Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT môn Toán

Các bài toán liên quan đến ứng dụng của đạo hàm và đồ thị của hàm số: Chiều biến thiên của hàm số.. - Với ta có nêntrường hợpnày hàm sốđạt cực đại tại thỏa đề bài  Kết luận: Giá trị c

Biên soạn: Đỗ Cao LongTHI TỐT NGHIỆP THPT

A CẤU TRÚC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP THPT

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)

m

I

( Khảo sát, vẽ đồ thị của hàm số

( Các bài toán liên quan đến ứng dụng của đạo

hàm và đồ thị của hàm số: Chiều biến thiên của

hàm số Cực trị Tiếp tuyến, tiệm cận (đứng và

ngang) của đồ thị của hàm số Tìm trên đồ thị

những điểm có tính chất cho trước; tương giao giữa

hai đồ thị (một trong hai đồ thị là đường thẳng);

Hình học không gian (tổng hợp): Tính diện tích

xung quanh của hình nón tròn xoay, hình trụ tròn

xoay; tính thể tích khối lăng trụ, khối chóp, khối

nón tròn xoay, khối trụ tròn xoay; tính diện tích mặt

cầu và thể tích khối cầu

1,0

II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)

Thí sinh học chương trình nào thì chỉ được làm phần dành riêng cho

chương trình đó (phần 1 hoặc phần 2)

IV.a

Phương pháp toạ độ trong trong không gian:

Xác định toạ độ của điểm, vectơ

Mặt cầu

Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng

Tính góc; tính khoảng cách từ điểm đến mặt

phẳng Vị trí tương đối của đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu

2,0

V.a

( Số phức: Môđun của số phức, các phép toán trên

số phức Căn bậc hai của số thực âm Phương trình bậc hai hệ số thực có biệt thức ( âm

( Ứng dụng của tích phân: Tính diện tích hình

phẳng, thể tích khối tròn xoay

1,0

2 Theo chương trình Nâng cao:

IV.b

Phương pháp toạ độ trong trong không gian:

 Xác định toạ độ của điểm, vectơ.

 Mặt cầu.

 Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng.

 Tính góc; tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, mặt phẳng; khoảng cách giữa hai đường thẳng Vị trí tương đối của đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu.

2,0

V.b

( Số phức: Môđun của số phức, các phép toán trên số phức

Căn bậc hai của số phức Phương trình bậc hai với hệ số phức Dạng lượng giác của số phức.

( Đồ thị hàm phân thức hữu tỉ dạng § và một số yếu tố liên quan.

( Sự tiếp xúc của hai đường cong.

thể tích khối tròn xoay

Thành viên Tuổi Học Trò

Chuyên đề I:

Khảo sát, vẽ đồ thị của hàm số Các bài toán liên quan đến ứng dụng

của đạo hàm và đồ thị của hàm số

1 Chiều biến thiên của hàm số.

Lý thuyết: Quy tắc xét tính

đơn điệu của hàm số

1 Tìm tập xác định

2 Tính đạo hàm .Giải phương trình

để tìm các nghiệm

3 Sắp xếp các nghiệm theo thứ tự tăng dần từ trái sang

phải và lập bảng biến thiên của hàm số

4 Kết luận (hàm sốđồng biến trên khoảng

mà và ngược lại)

Ví dụ: Xét chiều biến thiên của hàm số

Bài tập:

Câu 1: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau trên tập xác

định của chúng:

1) ;2) ;3) Chứng minhcác bất đẳng thức sau:

a) b)

Đáp số: Câu 2: H/số

đồng biến trên các khoảng

H/số nghịch biến trên các khoảng

Câu 3: H/số đồng biến trên các khoảng

để hàm số đạt cực đại (hoặc cực tiểu) tại là

Giải phương trình này tìm được m.

 Thử lại (Điều kiện đủ)

Với giá trị của m tìm được, ta tính

- Nếu thì hàm số đạtcực tiểu tại

- Nếu thì hàm số đạtcực đại tại

Căn cứ vào yêu cầu đề để chọn giá trị của m thỏa mãn.

 Kết luận

Còn có cách khác để thử lại đó là lập bảng biến thiên để

kiểm tra xem hàm số đạt cực đại hay cực tiểu tại

- Với ta có nêntrường hợpnày hàm sốđạt cực đại tại (thỏa đề bài)

 Kết luận: Giá trị của m phải tìm là Dạng 2: Chứng minh hàm

số luôn có cực trị với mọi

giá trị của tham số m.

Cách giải:

Chứng tỏ luôn cónghiệm và đổi dấu

khi x chạy qua các nghiệm đó

- Với hàm số bậc ba, chứng tỏ có delta dương;

- Với hàm số bậc bốn (trùng phương) cần theo yêu cầu

đề để tìm m để có 1 nghiệm, hoặc 3 nghiệm

Ví dụ 2: Chứng minh rằng hàm số luôn có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu với mọi giá trị của m.

Gợi ý giải:

 Tập xác định của hàm số:

 Đạo hàm làtam thức bậc hai

có Suy ra có hai nghiệm phân biệt và đổi dấu (có thể lậpbảng xét dấu với hai nghiệm ) khi x đi qua hai nghiệm đó.

 Vậy hàm số luôn có một cực đại, một cực tiểu với mọi m

Bài tập:

Câu 1 (Đề TN 2006,

KPB): Cho hàm số

có đồ thị (C) Với giá trị nào của tham số m, đường thẳng đi qua

trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm cực đại và cực tiểu của đồ

có cực trị với

mọi giá trị của tham số m ?

Gợi ý – đáp số:

Câu 1: Tìm tọa độ hai cực trị của hàm số ,

Trung điểm hai cực trị Cho thuộc đường thẳng , ta có Giải tìm m.

Câu 2: Hàm số đạt cực tiểu tại

3 Tiếp tuyến, tiệm cận của đồ thị hàm số.

Vậy để viết được PT tiếp tuyến tại chúng ta cần đủ ba yếu tố sau:

- Hoành độ tiếp điểm:

- Tung độ tiếp điểm: {Nếu đề chưa cho taphải tính bằng cách thay vào hàm số }

- Hệ số góc Dạng 1: Viết p/trình tiếp

tuyến khi biết tọa độ tiếpđiểm , hoặc hoành độ , hoặc tung độ

Ví dụ: Viết p/trình tiếp tuyến của đồ thị hàm

b) Tại điểm có tung độ bằng

Gợi ý giải:

a) Ta có

Gọi tọa

độ tiếpđiểm là Theogiả thiết có

 Tung độ tiếp điểm:

x y x

x



x  x y0 0; 02

0 0 0

1 2 1 1

1 2 1 3

x y x

 

 

 Hệ số góc của tiếp tuyến tại bằng :

 Khi t/tuyến vuông góc với thì hế số góc của t/tuyến và hệ số góc của thỏa mãn

Lời giải (Các bước):

 Tính đạo hàm hàm số Tính hệ số góc của tiếp

tuyến (theo các dấu hiệu trên)

 Gọi là tọa độ tiếp điểm

 Hệ số góc của t/tuyến

- Giải ph/trình này tìm được

- Thay vào để tính tung độ tiếp điểm

 Viết p/trình t/tuyến

Ví dụ 3: Viết p/trình t/tuyến với đồ thị hàm số , biết:

a) Hệ số góc của t/tuyến bằng

b) T/tuyến song song với đường thẳng c) T/tuyến vuông góc với đường thẳng

Gợi ý giải:

a)  Ta có

 Gọi là tọa độtiếp điểm, ta có hệ

số góc tiếp tuyếntại bằng

Theo giải thiết ta có

 Với , ta có Tr/hợp này ta có p/trìnht/tuyến tại là

Thành viên Tuổi Học Trò

12;

11

x y x

131

x y x

x y x



2

2 2.2

4

1 2 1

x y

x

 

2;4

 Kết luận: Vậy có hai

t/tuyến thỏa đề bài có p/trình là

;

Lưu ý: Hệ số góc củat/tuyến (đề cho)

b) T/tuyến song song với

nên hệ số góc của t/tuyến

 Kết luận: Vậy có hai

t/tuyến thỏa đề bài có

Đến đây làm tương tự như câu a) hoặc câu b)

 Đáp số: Có hai tiếp tuyến có p/trình là

Câu 2 (Đề TN 2007, Bổ

túc): Viết phương trìnhtiếp tuyến với đồ thị (C) hàm số tại điểm A(2;4)

Câu 3 (Đề TN 2007, Lần 2, Phân ban):

Cho hàm số , gọi đồ thịcủa hàm số là (C)

1 Khảo sát sự biến thiên

1 Khảo sát sự biến thiên

và vẽ đồ thị của hàm số đã cho

2 Viết phương trình tiếptuyến với đồ thị (C) tạiđiểm có tung độ bằng

2 2.0

0

1 0 1

x y

x 

0 0

0

32

63

1 12

x y

x

 3 

;62

 

 

 

1 36

0

12

21

1 12

x y

x

  

 1 

; 22

x y x

x y x







3 21

x y x

số để biện luận theo m số

nghiệm của phương trình

Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số Dựa vào đồ thị , biện luận theo m số nghiệm của

của (2) bằng số giao điểm của và

 Dựa vào đồ thị ta có kết quả biện luận sau:

* Với , ta thấy và không có điểm chung Suy ra (2) vô nghiệm

* Với , ta thấy cắttại một điểm và tiếpxúc tại một điểm

Suy ra (2) có hai nghiệm (một nghiệm đơn và một nghiệm kép)Nói đơn giản hơn là và có hai điểm chung nên (2) có hainghiệm

* Với , ta thấy cắttại ba điểm phân biệt

Suy ra (2) có 3nghiệm phân biệt

 Kết luận:

* Với hoặc , p/trình (1) vô nghiệm

* Với hoặc , p.trình (1) có hai nghiệm

* Với , p/trình (1) có 3nghiệm phân biệt

Dạng 2: Chứng tỏđường thẳng : cắt đồ thịhàm số tại hai điểmphân biệt, hoặc không cắtCách giải:

với Tính

3

- 3

-2 -1

phân biệt Suy ra cắt tại hai điểm phân biệt.

- Tương tự, kết luận cho tr.hợp

Ví dụ: (Bài 11/tr46-SGK GT12, Cơ bản) Chứng minh rằng với

mọi giá trị thực của m, đường thẳng luôn cắt đồ thị của hàm số

tại hai điểm phân biệt M, N

Mặt khác, thay vào vế trái của (2) ta được

 Kết hợp (a) và (b) suy ra p/trình (2) luôn có hai nghiệm phân biệt

thỏa Do đó (1) luôn có hai nghiệm phân biệt

Vậy đ/thẳng luôn cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị

của m.

Ví dụ (Bài 8.b/tr44- GT12, cơ bản) Tìm m để đồ thị của hàm số

cắt trục hoành tại điểm có hoành độ

 Phân tích bài toán:

- Nhưng điểm nằm trên trục hoành thì có tung độ

- Vậy cắt trục hoành tại điểm

- Điểm này thuộc nên tọa độ của nó thỏa mãn p/trình

2) Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình

Câu 2 (Đề TN 2008, L2, KPB):

Cho hàm số 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

2) Tìm m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt

Câu 3 (Đề TN 2006, Phân ban):

1 Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2 Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương

trình

3 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành

5 Điểm đặc biệt của đồ thị hàm số.

x

x m x

 Vậy có sáu điểm

thuộc đồ thị hàm số có tọa độ nguyên là:

 Tính các giới hạn ; tiệmcận với hàm hữu tỷ

Và để suy ra tiệm cậnđứng là đ/t ;

, suy ra tiệm cận ngang là đ/t

 Bảng biến thiên (điền đầy đủ các thông tin, chú ý giá trị các

giới hạn đã tính)

 Dựa vào bảng biến thiên suy ra:

- Các khoảng đơn điệu (đồng, nghịch biến) của hàm số;

- Cực trị của hàm số (nếu có)

 Vẽ đồ thị:

- Xác định giao điểm với trục hoành: Cho , tìm x.

- Xác định giao điểm với trục tung: Cho , tìm y.

- Cho thêm một số điểm đặc biệt (Chú ý đến tính đ/xứng của đồ thị: Hàm bậc ba đ/x qua tâm là trung điểm hai cực trị; hàm

bậc bốn (trùng phương) đ/x qua trục tung; hàm hữu tỷ đ/x quagiao điểm 2 t/cận)

Thành viên Tuổi Học Trò

31

x y x

x y x

x y

 ax b y

không lấy )

 Tính

 So sánh các sốtrên và kết luận

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn

Câu 3 (Đề TN 2008, L2,

KPB): Tìm GTLN,GTNN của hàm số trênđoạn

;

Dạng 1: Phươngtrình mũ bậc hai (1)Cách giải:

x y

x

 1;3 

2

2 12

y x

  

2 2

x y x

Ta có p/trình(2)

 Giải p/trình (2), tìm nghiệm

 Giải p/trình

 Kết luận,nghiệm của (1)

Ví dụ: Giải các phương trình sau

1) 2)

Giải p/trình này được(thỏa); (không thỏa)

 Vậy ta có Kết luận: P/trình đã cho

có nghiệm duy nhất 2) Để ý : ;

Ta có Đặt ta có p/trình Giải p/trình này được(thỏa mãn đ/k )

 Với , ta có

- Với , ta có

 Tóm lại, p/trình

đã cho có hainghiệm

Dạng 3: Bất phương trình

mũ , Cách giải:

 Nếu ta có (đổichiều BPT)

 Nếu ta có Với BPT

3

t t  t01

t  0

3x  1 3x 3  x0

13

t  1

1

5 26 0

5

x x

6 5 0

t t

 t 0

   6

1

5 26 05

5

x x

5

t t  t05

t 

5x  5 x1

15

- Nếu , ta có (Đổichiều BPT)

- Nếu , ta có

Ví dụ : Giải các bất phương trình

Cộng,trừ logarit : ; Đổi cơ số: ;

 Cách khử logarit:

Chú ý: ;

Dạng 1: Biến đổi về

phương trình Cách giải:

- Dùng các công thức tính toán, cộng trừ logarit để biến đổi

- Cần chú ý đến đ/k với các biểu thức dưới dấu logarit

Ví dụ: Giải các p/trình sau:

1) 2) Lới giải:

1)  Đ/k xác định:

Khi đó ta có

(thỏa mãn đ/k)

 Vậy p/trình cónghiệm duy nhất 2)  Đ/k xác định

loga b loga b

1logab loga b



loga bloga clog a b c

loga b loga c loga b

c

 

loglog

log

a c

a

b b

c

 1log

Khi đó ta có

Giải p/trình này dược

(thỏa đ/k); (không thỏa đ/k)

 Vậy, p/trình đã cho có nghiệm duy nhất

Dạng 2: P/trình bậc hai chứa lôgarit

- Nếu , ta có (BPT đổi chiều)

- Nếu , ta có (BPT cùng chiều)

 Với BPT

- Nếu , ta có (BPT đổi chiều)

- Nếu , ta có (BPT cùngchiều)

Ví dụ: Giải các bất p/trình:

a) b) Giải:

a)  Đ/kiện xác định:

 Với ta có :{ Cơ số nên có BPTcùng chiều}

 Vậy tập nghiệm của bất p/

trình đã cho b)  Đ/kiện xác định:

 Với ta có :{ Cơ số nên BPTđổi chiều}

 Vậy tập nghiệm của bất p/

Câu 3: Giải các bất phương trình

4

t t  t 2 2 2

log x 2 x2  x4

54

1

;32

kớnh R:

Thể tớch khối lăng trụ Thể tớch khối nún trũnxoay :

Thể tớch khối trụ trũnxoay:

 Diện tớch xung quanh

của hỡnh nún trũn xoay:

Diện tớch xung quanh của

hỡnh trụ trũn xoay:

Một số hỡnh cần chỳ ý:

- Hỡnh chúp đều cú đỏy là tam giỏc, hỡnh vuụng

- Hỡnh chúp cú một cạnh vuụng gúc với đỏy (hỡnh chữ nhật, hỡnh

vuụng, tam giỏc vuụng)

- Hỡnh nún trũn xoay, biết chiều cao, hoặc đường sinh, bỏn kớnh

đường trũn đỏy, gúc phẳng ở đỉnh.

- Hỡnh nún bị cắt bởi mặt phẳng qua đỉnh giao với đường trũn

đỏy tại hai điểm A, B, biết AB và giả thiết khỏc.

Yờu cầu: Giải lại cỏc bài toỏn trong SGK HH12 cú dạng trờn,

ghi nhớ cỏch tớnh cỏc yếu tố cần thiết và mối quan hệ giữa cỏc

yếu tố dựa vào hỡnh vẽ, tớnh chất của hỡnh.

Bài tập:

Cõu 1 (Đề TN 2006, Phõn ban) : Cho hỡnh chúp S.ABCD cú

đỏy ABCD là hỡnh vuụng cạnh a, cạnh bờn SA vuụng gúc

với đỏy, cạnh bờn SB bằng

1 Tớnh thể tớch của khối chúp S.ABCD

2 Chứng minh trung điểm của cạnh SC là tõm mặt cầu ngoại tiếphỡnh chúp S.ABCD

Cõu 2 (Đề TN 2007, Lần 2, Phõn ban): Cho hỡnh chúp tứ giỏc

S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh vuụng cạnh bằng a, cạnh bờn SA

vuụng gúc với đỏy và SA =AC Tớnh thể tớch của khối chúpS.ABCD

Cõu 3 (Đề TN 2008, Lần 1, Phõn ban):

Cho hỡnh chúp tam giỏc đều S.ABC cú cạnh đỏy bằng a, cạnh bờn bằng 2a Gọi I là trung điểm

của cạnh BC

1) Chứng minh SA vuụng gúc với BC

2) Tớnh thể tớch khối chúp S.ABI theo a

Cõu 4 (Đề TN 2008, L2, Phõn ban):

Cho hỡnh chúp S.ABC cú đỏy là tam giỏc ABC vuụng tại

B, đường thẳng SA vuụng gúc với mặt phẳng (ABC) Biết AB=a, BC= và SA=3a

1 Tớnh thể tớch khối chúp S.ABC theo a

2 Gọi I là trung điểm của cạnh SC, tớnh độ dài đoạn thẳng BItheo a

Chuyờn đề V:

Phương phỏp toạ độ trong trong khụng gian

1 Tọa độ của điểm, vectơ.

Lý huyết

Yờu cầu nắm được:

- Tớnh độ dài vecto :

- Cho , , Tớnh tọa độ trung điểm

I của đoạn AB, và trọng tõm G của tam giỏc ABC.

;

- Tớnh tọa độvecto :

- Độ dài đoạn AB:

3 đáy

3

4.3

A B I

A B I

A B C G

A B C G

Mặt cầu có tâm và đi qua

một điểm hoặc tiếp xúc với một mặt phẳng; mặt cầu đí qua 4 điểm

không đồng phẳng

Chú ý: Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng được tính theo côngthức

Dạng 1: Mặt

cầu đi qua một điểm M và có

tâm cho trước Cách giải:

- Bán kính mặt cầu là

Ví dụ 1: Viết phương trình mặt cầu tâm và đi qua điểm

Lời giải:

 Mặt cầu đi qua điểm nên

có bán kính bằng

P/trìnhmặt cầu (tâm ):

Hay

Ví dụ 2: Viết phương trình mặt cầu đường kính AB biết và

P/trình mặt cầucần tìm:

A B I

A B I

có tâm và tiếp xúc với mặt phẳng

TN 2007, L2, Ban KHTN): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz,

cho hai điểm E(1;-4;5) và F(3;2;7)

1 Viết phương trình mặt cầu đi qua điểm F và có tâm là E

2 Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng EF

- Mặt phẳng vuông góc với đường thẳng AB¸ hoặc đường

thẳng Khi đó vecto hoặc vecto chỉ phương của là vecto pháp

tuyến của mp

- Mặt phẳng song song với mặt phẳng , khi đó vecto pháp tuyếncủa mp cũng là vecto pháp tuyến của mp

Ví dụ 1: Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua điểm và :

a) vuông góc với đường thẳng b) song song với mặt phẳng

c) vuông góc với đường thẳng AB với ,

Lời giải:

a) Đ/thẳng có vecto chỉphương

 nên nhận làm vectopháp tuyến

Mặt khác đi qua điểm

 Vậy p/trình tổng quát của :Hay

b)  nên vecto pháptuyến của , cũng là vectopháp tuyến của

 Mặt khác đi qua điểm

 Vậy p/trình tổng quát của :Hay

c) nên nhận làm vectopháp tuyến

Mặt khác đi qua điểm

 Vậy p/trình tổng quát của :Hay