CHUONG2-GT

Nếu giới hạn ** tồn tại và hữu hạn thì ta gọi giới hạn này là đạo hàm trái của fx tại x0.. Các công thức tính đạo hàma Đạo hàm các hàm sơ cấp cơ bản... Các công thức tính đạo hàm... Các

CHƯƠNG 2 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN HÀM SỐ MỘT BIẾN

§1 Đạo hàm cấp và vi phân cấp 1

§2 Đạo hàm cấp cao và vi phân cấp cao

§3 Các định lý cơ bản về hàm số khả vi

§4 Ứng dụng của đạo hàm

1 Đạo hàm và vi phân cấp 1

1.1 Các khái niệm

ĐN1: Hàm số y=f(x) xác định /(a,b), x0∈(a,b)

Cho x0 một số gia ∆x, khi đó có số gia hàm số là:

Nếu giới hạn (**) tồn tại và hữu hạn thì ta gọi giới

hạn này là đạo hàm trái của f(x) tại x0 Kí hiệu f’(x-0)Tương tự ta có định nghĩa đạo hàm phải tại x0

1 Đạo hàm và vi phân cấp 1 1.2 Các công thức tính đạo hàm

a) Đạo hàm các hàm sơ cấp cơ bản

1 Đạo hàm và vi phân cấp 1 1.2 Các công thức tính đạo hàm

1 Đạo hàm và vi phân cấp 1 1.2 Các công thức tính đạo hàm-TD

(arccos x)' (ar cot anx)'

x x

2 2

1 Đạo hàm và vi phân cấp 1

1.3 Vi phân cấp 1

ĐN: Hàm số y=f(x) xác định /(a,b), f(x) được gọi là khả vi tại điểm x0∈(a,b) nếu tồn tại số A không phụ thuộc vào ∆x sao cho:

∆y=f(x0+∆x)-f(x0)=A.∆x+α(∆x), trong đó α(∆x) là VCB bậc cao hơn so với ∆x khi ∆x→0

Biểu thức A.∆x là vi phân cấp 1 của hàm f(x) tại điểm x0 và ký hiệu là dy=df=A∆x

ĐL1: Hàm số f(x) khả vi tại x0 khi và chỉ khi f(x) có đạo hàm tại x0 và df=f’(x0)∆x=f’(x0)dx

(y=x⇒dy=dx=∆x)

1 Đạo hàm và vi phân cấp 1 1.3 Vi phân cấp 1- Công thức tính vi phân

Nếu u(x), v(x) khả vi tại x ta có:

1 Đạo hàm và vi phân cấp 1

1.3 Vi phaân caáp 1- TD

Cho y = e-x ⇒ dy=-e-xdx

d[sin(lnx)] = cos(lnx).d(lnx)=[cos(lnx)dx]/x

2 Đạo hàm và vi phân cấp cao

2.1 Các khái niệm

ĐN1: Đạo hàm cấp n (n>1) của hàm số y=f(x) tại

x là đạo hàm của của đạo hàm cấp n–1 của f(x) tại điểm đó Kí hiệu y(n)=f(n)(x)

ĐN2: Vi phân cấp n (n>1) của hàm số y =f(x) là vi phân của biểu thức vi phân cấp n–1 Ký hiệu là dnf(x). Vậy dny = d(dn–1y)=f(n)(x)dxn

2 Đạo hàm và vi phân cấp cao

Biểu thức vi phân cấp ndnf=f(n)(x)dx.dx dx=f(n)(x)dxn

n lần

Chú ý: Dạng của biểu thức vi phân cấp cao không có tính bất biến như dạng của vi phân cấp 1

TD: Tìm đạo hàm cấp n và vi phân cấp n của y=ln(1+x)

x

§3 Các định lý về hàm khả vi

1/ ĐL Fermat

Cho hàm số f(x) khả vi /(a;b) và liên tục /[a,b]

Nếu x0∈(a,b) là điểm cực trị thì f’(x0)=0

Ý nghĩa hình học:

a

x0 b

§3 Các định lý về hàm khả vi

§3 Các định lý về hàm khả vi 3/ ĐL Lagrange

Cho hàm số liên tục /[a,b], khả vi /(a;b) Khi đó

tồn tại ít nhất một điểm c∈(a;b) sao cho:

Ý Nghĩa hình học:

a c b

f(b)-f(a)f'(c) =

b-a

§3 Các định lý về hàm khả vi

4/ ĐL Cauchy: Cho hàm số f(x), g(x) liên tục /

[a;b], có đạo hàm /(a;b) và g’(x)≠0 ∀x∈(a;b)

⇒ ∃c∈(a,b) sao cho:

CM: xét hàm phụ:

'( ) ( ) ( ) '( ) ( ) ( )

-§4 Ứng dụng của đạo hàm

0 , 0

a) Quy tắc L’ Hospital (Lô-pi-tan)

Quy tắc dùng để khử các dạng vô định

ĐL: 1/ f(x), g(x) là hai VCB khi x → a

2/ f(x), g(x) là hai VCL khi x → a

§4 Ứng dụng của đạo hàm-TD

Chú ý: Quy tắc Lô-pi-tan chỉ là điều kiện đủ

1

1 3/ lim lim

§4 Ứng dụng của đạo hàm –a1)

§4 Ứng dụng của đạo hàm- a2)

Lim v(x)ln u(x) v(x)

x x

Lim u(x) e →

→

§4 Ứng dụng của đạo hàm- b)

+

+

− +

b) Công thức Taylor

ĐL: Nếu hàm số f(x) có đạo hàm đến cấp n+1 tại

điểm x0 và trong lân cận của điểm x0 thì tồn tại

điểm c ∈ (x0,x) để:

Ta gọi:

là phần dư của khai triển Taylor, là VCB khi x → x0

§4 Ứng dụng của đạo hàm-b)

Nếu đặt ∆x=x-x0 thì công thức Taylor có thể viết dưới dạng vi phân như sau:

(2)Nếu x0=0 thì ta có công thức Maclaurin

(3)

1

1 1

0 0

1

(k ) (n ) n

0

n k

§4 Ứng dụng của đạo hàm-TD TD: Khai triển Maclaurin hàm số y=ln(1+x)

Tương tự:

k (k)

§4 Ứng dụng của đạo hàm-c)

c) Khảo sát chiều biến thiên của hàm số

ĐN1: Nếu hàm số f(x) khả vi và đơn điệu tăng /

(a;b) (đơn điệu giảm) thì f’(x)≥0 (f’(x)≤0) ∀x∈(a,b)

ĐL2: Cho hàm số f(x) khả vi /(a;b) khi đó ta có:

1/ Nếu f’(x)>0 ∀x∈(a,b) ⇒ f(x) tăng /(a,b)

2/ Nếu f’(x)<0 ∀x∈(a,b) ⇒f(x) giảm /(a,b)

§4 Ứng dụng của đạo hàm-d)

d) Cực trị của hàm số

ĐL1: (điều kiện cần của điểm cực trị)

Nếu x0 là điểm cực trị của f(x) thì một trong hai

khả năng sau sẽ xẩy ra:

1/ Nếu f(x) có đạo hàm tại x0 thì f’(x0)=0

2/ Nếu f(x) không có đạo hàm tại x0

x0 thỏa một trong hai điều kiện trên gọi là điểm tới hạn (điểm dừng)

§4 Ứng dụng của đạo hàm-d)

ĐL2: (điều kiện đủ của điểm cực trị)

1/ Nếu f(x) có đạo hàm tại x0 và trong lân cận và f’(x) đổi dấu qua x0 thì x0 là điểm cực trị.

+ Đổi dấu từ dương sang âm thì x0 là điểm cực đại + Đổi dấu từ âm sang dương thì x0 là điểm cực tiểu

2/ Nếu f’(xo)=f”(x0)= =f(n-1)(x0)=0 và f(n)(x0)≠ 0 khi đó:

+ Nếu n lẻ thì x0 không cực trị + Nếu n chẵn và f(n)(x0)>0 thì x0 là điểm cực tiểu + Nếu n chẵn và f(n)(x0)<0 thì x0 là điểm cực đại

§4 Ứng dụng của đạo hàm-TD

a) Hàm y=x3 có y’=3x2; y’’= 6x, y(3) = 6

Tại x=0 ⇒ y’=0, y’’=0, y(3) = 6

Theo định lí hàm không đạt cực trị tại x=0

b) Hàm y=sinx, 0<x<π; y’=cosx; y”=-sinx

y ỉ ưçççp÷÷÷÷= y =ỉ ưçççp÷÷÷÷= - Þ x = p CĐ

§4 Ứng dụng của đạo hàm-e)

e) Bài toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

Bài toán 1: Cho hàm số f(x) liên tục /[a,b]

Tìm fMin, fMaxGiải: Tìm các điểm tới hạn xi∈(a,b)

⇒ fMin=Min{f(a),f(b),f(xi)}; fMax=Max{f(a),f(b),f(xi)}(f(x) bao giờ cũng có fMin, fMax /[a,b])

Bài toán 2: Cho hàm số f(x) khả vi /(a,b)

Tìm fMin, fMaxGiải: Lập bảng biến thiên của f(x) /(a,b) từ đó suy

ra fMin, fMax (nếu có)

§4 Ứng dụng của đạo hàm-TD

TD: Tìm yMin, yMax của hàm số y=x-2lnx trên [1;e]

Giải: y’=1-2/x ⇒ y’=0 ⇔x=2

y(1)=1; y(e)=e-2≈0,71; y(2)=2(1-ln2)≈0,6173

⇒yMin=Min{1, e-2; 2(1-ln2)}=2(1-ln2)

yMin=Max{1, e-2; 2(1-ln2)}=1

§4 Ứng dụng của đạo hàm-TD

f) Tính lồi, lõm, điểm uốn của đường cong

ĐN1: Hàm số f(x) liên tục trên (a,b) được gọi là lồi (lõm) trong khoảng (a;b) nếu ∀ x1,x2 ∈ (a,b) và

∀ t ∈ (0,1) thì ta có:

f(tx1+(1-t)x2)<tf(x1)+(1-t)f(x2) (f(tx1+(1-t)x2)>tf(x1)+(1-t)f(x2))

ĐL1: Nếu f(x) có đạo hàm cấp 2 /(a;b) Khi đó

1/ Nếu f”(x)>0 (f”(x)<0) ∀ x ∈ (a,b) ⇒ f(x) lồi (lõm) trên (a;b)

2/ Nếu f(x) lồi (lõm) /(a,b) ⇒ f”(x) ≥ 0 (f”(x) ≤ 0)

∀ x ∈ (a,b)

§4 Ứng dụng của đạo hàm-TD

ĐN2: Hàm số f(x) liên tục /(a,b), x0∈(a,b) Điểm M0(x0,f(x0­)) phân cách cung lồi (lõm) của đồ thị hàm số y =f(x) được gọi là điểm uốn của đồ thị

hàm số này, và x0 được gọi là điểm uốn của hàm số f(x)

ĐL2: Giả sử hàm số f(x) có đạo hàm cấp 2 /(a;b), x0∈(a,b) và f’’(x0)=0 khi đó Nếu f’’(x) đổi dấu qua x0 thì I(x0,f(x0)) là điểm uốn của đồ thị

TD: tìm cực trị, điểm uốn hàm f(x)=

2

2

1 2

x

e−

π

§4 Ứng dụng của đạo hàm-TD

f’(x) đổi dấu qua x=0; f”(0)<0⇒ x=0 là điểm CĐ

f”(x) đổi dấu qua x=±1⇒x=±1 là hai điểm uốn

Bài tập chương 2:

2

2

1 2

1

2 2

2 1