (a ; b) , dựa vào bảng biến thiên kết luận

2/ Trên [a ; b] ( f(x) xác định trên [a ; b])

 Tính đạo hàm , f ' x( )tìm các điểm tới hạn x x x1, 2, 3, x n a b; (f’(xi) (i=1,2 , …, n) bằng 0 hoặc không xác định)

 Tính giá trị f(a), f(x1), f(x2), f(x3) ; f(x n), f(b)

 Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các giá trị trên rồi kết luận

và

 a b

M x f

;

) (

 a b

m x f

;

) (

V Tiệm cận : Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C)

0

lim ( )

x x

f x



0

lim ( )

x x

f x



0

lim ( )

x x

f x



0

lim ( )

x x

f x



đường thẳng d: x = x0 là tiệm cận đứng của đồ thị (C)

2 Tiệm cận ngang: Nếu lim ( )= y0 hoặc = y0 thì đường thẳng d: y = y0 là tiệm cận ngang

x

f x

x

f x



của đồ thị (C)

 Chú yù : Hàm số y = (c  0, a.d – c.b  0)

d cx

b ax





+ lim

x

a y c

 

y alà TCN

c

 

( )

lim

d x

c

ad cb y

ad cb









lim

d x c

ad cb y

ad cb











x d là TCĐ

c



 

 Các bước khảo sát hàm số :

1 Tìm tập xác định

2 Chiều biến thiên :

* Tìm y’, y’= 0 nghiệm ( nếu có)

* Lập bảng biến thiên

Kết luận các khoảng tăng, giảm, cực trị của hàm số

3 Tìm các giới hạn tại vô cực, các giới hạn vô cực (điền lên BBT) và tiệm cận (nếu có)

4 Vẽ đồ thị :

* Tìm các điểm đặc biệt : CĐ, CT, giao điểm với các trục toạ độ (nếu được), …

* Dựa vào BBT vẽ đồ thị

 Các hàm số cơ bản:

1/ Hàm số b  ba y= ax 3 + bx 2 + cx + d (a  0)

* Tập xác định : D=R

* y’= 3ax2+2bx + c

+ Nếu y’ = 0 có hai nghiệm x1,x2  hàm số có hai cực trị

+ Nếu y’ = 0 vô nghiệm hoặc có nghiêm kép  hàm số không có cực trị

* Gi  :

lim ( 0)

x

a y

a







* Bảng biến thiên và dạng đồ thị :

Đồ thị nhận điểm uốn I(x0;y0) làm tâm đối xứng (x0 là nghiệm của y”)

a > 0 và

y’ = 0

có 2

nghiệm

p/biệt

x - x1 x2 +

y’ + 0 – 0 +

y CĐ +

- CT

CĐ B I A CT a < 0 và y’ = 0 có 2 nghiệm p/biệt x - x1 x2 +

y’ – 0 + 0 –

y + CĐ CT -

CĐ A I B CT a > 0 và y’ = 0 có nghiệm kép x - x0 +

y’ + 0 +

y +

-

A

I B

a < 0 và y’ = 0 có nghiệm kép x - x0 +

y’ – 0 –

y +

-

A I B a > 0 và y’ = 0 vô nghiệm x - +

y’ +

y +

-

A

I B

a < 0 và y’ = 0 vô nghiệm x - +

y’

y +

-

A

I

B

2/ Hàm số trùng phương y = ax 4 +bx 2 +c (a0)

* Tập xác định : D=R

* y’= 4ax3+2bx=2x(2ax2+b)

y’ = 0 2

0 2

x b x a







 

 + a.b < 0  y’= 0 có 3 nghiệm  hàm số có 3 cực trị

+ a.b  0  y’= 0 có 1 nghiệm hàm số có 1 cực trị

* Gi  : lim ( 0)

x

a y

a





  



* Bảng biến thiên và dạng đồ thị :

Đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng

Bảng biến thiên Dạng đồ thị

a > 0 và

y’ = 0 có 3

nghiệm

x - x1 0 x2 +

y’ – 0 + 0 – 0 +

y + CĐ +

CT1 CT2 a < 0 và y’ = 0 có 3 nghiệm x - x1 0 x2 +

y’ + 0 – 0 + 0 –

y CĐ1 CĐ2

- CT -

a > 0 và y’ = 0 có 1 nghiệm x - 0 +

y’ – 0 +

y + +

CT

a < 0 và y’ = 0 có 1 nghiệm x - 0 +

y’ + 0 –

y CĐ

- -

3/ Hàm số y = (c  0 ; a.d - c.b  0) d cx b ax   * Tập xác định : D R\ d c        * y’= 2 . .2

( )

( ) a b c d a d c b cx d cx d     + a.d - c.b < 0 thì hàm số đồng biến + a.d – c.b < 0 thì hàm số nghịch biến * Giới hạn, tiệm cận : + lim là TCN x a a y y c c     + ;

( )

lim

d x c

ad cb y

ad cb









lim

d x c

ad cb y

ad cb











x d là TCĐ

c



 

* Bảng biến thiên và dạng đồ thị : Đồ thị nhận I( d a; )làm tâm đối xứng

c c



CT 1

y CĐ

y

B A

O

CĐ 2

CĐ 1

CT

O

y

CĐ

O

y

CT

Bảng biến thiên Dạng đồ thị

ad – cb

> 0

x - d +

c

 y’ + +

y + a

c

a -

c

ad – cb

< 0

x - d +

c

 y’ – –

y + a

c

- a

c

VII CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT

1/ Sự tương giao của đường cong

 Bài toán : Cho hàm số y  f (x) có đồ thi (C) và hàm số y g (x)có đồ thị là (C’) Hãy biện luận (hoặc tìm giao điểm ) của hai đường cong trên

Cách giải :

 Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường cong là :f(x) g(x) (*)

 Số giao điểm của hai đường cong (C) và (C’) chính là số nghiệm của phương trình (*)

 Biện luận

1 Nếu phương trình (*) vô nghiệm thì (C)(C')

2 Nếu phương trình (*) có n ngiệm thì (C) và (C’) có n điểm chung

 Chú ý : Nghiệm kép xem như là một ( điểm chung là điểm tiếp xúc)

2/ Dùng đồ thị biện luận nghiệm phương trình

Bài toán : Cho phương trình f(x;m)0(*)(m là tham số).Hãy dùng đồ thị (C) :y f (x)biện luận theo m nghiệm phương trình (*)

Cách giải :

 Biến đổi phương trình (*)  f x( )g m( )(*a)

 Số nghiệm của phương trình (*a) chính là giao điểm của (C) : y f (x) và d:yg (m) (là đường thẳng song hoặc trùng Ox)

 Biện luận : Dựa vào đồ thị + d( )C   pt (*) vô nghiệm + d(C)n điểm phương trình (*) có n ngiệm

3/.Viết phương trình tiếp tuyến

Bài toán : Cho hàm số y  f (x)có đồ thị (C) Hãy viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C)

Cách giải :

* PTTT có dng : y -y0 = f’(x0)(x-x0)

( y0 = f(x0) , M0 (x0 ,y0) : tiếp điểm, f’(x0 ) : hệ số góc của tiếp tuyến )

* Dựa vào đề tìm x0, y0 , f’(x0) thay vào PTTT rồi rút gọn

 Chú ý :

*Nếu biết y0 = pthì giải phương trình f(x0) = p tìm x0

TCN

TCĐ I

TCN TCĐ

I

* N%u bi%t h& s' góc k thì giải phương trình f’(x0) = k tìm x0 + Tiếp tuyến song song đường thẳng y = kx + b thì f'(x0)k

+ Tiếp tuyến vuông góc đường thẳng y = kx + b thì f x'( )0 1

k

  B/ BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1: Khảo sát các hàm số sau:

x

2

1 3







3 yx3 3x2 3x2 4 yx3 x2 x1

2

2





x

y

1

1 2







x

x y

2 2

5 3







x

x y

x

x y

3 1

1 2







2x x

2

y   yx4 x2 2

Bài 2 : Cho hàm số y x 3x có đồ thị (C)

4

1 3 





1 Khảo sát hàm số

2 Tính diện tích hình phẳng của(C) và Ox

3 Dùng đồ thị (C) biện luận theo m nghiệm của phương trình x3 12x4m0

4 Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y= 9x

5 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của y = sin x sinx trên

4



2

; 6





6 Đường thẳng d đi qua góc toạ độ có hệ số góc k Tìm k để d cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt

Bài 3: cho hàm số y= x3 + 3x2 + mx +m – 2 ; m là tham số ; có đồ thị (Cm)

1 Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 3

2 Gọi A là giao điểm của (C) và Oy Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại A và tính diện tích hình phẳng giới hạn của (C) và tiếp tuyến

3 Tìm m để hàm số đồng biến trên tập xác định

4 Tìm m để hàm số nhận x0= -2 làm điểm cực đại

5 Tìm m để đồ thị nhận I(-1,0) làm điểm uốn

6 Tìm m để hàm số có điểm cực đại , cực tiểu , viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị

Bài 4: Cho hàm số y = x3 – 6x2 + 9x –1 có đồ thị ( C)

1 Khảo sát hàm số

2 Biện luận theo m số giao điểm của (C) và đường thẳng y = – m + 1

3 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị ( C ) và đừong thẳng y = 3

4 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng – 2

Bài 5: Cho hàm số 2 4 có đồ thị (C)

y 

1 Khảo sát hàm số

2 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) và trục Ox

3 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bỡi đồ thị (C) và trục Ox

4 Dùng đồ thị biện luận theo m số nghiệm phương trình x4 2x2 m10

5 Tính thể tích của vật thể tròn xoay tạo ra khi hình phẳng (H) giới hạn bỡi (C) và Ox quay quanh Ox

Bài 6: Cho hàm số y(m1)x4 4mx2 2; m là tham số, có đồ thị (Cm)

1 Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m =1.

2 Viết hương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ bằng 2

3 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bỡi đồ thị (C) và đường thẳng y=2

4 Biện luận theo m số cực trị của hàm số

5 Định m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt

Bài 7: Cho hàm số y x4 2(m1)x2 2m1 (Cm)

1 Khảo sát hàm số khi m = 0 (có đồ thị (C))

2 Dựa vào (C) tìm a để phương trình 4 2 có bốn nghiệm hân biệt

x  x  a

3 Tìm m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại 4 điểm

Bài 8: Cho hàm số có đồ thị (C)

x

x y





 2 3

1 Khảo sát hàm số ( C)

2 Viết hương trình tiếp tuyến của (C) Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 4x +

y -3 = 0

3 Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C) và đồ thị

2

3





 x y

4 Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng y = x +m luôn cắt (C) tại 2 điểm phân biệt

2

3 )

1 (









mx

m x m

1 Tìm m để đồ thị (Cm) đi qua M(0; ),khảo sát với m tìm được (có đồ thị (C))

2 5

2 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) và trục hoành

3 Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi xoay quanh trục ox hình phẳng (H) giới hạn bởi (C),

Ox, Oy và đường thẳng x=1

4 Đường thẳng (D) đi qua A(0;1) có hệ số góc k Tìm k để đường thẳng (D) cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt

Bài 10: Cho hàm số y= có đồ thị (C)

1

1





x x

1 Khảo sát hàm số

2 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) Biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 8

3 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bỡi (C) và hai trục tọa độ

Bài 12: Cho hàm số y= Chứng minh hàm số luôn có cực đại ; cực tiểu với mọi m

m x

m mx x







2

và ycực đại + ycực tiểu = 0

Bài 13: Tìm m để hàm số y x2 mx 1 đạt cực tiểu tại x = 2

x m





Bài 14: Tìm GTLN và GTNN của hàm số :

1

y

x





1 1;

2

 

2

y x x

( ) 2 sin sin

3

f x  x x  0;

 II

HÀM   
! HÀM  

VÀ HÀM  LÔGARIT

I – LÍ "/012" VÀ CÁC 6789 BÀI ";<

Bài toán 1: Dùng công

an =

n

a

1

; a0 = 1 ;

m m n n

a  a ( m; n nguyên ABC , n > 1)

 Các quy x.ay = ax+y ,(a.b)x =ax.bx ,

x

a y a



x x

x



 

 

  ,  x y  y x x.y

 Hàm ' K : y = x

a L a > 0 ; a  1

"MN : D = R MGT : (0; + )

+ a > 1 ; h/s RS I% : x1 < x2  x1

a <a x2

+ 0 < a < 1 ; h/s U I% : x1 < x2  a x1 > a x2

 aloga x = x ; log

a a x = x ; loga1 = 0 ; logaa = 1

 Các qui

loga(B.C) = logaB + logaC; loga B

C

 

 

  = logaB  logaC ;loga  B

 = 

logaB

 Công

logca.logab =  log bc

log ba

log ac

 ; 0 < a, b  1 : logab = 1

log a b

logc b

Chú ý : log10x = log x ; logex = ln x

 Hàm ' Logarit: y = logax L a > 0 ; a  1

"MN : D = (0 ; + ) MGT : R

+ a > 1 ; h/s RS I% : x1 > x2 > 0  logax1 > logax2

+ 0 < a < 1;h/s ngh I% x1 > x2 > 0  logax1 <logax2

Bài toán 2: Tính

s(ex)’ = ex > ( eu)’ = u’.eu ; ( ax)’= ax.lna > ( au)’ = u’.au.lna

(lnx)’= 1

x

x (0;+) > (lnu)’ = u

u



; (logax)’= 1

x ln a

> (logau )’ = u

u ln a



Bài toán3: , ?@A(, trình 2 và logarit :

 6 C I^

f (x)

a = ag(x)  f(x) = g(x)

v(x)

u = 1  ( u 1 ).v(x) = 0 ( trong Ró u có chZa I% )

f (x)

a = b ( L b > 0 )  f(x) = logab

logaf(x) = logag(x)  f (x) 0 g(x) 0

f (x) g(x)







0 a 1



 





b a

logu(x)v(x) = b 

 

v(x) 0 ; u(x) 0 ; u(x) 1

b v(x) u(x)











 2f (x)

a + f (x)

a +  = 0 ; f (x)

a , Nb t > 0  b f (x)

a  + b f (x)

a  +  = 0 ; f (x)

a , Nb t > 0

V

 f (x)

a + f (x)

b +  = 0 và a.b = 1; f (x)

a ;1

t

= bf (x)

 2f (x)

a.b +  2f (x)

b = 0 ;

f (x) a b

 

 

 

 Logarit hố hai L% :

Bài tốn4: $  ?@A(, trình 2 và logarit

 6 C I^ :

1) af (x)> ag(x)  f (x) g(x) khi a 1

f (x) g(x) khi 0 a 1





2) af (x) > b  8%> b  0 cĩ & x

8%> b > 0 f(x) > logab %> a > 1 f(x) < logab %> 0 < a < 1 3) af (x) < b  8%> b  0 thì pt vơ &

8%> b > 0 ; f(x) < logab %> a > 1 f(x) > logab %> 0 < a < 1

logaf(x) > logag(x)  Nb f(x) > 0 ; g(x) > 0 ; 0 < a  1

(a1)[ f(x)  g(x) ] > 0

logaf(x) > b  * 8%> a > 1 : bpt là f(x) > a b

* 8%> 0 < a < 1 bpt là 0 < f(x) < a b

logaf(x) < b  * 8%> a > 1 : bpt là 0 < f(x) < a b

* 8%> 0 < a < 1 bpt là f(x) > a b

 v(x)

u(x) > 1  u(x) > 0 và [ u(x) 1 ].v(x) > 0

 u(x)v(x)< 1  u(x) > 0 và [ u(x) 1 ].v(x) < 0

L

C

1) f (x)>  (a1)(f(x)  g(x)) > 0

a ag(x)

2) log f(x) > log g(x)  (a1)(f(x)  g(x)) > 0.a a

*) Khi

trên

*)

II BÀI TẬP

1 Giải các phương trình

1

5 7 2 (1, 5)

3

x x



  

5

x

  

 

 

(0, 5)x (0, 5) x 2

0,125.4

8

x x



  

Đs: a) x=1 b) 2 c) x = -2 d) x = 0 hoặc x = 3 e) x = 9 f) x=6 g)x= -2,x=3

3

x

2 Giải các phương trình mũ:

2x 2x 2x28 d) 64x 8x 560 e) 3.4x2.6x 9x f) 25x6.5x 5 0 Đs: x=0, x=1

5x 5x 26 Đs: a) x =2; b) x = 2 c) x = 3 d) x = 1; e) x = 0 g) x = 0, x = log 23 h) x0

3 Giải các phương trình logarit

*) Khi

trên

*)

II BÀI TẬP

1 Giải phương trình

1

5 7...

(0, 5)x (0, 5) x 2

0 ,125 .4

8

x x



  