Lập phương trình mặt cầu đi qua A cắt P theo giao tuyến là một đường tròn sao cho tứ diện ABCD đều với đáy BCD là tam giác đều nội tiếp đường tròn giao tuyến... ĐÁP ÁN ĐỀ CHÍNH THỨC [r]
Trang 1TRƯỜNG THPT THẠCH THÀNH I
ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI MÔN TOÁN, KHỐI 12 (2009-2010)
Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian phát đề
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm)
Câu I (2 điểm) Cho hàm số yx33x23 1 m x 1 3m (1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m 1
2) Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và đường thẳng
đi qua điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số tạo với đường thẳng x một góc 30y 0
Câu II (2 điểm)
Câu III (1 điểm) Tính tích phân 1
2
dx I
Câu IV (1 điểm)
Cho hình chóp S ABCD có SA và tất cả các cạnh còn lại có độ dài bằng x a x0,a0
Chứng minh rằng đường thẳng BD vuông góc với mặt phẳng SAC Tìm x theo a để thể tích
của khối chóp S ABCD bằng 3 2
6
a
Câu V (1 điểm)
Cho ba số không âm , ,a b c thay đổi luôn thoả mãn điều kiện a b c 1
Chứng minh rằng: a2b2 c2 12abc 1
PHẦN RIÊNG (3 điểm):Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)
A Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a (2 điểm)
1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho điểm A 3;3 và đường thẳng :d x Lập y 2 0
phương trình đường tròn đi qua A cắt d tại hai điểm , B C sao cho AB AC và AB AC 2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A3; 2; 2 và mặt phẳng P có phương trình : x Viết phương trình mặt phẳng y z 1 0 Q đi qua A , vuông góc với mặt phẳng
P biết rằng mặt phẳng Q cắt hai trục ,Oy Oz lần lượt tại hai điểm phân biệt ,M N sao
cho OM ON ( O là gốc toạ độ).
Câu VII.a (1 điểm)
1 2 4
B Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b (2 điểm)
1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho tam giác ABC có diện tích bằng 2 và đường thẳng
AB có phương trình x Biết rằng điểm (2;1)y 0 I là trung điểm của đoạn thẳng BC , hãy
tìm tọa độ trung điểm K của đoạn thẳng AC
2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng P :x và y z 3 0 A2; 2; 2
Lập phương trình mặt cầu đi qua A cắt P theo giao tuyến là một đường tròn sao cho tứ
diện ABCD đều với đáy BCD là tam giác đều nội tiếp đường tròn giao tuyến.
Câu VII.b (1 điểm) Giải hệ phương trình
1
2
1
y
Trang 2TRƯỜNG THPT THẠCH THÀNH I
Năm học 2009-2010 ĐÁP ÁN ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN TOÁN KHỐI 12
(Đáp án- thang điểm gồm có 04 trang)
I 1) Khi m1, hàm s ố (1) trở thành: 3 2
yx x
Tập xác định
S ự biến thiên: y'3x26 ,x y' 0 x 0 x 2 0.25
B ảng biến thiên
x 0 2
'
y 0 0
y 4
0
0.25
Đồ thị
8
6
4
2
-2
-4
-6
-8
f x = x 3 -3 x 2 +4
0.25
y x x m x x m
Hàm số (1) có cực đại, cực tiểu phương trình '
0
y có hai nghiệm phân bi ệt x x1, 2 và y' đổi dấu khi x đi qua các nghiệm đóm0 0.25
y x x x m mx m; y x 1 2mx1 2 2m
2 2 2 2 2
y x mx m V ậy phương trình đường thẳng đi qua hai điểm
c ực trị của đồ thị hàm số (1) là y 2mx 2 2m2mx y 2 2m0 0.50 Đường thẳng 2mx y 2m 2 0 có m ột véctơ pháp tuyến n12 ;1m
; đường thẳng x y 0 có m ột véctơ pháp tuyến n2 1;1
Theo bài ra ta có 0.25
Trang 31 2 2
2
1 2
II 1) Điều kiện x0.
2
x
2
2) Điều kiện cos 2x0
x x
Do sin 2x1 thì cos 2x0, nên ch ỉ có sin 2 0
2
0.50 III Đặt xsintdxcostdt; Khi x0 thì t0; Khi x1 thì
2
t
.
0.25
1
0.50
0
1
0.25
IV Do B D, cách đều S A C, , nên BDSAC Gọi OACBD Các tam giác
ABD BCD SBD là các tam giác cân b ằng nhau có đáy BD chung nên
2 2
0.25
3
2 2
3
S ABCD
x a a
x a
V V ới a b c thì 1
0.50
2
3(a b c abc) (ab bc ca) 3(a b c abc) (ab bc ca)
1
D ấu bằng xảy ra khi chỉ khi 1
3
a b c
0.50 VI.a 1) Gọi I R, l ần lượt là tâm và bán kính của đường tròn cần tìm.
Ta có Rd A d , 2 2 Tâm I chính là hình chi ếu vuông góc của điểm A lên
G ọi a là đường thẳng qua A và vuông góc v ới d Suy ra a x: y 0 0.25
Trang 4To ạ độ tâm I là nghi ệm của hệ 0 1
x y
x y
0.25
V ậy đường tròn cần tìm có phương trình 2 2
2) Gi ả sử n
là m ột vec tơ pháp tuyến của (Q)
Vì ( )P ( )Q nên n nP(1, 1, 1)
m ặt phẳng Q c ắt hai trục Oy Oz, l ần lượt tại hai điểm M0; ; 0 ,a N 0; 0;b
phân bi ệt sao cho OM ON nên 0 0
0
Ta thấy n MN
(2)
Trường hợp 1: nếu b a 0 thì MN(0,a a, ) / / (0, 1,1)u
T ừ (1) và (2) suy ra có thể chọn n u n , P (2,1,1)
là m ột vec tơ pháp tuyến
c ủa Q
Mp Q có phương trình 2(x 3) (y 2) (z 2) 0 2x y z 2 0
Khi đó Q c ắt Oy Oz, t ại M0; 2; 0 , N 0; 0; 2 ( th ỏa mãn đề bài) 0.25 Trường hợp 2: nếu b a 0 thì MN(0, a, a) / / (0,1,1)v
Từ (1) và (2) suy ra có thể chọn n v n , P (0,1, 1)
là một vec tơ pháp tuy ến của Q , Q có phương trình 0(x 3) (y 2) (z 2) 0 y z 0
Khi đó Q c ắt Oy Oz, t ại O0; 0; 0 (không th ỏa mãn đề bài)
V ậy mặt phẳng Q có phương trình 2x y z 2 0 0.25
x x x x x x x
0.25 Theo khai tri ển Newton số hạng chứa 8
x là 128 8 8
1 2
Hệ số của 8
x bằng 8 8
12
1 2
4C =31680
0.25 VI.b Đường thẳng IK qua I và song song v ới AB có phương trình x y 1 0 0.25
Chi ều cao kẻ từ C c ủa ABC b ằng h=2 22 1 2 2
2 2 2
ABC
S AB
h
0.25
2 2
AB
IK suy ra K nằm trên đường tròn (C ) tâm I bán kính 2
T ọa độ điểm K là nghi ệm của hệ ( 2)2 ( 1)2 2
1 0
x y
Trang 52) G ọi H là hình chi ếu vuông góc của A lên m ặt phẳng P G ọi d là
đường thẳng qua A và vuông góc v ới P Ta có d:
2 2 2
2 ; 2 ; 2
H d H t t t Mà H P nên 2 t 2 t 2 t 3 0 t 1
ABH
vuông t ại H
2
3
G ọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB M ặt phẳng trung trực của đoạn
th ẳng AB c ắt đoạn thẳng AH t ại I Điểm I chính là tâm m ặt cầu cần tìm.
Ta có
2 3 3
AB
AH
0.25
4
AI AH
Suy ra 5 5 5; ;
4 4 4
M ặt cầu cần tìm có phương trình: 5 2 5 2 5 2 27
1
2
1
y
Điều kiện 0
1
x
y
N ếu x 1 y thì v ế trái dương, vế phải âm (loại);
Nếu x 1 y thì vế trái âm, vế phải dương (loại)
V ậy x 1 y hay y 1 x Thay vào (2) ta có: 2
Với x2 thì y 1; Với x3 thì y 2 (thoả mãn điều kiện).
0.50
5
V ậy hệ đã cho có hai nghiệm x y; (2; 1);(3; 2) 0.50
Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì được đủ điểm từng phần
như đáp án quy định.
-H
ết -Thạch Thành, ngày 30 tháng 3 năm 2010