Bài tập Con lắc đơn

Treo con lắc ở trần 1 chiếc xe rồi cho xe chuyển động nhanh dần đều trên đường ngang thì dây treo hợp với phương thẳng đứng 1 góc 0 = 90 a Hãy giải thích hiện tượng và tính gia tốc a củ[r]

con lắc đơn

Bài 1:

Hai con lắc đơn chiều dài l1, l2 (l1>l2) và có chu kì dao động tương ứng

là T1; T2, tại nơi có gia tốc trọng trường g = 9,8m/s2 Biết rằng, cũng tại nơi

đó, con lắc có chiều dài l1 + l2 , chu kì dao động 1,8s và con lắc đơn có chiều dài l1 - l2 có chu kì dao động 0,9 (s) Tính T1, T2, l1, l2

Lời giải

+ Con lắc chiều dài l1 có chu kì T1= 2 l1g  l1= g (1)

4

T

2

2 1



+ Co lắc chiều dài l2có chu kì T2= 2 l2g  l1= g (2)

4

T

2

2 2



+ Con lắc chiều dài l1 + l2 có chu kì T3= 2

g

l

l1  2

4

10 ) 8 , 0 ( 4

g ) T (

2

2 2

2 '









+ Con lắc có chiều dài l1 - l2có chu kì T' = 2

g

l

l1  2

4

10 ) 9 , 0 ( 4

g ) T (

2

2 2

2 '









Từ (3) (4) l1= 0,51 (m) = 51cm

l2 = 0,3 (m) = 3cm Thay vào (1) (2) T1= 2 0,51 1,42 (s)

T2= 2 1,1 (s)

10

3 ,

0 

Bài 2:

Một con lắc có chiều dài l, vật nặng khối lượng m, kéo con lắc ra khỏi VTCB một góc 0 rồi thả không vận tốc đầu

1 Lập BT vận tốc tương ứng với li độ góc  suy ra BT vận tốc cực đại

2 Lập bt lực căng dây ứng với li độ góc  Suy tab t lực căng dây cực

đại, cực tiểu

* áp dụng: l = 1m, m = 100g, 0 = 60 ; g = 10(m/s2);  2= 10

Lời giải

1 BT vận tốc tương ứng với li độ 

+ Theo định luật bảo toàn cơ năng, cơ

năng của con lắc tại VT li giác bất kì bằng

thế năng của con lắc tại VT biên

mgh0 = mgh + (mv2)

2 1

 v2 = 2g (h0 - h)2

(v2 = 2gl (1 - cos) với h0 = l(1 - cos)

h = l(1 - cos)

 v2 = 2gl (cos - cos0) Vậy độ lớn vt :  v  = 2gl(coscos0)

Vì cos = 1- 2sin2 khi << cos =

2



2

1 2

I



h0 - h

Tương tự cos 0 =

2

1 20

 v  = gl(20 2)

+ Vận tốc cực đại khi = 0, vật ở VTCB 0

 vmax  = 0 gl

+ áp dụng số:

 vmax = 6 10.1 0,33 (m/s) = 33cm/s

2 - Biểu thức lực căng dây ứng với li góc 

+ Định luật 2 N FPT ma

Chiều lên phương dây treo

Fth = -mg.cos +T = maht

l

v2

l

v2

v2 = 2gl (2- 2) ta được

T = mg (3cos - 2 cos0) = mg (2

0 - 2 + 1)

2 3

+ Lực căng dây cực đại khi  = 0, vật ở VTCB

Tmax = mg (2

0+ 1) Thay số

90

1 1 150





























 

+ Lực căng dây cực tiểu khi  =  , vật ở VT biên

Tmin = mg (1 - 2 )

2 1

Thay số

150

6 2

1 1

2





























 



Bài 3:

Một con lắc đơn gồm sợi sây có chiều dài l treo vật nặng có khối lượng

m Khi con lắc đơn đang ở VTCB, người ta truyền cho vật nặng vận tốc ban

đầu v0 lực cản coi dao động của con lắc là dao động nhỏ Lập bt tính vận tốc của vật nặng và lực căng của dây treo theo li độ góc 

Xét trường hợp để vận tốc và lực căng đạt cực đại và cực tiểu

Lời giải

* Vận tốc tương ứng với li góc 

+ Định luật lt cơ năng: cơ năng của con lắc VT li giác 

Bằng động năng của con lắc ở VTCB

2 0

2

1 mgh mv

2

1





 v2 = v2 - 2gh

v2= v2

0- 2gl(1 - cos)

  v  = v20 2gl(1cos)

Khi góc  << thì 1 - cos = 2sin2 =

2



2

2



I



h

l T l

0

l

 v  = v20 2gl2 + Vận tốc cực đại khi  = 0   vmax  = v0 , vật ở VTCB

Thay số  vmax  = 1m/s + Vận tốc cực tiểu khi  = 0

v0 = 0 gk  vmin = 0

* Lực căng dây

a m T P

 = mgcos + T = maht

l

v2

l

v2

Thay v2 ở trên

gl

v20























+ Khi  nhỏ: cos = 1 -2sin22 = 1 -

2

2



2

3 1 gl

v ( 20   2

+ Lực căng dây cực đại khi  = 0, con lắc ở VTCB

Tmax = mg +

l

mv20

+ Lực căng dây cực tiểu khi  = 0(con lắc ở VTCB)

v0 = 0 gl  2 =

gl

v20

Tmin= mg )

gl 2

v 1 ( mg ) gl

v 2

3 1 gl

v ( 20   20   20

áp dụng

Tmax = 0,1.10 + 1,1(N)

1

1 1 ,



Tmin = 0,1 10 ) = 0,95 (N)

1 10 2

1 1

Bài 4:

Một đồng hồ qủa lắc chạy đúng giờ ở Hà Nội Đồng hồ sẽ chạy nhanh chậm thế nào khi đưa nó vào TPHCM Biết gia tốc rơi tự do ở Hà Nội và TPHCM lần lượt là 9,7926 m/s2 9,7867 m/s2 Bỏ qua sự ảnh hưởng của nhiệt

độ Để đồng hồ chỉ đúng giờ tại TPHCM thì phải đ/chỉnh độ cài con lắc như thế nào?

Lời giải

+ Chu kì của con lắc đồng hồ tại Hà Nội là

T1= 2 = 2 (s)

1

g

l



+ Chu kì dao động của con lắc đồng hồ tại TPHCM là

1

g

l



0003 , 1 7867 , 9

7926 , 9 g

g T

T

2

1 2

T2= 1,0003T1 = 2,0006 (s) + Vì T2>T=1 nên tại TPHCM đồng hồ chạy chậm trong 1 ngày, khoảng thời gian chạy chậm là:

t = 24.60.60 26 (s)

T

T T

1

2

+ Để đồng hồ tại TPHCM cũng chỉ đúng giờ thì chiều dài con lắc phải dài là:

 T'

2 = 2 = 2 (s)

2

' g

l



VT T1 = T'

2  =

2

'

g

l

2 1 '

g l

l g

l





Thay số:

 l'= 1,0006 l Tại TPHCM đề đồng hồ chỉ đúng giờ, cần tăng chiều dài dây lên một lượng là

l = l'- l = 0,0006l

VT l = nên l = 0,0006

2

2 1 1

4

T g

2 1 1

4

T g



Thay số

4

4 x 7926 , 9



Bài 5:

Một con lắc đơn gồm sợi dây có chiều dài l = 1(m) và quả cầu nhỏ khối lượng m = 100 (g), được treo tại nơi có gia tốc trọng trường g = 9,8 (m/s2) 1.Tính chu kỳ dao động nhỏ của con lắc

2 Cho quả cầu mang điện tích dương q = 2,5.10-4 tạo ra đường trường

đều có cường độ E = 1000 (v/m)

Hãy xác định phương của dây treo con lắc khi CB và chu kì dao động nhỏ của con lắc trong các trường hợp

a) Véctơ hướng thẳng xuống dướiE

b) Véctơ có phương nằm ngang.E

Lời giải

1 - Chu kì dao động nhỏ của con lắc

8 , 9

1 14 , 3 2 g

l



2 - Cho con lắc tích điện dao động trong đtrường đều

+ Các lực tác dụng vào con lắc: Pm g : Trọng lực

T: lực căng của dây

: lực điện trường

E q

Fd

+ Coi con lắc dao động trong trường trọng lực hiệu dụng g'

= m d

'

E P

Khi CB dây treo con lắc có phương của P'và chu kì dao động nhỏ được tính theo công thức:

T' = 2

'

g

1



a) thẳng đứng xuống dướiE

+ g> 0 nên Fd cùng hướng với , tức là E

thẳng đứng xuống

Vậy khi CB, dây trheo vẫn có phương

thẳng đứng

Ta có: P' = P + Fđ

 mg'= mg + qE

 g'= g +

m qE

+ Chu kì dao động nhỏ của con lắc



P

 d

F



T



g



VTCB

T' = 2

m

qE g

1 2

g

1

'









Thay số

1 , 0

10 10 5 , 2 8 , 9

1

3

4 





b) Trường hợp E nằm ngang

+) Ed có phương  với P

Khi CB, dây treo lệch góc so với phương thẳng đứng, theo chiều của lực 

điện trường

tg = 

mg

qE P

Fd



8 , 9 1 , 0

10 10 5 ,

 ~ 14 0

+ Chu kì dao động của con lắc

T'= 2

'

g

l



Từ hình vẽ:

cos

g g

cos









g

cos l

 T'= T0 cos 2 cos140 1,97 (s)

+

d

F ' P P

Bài 6:

Một con lắc đơn dao động với biên độ nhhỏ, chu kì là T0, tại nơi ga = 10m/s2 Treo con lắc ở trần 1 chiếc xe rồi cho xe chuyển động nhanh dần đều trên đường ngang thì dây treo hợp với phương thẳng đứng 1 góc 0 = 90

a) Hãy giải thích hiện tượng và tính gia tốc a của xe

b) Cho con lắc dao động với biên độ nhỏ, hãy tính chu kì T của con lắc theo T0

Lời giải

a) Giải thích hiện tượng:

Trong HQC gắn với xe (HQC không quán tính), vật nặng của con lắc đơn phải chịu 3 lực tác dụng

+ Trọng lực Pmg

+ Lực căng dây T

+ Lực quán tính Fma0

Khi con lắc ở VTCB

0 F T

ngược chiều với nên ngược chiều với

q

Vậy lực Fq làm cho dây treo lệnh 1 góc  về phía ngược với chiều chuyển

động của xe

tg =

g

a mg

ma P

Fat





<<  tg  do đó

a g = 10. 9 ~ 1,57 (m/s2)

180



+



F ' P P

0 a

0 v

b) Thiết lập hệ thức giữa T0 và T

Do có thêm lực quán tính nên coi trọng lực hiệu dungc của con lắc là

' qt

'

g m F

P

(Coi con lắc dao động trong trường gia tốc ghd = g')

cos

g g

cos

mg cos













 Chu kì dao động của con lắc khi đó xác định theo công thức

T = 2

'

g

l



g

l



g

cos g g

g T

T

' 0

Vậy T = T0 cos

Bài 7:

Một con lắc đơn gồm sợi sây có chiều dài l = 1m và vật nặng có khối lượng m = 0,5kg Lúc đầu kéo con lắc lệch khỏi VTCB 1 góc 0 = 60 rồi thả nhẹ cho dao động Khi dao động con lắc chịu tác dụng của lực cản có độ lớn coi như không đổi sau 100 dao động, li độ cực đại của con lắc là  = 30 coi chu

kỳ dao động của con lắc như khi không có lực cản

1 CMR sau mỗi chu kì, li độ góc cực đại của dao động giảm 1 lượng không đổi

2 Để duy trì dao động của con lắc cần phải dùng một động cơ nhỏ có ma sát tối thiểu là len (g = 10m/s2, 2 = 10)

Lời giải

1 Chứng minh li giác cực đại sau mỗi chu kì giảm 1 lượng không đổi

+ Lúc đầu, li giác cực đại là 0 , cơ năng của con lắc là:

E0= mgh0= mgl(1 - cos)

1 - cos = sin2 2  E0 =

2 0

0

mgl 2

1



+ Sau nửa chu kì đầu tiên vật đến VT biên có li giác cực đại là 1, cơ năng của con lắc là:

E1= mgl 20 2

1



 E0- E1 = (2

0 - 2

1)

mgl 2 1

+ Sau nửa chu nửa chu kì thứ 2, vật đến VT biên có li giác cực đại 2, cơ năng của con lắc là:

E2= mgl2

2 1

 E1- E2= (2

1 - 2

2)

mgl 2 1

Sau mỗi chu kì 1 cơ năng giảm E

E = (E0- E1) + (E1- E2) = mgl(2 - 2 )

2 1

E = mgl(0 - 2)(0 + 2) = mgl0.

2 1

+ Công của lực cản:

AC = (S0 + 2S1+ S2)Fc~ 7S0Rc ~40kFc

 mgl0  = 40lFc

  = = const

mg

F

4 c

Vậy sau mỗi chu kì, biên độ giảm 1 lượng không đổi (đpcm)

2 Công suất của động cơ duy trì dao động con lắc

+ CHu kì dao động của con lắc

10

1 2 g

l

 + Độ giảm năng lượng trong N chu kì là

0 - 2 = (2

0 - 2)

mgl 2

1

mgl 2

1

mgl 2 1

2

2

10 08 , 2 ) 3 6

( 180

10 5 , 0 2







+ Công suất của động cơ là

= 1,04.10-5 W 2

100

10 08 , 2 T N

E Δ t

E









Bài 8:

Tại một nơi nang bằng mực nước biển, ở nhiệt độ 100C, một đồng hồ quả lắc trong một ngày đêm chạy nhanh 6,48 (s) coi con lắc đồng hồ như 1 con lắc

đơn thanh treo con lắc có hệ số nở dài  = 2.10-5 K-1

1 Tại VT nói trên ở thời gian nào thì đồng hồ chạy đúng giờ

2 Đưa đồng hồ lên đỉnh núi, tại đó t0 là 60C, ta thấy đồng hồ chạy đúng giờ Giải thích hiện tượng này và tính độ cao của đỉnh núi so với mực nước biển Coi trái đất là hình cầu có bán kính R = 6400 km

Lời giải

1 Xác định nhiệt độ mà đồng hồ chỉ đúng giờ

Giả sử đồng hồ chạy đúng ở t0 C với chu kì

T = 2

g

) t 1 ( l 2 g







ở t1 = 1000, chu kì là T1= 2

g

) t 1 (

l0  1



2

1 t 1

t 1

T











(VT t1 << 1; t1 << 1)

+ Theo biên độ: đồng hồ chạy nhanh  T1<T  t1 < t

+ Độ l0t chu kì theo t0

T1 = T1 - T ~ (t t)

2

T

1 



Thời gian mà đồng hồ chạy sai trong 1 ngày đêm là

t = 24.60.60 43200 (t t )

T

T

Δ

1

Theo biên độ t = 6,48 (s)  t ~ 17,50C

2 - Khi đồng hồ ở trên đỉnh núi

Chu kì của quả lắc hoat động thay đổi do

+ Nhiệt độ giảm làm chiều dài con lắc giảm -> T giảm

+ Độ cao tăng dần tới gia tốc trọng trường giảm -> T tăng

Hai nguyên nhân đó bù trừ lẫn nhau -> đồng hồ chạy đúng ở độ cao h:

h R

R ( g



Kí hiệu: Th: Chu kì ở độ cao h

th: t0ở độ cao h

Độ biến thiên chu kì th theo độ cao khi chiều dài con lắc không đổi (nếu coi t

= th)

R

h g

g T

T

h

 th= th - T = T

R h

lại có Tt = (th- t) (t1: độ biến thiên theo nhiệt độ)

2

T

th 

Vì con lắc đồng hồ chạy đúng nên tt + th= 0

R

h T ) t t ( 2

T



 h =

2

R )

t t (  h



Thay số ta được h = 0,736 km = 736 m

Bài 9:

Một quả cầu A có kích thước nhỏ, khối lượng m = 500g, treo bằng 1 sợi dây mảnh, không dãn, chiều dài l = 1m ở VTCB không quả cầu cách mặt đất nằm ngang một khoảng 0,8m Đưa quả cầu ra khỏi VTCB sao cho sợi dây lập với phương thẳng đứng 1 góc 0 = 600 rồi buông cho nó chuyển động không vận tốc ban đầu Bỏ qua lực cản môi trường (g = 10m/s2)

1 Tính lực căng T khi A ở VTCB

2 Nếu đi qua 0 thì dây đứt thì mô tả chuyển động của quả cầu và phương trình quỹ đạo chuyển động của nó sau đó

3 Xác định vận tốc của quả cầu khi chạm đất và có vị trí chạm đất

Lời giải

1 Lực căng dây

Định luật bảo toàn cơ nang mgh + mv2 = mgh0

2 1

 v2 = 2g(h0- h) = 2gl(cos - cos0)

Định luật 2 N:

a m T P

 T = mgcos  = maht

 T = m (gcos + )

l

v2

áp dụng (1) với VT quả cầu từ A đến 0

 v2

o = 2gl(1 - cos0)   v0  = 10 m/s

 T = m g + 2g (1 - cos0) = mg (3 - 2 cos0)

Thay số: T = 0,5.10.(3 - 2cos600) = 10N

2 Chuyển động của quả cầu sau khi dây đứt

+ Khi đến VTCB, vận tốc quả cầu là v0 có phương nắm ngang

+ Nếu tại VT0 dây bị đứt thì chuyên động của m sau khi dây đứt là chuyên

động ném ngang

+ Chọn hệ trục oxy như hình vẽ ta được: quả cầu chuyên dộng theo

phương 0x : chuyển động thẳng đều: x = v0t = 10t (1)

phương oy: chuyển động thẳng nhanh dần đều, vận tốc đầu = 0

 y = gt2 = 5t2 (2)

2 1

Từ (1) t=  thay vào (2) y = x2 (x; y >0)

10

x

2 1

Vậy quỹ đạo chuyển động của vật là 1 nhánh của parabol

3 Qủa cầu chạm đất ở M với y = H = 0,8 cm

l

0

v

G m

A

 0 H y

M

x

Thay vào PT quỹ đạo: x - 1,3 (cm)

0

2

2

1 mH mV

2

1





 VM  = 102.10.0,8 26 5,1 (m/s)

Bài 10:

Con lắc đơn gồm 1 quả cầu khối lượng

m1= 100g và sợi dây không giãn chiều dài l

= 1m Con lắc lò xo gồm 1 lò xo có khối

lượng không đáng kể độ cứng k = 25 (N/m)

và 1 quả cầu khối lượng m2 = m1= m = 100g

1 Tìm chu kì dao động riêng của mỗi con lắc

2 Bố trí hai con lắc sao cho khi hệ CB (hình vẽ) kéo m1 lệnh khỏi VTCB 1 góc  = 0,1 (Rad) rồi buông tay

a) Tìm vận tốc quả cầu m1 ngay trước lúc va chạm vào quả cầu (<<)

b) Tìm vận tốc của quả cầu m2 sau khi va chạm với m1và độ nén cực đại của

lò xo ngay sau khi va chạm

c) Tìm chu kì dao động của hệ

Coi va chạm là đàn hồi ** bỏ qua ma sát

Lời giải

1 Tìm chu kì dao động

25

5 , 0 2 k

m



10

1 2 g

m



2 a) Vận tốc m1 ngay sau va chạm:

l

m1gh = m1gl(1 - cos) = m1v2

2 1

góc  nhỏ  1 - cos = 2sin2

2 2

2







V0=  gl 0,1 10 = 0,316 (m/s)

b) Tìm vận tốc v2 của m2 ngay sau khi va chạm với m1 và độ nén cực đại của

lò xo sau khi va chạm

+ Gọi v1, v2là vận tốc của m1, m2 ngay sau khi va chạm

áp dụng định luật bảo toàn động lượng và định luật bảo toàn cơ năng:

m1v2

0 = m1v12 + m2v2

2

1

2

1

2 1

VT m1= m2 nên từ (1) (2) ta có v0= v1+ v2 (3)

v2 = v2 + v2 (4)

Từ (3) suy ra: v0 = (v1+ v2)2= v2 + v2 = 2v1v2

So sánh với (4) suy ra: v1 = 0; v2 =v0 ~ 0,316 (m/s)

+ Như vậy, sau va chạm, quả cầu m1đứng yên, quả cầu m2 chuyển động với vận tốc bằng vận tốc của quả cầu m1 trước khi va chạm

+ Độ nén cực đại của lò xo

kl2= m2v2

2

2

1

2 1

25

1 , 0 316 , 0 k

m2





c) Chu kì dao động T = (T1 + T2) = (2 + 0,4) = 1,4 (s)

2

1

2 1