b Bài toán 2: Dùng đồ thị C biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình: ta thực hiện như sau: + Biến đổi phương trình đã cho về phương trình hoành độ giao điểm một vế là phương [r]
Trang 1I: HÀM.
I TÓM
1)
*
Hàm y f x ( ) trên (a;b)
Hàm y f x ( ) &'(& trên (a;b)
*
Hàm y f x ( ) trên (a;b) y 0; x (a;b)
Hàm y f x ( ) &'(& trên (a;b) y 0; x (a;b)
Chú ý: *+, “=” 012 ra 3 4 5 &6, &7)
* Chú ý:
Khi yêu (9, “Tìm ;&<1 = >,/ ?( là “Tìm ;&<1 = >, trên AB xác '&/)
D5 xeùt tính = >, (F! 4 hàm % ta &G( &> &H sau:
+ Tìm D
+ Tính y
+ Tìm &> (F! ( , có).y
+ AB 1 thiên
+ LM (? vào 1 thiên ta ; @,A các ;&<1 = >,)
Hàm &+ &'(& # trên AB xác '&$ khi xét P, ;> F không 012
ra *+, “=”
2) "# hàm
a) #$ %&$ 1 : Khi x qua x0 mà y S *+, ( theo &HU V trái sang B&1# V :
( ) ( ): x0 là 5 (G( 7)
( ) ( ): x0 là 5 (G( 5,)
Quy tắc 1: AB 1 thiên, (M (? vào 1 thiên ta ; @,A (G( ' (F!
hàm )
b) #$ %&$ 2 :
0
( ) 0 ( ) 0
f x
0
( ) 0 ( ) 0
f x
Quy tắc 2:
+ Tính y + Tìm các 5 mà 7 K 7< hàm W 0 &<X( không xác '&)xi
+ Tính y + Tính y x ( )i và dùng *+, &>, 2 5 ; @,A là 5 (G( 7 hay (G( 5,)xi
Chú ý: x0 là 5 (G( ' (F! hàm y f x ( ) f x ( )0 0
3) GTLN – GTNN hàm y f x ( )trên D :
*
Trang 2 Z M H\( ] là GTLN (F! hàm y f x ( )trên D
: :
: :
4) Các
a) %&+ ,- /0 là > (A ? (F! &' hàm )
lim
Phương pháp: Tìm các 5 x0 là &> (F! _, &H không là &> (F! `
là > (A ? (F! &' hàm )
0
b) %&+ ,- ngang: lim 0 0 là > (A ngang (F! &' hàm )
lim
Chú ý:
+ Hàm ! &?(% &' không có > (A)
+ Xét hàm phân &?(% :
P x y
Q x
, A( P x A( Q x : &' có > (A ngang
, A( P x A( Q x : &' không có > (A ngang
5) 234 sát hàm
Tìm AB xác '& (F! hàm
Tính 7< hàm y’, tìm &> (F! B&H= trình y’= 0, tính giá ' (F! hàm 7 các &> NV! tìm H\()
Tìm các U &7 7 vô (G($ các U &7 vô (G( và tìm > (A , có)
AB 1 thiên
Tìm 5 X( > và tính 0? (F! &')
de &')
Chú ý:
Hàm số bậc ba: &' có tâm 0? là &> (F! B&H= trình y 0 ( X( > , hàm có (G( 7 và (G( 5, thì tâm 0? là trung 5 (F! 5 (G( 7$ (G( 5,#)
Hàm số trùng phương: &' &A f( tung làm f( 0?)
Hàm nhất biến: &' &A giao 5 hai Hg > (A làm tâm 0?)
II CÁC
3 B&9 ; &?( 5 tìm m
0
y ax bx c a
y 0, x R 0
0
a
y 0, x R 0
0
a
8 <= HÀM 7;
Trang 3x
+ Tìm D
+ Tính y y x 0
+ AB @,A% Hàm 7 (G( ' (G( ' 7 x0 y x 0 0 1 tìm m
+ dU V giá ' m NV! tìm H\( ta dùng quy i( 1 &<X( quy i( 2 ;5 tra @7 xem có &k!
P, ;> P bài không
+ 8 @,A giá ' m &k! P, ;>)
+ Tìm D
+ Tính y
+ Tính y
+ AB @,A% Hàm luôn luôn có LD$ CT y 0 có hai &> phân > và S *+, hai @9 khác nhau khi qua hai &> K y 0 1 tìm m , không là tam y
&?( A( hai ta B&1 @AB 1 thiên 5 (&l ra S *+, hai @9 khác nhau khi qua hai
&> K#)
+ 8 @,A giá ' m NV! tìm H\()
+ Tìm D
+ Tính y
+ Tính y
+ L&? minh : y 0 và S *+, hai @9 khác nhau khi qua hai &> K hàm luôn luôn có LD$ CT
GTLN – GTNN HÀM 7; y f x ( )TRÊN D :
: ta &G( &> &H sau:
a b ;
AB 1 thiên trên (a;b)
, trên 1 thiên có 1 (G( ' duy &+ là :
LG( 7
( ; )
max ( )
CD a b
LG( 5,
( ; )
min ( )
CT a b
: ta &G( &> &H sau:
[ ; ] a b
Cách 1:
Tính y
Tìm các 5 xi sao cho y 0 &<X( không xác '&#)y
Tính : f a ( ); ( ); ( ) f xi f b (1A% xi ( ; ) a b )so sánh các giá ' bên ; @,A)
Cách 2:
AB 1 thiên trên [a;b] ; @,A)
CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN SÁT HÀM 7;
a) Bài toán 1: Tìm giao 5 (F! hai Hg C1 :y f x và C2 : y g x
+ AB B&H= trình hoành 4 giao 5 (F! C1 và C2 : f x g x
+ Z &> (F! B&H= trình hoành 4 giao 5 chính là giao 5 (F! hai Hg)
Trang 4b) Bài toán 2: Dùng &' (C) > @,A theo tham m &> (F! B&H= trình: ta
&G( &> &H sau:
+ p S B&H= trình q cho NP B&H= trình hoành 4 giao 5 4 N là B&H= trình (F! hàm q có &' (C), 4 N là B&9 còn @7#
+ AB @,A% Z &> (F! B&H= trình chính là giao 5 (F! (C) và (d)
+ JG! vào &'$ ta tìm các giá ' m 1& &H3 giao 5 (F! (C) và (d) 8
@,A)
:
y f x
0 ( )(0 0)
y y f x x x
a) D% M x y0( ;0 0)
b) p &> góc k (F! B ,2 % ` *f k f x ( )0 tìm x0 tìm y0
Chú ý: d / / tt kd ktt
d tt
d tt k k
III BÀI F ÁP
Bài 1: Tìm các ;&<1 = >, (F! các hàm %
x
x
1
y
x
Kết quả:
Câu D trên các ;&<1% &'(& trên các ;&<1%
a) ; 1 ; 1; 1;0 ; 0;1
c) 0; 2 ;0 ; 2;
d) ;0 ; 2; 0;1 ; 1; 2
Bài 2: L&? minh hàm y = 2 &'(& trên ;&<1 và trên
;&<1 3;0
Bài 3: D'& m 5 hàm :
Kết quả: không có m.
c) 1 3 2 &'(& trên AB xác '&) Kết quả:
3 3
2
5 3
y
x
4 3
m
Bài 4: D'& m 5 hàm y x3 3 mx2 ( m2 1) x 2 7 (G( 5, 7 x 2
Kết quả : m 1
Bài 5: D'& m 5 hàm y x3 3 x2 3 mx 3 m 4:
Trang 5a Không có (G( ') Kết quả : m 1
Bài 6: D'& m 5 hàm
2
4 1
y
x
Bài 7: p> @,A theo tham m (G( ' (F! hàm 4 2
y f x x mx m
Đáp số: m 0 : có 4 (G( 7" m 0 : có hai (G( 7 và 4 (G( 5,)
Bài 8: L&? minh hàm 1 3 2 luôn có (G( ' NU ] giá ' (F!
3
tham m
Bài 9: Tìm GTLN, GTNN (F! các hàm :
a) y 2 x3 3 x2 1 treân <7 1 ;1 Kết quả: ;
2
[ ;1]
2
(1) 4
1 [ ;1]
2
(0) 1
min y f
b) y x 5 4 x2 Kết quả: ;
[ 2;2] ( 2) 2 2 5
[ 2;2] ( 2) 7
c) 4 3 trên <7 [0;]
2sin sin
3
[ 0; ]
2
x
1; 2
e) ln x trên <7 Kết quả: ;
y
x
1;e
[1; ]
1
e
e
e
e
Bài 10: Tìm các > (A ? và ngang (F! &' hàm sau:
2
x
y
x
2
2
2 1
y
x
2
2
3 4
y
x
3
4 3
x y
2
1 3
x y
x
2
2 4 3
y
x
Kết quả:
Trang 6> (A ngang y 2 y 1 y 1 y 0 y 1 Không có
Bài 11: Cho hàm 3
3 2 ( )
1 8&1< sát G thiên và Ne &' (C) (F! hàm )
2 d B&H= trình B ,2 (F! (C) 7 Mo 2; 4 Kết quả: y 9 x 14
3 d B&H= trình B ,2 (F! (C) B ,2 song song NU Hg &
24 2009 ( )
24 52; 24 56
4 d B&H= trình B ,2 (F! (C) B ,2 vuông góc NU Hg &%
1
2009 ( ') 3
5 d B&H= trình B ,2 (F! (C) 7 giao 5 (F! &' NU f( tung
6 JG! vào &' (C), > @,A theo m &> (F! B&H= trình: x3 3 x 6 m 3 0
Bài 12: Cho hàm 3 2
6 9
y x x x
1 8&1< sát G thiên và Ne &' C (F! hàm )
2 d B&H= trình B ,2 (F! (C) 7 5 có hoành 4 là &> (F! B&H= trình
0
3 dU giá ' nào (F! tham m, Hg & 2 qua trung 5 (F! <7
y x m m
& hai 5 (G( 7 và (G( 5, (F! &' C Kết quả: 0
1
m m
4 Tính *> tích hình B& U &7 3 (C), f( Ox và hai Hg & x 2; x 1
4
hp
Bài 13: Cho hàm 3
3 1( )
y x x C
1 8&1< sát G thiên và Ne &' (C) (F! hàm )
2 D'& m 5 (C) (i Hg & (d): mx y 1 0 7 ba 5 phân > )
Kết quả: m 3
3 Tính *> tích hình B& U &7 3 (C), f( Ox và hai Hg & x 0; x 1
4
hp
4 JG! vào &' (C), > @,A theo k &> (F! B&H= trình: x3 3 x k 0
Bài 14 : Cho hàm y = x3 + 3x2 + mx + m - 2, có &' (Cm)
1 8&1< sát G thiên và Ne &' (C) (F! hàm khi m = 3
2 ^] A là giao 5 (F! (C) và f( tung Tính *> tích hình B& U &7 3 (C) và B
4
hp
3 Xác '& m 5 &' (Cm) (i f( hoành 7 ba 5 phân > )
Trang 7Kết quả: m 3.
Bài 15: Cho (C) : y = f(x) = x4- 2x2
1 8&1< sát G thiên và Ne &' hàm (C)
2 JG! vào &' (C), tìm k 5 : y k (i (C) 7 5 phân > )
Kết quả: 1 k 0
3 d B&H= trình B ,2 (F! (C) :
c) p B ,2 song song NU d1 : y = 24x+2009 Kết quả: y 24 x 40
4 Tính *> tích hình B& U &7 3 (C) và f( hồnh
Bài 16 : Cho hàm 1
1
x y x
1 8&1< sát G thiên, Ne &' (C) (F! hàm trên
2 L&? k W Hg & d : y = 2x + k luơn luơn (i (C) 7 2 5 &,4( 2 nhánh khác nhau
3 Tìm giá ' @U &+ $ giá ' &k &+ (F! hàm trên 2;0
[ 2;0]
1 ( 2)
3
[ 2;0] (0) 1
4 d B&H= trình B ,2 (F! (C) 7 giao 5 (F! (C) NU f( tung
Kết quả: y 2 x 1
5 d B&H= trình B ,2 (F! (C) 7 giao 5 (F! (C) NU f( hồnh
6 d B&H= trình B ,2 (F! (C) B ,2 vuơng gĩc NU Hg &
2 3 0
7 Tính *> tích hình B& U &7 3 (C) và hai f( ]! 4)
8 Tìm + (1 các 5 trên (C) cĩ ]! 4 là các nguyên
Bài 17 : Cho hàm 4 4
m
1 8&1< sát G thiên, Ne &' (C) (F! hàm NU m 4
2 ^] dk là Hg & qua A 2;0 và cĩ &> gĩc k p> @,A theo k giao 5 (F! (C) và dk
3 ^] (H) là hình B& U &7 3 (C), f( Ox và hai Hg & x 0; x 2 Tính *> tích (H)
4 Tính &5 tích ;& trịn xoay sinh ra khi quay (H) quanh f( Ox
Trang 8II: HÀM >:N OP HÀM 7; Q VÀ HÀM 7; LOGARIT
I TÓM
1) >$S TU!
* Các công T/, , A
m
n
a
* Tính ,#T ,Z! [\] TU!
.
n
;
m
m n n
a a a
* Quy T^, so sánh:
+ dU a > 1 thì m n
a a m n
+ dU 0 < a < 1 thì m n
a a m n
2) a '-, n
;
n
m
m n a mna
3) Lôgarit:
* c 0d! Cho a b , 0; a log 1: ab a b
* Tính ,#T
log
* Quy T^, so sánh:
+ dU a > 0 thì: logab loga c b c
+ dU 0 < a <1 thì: logab logac b c
+ logab loga c b c
* Quy T^, tính:
loga b b logab logab 1
2
loga b logab logab
logab logab log 1 loga
* Công T/, e% ,f _g
hay
log log
log
a b
a
c c
b
logab logbc logac
1 log
log
a
b
b
a
logab logb a 1
* Chú ý: Lôgarit &AB phân (= 10) kí &>, là: logx &<X( lgx
Lôgarit (= e kí &>, là: lnx
4) Bh0 D` hàm , A
D` hàm ,Z! hàm _g _f ,#i Tjk0 0li D` hàm ,Z! hàm _g mi u = u(x)
'
' '
u u u
Trang 9
1 u '
2
x
x
2
u u
u
sin u u '.cos u
cos u u '.sin u
2
1 tan
cos
x
x
2
' tan
cos
u u
u
2
1 cot
sin
x
x
2
' cot
sin
u u
u
x ' x
'.
'
.ln
' .ln
ln x
x
ln u u
u
log
.ln
a x
log
.ln
a
u u
5) Hàm _g [\] TU!P hàm _g +\P hàm _g logarit:
HÀM P 'QR &MS HÀM P OQ HÀM P LOGARIT
( tùy ý)
y x y ax(0 a 1)
Chú ý:
0 : x 0,
loga
x 9 hs có + : có &!
*
Z
NU ] x
+ Z: có &!
NU x 0 + Z : có &!
NU x 0
có &! x có &! NUx 0
54 hàm
0
Hàm
trên
(0; )
Hàm
nb trên
(0; )
Hàm
trên D
Hàm nb trên D
Hàm
trên D
Hàm nb trên D
1 " Luôn qua 5 1;1 . W hoàn toàn phía
trên f( hoành và luôn qua hai 5 A (0;1)
và B (1; ) a
W hoàn toàn phía bên B&1
f( tung và luôn qua hai
5 A (1;0) và B a ( ;1)
6) jf0 trình +\P ijf0 trình logarit:
Trang 10KMYZ(% TRÌNH OQ KMYZ(% TRÌNH LOGARIT
x
Cách 3 + b 0: Pt vô &>)
+ b 0: Pt có 1 n0: x loga b
Chú ý: Xét b.
Pt luôn có n0: x ab
Cách 3
các
pt
+ DH! NP cùng (= % áp *f%
(
( ) ( )
( ) ( )
)
0 a 1
+ DX B&f% t af x t 0
+ Logarit hóa hai N ( chú ý (1 hai N
B&1 *H=#)
+ DH! NP cùng (= % áp *f%
loga f x ( ) loga g x ( ) f x ( ) g x ( )
(0 a 1 và f x ( ) 0 &<X( g x ( ) 0
)
+ DX B&f% t loga f x
+ [ hóa hai N )
Chú ý: DP, ;> xác '& (F! B&H=
trình
7) B#T ijf0 trình +\P '#T ijf0 trình logarit: B&H= pháp H= G &H B&H= pháp
1 B&H= trình và logarit &H ta (9 xét a (khi ` *f B&H= pháp hóa &<X( lôgarit hóa) 5 xác '& (&P, (F! + B&H= trình
Chú ý:
Khi 1 pt, + B&H= trình (= 1 ta B&1 xét b
Khi 1 pt, + B&H= trình logarit ta (9 X P, ;> xác '& (F! B&H= trình
II CÁC
>:N O
Bài 1: Tính giá ' các 5, &?( sau:
0,75 2
0,5
16
A
2
0, 008 2 64 8 9
16
B
1
3 5 : 2 : 16 : 5 2 3
C
15 2
C
D
149 20
D
2
0 3
2 2 5 : 5
8 (0, 25)
E
2
2 3 ( 3 1)
:
a
2
( 3 1)
3 2 1
4
2
G
Bài 2: p S thành *7 @2 &V! NU &6, l%
a) A 8 b3.4 b b 0 b) 3 5 4
( 0)
Trang 11c) C 5 2 2 23 d) 3 2 3 3 2
3 2 3
D
e) E 3 9 27 33
KQ:
5
8
3
D
9 8
3
E
Bài 3 : So sánh
3
3 1 3
4
2
3
2
4
2 3
4
3 4
300
3
LOGARIT Bài 4: Tính logarit ,Z! +rT _g
log 25
C
1 3
log 9
F
3
1 5 2
4 log
2 8
27
3 3 log
3
3 16
log (2 2)
I
2 0,5
log 4
a
1
log ( )
a
KQ:
2
3
8
3
F 28
15
18
3
3
5
L
Bài 5 : Tính luỹ thừa của logarit của một số
2
log 3
4
27
9
C
3 2
2log 5
3 2
D
2
1 log 10 2
8
2
8
3 4log 3
2
G log 2 3log 5 3 3
9
log 1
(2 ) a 0
I a a log 2 3log 5 3 3
27
9
140
F
3
8
3 3
1953125
J
Trang 12Bài 6: Rút ] 5, &?(
4 3
log 8log 81
5 3
log 25log 9
B
3
1 log log 2
5
C D log 6 log 9 log 23 8 6
log 2.log 3.log 4.log 5.log 7
4
log 30 log 30
F
3
log 7 2 log 49 log 27
1 1 log 4
log 8 log 2
4 2
12
12
3
D 1 log 76
3
E F 2 G 6 log 73 H 19
HÀM 7; >Qs O - HÀM 7; Q - HÀM 7; LOGARIT Bài 7: Tìm AB xác '& (F! các hàm sau:
6 8
6
y x x
y x x x ln x2 5x 6
log 10
y
x
3
log 2
1
x y
x
5
2 3
log ( 2)
x
y
x
2 1
2 x x 3
KQ:
a) R \ 2; 4 b)
3
4
c)
; 3 2;
d)
0;1 2;
; 2 1; g) ;10 h) R \ 2
Bài 8: Tính 7< hàm (F! các hàm sau:
2 3 4 x
cos x x
3
3
x
4x
x
KQ:
a) x.sin 3 3 .cos 3x
d)
2 2 x x .sin x x
... – GTNN HÀM 7; y f x ( )TRÊN D :: ta &G( &> &H sau:
a b ;
AB 1 thi? ?n... ; @,A)
Cách 2:
AB 1 thi? ?n [a;b] ; @,A)
CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN SÁT HÀM 7;
a) Bài tốn 1: Tìm... 0 1 tìm m , khơng tam y
&?( A( hai ta B&1 @AB 1 thi? ?n 5 (&l S *+, hai @9 khác qua hai
&> K#)
+ 8 @,A giá ''