CHUONG1-GT

TOÁN CAO CẤP - GIẢI TÍCHChương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục Chương 2: Đạo hàm & vi phân hàm một biến Chương 3: Đạo hàm & vi phân hàm nhiều biên Chương 4: Tích phân Chương 5: Phương tr

TOÁN CAO CẤP - GIẢI TÍCH

Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục

Chương 2: Đạo hàm & vi phân hàm một biến

Chương 3: Đạo hàm & vi phân hàm nhiều biên

Chương 4: Tích phân

Chương 5: Phương trình vi phân

Giáo trình: Toán cao cấp (phần giải tích)

Bộ môn toán – ĐHNH TPHCM

CHƯƠNG 1: HÀM SỐ - GIỚI HẠN - LIÊN TỤC

§1 Hàm số và đồ thị

§2 Giới hạn dãy số và Giới hạn hàm số

§3 Hàm số liên tục

1 Hàm số & đồ thị - Định nghĩa

Cho tập hợp D⊂R, D≠∅ Một qui tắc f cho tương ứng mỗi số thực x∈D với một và chỉ một số thực y là một hàm số Kí hiệu: f: D→R

x 5x 6y

Hàm ẩn: Hàm số y với biến độc lập x liên hệ với nhau

bởi phương trình: F(x, y)=0 (1) Khi đó ta nói phương trình (1) xác định một hàm ẩn y=y(x)

TD: Cho PT: xy3+x2-1=0 Tìm hàm ẩn y=y(x)?

1 Hàm số & đồ thị - Hàm ngược

Cho hàm số y=f(x) tăng/giảm trên D Hàm số đặt

tương ứng mỗi y∈f(D) với một số x∈D sao cho: y=f(x) được gọi là hàm ngược của hàm f

1 Hàm số & đồ thị - Hàm lượng giác ngược

Hàm y=sinx là hàm tăng trên nửa chu kỳ [-π/2, π/2] có hàm ngược y=arcsinx

Đồ thị:

y=sinx

y=arcsinx

1 Hàm số & đồ thị - Hàm lượng giác ngược

Các hàm lượng giác ngược

 y=sinx xác định /[-π/2, π/2] có hàm ngược y=arcsinx

 y=cosx xác định /[0, π] có hàm ngược y=arcosx

 y=tanx xác định /(-π/2, π/2) có hàm ngược y=arctanx

 y=cotanx xác định /(0, π) có hàm ngược y=arcotanx

1 Hàm số & đồ thị - Hàm số sơ cấp cơ bản

1) y = a (Hàm hằng)

2) y = xα (Hàm lũy thừa)

3) y = ax a>0, a≠1 (Hàm mũ)

4) y = logax a>0, a≠1 (Hàm lô ga rít)

5) Các hàm lượng giác và lượng giác ngược

2 Giới hạn dãy số b) Định nghĩa giới hạn

Dãy {xn} có giới hạn bằng a∈R khi n→∞ nếu:

∀ε>0 cho trước, luôn ∃N: ∀n>N ⇒ |xn – a|<ε

Kí hiệu:

TD: CM:

Dãy {xn} được gọi là có giới hạn bằng ∞ khi n→∞

Nếu ∃ N, sao cho ∀n>N ⇒ |xn|>N

n

nLim

n

+

n n

Lim x

2 Giới hạn dãy số b) Các phép toán

2 Giới hạn dãy số d) Tiêu chuẩn hội tụ

Dãy {xn} được gọi là đơn điệu tăng (giảm):

xn≤xn+1 (xn≥xn+1) ∀n

Dãy {xn} được gọi là bị chặn nếu: ∃M>0: |xn|≤M ∀n

Định lý 1: Nếu {xn} là dãy đơn điệu và bị chặn thì luôn hội tụ

2 Giới hạn dãy số d) Tiêu chuẩn hội tụ - số e

Dãy xn=(1+1/n)n là dãy tăng và bị chặn, do vậy {xn} hội tụ

(e là số vô tỷ)

1

n n

2 Giới hạn dãy số e) Bài toán tính lãi

Đầu tư số tiền V0 lãi suất r% năm Hỏi sau n năm giá trị thu được là bao nhiêu?

a) Lãi đơn: Vn=V0(1+nr)

b) Lãi kép (gộp): Vn=V0(1+r)n

c) Nếu lãi suất một năm r% và được chia thành n

kỳ (chẳng hạn n=12 tháng) Số tiền thu được sau t năm là: Vn,t=V0(1+r/n)nt

d) Lãi gộp liên tục (n→∞) sau t năm: Vt=V0ert

2 Giới hạn dãy số e) Bài toán tính lãi - Thí dụ

2 Giới hạn hàm số

a) Định nghĩa

Hàm số y=f(x) xác định trong lân cận của a

Nếu mọi dãy xn→a (bao gồm cả a=∞) và lim f(xn)=L (bao gồm cả L=∞) khi n→∞ thì ta nói f(x) có giới hạn bằng L khi x→a

Định lí 1: Hàm số y=f(x) xác định trong lân cận của

a f(x) là có giới hạn bằng L∈R khi x→a nếu:(∀ε>0 luôn ∃δ>0: ∀x thỏa |x – a|<δ) ⇒ |f(x)-L|<ε

Định lí 2: Hàm số y=f(x) xác định trong lân cận của

a f(x) là có giới hạn bằng ∞ khi x→a nếu:

(∀N>0 luôn ∃δ>0: ∀x thỏa |x – a|<δ) ⇒ |f(x)|>N

x a

Ký hiêu : lim f (x) L

2 Giới hạn hàm số a) Định nghĩa - Giới hạn một phía

2 Giới hạn hàm số - Các giới hạn cơ bản

x

1 x

x a

x log (1 x) 1 e 1

2 Giới hạn hàm số - Thí dụ

2

x 1 2

2

2x 3

α (x) được gọi là vô cùng bé (VCB) khi x → a

3 VCB & VCL b) VCB tương đương - Định nghĩa

Cho α(x), β(x) là hai vô cùng bé khi x → a

Xét :

x a

(x) lim L

(x)

→

βNếu L=0 ta nói α(x) là VCB cấp cao hơn β(x)

Nếu L≠0 & L≠1 ta nói α(x), β(x) là hai vô cùng bé cùng cấp

Nếu L=1 ta nói α(x), β(x) là hai vô cùng bé tương đương Kí hiệu: α(x) ∼ β(x)

3 VCB &VCL b) VCB tương đương - Thí dụ

Các vô cùng bé tương đương khi x → 0

2 Giới hạn hàm số b) Quy tăc thay thế tương đương

Nếu α(x) ∼ α’(x) ; β(x) ∼ β’(x) khi x→a

(khử dạng vô định 0/0)

(x) '(x) lim lim

2 Giới hạn hàm số b) Quy tăc ngắt bỏ VCB bậc cao

Nếu α(x) là VCB bậc cao hơn α’(x)

β(x) lầ VCB bậc cao hơn β’(x) khi x→a

2 Giới hạn hàm số b) VCB tương đương - TD

Hàm số f(x) xác định [a,b], f(x) liên tục phải tại a

nếu: (liên tục phải tại b tương tự)

x alim f (x) f (a)+

4 Hàm số liên tục a) Định nghĩa - TD

Tìm a, b để hàm số liên tục tại x = 1:

ĐS: a=1/8; b=1/4

x 3 2

x 1 sin(x 1)

4 Hàm số liên tục b) Các tính chất

1) Tổng, hiệu, tích, thương, nâng lên lũy thừa các

hàm liên tục trên D là một hàm liên tục trên D

2) Nếu ϕ(x) liên tục trên D, f(x) liên tục trên ϕ(D) thì

hàm hợp f(ϕ(x)) cũng liên tục trên D

3) Mọi hàm số sơ cấp đều liên tục trên MXĐ của nó

4 Hàm số liên tục b) Các tính chất