Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. M là giao điểm của CE và DF. Chứng minh:.. a) CE vuông góc với DF.[r]
Trang 1PHÒNG GD&ĐT CAM LỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA LỚP 9
NĂM HỌC 2015-2016
Khóa ngày 15 tháng 10 năm 2015
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (4,0 điểm)
Cho biểu thức:
x -
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
Bài 2: (4,0 điểm)
a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x3 + y3 + z3 – 3xyz
b) Cho x3 + y3 + z3 = 3xyz Tính giá trị của biểu thức:
A =
1+ 1+ 1+
Bài 3: (3,0 điểm)
Cho A = n3 + 3n2 +2n với n nguyên dương.
a) Chứng minh rằng A chia hết cho 3 với mọi số nguyên dương n.
b) Tìm giá trị nguyên dương của n (n <10) để số A chia hết cho 15.
Bài 4: (2,0 điểm)
Giả sử x, y là các số thực dương thỏa mãn: x + y = 1.
Chứng minh bất đẳng thức: 3 3
+ 4 + 2 3
x + y xy
Bài 5: (5,0 điểm)
Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh
AB, BC M là giao điểm của CE và DF Chứng minh:
a) CE vuông góc với DF.
b) Tam giác MAD cân.
c) Tính diện tích tam giác MDC theo a.
Bài 6: (2,0 điểm)
Cho tam giác ABC cân tại A, đường phân giác BD Tính độ dài BD biết BC = 5cm,
AC = 20cm.
-HẾT -ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2PHÒNG GD&ĐT CAM LỘ HDC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA LỚP 9
NĂM HỌC 2015 - 2016
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
_
Bài 1
(4đ)
a) ĐK : x > 0 và x ≠ 1
Ta có:
x -
1 1 2 1 2 1 1
=
= x x 1 2 x 1 + 2 x 1
= x - x 1
0,5
1,0
0,5 0,5
b) P=x - x1
2
1 3 3
=
2 4 4 x
P đạt GTNN là
3
4 khi
0
0,75 0,75
Bài 2
(4đ)
a) x3 + y3 + z3 – 3xyz
= (x + y)3 + z3 -3xyz -3x2y – 3xy2
= (x + y + z)[(x + y)2 – (x + y)z + z2] – 3xy(x + y + z)
= (x + y + z)(x2 + 2xy + y2 – xz - yz + z2 – 3xy)
= (x + y + z)(x2 + y2 + z2 – xy - yz– zx)
0,5 0,25 0,5 0,25 b) Ta có: x3 + y3 + z3 = 3xyz
<=> x3 + y3 + z3 - 3xyz = 0
<=> (x + y + z)(x2 + y2 + z2 – xy - yz– zx)
<=> x + y + z = 0 hoặc x2 + y2 + z2 – xy - yz– zx = 0
Với x + y + z = 0
A =
1+ 1+ 1+
x + y y + z z + x -z -x -y
y z x y z x
Với x2 + y2 + z2 – xy - yz– zx = 0
<=> 2x2 +2y2 + 2z2 – 2xy - 2yz– 2zx = 0
<=> (x - y)2 + (y - z)2 + (z - x)2 = 0
<=> x = y = z
A =
1+ 1+ 1+
0,25 0,25 0,25 0,5
0,25 0,25 0,25 0,5
Bài 3
(3đ)
a) Ta có: A = n3 + 3n2 +2n = n(n2 + 3n +2) = n(n2 + n + 2n +2) = n[n(n + 1) + 2(n +1)]
= n(n+1)(n+2)
A là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp => A 3
0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 b) Vì A 3 mà (3,5) = 1
Nên A 15 <=> A 5
0,5 0,5
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 3<=> n(n+1)(n+2) 5 mà n<10 => n {3;4;5;8;9} 0,5 Bài 4
(2đ)
x + y = 1 <=> (x + y)3 = 1
<=> x3 + y3 + 3xy = 1
Ta có :
1 1 x + y + 3xy x + y + 3xy
x + y xy x + y xy
3 3
3 3
3xy x + y
x + y xy
3 3
3 3
3xy x + y
x + y xy
3 3
3 3
3xy x + y
x + y xy
0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,5
Bài 5
(5đ)
1
1 1
K
E
F M
D
C B
A
a) BEC = CFD (c.g.c) C1D 1
CFD vuông tại C F + D = 901 1 0 F + C = 901 1 0 CMF vuông tại M
Hay CE DF
0,5
0,5 0,5 b) Gọi K là giao điểm của AD với CE Ta có :
AEK = BEC (g.c.g) BC = AK
AM là trung tuyến của tam giác MDK vuông tại M
1
AM = KD = AD AMD 2
cân tại A
0,5 0,5 0,5 c) Trong DCF theo Pitago ta có :
2
DF = CD + CF = CD + BC = CD + CD = CD
2 5 a 4
=> DF =
a 5 2
a 5 5 2
CM =
2
5 FC=
2
5
1 a
2 =
a
5 ;
0,25 0,25 0,5
0,25 0,25
Trang 4MD =
2
5.DC=
2
5 a
Do đó : SMCD=
1
2
a
5
2
5 a =
2 a 5
0,5
Bài 6
(2đ)
E
D
C B
A
DA
AC
5 25
CD
20
=> CD = 4 cm
Vẽ đường phân giác CE của CBD Đặt DE = x, EB = y, ta có CE = y
CD BC BD
4 5 4 + 5 9
BD
Từ
BD 9
4
0,25 0,5
0,25 0,25 0,25 0,5 Lưu ý: Nếu HS sử dụng công thức BD2 = AB.BC – CD.AD thì phải chứng minh được công thức trên
Chú ý: HS làm theo cách khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa