Giáo trình Lý thuyết mạch điện: Phần 2

Âãø âån giaín vaì båït kyï hiãûu trãn hçnh veî, ta choün chiãöu dæång voìng truìng våïi chiãöu dæång doìng âiãûn voìng qua voìng âoï vaì chuï yï ràòng trong mäüt nhaïnh c[r]

Chương 3

Dựng số phức để giải mạch xoay chiều

Bài 3.1.Những vấn đề cơ bản về số phức

1, Khái niệm mở đầu

Mỗi lượng hình sin a = Am sin (t + ), ngoài tần số , ta cần biết biên độ

Am(hoặc trị hiệu dụng A) và góc pha đầu Như vậy cần dùng hai thông số để biểu diễn lượng hình sin có tần số biết trước Ta đã biết trong toán học mỗi số phức

được đặc trưng bởi 2 số thực ( phần thực và phần ảo, hoặc mô đun và acgumen) Như vậy dùng số phức có thể biểu diễn cả hai thông số của lượng hình sin

Việc dùng số phức để biểu diễn các lượng hình sin và tính toán mạch điện tỏ

ra rát tiện lợi Nó cho phép biểu diễn các mối quan hệ trong mạch điện một cách

đơn giản, gọn gàng, phát biểu các định luật dưới dạng chung cho cả mạch điện 1 chiều và xoay chiều Do đó ta có thể áp dụng các định luật và phương pháp giải mạch điện 1 chiều vào mạch điện xoay chiều, bằng cách chuyển các đại lượng thực thành các đại lượng phức

2 Khái niệm về số phức

Đơn vị ảo ký hiệu là i, là một số mà bình phương bằng -1:

i2 = - 1

Trong kỹ thuật điện, để tránh nhầm với dòng điện người ta dùng chữ j để ký hiệu đơn vị ảo : j2 = -1

Số ảo : Tích của số thực b với đơn vị ảo j gọi là số ảo

Ví dụ 3j ; - 5j ; 2,4j là các số ảo

Số phức Z : Là 1 lượng gồm thành phần thực a và thành phần ảo jb: Z = a +

jb Cần chú ý là thành phần thực a và ảo jb khác hẳn nhau về bản chất, không thể bù trừ nhau được

Ví dụ : 3 – j4; -1,5 + j2,6 là các số phức Do đó, hai phức bằng nhau khi

và chỉ khi phần thực của chúng bằng nhau và phần ảo của chúng bằng nhau Biểu diễn số phức bằng hình học

Trong mặt phẳng, lấy hệ tọa độ vuông góc, trục hoành biểu diễn các số thực gọi là trục thực, ký hiệu là +1, trục tung biểu diễn các số ảo gọi là trục ảo, ký

Mỗi số phức Z = a + jb được biểu diễn như sau: Phần thực a đặt trên trục thực, còn phần ảo jb đặt trên trục ảo Điểm M có tọa độ (a,b) là điểm biểu diễn

số phức Z Cũng có thể dùng véc tơ OM để biểu diễn số phức Z Chiều dài véc tơ

OM =z gọi là mô đun ( độ lớn) của số phức Z, còn góc  tính từ trục thực đến véc tơ OM theo chiều dương ( là chiều ngược với kim đồng hồ) gọi là acgumen( góc) của số phức Z

Các dạng biểu diễn số phức:

* Dạng đại số: Dạng Z = a+ jb gọi là dạng đại số của số phức, a là phần thực, jb là phần ảo

* Dạng lượng giác: Từ cách biểu diễn hình học ta có:

a = z cos  ; b = z sin  Suy ra: Z = z cos  + j z sin  = z(cos  +j sin )

* Dạng mũ: Dùng công thức Ơle (Euler):

cos  + j sin  = ej  Suy ra: Z = z ej 

Trong đó e = 2,718 là cơ số của logarit tự nhiên

Như vậy, mỗi số phức đều có 2 cách biểu diễn cơ bản: biểu diễn bởi phần thực a và phần ảo jb, hoặc biểu diễn bởi mô đun z và acgumen  Bốn lượng đó

là 4 thành phần của tam giác vuông OaM, a và b là hai cạnh góc vuông, z là cạnh huyền,  là góc nhọn Giữa bốn thành phần đó, có các quan hệ chặt chẽ (quan

b

+j

jb

z

M



Z= a + jb

Biểu diễn số phức bằng hình học

+1

+j

o -3 -2 -1

1

2

3

4

1 2 3

Z= 3+ j4 Z= -3+ j2

Biểu diễn các số phức:

Z= 3+j4 và Z= -3+j2

-1 -2 -3

hệ tam giác lượng) Nếu biết hai lượng, sẽ tìm được hai lượng còn lại ,chẳng hạn, nếu biết phần thực và phần ảo, ta tính được mô đun và ácgumen:

z  a2 b2 ; tg =

a b

Ngược lại, nếu biết môdun và acgumen ta tính được phần thực và phần ảo:

a = zcos; b = zsin

Ta suy ra rằng hai phức bằng nhau thì mô đun của chúng bằng nhau và acgumen của chúng hơn kém nhau k2, và ngược lại Z1 = Z2 khi và chỉ khi: z1 =

z2 và 1 = 2 + 2k, k = 0; -1; - 2; +1; +2

Ví dụ: Cho số phức Z = 4 +j3, hãy tìm môđun và acgumen của phức Z, viết

phức Z dưới dạng lượng giác và dạng mũ

Giải:

Mô đun và acgumen của phức Z:

z  a2 b2 42 32  5

0 , 75

4

3







tg , suy ra  36050'

Dạng lượng giác và dạng mũ của phức Z:

Z = 5(cos 360 50’ + j sin 360 50’) = 5e j36050

Phức liên hợp:

Hai phức gọi là liên hợp, nếu chúng có phần thực bằng nhau và phần ảo đối nhau Phức liên hợp của phức Z ký hiệu là



Z ( đọc là Z sao, hoặc Z mũ, Z liên hợp )

Nếu Z = a +jb thì



Z = a - jb Nếu Z = z(cos  +j sin ) thì



Z = z (cos  -j sin )

Nếu Z = z ej  thì



Z = z e -j 

Ví dụ: Tìm phức liên hợp của các phức sau:

Z1 = - 3 + j5; Z2 = 5(cos300 - j sin300); Z3 = 1,2 e j600

Các phức đáng chú ý

Số ảo Z = jb là số phức có phần thực bằng không

2

sin 2

(cos





e b



Số phức có mô đun bằng đơn vị gọi là toán tử quay hay hệ số quay

Z  ej  cos   j sin 

Lần lượt cho k ;k 0;k 1;k 2 n

ej0 = cos0 + j sin0 = 1

e j   j  j

2

sin 2

cos



ej    j  )j

2 sin(

) 2 cos(



ej 

= cos + j sin = -1

Biết j2 = -1, do đó: j3 = j2.j = -j ; j4 = j2 j2 = (-1).(-1) = 1; j5= j4.j = j ; j6 = j5.j = -1

3 Một số phép toán về số phức

- Cộng các số phức: Muốn cộng các số phức, ta cộng các phần thực với

nhau, các phần ảo với nhau

Ví dụ: Cho hai phức Z1 = a1 +jb1 ; Z2 = a2 + jb2 Tổng của chúng sẽ là :

Z = Z1 + Z2 = (a1 + a2) + j(b1 + b2) = a + jb

Vớ duù: (2 + j 6) + ( 3 – j 2) = (2 + 3) + j (6– 2) = 5 + j 4

- Trừ các số phức: Muốn trừ các số phức , ta trừ các phần thực với nhau,

các phần ảo với nhau

Ví dụ: Cho hai phức Z1 = a1 +jb1 ; Z2 = a2 + jb2 Hiệu của chúng sẽ là :

+1

 +j

-1=ej

-j = e-j /2

j = ej /2

Biểu diễn hình học các phức

có môđun bằng đơn vị 1=ej0

Z = Z1 - Z2 = (a1 - a2) + j(b1 - b2) = a + jb

Ví dụ : ( 4 + j 5) – ( 2 +j 3) = (4 – 2) + j (5– 3) = 2 +j 2

Chú ý: Việc cộng và trừ các phức thực hiện bằng dạng đại số Muốn cộng

hoặc trừ các phức biểu diễn các dạng khác, trước hết cần đổi chúng về dạng đại

số Sau khi có kết quả, nếu cần ta lại đổi về các dạng khác

- Nhân các số phức:

Nhân các số phức dưới dạng đại số:

Z = Z1.Z2 = (a1 + jb1)(a2 + jb2) = a.1.a2 + a1.jb2 + jb1.a2 + j2b1b2 Biết j2 = -1, do đó:

Z =( a1 + jb1)(a2 + jb2) = (a1a2 – b1b2) + j(a1b2 + b1a2) Nhân các số phức dưới dạng mũ:

Z = Z1.Z2 = z1ej 1 z2ej 2 = z1.z2ej( 1 + 2) = zej Trong đó z = z1.z2 ;  = 1 + 2

Quy tắc: Muốn nhân các số phức ta nhân các mô đun với nhau và cộng các

acgumen với nhau

Nghúa laứ khi nhaõn soỏ phửực vụựi e +j ta quay veực tụ bieồu dieón soỏ phửực aỏy ủi

moọt goực α ngửụùc chieàu chieàu kim ủoàng hoà, khi nhaõn vụựi e -j ta quay veựctụ ủi moọt goực α cuứng chieàu kim ủoàng hoà

Nhaõn soỏ phửực vụựi ±j

Theo coõng thửực ễle :

Nhử vaọy, khi nhaõn moọt soỏ phửực vụựi j ta quay veực tụ bieồu dieón soỏ phửực ủoự

ủi moọt goực π/2 ngửụùc chieàu kim ủoàng hoà, neỏu nhaõn vụựi –j ta quay veực tụ cuứng

chieàu kim ủoàng hoà moọt goực π/2

- Chia các số phức:

Chia số phức dạng đại số:

Muốn chia hai phức Z1 = a1 +jb1 và Z2 = a2 + jb2 dưới dạng đại số, ta nhân cả phức chia và phức bị chia với phức liên hợp của phức chia



















) ).(

(

) ).(

(

2 2 2 2

2 2 1 1 2 2

1 1 2

1

jb a jb a

jb a jb a jb a

jb a Z

Z Z

b a

b a b a j b a

b b a a b

a

b a b a j b b a a

























2

2 2

2 1 1 2 2

2

2 2

2 1 2 1 2

2

2 2

2 1 1 2 2

1 2

(

Chia các số phức dạng mũ:

Quy tắc: Muốn chia hai phức dưới dạng mũ, ta chia các mô đun với nhau và trừ các acgumen với nhau



j j

j

j

ze e

z

z e

z

e z Z

Z

2

1 2 2

1 1 2 1

Với

2

1

z

z

z  ;  = 1 + 2

Bài 3.2 Biểu diễn các lượng của mạch điện hình sin dưới

dạng phức

1 Biểu diễn các lượng giác hình sin dưới dạng phức

Trong mạch điện hình sin, tần số f hoặc tần số góc  là chung cho các lượng hình sin , nên mỗi lượng hình sin a = Am sin(t + a) = A 2 sin (t + a) được

đặc trưng bởi 2 thông số: Biên độ Am (hoặc trị hiệu dụng A) và góc pha đầu, mỗi

số phức cũng biểu diễn bởi 2 thành phần mô đun và acgumen (hoặc phần thực và phần ảo) Do đó có thể dùng số phức để biểu diễn lượng hình sin a Quy tắc biểu diễn như sau:

Số phức biểu diễn lượng hình sin

a = Am sin(t + a) = A 2 sin (t + a) có mô đun bằng biên độ Am (hoặc trị hiệu dụng A), acgumen bằng góc pha đầu a Để ký hiệu số phức biểu diễn lượng hình sin ta dùng ký hiệu Am, hoặc A ( có dấu chấm đầu)

A m  A m e ja



và A  Ae ja

Như vậy, biết lượng hình sin a, ta có thể biểu diễn nó dưới dạng phức Am

hoặc A suy ra lượng hình sin a:

a = Am sin(t + a)  A m  A m e ja



a = A 2 sin (t + a)  A  Ae ja

Về mặt hình học, lượng hình sin a được biểu diễn bởi véc tơ Am quay với tốc

độ góc 

Nếu a = i ta có phức dòng điện:

i  Imsin(  t  i)  I m  Imeji

i  I 2 sin (t + i )  IIe ji

Nếu a = u ta có phức điện áp:

u U m sin(t u)  Um U m e ju

u  U 2 sin(  t  u)  U   Ueju

Nếu a = e ta có phức sức điện động:

e  Em  t  e  Em  Emeje



) sin(

e E te E Ee je



) sin(

2

2 Định luật Ôm dưới dạng phức Phức tổng trở

Ta xét một nhánh có trở kháng r, x, đặt vào điện áp u = Um sin(t + u ) dòng điện trong nhánh i = I 2 sin (t + i )

+ 1



m

A

 + j



Nhánh xoay chiều có trở kháng (a) Sơ đồ phức tương đương (b) Đồ thị véc tơ (c)

x r

U z

U I







 = u - i ;  = arctg

r x

 là góc lệch pha giữa u và i ( hình c)

Toồng trụỷ phửực

Ta có: U Ue ju, j i

Ie

I 

Chia hai phức cho nhau

I

U

 là tổng trở nhánh, u - i =  là góc lệch pha giữa u và i

I







ở đây Z gọi là phức tổng trở nhánh Biểu thức trên có dạng định luật Ôm với các đại lượng là số phức , nên gọi là định luật Ôm dạng phức, phát biểu như sau:

Trong nhánh xoay chiều, phức dòng điện nhánh bằng phức điện áp nhánh chia cho phức tổng trở nhánh

Z

U I







Ta có:

Z = zej  = z ( cos + j sin) = z cos + j zsin

Tửứ tam giaực toồng trụỷ ta coự:

U

I

Z



U



I Z= r +jx

+ j

+ 1

I

U



i

u

z cos = r laứ ủieọn trụỷ hoaùt ủoọng cuỷa maùch

zsin = x laứ ủieọn khaựng cuỷa maùch

Từ ủoự:

Z = zej 

= r + jx = r + j (L -

C

.

1

Nghĩa là phức tổng trở mạch có phần thực bằng điện trở , và phần ảo bằng

điện kháng mạch

Đối với nhánh thuần điện trở: Z = r = rej 0

Đối với nhánh thuần điện cảm: x = xL nên có:



j

e

Đối với nhánh thuần điện dung: x = -xC nên có:



j

e

3 Phức tổng dẫn nhánh

Định nghĩa: Nghịch đảo của phức tổng trở nhánh gọi là phức tổng dẫn nhánh, ký hiệu là Y:

Z

Y  1

Thay giá trị của Z = r + jx và thực hiện phép chia:

Phức tổng dẫn nhánh có phần thực là điện dẫn tác dụng của nhánh, phần ảo

là điện dẫn phản kháng của nhánh nhưng ngược dấu

j 





j j

j

z ze

e ze

Y  1 1. 1 

0

Biết y

z 

1

là tổng dẫn nhánh Do đó:

Y = y.e-j 

Nên ta có:

Z

U

I    .

Đó là định luật Ôm dưới dạng phức tổng dẫn

4 Phức công suất

ẹũnh nghúa: Tớch cuỷa phửực ủieọn aựp nhaựnh vụựi lửụùng lieõn hụùp cuỷa phửực doứng ủieọn nhaựnh goùi laứ phửực coõng suaỏt, kyự hieọu S~ :

S~U.I

Thay giá trị j u

Ue



; I Ieji



 vào, ta có:

Se Ie

U Ie

U I

Ue

S~   (  )   Phức công suất nhánh có mô đun bằng công suất toàn phần của nhánh, acgumen bằng góc lệch pha giữa dòng và áp nhánh

ẹoồi veà daùng ủaùi soỏ:

Coõng suaỏt phửực coự phaàn thửùc laứ coõng suaỏt taực duùng P, phaàn aỷo laứ coõng suaỏt phaỷn khaựng Q cuỷa maùch

5 Biểu diễn phép tính đạo hàm và tích phân lượng hình sin dạng phức

Laỏy ủaùo haứm:

`Nhử vaọy, ủaùo haứm theo thụứi gian cuỷa doứng ủieọn tửụng ửựng vụựi pheựp nhaõn daùng phửực vụựi thửứa soỏ jω

Nhử vaọy, Tớch phaõn theo thụứi gian cuỷa doứng ủieọn tửụng ửựng vụựi vụựi pheựp

chia daùng phửực cho jω

Bài 3.3 Định luật kirchooff dưới dạng phức

1 Hai định luật kirchooff dưới dạng phức

Ta xét mạch điện gồm 3 nhánh như sau:

e 2

e 1

C 3

r 1

L 1

A

i 1 i 3 i 2

A

Z 1

Z 3

Z 2

1





I

3



I

1



Mạch gồm hai nhánh có nguồn e1 , và e2 và nhánh tải r3 - C3 Các phương trình kirchooff viết cho mạch là:

+ Phương trình Kirchooff 1: i1 + i2 - i3 = 0 + Các phương trình Kirchooff 2:

- Đối với vòng 1- 3: e1 = i1r1 + i3r3 + L1i’1 + i dt

C  3 3

1

- Đối với vòng 2- 3: e2 = i2r2 + i3r3 + i dt

C  3 3 1 Chuyển sang dạng phức, ta có 3 phương trình tương ứng:

i1 + i2 - i3 = 0 suy ra 1 2 3 0







I I I

Có e1 = i1r1 + i3r3 + L1i’1 + i dt

C  3 3

1

3 3

3 1 1

1 1

C j r I L j r I E













= I1Z1 I3Z3







E2 = I2Z2 I3Z3







Từ các phương trình dạng phức ta vẽ được sơ đồ phức của mạch Khi chuyển từ sơ đồ đầu sang phức , ta thay các sđđ , dòng điện và điện áp các nhánh bằng các phức s đ đ dòng điện và điện áp tương ứng, trở kháng các nhánh thay bằng phức tổng trở nhánh

Với cách chuyển sang sơ đồ phức như trên, ta có thể dễ dàng thành lập phương trình Kirchooff dưới dạng phức Các định luật Kirchooff dưới dạng phức như sau

Định luật Kirchooff 1: Tổng đại số các phức dòng điện đến một nút bằng không

  0

nut

I

Định luật Kirchooff 2: Đi theo một vòng kín, tổng đại số các phức s đ đ bằng tổng đại số các phức điện áp đặt vào các phức tổng trở nhánh

E I Z

vong vong

.



2 Giải mạch xoay chiều bằng phương pháp dòng nhánh

Gồm các bước sau:

Bước 1: Thành lập sơ đồ phức, chọn ẩn số là các phức dòng nhánh, chiều chọn trước tuỳ ý Các nguồn s đ đ thay bởi các phức s đ đ , còn các nhánh biểu diễn bởi phức tổng trở nhánh

Bước 2: Thành lập hệ phương trình dòng nhánh gồm (m-1) phương trình nút, viết theo luật Kirchhoff 1 và M = n - (m-1) phương trình vòng viết theo định luật Kirchhoff 2 Trong đó: m là số nút, n là số nhánh

Bước 3: Giải hệ phương trình phức để tìm ra dòng nhánh Từ kết quả đã tính suy ra trị số và góc pha dòng và áp, cũng như công suất của nhánh

Bài tập ví dụ1

Cho mạch điện như hình vẽ a Biết e1 = 284 sin t (V) ; e2 = 298 sin t (V)

x1 = x2 = 0,1  ; x3 = 0,5  ; r3 = 1 

Tìm dòng điện trong nhánh

Bài giải

Chuyển các lượng thực sang dạng phức

2

284



2

298



Z1 = Z2 = j 0,1  ; Z3 = (1 + j 0,5) 

Sơ đồ phức tương tự như hình b Với ẩn là I1, I2, I3 Mạch điện có hai nút, nên có một phương trình nút (viết cho nút A hình b)

1 2 3  0







I I

Phương trình vòng Z1-Z3:

E1 I1Z1 I3Z3















1 ( 1 j 0 , 5 ) I

Phương trình vòng Z2-Z3:

3 3 2 2

2 I Z I Z E















2 (1 j0,5)I

I = 210 (c) Giải hệ này như sau:

- Từ phương trình b và c rút ra:

A

B

i1 i3 i2

A

Z 1

Z 3

Z 2

B

1





I

3



I

1





E

j I

j I

j j

j

I j

1 , 0

) 5 , 0 1 ( 200

3 3

3









j

I j

1 , 0

) 5 , 0 1 ( 210

3

3







Thay vào (a)

0 2100

5 10 2000

5











I j I

I j j I

I j

(-11+ 20j )

 3

I = 4100j

 3

20 11

) 20 11 (

4100 20

11

2

j j

j















































j j

j j

I j

I1 ( 5 10) 3 2000 ( 5 10)(157,4 86,6) 2000 = 78,7 +j6,6 = 78,84050’ (A)

) ( 50 122

4 , 93 7

, 78 2100

) 10 5





Giá trị tức thời của các dòng điện là:

i1 = 78,8 2 sin(t + 4050’) = 111,4 sin(t + 4050’) (A)

i2 = 122 2 sin(t - 500) = 172,6 sin(t - 500) (A)

i3 = 179,5 2 sin(t - 290) = 254 sin(t - 290) (A)

Bài tập ví dụ 2:

Cho mạch điện như hình vẽ với thông số sau :

e1 = e3 = 220 2sin (314t) (V)

e2 = 2.110 sin (314t + 300) (V)

R1 = 10 , L1 = 0,0318 H, R2 = 5 ,

R3 = 10, C3 = 3,184.10-4 F Tìm dòng điện trên các nhánh và công suất mạch tiêu thụ

Giải

Ta phức hóa mạch điện và biểu diễn về sơ đồ phức như hình vẽ