Chứng minh AD là tia phân giác góc ∠ HAC. b.[r]
Trang 1Trường THCS Phương Trung
ĐỀ THI ÔLIMPIC CẤP HUYỆN
Môn: Toán 7- Năm học 2014-2015 (Thời gian làm bài 120 phút)
Bài 1 (6 điểm) Tìm x biết:
a (x −1
2)4= 1
243
b |2 x −1|− x =1
c |35−
1
2x|> 2
5
Bài 2 (4 điểm):
a Tìm nghiệm của đa thức A(x) = x2 – 4x + 3
b Cho b2 = ac, c2 = bd (b, c, d ≠ 0)
Chứng minh rằng:
a d a+b+c¿3
¿
b+c+d¿3
¿
¿
¿
¿
¿ ¿
Bài 3 (4 điểm):
a Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
F = 2 1
|x −1| + 3
b Tìm x, y Z biết: 3xy + 2x + y – 3 = 0
Bài 4 (5 điểm):
Cho tam giác ABC vuông ở A đường cao AH Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BD = AB
a Chứng minh AD là tia phân giác góc ∠HAC
b Vẽ DK⊥ AC(K ∈ AC) Chứng minh: AK = AH
c Chứng minh rằng AB + AC < BC + AH
Bài 5:
Cho a, b, c là những số dương Chứng minh rằng
¿ 1< a
a+b+
b b+c+
c
c +a<2
¿
Trang 2Đáp án- Biểu điểm
Bài 1:
a (x −1
2)4=(±1
3)4 (0,5 điểm) => x −1
2 = 13 => x = 56 (0,5 điểm)
hoặc x −1
2 = −1
3 => x = 61 (0,5 điểm)
Vậy x = 56 hoặc x = 61 (0,5 điểm)
b |2 x −1|− x =1
Nếu x ≥1
2 ta có 2x – 1 – x = 1 => x = 2 (thoả mãn) (0,75 điểm)
Nếu x<1
2 ta có –2x + 1 – x = 1 => x =0 (thoả mãn) (0,75 điểm) Vậy x = 2 hoặc x = 0 (0,5 điểm)
c |35−
1
2x|> 2
5 35−1
2x >
2
5 x<2
5 (0,75 điểm) hoặc 35−1
2x <−
2
5 x>2 (0,75 điểm) Vậy x<2
5 hoặc x>2 (0,5 điểm)
Bài 2:
a Cho đa thức A(x) = 0
x2 – 4x + 3 = 0
x2 – 3x – x + 3 = 0
x(x – 3) – (x – 3) = 0
Trang 3 (x – 1)(x – 3) = 0 (1 điểm) Vậy x = 3 hoặc x = 1 (1 điểm)
b Từ b2 = ac, c2 = bd => a b=b
c=
c
d=
a+b+c
b +c +d (0,5 điểm)
=> (a+b+c b+c +d)3=a
b.
b
c.
c
d=
a
d (đpcm) (1 điểm) Vậy (a+b+c b+c +d)3=a
d (0,5 điểm)
Bài 3:
a Lí luận để chứng tỏ F ≤ 13 với mọi x (1 điểm)
Giá trị lớn nhất của F = 13 x = 1 (1 điểm)
b 3xy + 2y + y – 3 = 0
9xy + 6x + 3y – 9 = 0 (0,5 điểm)
3x(3y + 2) + (3y+2) = 11
(3x + 1)(3y + 2) = 11 (0,5 điểm) Lập bảng tìm được: (x; y) {(-4; -1) ; (0; 3)} (1 điểm)
Bài 4:
Vẽ hình đúng đến câu a : 0,5 điểm (0,5 điểm)
a ∠ A2 +∠ BAD=∠ A 1 +∠BDA( ¿ 90o
) (1,5 điểm)
mà ∠BAD =∠BDA => ∠ A2=∠ A1
b.Chứng minh ∆AHD = ∆AKD => AH = AK (1,5 điểm)
c AB = BD
AK = AH
KC < DC
AB + AK + KC < BD + AH + DC (1 điểm)
AB + AC < BC +AH (đpcm) (0,5 điểm)
Bài 5:
Do a, b, c là những số dương nên:
a a+b+c<
a a+b<
a+c a+b +c b
a+b+c<
b b+c<
b+a a+b+c c
a+b+c<
c
c +a<
c+b a+b+c
(0,5 điểm)
Cộng vế với vế ta có:
Trang 4
¿ 1< a
a+b+
b b+c+
c
c +a<2
¿
(đpcm) (0,5 điểm)
Phương Trung, ngày 13 tháng 01 năm 2015