boi duong hoc sinh gioi toan

Biêt rằng đường chéo AC là đường phân giác của góc A và CH = a.. CMR ∆ ABCluơn co diện tích khơng đổi HD:∆ ABC cố định vì cĩ đường cao và cạnh đáy khơng đổi Bài 10: Cho tam giac ABC trun

CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC

A) PHẦN DIỆN TÍCH:

I Kiến thức

+ Diện tích hình chữ nhật S=a.b

+Diện tích hình vuông S= a2

+ Diện tích tam giác ABC= 12 a.h =12AH BC

+ Diện tích hình thang S= 12(a+b).h

=12(IJ +LK)IM

+ Diện tích hình bình hành =a.h=AN DC

+Ta có BM =CM ⇒S AMB =S AMC

Ta có AA’// BC ⇒ VS ABC =S A B C' ' '

II) BÀI TẬP

1.Cho ABC các đường cao AA’ ;BB’ ;CC’ trực tâm H CMR :

1

HA HB HC

AA + BB + HH =

Giải

ét;

1

BHC AHC AHB ABC

ABC ABC ABC ABC

HA HB HC HA BC HB AC HC AB

X

AA BB HH AA BC BB AC HH AB

Bài 2 Cho tứ giác ABCD có góc A, góc C bằng 900 Vẽ CH vuông góc với AB Biêt rằng đường chéo AC là đường phân giác của góc A và CH = a Tính diện tích tứ giác ABCD theo a

GIẢI

µ µ µ

µ

⊥

= = =

0

0

DCK BCH

2 ABCD AHCD HBC AHCD DCK AHCK

Kẻ: CK AD tạiK

A K H 90 tứ giácAHCK là hình chữnhật

MàAClà đường phân giác củagócA nên tứ giácAHCK là hình vuông

CK CH,K H 90 ,DCK HCB( phụ DCH )

Bài 2 cho hình thang ABCD ( AB//CD ) , hai đường chéo cắt nhau tại O

a, CMR SAOD = SBOC

b, cho biết SAOB = 9, SCOD = 25tính SABCD

GIẢI

a) Vì AB//CD

( )

=

b) Đặt SAO = SBOC= x

∆ AOB, BOCcó cùng chiều cao hạ từ Bnên ∆

=

=

AOB

BOC

AOD

DOC

S OA (1)

AOD, DOCcó cùng chiềucaohạ từ D xuống cạnh AC nên

S OA (2)

⇒ = ⇔ = ⇔ = >

= + + + =

2 ABCD

vậyS 9 25 15 15 64 (cm )

Bài 2 : Cho điểm O nằm trong hình bình hành ABCD

CMR: SAOB+ SCOD = SAOD + SBOC

( )

⊥

ABCD

QuaO kẻ HK AB, DCtại H và K

1CD(OH OK) 1CD.HK 1S

Bài 4 Cho tam giác ABC với các đường cao AA’ , BB’ ; CC’ , trực tâm H CMR HA ' HB' HC' 1 + + =

AA ' BB' CC'

Bài 5 cho hình thang cân ABCD đáy AB<CD gọi M,N lần lượt là trung điểm của

AD và BC, MN giao BDtai I biết AD = 10 ,MI = 6 ,NI = 12 Tính S ABCD

Hướng dẫn AB = 2MI = 12 , CD = 2NI = 24

Kẻ AH vuơng gĩc với CD , BK CD,ABCD là hình thang cân ⊥

= = =DC AB 24 12= =

Bài 6 cho ABC cân tại A trên tia đối của tia CA lấy điểm M sao cho CM = CA Tia phân giác của gĩc A cắt BM tại N cho biết : SNBC = 10 Tính SABM

Bài 7 Cho tam giác ABC , gọi M,N là các là trung điêm tương ứng của AC va BC CMR S hình thang ABNM = 3/4 S tam giác ABC

Giải

Ta cĩ MN là đường trung bình cả tam giác ABC

⇒ MN//AB ⇒ ABNM là hình thang

AN , BM là hai đường trung tuyến của tam giác ABC

= =

1

2 1

4

Bài 8 gọi O là một điểm nằm trong hình chữ nhật ABCD cĩ hai kích thước là a;b Tính tổng diện tích tam giác OAB và OCD theo a và b

HD: Ker hai đường thẳng qua O⊥AB và BC Gọi k/c từ O

đến AB là x , từ O đến CD là y

⇒ + = x y a Ta cĩ SAOB 1b.x

2

= ; DOC

1

S b.y

2

= ( )

AOB DOC

S S b x y a.b

Bài 9: Cho ∆ ABC cĩ đáy BC cố định và đỉnh A di động trên một đường thẳng d cố định song song với BC CMR ∆ ABCluơn co diện tích khơng đổi

(HD:∆ ABC cố định vì cĩ đường cao và cạnh đáy khơng đổi)

Bài 10: Cho tam giac ABC trung tuyến AD và phân giác BE vuơng gĩc với nhau cắt nhau tại F Cho biết

S EFD = 1 Tính S ABC

Gọi x = S ABC

1

ABF BDF AEF DEF

ABD ADC

ABF BDF S S

AEF DEF S S

+∆ = ∆

ABF BDE BDE DEC

S S mà S S

ABF BDE DEC ABC ABF ABC

ABE ABC ABF AEF ABC

x x

x= ĐVDT

Câu 11: Nối các đỉnh B và C thuộc đáy của tam giác ABC cân với trung điềm O của đường cao AH Các đường thẳng này cắt các cạnh bên AC và AB lần lượt ở D và E Tính diện tích tứ giac AEOD theo SABC

Hướng dẫn:

Do O là trung điểm của AH nên kẻ đường trung bình Gọi N là trung điểm của DC suy ra HN là đường trung bình của tam giác AHN

1 3

AD DN NC= = = AC

AHC ABC AOC AHC

S = S S = S

AOC ABC AOC AOC

S S mà S S vì AD AC

Có cùng chiều cao nên

AOD ABC ADOE AOD ABC ABC

S = S ⇒S = S = S = S

Bài tập 11: Cho G là trọng tâm của tam giác ABC

Chứng minh rằng: S ABG =S ACG =S BCG

Hướng dẫn

BGM CGM

S =S có cùng chiều cao GH’

;

CGN AGN AGP BGP

S =S S =S

( )

( )

1

ABM AMC ABG BGM AGC CGM

ABG AGC

ABG BGC ABG BGC AGC

Ta có S A S S S S

S S

CM tương tự S S

Từ và S S S

=

Bài tập 12: Cho ABC∆ Trên các tia AB, BC, CA lấy các điểm M, N, P theo thứ tự

APB BMC CNA ABC

S S S = S

Hướng Dẫn:

Kẻ đường cao BH, AK, CF của ABC∆ Ta có:

( )

2

APB

APB ABC ABC

S BH AP S AP

S AC

S BH AC

Tương tự và







=



Nhân từng vế của 3 đẳng thức ( )1 , ( )2 , ( )3 ta có:

( ) ( )3

APB BMC CNA ABC

S S S = S ⇒ W

BÀI TẬP HƯỚNG DẪN

Bài 1: Cho hình thang ABCD ( AB CDP ) khoảng cách từ trung điểm M của AD đến

BC là MH CMR: S ABCD =MH BC.

Gợi ý: MH.BC cho a nghĩ đến diên tích

hình bình hành có 1 cạnh bằng BC và chiều

cao tương ứng là MH

Đường thẳng qua M song2 với BC caets

AB, DC lần lượt tại E, F Do đó tứ giác

BCFE là hình bình hành

Bài 2: Cho hình chữ nhật ABCD Trên cạnh AB lấy điểm E, trên cạnh DC lấy điểm

F sao cho AE=CF M là điểm tùy ý trên cạnh AD Gọi G, H lần lượt là giao điểm của EF với MB, MC CMR: S AEGM +S MHFD =S GBCH

BÀI 1 cho tam giác ABC đường cao AH và tam giác DBC đường cao DK biết biết AH =1/2 DK

CMR: SDBC = 2 SABC

BÀI 2 cho tam giác ABC trung tuến AM

CMR : a) SABM = SACM

b cho AB =6 cm AC = 8 cm BC=10 cm gọi N là trung điểm của AC Tính SMBN

BÀI 3 cho hình chữ nhật ABCD từ A và C kẻ AE và CF cùng vuơng gĩc với BD

a CMR : SABCFE = SADCFE

b tính diện tích của mỗi da giác trên , biết độ dài các cạnh của hình chữ nhật là 16 cm và 12 cm

BÀI 4 cho tam giác ABC trung tuyến AM gọi I là trung điểm của AM , tia CI cắt AB tại E gọi F là

rung điểm của EB Biết SABC=36 cm 2 .tính SBFC

BÀI 5 cho tam giác ABC trung tuyến AM qua B kẻ đường hẳng // với AM cắt AC tại E gọi I là giao

điểm EM vàAB CMR :

a SABC = SMEC

b SIEK = SIMB

HƯỚNG DẪN

CM: AC = AE

1 2

ABC MEC BEC

S = S = S

1 2

IEA IACM IMB IACM BEC

S + S = S + S = S

IEA IMB

BÀI 6 cho hình thang vuông ABCD µ A D = = µ 900 có AB =2cm

BC=CD=10 cm

Tính SABCD

Hướng dẫn

Tính SABCD-> BE -> EC

BÀI 7 cho hình thang cân ABCD , AB =10 cm CD=22cm BD là

đường phân giac góc D TínhSABCD

Hướng dẫn SABCD-> AH-> AD và DH

BÀI 8 Cho hình thang ABCD (AB // CD) có CD=42cm

µ 45 ,0 µ 600

C = D = , chiều cao AH =18 cm Tính

ABCD

S

Hướng dẫn

ABCD

S -> AB-> HK ->DH và KC

• Tính KC=BK=18 cm

• Tính HD -> AD

Ta có AD=2HD ⇒ sử dụng Pitago

⇒(2HD)2=HD2 +AH2 ⇒ HD=

2

18 3

BÀI 9 cho tam giác ABC ( có 3 góc nhọn ) ba đường cao AA1 ;BB1 ; CC1 cắt nhau tại H

1 AA'

HA HB HC

BB CC

Hướng dẫn

1

BHC

BCA

S

1

BB

HAC ABC

1

CC

HAB ABC

1 AA'

HA HB HC

BB CC

BÀI 10 Cho tam giác ABC trên ccs tia AB ; BC ; CA ta lấy các điểm M ;N P sao cho A là trung điểm của CP ; B là trung điểm của AM ; C là trung điểm của BN giả sử tam giác ABC có diện tích là s

Tích diện tích tam giác MNP theo s

Hướng dẫn

• CM : SABC=SAPB ⇒ SABC=1/2SAPM

• Tương tự SABC=1/2SPNC;SABC=1/2SMBN

⇒ SMNP=7SABC

BAÌ 11 Cho hình thang ABCD (AB//CD) gọi M ;N lần lượt là trung điểm của 2 đáy

BC và AD một đường thẳng // và cắt 2 đáy AB; MN và CD lần lượt tại E, O, F CMR : O là trung điểm của EF

HƯỚNG DẪN

CM : OE = OF ⇒ ∆ FHO =∆ EKO ⇒

FH=EK ⇒ SNFM =SNEM

• CM : SCDNM=SBANM

• CM : SDNF=SANE(vì ND=NA ; EF//AD)

• CM : SFCM =SEBM (vì CM = MB ; EF//

CB)