DE VA DA HSG VINHPHUC

[r]

SỞ GD& ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2009 – 2010

ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề.

——————————

Câu 1 (2.5 điểm)

Giai hê phương trinh: 

   

16 8 16 5 4







Câu 2 (2.0 điểm)

Tim tất ca các số nguyên dương n có tính chất với mỗi số nguyên lẻ a mà a2 n thi n chia hết cho a

Câu 3 (3.0 điểm)

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) AD BE CF, , là ba đường cao

D BC E CA F ,  , AB

Đường thẳng EF cắt BC tại G, đường thẳng AG cắt lại đường tròn ( )O tại điểm M

1 Chứng minh rằng bốn điểm A M E F, , , cùng nằm trên một đường tròn

2 Gọi N là trung điểm cạnh BC và H là trực tâm tam giác ABC Chứng minh rằng GH AN

Câu 4 (1.5 điểm)

Chứng minh rằng:

3

( )( )( ) 2

  

      với mọi a b c , , 0

Câu 5 (1.0 điểm)

Mỗi ô vuông đơn vị của bang kích thước 10 10 (10 dòng, 10 cột) được ghi một số nguyên dương không vượt quá 10 sao cho bất kỳ hai số nào ghi trong hai ô chung một cạnh hoặc hai ô chung một đỉnh của bang là hai số nguyên tố cùng nhau Chứng minh rằng có số được ghi ít nhất 17 lần

—Hết—

(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)

Họ tên thí sinh:………Số báo danh:………

SỞ GD & ĐT VĨNH PHÚC HƯỚNG DẪN CHẤM

THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2009 – 2010

Môn: Toán 9 Câu 1 (2.5 điểm).

Viết lại phương trinh thứ hai của hê về dạng y2 4x8 y16 16 x 5x2 0

Coi đây là phương trinh bậc hai, ẩn y x, là tham số Có  ' 2x42 16 16 x 5x29x2 0.5 Từ đó, tim được y 4 x y, 5x4 0.25

- Nếu y 4 x, thay vào phương trinh thứ nhất, giai được x0,x2,x5 0.5

 Với x 0 thi y 4 x4

 Với x 2 thi y 4 x6

 Với x 5 thi y 4 x9

0.25

- Nếu y5x4, thay vào phương trinh thứ nhất, giai được x0,x2,x19 0.5

 Với x 0 thi y5x 4 4

 Với x 2 thi y5x 4 6

 Với x 19thi y5x 4 99

0.25

Vậy, các nghiêm của hê là x y ;  0; 4 , 2;6 , 2; 6 , 5;9 , 19;99          0.25

Câu 2 (2.0 điểm)

Gọi a là số lẻ lớn nhất mà a2 n. Khi ấy na22 0.25 Nếu a 7 thi a 4,a 2,a là các ước lẻ của n. Để ý rằng, các số này nguyên tố cùng nhau đôi

một, nên a a  2 a 4 | n

Suy ra

 2  4  22 3 7 2 4 4 0 2 7 4 1 0

Vô lý (do a 7)

0.5

- Nếu a 1 thi 12  n 32 n1, 2,3, 4,5, 6, 7,8 0.25

- Nếu a 3 thi 32  n 52 n9,12,15,18, 21, 24

- Nếu a 5 thi 52  n 72  n30, 45

Vậy tất ca các số nguyên dương n cần tim là 1,2,3,4,5,6,7,8,9,12,15,18,21,24,30,45 0.25

Câu 3 (3.0 điểm)

1 Chứng minh rằng bốn điểm A M E F, , , cùng nằm trên một đường tròn. 1.5

Nhận xét: Cho tứ giác ABCD, P là giao điểm của AB và CD Tứ giác ABCD nội tiếp

khi và chỉ khi: PA PB PC PD.  .

- Áp dụng nhận xét trên cho tứ giác AMBC nội tiếp, ta được GM GA GB GC  

0.5

( Nếu học sinh áp dụng luôn vẫn cho điểm tối đa)

- Áp dụng cho tứ giác BFEC nội tiếp, ta được GB GC GF GE   0.5

2 Gọi N là trung điểm cạnh BC và H là trực tâm tam giác ABC Chứng minh rằng

- Theo kết qua phần 1, và tứ giác AEHF nội tiếp suy ra M nằm trên đường tròn đường kính AH,

- Tia MHcắt lại đường tròn ( )O tại K, khi đó do AMK 90 nên AK là đường kính của ( )O 0.25

- Từ đó suy ra KCCA KB, BA Suy ra KC BH KB CH|| , || , do đó BHCK là hinh binh hành

- Trong tam giác GAN có hai đường cao AD NM, cắt nhau tại H, nên H là trực tâm của tam

Câu 4 (1.5 điểm)

N D

K

M

G

F

E

H

O

A

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

3

( )( )( )

2

0.25

Chứng minh

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Bunhiacopsky-Schwarz

3

2 3 2

3

2

2

   

Dấu “ = ” xay ra khi và chỉ khi c a b(  )a b c(  )b c a(  ) 2 abc abc.6  a b c 

0.5 0.25

Câu 5 (1.0 điểm)

- Trên mỗi hinh vuông con, kích thước 2 2 chỉ có không quá 1 số chia hết cho 2, cũng vậy, có

- Lát kín bang bởi 25 hinh vuông, kích thước 2 2 , có nhiều nhất 25 số chia hết cho 2, có nhiều

nhất 25 số chia hết cho 3 Do đó, có ít nhất 50 số còn lại không chia hết cho 2, cũng không chia

hết cho 3 Vi vậy, chúng phai là một trong các số 1,5,7

- Từ đó, theo nguyên lý Dirichlet, có một số xuất hiên ít nhất 17 lần

0.5