Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M.[r]
Trang 1PHÒNG GD&ĐT HẢI LĂNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2019-2020
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 120 phút
Bài 1 (4 điểm): Cho P = 12 n+1 2 n+3 , n Z Tìm giá trị của n để:
a) P là một phân số
b) P là một số nguyên
10 2 :
2
1 3
6
6 4
2 3
2
x
x x
x x x
x x
a) Tìm điều kiện của x để A xác định
b) Rút gọn biểu thức A
c) Tìm giá trị của x để A > O
Bài 3 (4 điểm):
a) Cho 3 số x, y, z thoả mãn x.y.z = 1
Tính biểu thức M = 1+x +xy1 + 1
1+ y+yz+
1
1+ z+zx
b) Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác
Chứng minh rằng: a+b − c1 + 1
b+c −a+
1
c+a −b
1
a+
1
b+
1
c
Bài 4 (4 điểm): Cho tam giác ABC cân tại A có A 20 0, vẽ tam giác đều DBC (D nằm trong tam giác ABC) Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M
Chứng minh:
a) Tia AD là phân giác của góc BAC
b) AM = BC
Bài 5 (4 điểm): Tìm dư của phép chia đa thức x99 + x55 + x11 + x + 7 cho x2 - 1
Hết Lưu ý : Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: ……….……….……….……….……….……….………. Số BD: ……….
ĐỀ CHÍNH THỨC
VÒNG 1
Trang 2HƯỚNG DẨN CHẤM THI HSG VÒNG 1
MÔN TOÁN (2019-2020)
Bài 1 (4 điểm):
a) P = 12 n+1 2 n+3 là phân số khi: 12n + 1 Z , 2n + 3 Z và 2n + 3 0
⇔ n Z và n -1,5 ⇔ n Z (2 điểm)
P là số nguyên khi 2n + 3 Ư(17) ⇔ 2n + 3 {±1 ;± 17}
⇔ n {−10 ;−2 ;−1 ;7}
Bài 2 (4 điểm):
a) x 2 , x -2 , x 0 (1 điểm)
6 : 2
1 2
2 4
2
x x
=
6 : 2 2
2 2
2
x x
x
x x
x
x x
2
1 6
2 2 2
6
(2 điểm) c) Để A > 0 thì 2 0
1
Bài 3 (4 điểm):
a) Vì xyz = 1 nên x 0, y 0, z 0
1
1+x +xy=
z
z (1+x+xy )=
z
z +xz +1
1
1+ y +yz=
xz (1+ y+yz)xz=
xz
xz +1+z
M = z +xz+1 z + xz
xz +1+z +
1
1+z +xz=1 (2 điểm) b) a, b, c là 3 cạnh của một tam giác nên a + b - c > 0; b + c - a > 0; c + a - b > 0
Với x, y > 0 ta có: 1x+ 1
y ≥
4
x+ y do đó:
1
a+b − c+
1
b+c −a ≥
4
2 b=
2
b 1
b+c − a+
1
c+a −b ≥
2
c
Trang 3c+a −b+
1
a+b − c ≥
2
a Cộng từng vế 3 bất đẳng thức ta được điều phải chứng minh
Xảy ra dấu đẳng thức khi và chỉ khi a = b = c (2 điểm)
Bài 4 (4 điểm): Không vẽ hình hoặc vẽ sai sai không chấm.
a) Chứng minh ADB = ADC (c.c.c)
suy ra DAB DAC
Do đó DAB 20 : 2 100 0
b) ABC cân tại A, mà A 200(gt)
nên ABC (1800 20 ) : 2 800 0
ABC đều nên DBC 600
Tia BD nằm giữa hai tia BA và BC
Suy ra ABD 800 600 200
Tia BM là phân giác của góc ABD nên ABM 100
Xét tam giác ABM và BAD có:
AB cạnh chung ; BAM ABD20 ;0 ABM DAB 100
Vậy ABM = BAD (g.c.g) suy ra AM = BD,
mà BD = BC (gt) nên AM = BC
Bài 5 (4 điểm):
Gọi Q(x) là thương của phép chia x99 + x55 + x11 + x + 7 cho x2 - 1
ta có x99 + x55 + x11 + x + 7 = (x - 1)(x + 1).Q(x) + ax + b (*)
trong đó ax+b là dư của phép chia trên
Với x = 1 thì (*) => 11 = a + b
Với x = -1 thì (*) => 3 = -a + b => a = 4, b = 7
Vậy dư của phép chia x99 + x55 + x11 + x + 7 cho x2 - 1 là 4x + 7
(Thí sinh giải cách khác đúng vẩn đạt điểm tối đa).
200
M A
D