Applications of delay diffrential equations in the HIV transmission model

Thời gian ủ bệnh nội bào được môhình hoá bởi hàm phân phối Gamma và mô hình là một hệ thống gồm mộtphương trình vi phân thường và một phương trình vi phân có chậm.. Chương I: Trình bày k

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

HỒ THANH NHÂN

ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

CÓ CHẬM TRONG MÔ HÌNH LAN TRUYỀN

HIV APPLICATIONS OF DELAY DIFFERENTIAL EQUATIONS IN THE HIV TRANSMISSION

CÔNG TRÌNH NÀY ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA - ĐH QUỐC GIA TP.HCM

Cán bộ hướng dẫn khoa học: TS LÊ XUÂN ĐẠI

Thành phần đánh giá luận văn thạc sĩ gồm:

(Ghi rõ họ, tên, học hàm, học vị của Hội đồng chấm bảo vệ luận văn thạc sĩ )

Trường Đại Học Bách Khoa Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ

Họ và tên học viên: HỒ THANH NHÂN MSHV: 1670241

Ngày, tháng, năm sinh: 03 03 1979 Nơi sinh: Long An

Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60460112

I TÊN ĐỀ TÀI: ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

CÓ CHẬM TRONG MÔ HÌNH LAN TRUYỀN HIV

NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG

- Kiến thức chuẩn bị

- Giới thiệu phương trình vi phân có chậm và phương pháp giải phương trình

- Ứng dụng của phương trình vi phân có châm trong mô hình lan truyền HIV

II NGÀY GIAO NHIỆM VỤ: 12/08/2018

III NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 12/06/2019

IV CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: TS LÊ XUÂN ĐẠI

Tp Hồ Chí Minh, ngày 12 tháng 01 năm 2020.

TRƯỞNG KHOA

LỜI CẢM ƠN

Trước tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sự tri ân sâu sắc đối vớithầy TS Lê Xuân Đại, người đã nhiệt tình giảng dạy, hướng dẫn và tạo mọiđiều kiện giúp đỡ tôi trong quá trình học tập cũng như trong khoảng thờigian thực hiện và hoàn thành luận văn

Tôi xin chân thành cảm ơn đến tất cả quý Thầy - Cô trong bộ môn toánứng dụng, quý Thầy - Cô trong Trường Đại Học Bách Khoa, Đại học quốcgia thành phố Hồ Chí Minh, những người đã hết lòng giảng dạy tôi và giúptôi lãnh hội những kiến thức khoa học một cách dễ dàng nhất Xin cảm ơnquý Thầy-Cô đã truyền đạt những kiến thức rất hay và rất mới giúp tôi hoànthành các môn học và giúp tôi có được một nền tảng kiến thức khoa học đểtôi có thể thực hiện luận văn này

Tôi xin chân thành cảm ơn đến tất cả các bạn học viên ở lớp cao họcToán Ứng Dụng khóa 2016, đã có rất nhiều hỗ trợ, giúp đỡ tôi trong suốtquá trình học cũng như trong quá trình thực hiện và hoàn thành Luận văn.Tôi cũng xin chân thành cảm ơn tất cả những người thân trong gia đìnhtôi, đã luôn luôn đồng hành, động viên, chia sẻ khó khăn và tạo cho tôi nhữngđiều kiện tốt nhất để học tập, làm việc và hoàn thành tốt luận văn

Trong quá trình làm luận văn, do kiến thức cũng như kinh nghiệm thựctiễn còn nhiều hạn chế nên bài luận văn không thể tránh khỏi những thiếusót, tôi rất mong được tiếp nhận những ý kiến đóng góp của quý Thầy-Cô,của các bạn học viện và đồng nghiệp, để tôi có thêm kiến thức nhằm bổ sung

và hoàn thiện luận văn

Cuối cùng tôi xin kính chúc quý Thầy-Cô dồi dào sức khoẻ thành côngtrong sự nghiệp cao quý và thành công trong các lĩnh vực nghiên cứu

Rất trân trọng và xin chân thành cảm ơn

Thành phố Hồ Chí Minh, 01 2020

Người thực hiện Luận văn

Hồ Thanh Nhân

i

Nội dung chính của luận văn này là nghiên cứu mô hình lan truyền trựctiếp từ tế bào đến tế bào của virut HIV Thời gian ủ bệnh nội bào được môhình hoá bởi hàm phân phối Gamma và mô hình là một hệ thống gồm mộtphương trình vi phân thường và một phương trình vi phân có chậm Các môhình được nghiên cứu là: mô hình tổng quát, mô hình phương trình vi phânthường, phương trình vi phân có chậm phân phối Cấu trúc luận văn gồm có

ba chương

Chương I: Trình bày kiến thức cơ bản của phương trình vi phân có chậm.Chương II: Phương pháp giải phương trình vi phân có chậm và kiến thức bổsung để nghiên cứu mô hình lan truyền virut HIV trong tế bào

Chương III: Nghiên cứu ứng dụng của phương trình vi phân có chậm trong

mô hình lan truyền HIV Đây là nội dung chính của luận văn và cuối cùng làkết luận về các vấn đề đã khảo sát, từ đó đề xuất hướng phát triển về một

số ứng dụng trong lĩnh vực toán học ứng dụng

The main content of this dissertation is to study the model of spreadingdirectly from cells to cells of HIV virus The intracellular incubation period

is modelled by the gamma distribution function and the model is a system

of one ordinary differential equation and one with delay differential tions.The models studied are: General model, ordinary differential equationmodel, differential equation with distributed delay The structure of the dis-sertation consists of three chapters

equa-Chapter I: Presenting basic knowledge of delay differential equations

Chapter II: Methods of solving delay differential equations and additionalknowledge for studying the model of HIV transmission in cells

Chapter III: Studying the application of delay differential equation in HIVtransmission model This is the main content of the dissertation and finallyconclusion on the issues surveyed is presented, based on which some proposi-tions for the improvement in some applications of mathematics are discussed

iii

Luận văn này là công trình nghiên cứu của cá nhân tôi, được thực hiệndưới sự hướng dẫn khoa học của TS Lê Xuân Đại.

Các số liệu và kết luận nghiên cứu được trình bày trong luận văn này hoàntoàn trung thực

Tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm về lời cam đoan này

Học viên

HỒ THANH NHÂN

Luận văn Thạc sĩ Chuyên ngành Toán Ứng dụngDANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT VÀ KÝ HIỆU

ODEs Ordinary Differential Equations: Phương trình vi phân thườngDDEs Delay Differential Equations: Phương trình vi phân có chậm

HIV Human Immunodeficiency Virus infection : Hội chứng suy

giảm miễn dịch mắc phải ở người

Φ(0, x) Semiflow map : Ánh xạ nửa dòng chảy

0+(x) The Forward Orbit of a state x: Quỹ đạo chuyển tiếp của trạng

thái xω(x) The Omega Limit Set : tập giới hạn omega

LỜI CẢM ƠN i

DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT VÀ KÝ HIỆU v

Chương 1 Giới thiệu kiến thức cơ bản của phương trình vi

1.1 Phương trình vi phân có chậm rời rạc 1

1.1.1 Bài toán pha trộn chất lỏng 1

1.1.2 Bài toán về sự tăng trưởng dân số 2

1.2 Phương trình vi phân có chậm liên tục 4

Chương 2 Một số phương pháp giải phương trình vi phân có chậm 5 2.1 Một số phương pháp cơ bản giải phương trình vi phân có chậm 6 2.1.1 Phương pháp giải từng bước phương trình vi phân có chậm rời rạc 6

2.1.2 Phương pháp giải phương trình vi phân có chậm rời rạc sử dụng MatLab 7

2.2 Phương trình vi phân có chậm vô hạn của dạng Gamma 11

2.2.1 Phương trình đặc trưng và sự ổn định 12

2.3 Chuỗi các thuật toán tuyến tính 16

2.4 Hàm Liapunov 18

2.4.1 Nửa dòng và tập hợp giới hạn Omega 18

Chương 3 Mô hình bài toán lan truyền HIV 22 3.1 Mô hình tổng quát 22

3.2 Mô hình ODE 25

Luận văn Thạc sĩ Chuyên ngành Toán Ứng dụng

3.3 Mô hình có chậm phân phối 28KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN LUẬN VĂN 33

y0(t) = f (t, y(t − τ1), y(t − τ2), , y(t − τn))

với ri > 0 , i = 1, 2, 3, n được gọi là các có chậm

Phương trình vi phân có chậm đóng vai trò cực kì quan trọng trong yhọc, kĩ thuật, vật lý và một số nghành khác Vì vậy phương trình vi phân

có chậm đã thu hút được nhiều sự quan tâm của các nhà toán học trên thếgiới Điều này thể hiện qua số lượng ngày càng tăng các bài báo, các côngtrình nghiên cứu đã được đăng tải trên các tập chí toán học có uy tín.Trong việc giải phương trình vi phân, mục tiêu là tìm ra công thức tườngminh của hàm cần tìm thoả mãn phương trình vi phân đã cho Thông thườngnghiệm sẽ là họ của các hàm sai khác nhau một hằng số C Họ này sẽ tìmđược một cách chính xác nếu biết được điều kiện ban đầu hay điều kiện biên.Nhưng trong thực tế, việc tìm ra công thức tường minh như vậy đôi lúc gặprất nhiều khó khăn nên người ta chỉ quan tâm đến giá trị của hàm cần tìmtại các giá trị cụ thể của các biến độc lập Các phương pháp nhằm tìm ragiá trị chính xác của một hàm được gọi là phân tích định lượng (quantitativeanalysis) Tuy nhiên có những ứng dụng mà ngay cả các giá trị chính xáccũng khó tìm ra được, lúc này người ta lại quan tâm đến giá trị xấp xỉ chỉ cómột mức độ chính xác nhất định so với giá trị chính Việc giải các giá trị nàythường được thực hiện bằng phương pháp số (numerical methods) và công

cụ là máy tính hay nó còn được gọi là phân tích số (numerical analysis).Trong nhiều thập kỷ qua, một số lý thuyết đã được trình bày nhằm nổ lựcgiải thích các cơ chế dẫn đến sự suy giảm tế bào đặc biệt là tế bào lympho

Luận văn Thạc sĩ Chuyên ngành Toán Ứng dụng

CD4 trong cơ thể nhiễm bệnh Vì phần lớn sự nhiễm bệnh diễn ra trong môbạch huyết nơi có 98% tế bào lympho CD4 sinh sống [15] Việc hiểu đượcchức năng của mô bạch huyết là rất quan trọng để khám phá các thông tin

về sự nhiễm bệnh do virut gây ra Một số mô hình toán học đã phát triển

để mô tả hội chứng miễn dịch do virut gây ra đặc biệt là virut HIV Hầu hếtnhững mô hình này đều tập trung vào sự lan truyền của virut không trựctiếp từ tế bào mà chủ yếu là trong mạch máu ví dụ như trong mô hình củaCallaway và Perelson [16], McLean và Kirkwood [17], và một số nhà nghiêncứu khác Đã có những nghiên cứu trước đây về sự lan truyền trực tiếp từ

tế bào đến tế bào của virut HIV Ngoài ra, HIV được cho là sống trong môbạch huyết nơi mà chúng có thể lan truyền trục tiếp từ tế bào đến tế bào,

và đây là một phương thức lan truyền quan trọng hơn nhiều so với sự lantruyền trong môi trường không có tế bào Trên thực tế đã có Dimitrov [11],Sato [19] có báo cáo rằng sự lan truyền từ tế bào đến tế bào là một hìnhthức ưu chuộng hơn so với sự lan truyền không có tế bào Một tài liệu củaGummuluru [20] cũng ủng hộ giả thuyết rằng con đường lây lan virut chủyếu kể từ khi nhân lên của virut phụ thuộc vào sự di chuyển của virut từ tếbào này sang tế bào khác

Spouge và các cộng sự [9] đã nghiên cứu sự lan truyền từ tế bào đến tếbào của virut HIV trong việc nuôi cấy mô theo mô hình toán học và đưa

ra nhận xét rằng trạng thái tiệm cận tương tự như mô hình đại diện cho sưlan truyền virut trong tế bào tự do Đó là mô hình phương trình vi phânthường với các tham số thực Hệ thống hướng tới một trạng thái cân bằng

có bệnh, trong đó các tế bào khoẻ mạnh và tế bào nhiễm bệnh cùng tồn tại.Khi bị nhiễm virut, HIV có một giai đoạn ẩn náo ngắn trong tế bào (gọi làgiai đoạn tiềm ẩn) Trong giai đoạn này tế bào đã nhiễm bệnh nhưng chưabắt đầu sinh sản virut Spouge đã thừa nhận rằng hệ thống của họ "khôngbao gồm giai đoạn tiềm ẩn sau khi tế bào bị nhiễm bệnh sự tiềm ẩn cóthể được mô hình hoá bởi một có chậm hoặc bởi một lớp rõ ràng sự tiềm

ẩn tế bào nhiễm bệnh" Chúng ta đã bỏ quên sự tiềm ẩn này vì nó xảy rarất nhanh (khoảng một ngày) trong tỉ lệ thời gian được quan tâm (ít nhất

là một tuần) Spoudge cũng chỉ ra rằng có hai phương pháp để mô hình hoá

sự tiềm ẩn này bằng một thời gian có chậm hoặc bằng một lớp rõ ràng sựtiềm ẩn tế bào nhiễm bệnh Perelson [12] đã nghiên cứu hệ thống với lớp rõràng sự tiềm ẩn tế bào nhiễm bệnh Herz [14] giả sử rằng các tế bào tạo ralan truyền sau khoảng thời gian τ từ lúc nhiễm bệnh ban đầu Báo cáo củaHarz đã phát biểu rằng sự có chậm trong tế bào đã thay đổi các ước tính

về tốc độ giải phóng virut nhưng không thay đổi tỉ lệ mất đi của tế bào bịnhiễm bệnh Culshaw và Ruan [3] đã chỉ ra rằng sự có chậm trong tế bàonhư vậy không làm thay đổi sự ổn định của trạng thái cân bằng nhiễm bệnhtrong báo cáo lâm sàn với các giá trị của tham số Tam [22] đã nghiên cứutác động có chậm trong mô hình mô tả sự ảnh hưởng qua lại giữa virut nhânbản và tế bào gốc Mittler [26] giả sử rằng sự có chậm trong tế bào là liên tục

và thay đổi theo phân phối gamma và quan sát sự thay đổi đột ngột trongước tính sự giải phóng virut Bằng cách sử dụng phương pháp các giai đoạnGrossman [24] đã nhận thấy rằng mô hình có chậm của sự chết đi của tế bàonhiễm bệnh dẫn đến kết luận khác nhau về việc lan truyền của những virutcòn sót lại khi có mặt của các loại thuốc đặc trị Nelson [26] đã mở rộng vàphát triển mô hình có chậm sự lan truyền HIV và chữa trị trong các trườnghợp tổng quát kết hợp phép chữa trị chống virut nhưng mang lại hiệu quảrất thấp

Virut là vi sinh vật gây nhiễm, duy trì sự tồn tại bằng cách ký sinhbắt buộc trong tế bào (gây nhiễm tế bào) và làm thay đổi cấu trúc tế bào(Cytopathic effect- CPE) Vật liệu di truyền của virut (ARN/DNA) xâmnhập vào tế bào chủ, lấy nguyên liệu của tế bào chủ, sao chép, tái tạo nêncác thành phần của hạt virion Virion đươc lắp ghép trong tế bào nhiễm, sửdụng sản phẩm sao chép của virut, và có thể gây nhiễm cho tế bào khác.Như vậy có thể hiểu virut là tế bào nhiễm, còn virion là hạt có khả năng gâynhiễm Lloyd [25] quan sát rằng các mô hình bỏ qua có chậm trong tế bàotrước khi tạo ra virion có thể dẫn đến sự đánh giá thấp về số lượng sinh sản

và sự dự đoán lạc quan về việc điều trị hiệu quả để có thể ngăn ngừa bệnh.Trong luận văn này chúng tôi xem sét sự lan truyền trực tiếp từ tế bàođến tế bào của virut HIV và mô hình hoá giai đoạn tiềm ẩn trong tế bàobằng hàm phân phối gamma Điều này có nghĩa là sự có chậm phân phối đại

Luận văn Thạc sĩ Chuyên ngành Toán Ứng dụng

diện cho sự có chậm thời gian của tế bào nhiễm bệnh đến khi nó lây nhiễmcho tế bào khác Mô hình được mô tả bằng hệ thống của phương trình viphân với có chậm phân phối Khi hàm phân phối có dạng là hàm delta tạigiá trị τ dương thì mô hình trở thành hệ phương trình vi phân có chậm rờirạc Khi τ = 0 thì mô hình biến đổi thành hệ phương trình vi phân thường(ODEs) Trong trường hợp tổng quát, một mô hình sẽ có ba trạng thái ổnđịnh - tầm thường - khoẻ mạnh - nhiễm bệnh Một phân nhánh xuyên tớihạn (transcritical bifurcation) xảy ra khi tỉ số các tế bào bị nhiễm sống sóttrong quá trình ủ bệnh vượt qua giá trị tới hạn Nếu tỉ số này quá nhỏ thìtrạng thái ổn định khoẻ mạnh là ổn định và trạng thái nhiễm bệnh khôngthể xảy ra Khi tỉ số này gia tăng và vượt qua giá trị tới hạn thì trạng tháicân bằng khoẻ mạnh trở nên không ổn định và trạng thái cân bằng có bệnh

là ổn định Một kết quả mới mà chúng tôi nhận được từ mô hình hệ phươngtrình vi phân thường (ODEs) là ổn định toàn cục của trạng thái ổn định.Điều này được thiết lập thông qua phương pháp hàm Liapunov

Đối với mô hình có chậm rời rạc chúng ta sẽ kiểm tra các điều kiện củatrạng thái cân bằng có bệnh bằng cách sử dụng kết quả trong [8] Chúng tôinhận thấy rằng tỉ lệ tế bào sống sót trong thời gian ủ bệnh cũng xác định cácvùng ổn định tuyệt đối và điều kiện ổn định trong mô hình có chậm Trongmột phạm vi nhỏ, trạng thái cân bằng có bệnh là ổn định tiệm cận đối vớitất cả các giá trị có chậm nhưng một khi tỉ lệ sống sót của tế bào trong quátrình ủ bệnh tăng lên vượt quá giá trị tới hạn thì cân bằng chỉ là ổn định

có điều kiện Điều này có nghĩa là sự ổn định phụ thuộc vào thời gian chậm.Hơn nữa, tỉ lệ tế bào sống sót càng lớn trong giai đoạn ẩn náo, có chậm càngnhỏ thì vẫn giữ được trạng thái cân bằng ổn định

Mục tiêu của luận văn này là giới thiệu các dạng cơ bản của phương trình

vi phân có chậm và từ đó đưa ra phương pháp giải phương trình vi phân

có chậm bằng phương pháp các bước và phương pháp số Cuối cùng là ứngdụng của phương trình vi phân có chậm trong mô hình lan truyền HIV Cấutrúc luận văn bao gồm 3 chương chính

Chương 1: Giới thiệu các kiến thức cơ bản của phương trình viphân có chậm

Chương 2: Trình bài phương pháp giải phương trình vi phân cóchậm

Chương 3: Mô phỏng trong mô hình lan truyền HIV

Các nội dung được trình bài trong luận văn mang tính kế thừa của nhữngtác giả đi trước và phát triển những ý mới có tính khoa học Các kết quảđạt được của luận văn với mong muốn là một đóng góp có ý nghĩa trong lĩnhvực toán ứng dụng, đặc biệt luận văn sẽ giúp ích cho những ai đang nghiêncứu về phương trình vi phân có chậm và những ứng dụng của nó trong khoahọc đời sống

1.1 Phương trình vi phân có chậm rời rạc

1.1.1 Bài toán pha trộn chất lỏng

Đầu tiên, chúng ta nghiên cứu bài toán pha trộn chất lỏng được giới thiệubởi R.D.Diver [1,trang 226] Xét một bể chứaB gallons dung dịch nước muốimặn Nước tinh khiết được chảy vào phía trên đỉnh bể với tốc độ q gallonsmỗi phút Dung dịch nước muối trong bể được khuấy liên tục và được rờikhỏi bể thông qua một van ở phía đáy bể với cùng tốc độ nước tinh khiếtchảy vào bể (xem hình 1.1)

inlet

outlet

∞

Hình 1.1Gọi x(t) là số lượng muối (đơn vị là pounds) có trong dung dịch nước

1

muối chứa trong bể tại thời điểm t Nếu chúng ta giả sử rằng lượng nướctinh khiết khi chảy vào bể được pha trộn liên tục, tức thời và hoàn toàn thìlượng nước muối rời khỏi bể sẽ là x(t)

B (mỗi pounds muối trong một gallon

dung dịch nước muối) Khi đó ta có độ biến thiên số lượng muối có trong bểlà

x0(t) = −qx(t)

Nhưng trong thực tế, chúng ta cần chú ý rằng việc trộn dung dịch nước muốikhông thể xảy ra tức thời trong toàn bộ bể Do đó nồng độ nước muối rời rakhỏi bể tại thời điểm t sẽ bằng nồng độ trung bình tại một thời điểm sớmhơn Ta gọi thời điểm sớm hơn đó là t − r Chúng ta giả sử rằng r là mộthằng số dương Khi đó phương trình vi phân đối với hàm x(t) sẽ trở thànhphương trình vi phân có chậm

với r gọi là "chậm" hay "thời gian chậm"

1.1.2 Bài toán về sự tăng trưởng dân số

Tiếp theo, chúng ta tiếp tục nghiên cứu bài toán về sự tăng trưởng dân

số cũng được giới thiệu bởi D.R.Diver trong tài liệu [1,trang 229] Nếu gọi

N (t) là số lượng của một loài động vật bị cô lập trong một vùng nào đó tạithời điểmt Một mô hình đơn giản cho sự tăng trưởng dân số của loài này là

Luận văn Thạc sĩ Chuyên ngành Toán Ứng dụng

Một mô hình có tính thực tế hơn và có thể đạt được nếu chúng ta thừanhận rằng tỉ lệ tăng trưởngk sẽ thay đổi và sẽ giảm dần khi N (t) phát triển

và có số lượng lớn vì mật độ quá đông và thiếu lương thực Do đó, chúng ta

sẽ nghiên cứu phương trình vi phân sau:

t

N

PP/2P/10

3P/2

Hình 1.2

Nếu chúng ta giả sử rằng phản ứng tự điều khiển sinh học được đại diện bởiyếu tố



1 − N (t)

P

trong phương trình (1.6) là không tức thời mà chỉ phảnhồi sau một khoảng thời gian chậm r > 0 thì khi đó ta có phương trình viphân có chậm

x0(t) = cx(t) [1 − x(t − r)] (1.9)Vào năm 1948 Hutchinson [7] đã chỉ ra rằng những tác động tiêu cực củamật độ dân số cao gây ra đối với môi trường ảnh hưởng đến tỉ lệ sinh sảncủa loài chim vào những thời điểm sau đó do sự chậm phát triển và trưởngthành Điều này dẫn đến việc ông đề xuất phương trình logistic có chậm

N0(t) = [b − aN (t − r)] N (t) (1.10)với a, b là các hằng số

1.2 Phương trình vi phân có chậm liên tục

Theo trích dẫn [8], trong toán học, phương trình vi phân có chậm (DDEs)

là một phương trình vi phân mà trong đó đạo hàm của một hàm số cần tìmtại một thời điểm nhất định được đưa ra theo các giá trị của hàm tại cácthời điểm trước đó DDEs cũng được gọi là hệ chậm thời gian (time - delaysystems) Phương trình vi phân có chậm thường được biểu diễn dạng tổngquát là:

dx(t)

dt = x

0(t) = f (t, x(t), xt) (1.11)Trong đó f : R ×Rn × C (R,Rn) 7→ Rn và xt = {x(τ ) : τ ≤ t} gọi là quỹđạo nghiệm của phương trình trong quá khứ Ví dụ đây là phương trình viphân có chậm liên tục

Luận văn Thạc sĩ Chuyên ngành Toán Ứng dụng

số và nhiều phương pháp khác

Nội dung chính của chương này gồm ba phần:

Phần 1: Chúng tôi xin giới thiệu phương pháp giải từng bước và phươngpháp số để giải phương trình vi phân có chậm

Phần 2: Chúng tôi xin giới thiệu một số kiến thức bổ sung để xây dựng

mô hình lan truyền HIV như chậm vô hạn dạng Gamma, phương trình đặctrưng và sự ổn định nghiệm và cuối cùng là các thuật toán tuyến tính.Phần 3: Chúng tôi xin giới thiệu về hàm Liapunov được sử dụng để nghiêncứu tính ổn định nghiệm của phương trình vi phân có chậm

2.1 Một số phương pháp cơ bản giải phương trình vi

phân có chậm

2.1.1 Phương pháp giải từng bước phương trình vi phân có chậm

rời rạc

Theo tài liệu trích dẫn ([6], trang 4), chúng ta xét phương trình vi phân

có chậm rời rạc dạng đơn giản nhất là

x0(t) = f (t, x(t), x(t − τ )) (2.1)trong đó τ > 0 gọi là thời gian chậm và phụ thuộc vào hàm điều kiện banđầu là

• Bước 3: Nếu t ∈ [τ ; 2τ ] thì x(t − τ ) = x1(t − τ ) Tương tự như bước

2 chúng ta sẽ giải phương trình x0(t) = f (t, x(t), x1(t − τ )) và giả sửnhận được nghiệm là x2(t)

Như vậy với mỗi khoảng thời gian chúng ta tìm một nghiệm của phươngtrình (2.1) và nghiệm tổng quát của phương trình x(t) bao gồm tất cả cácnghiệm x0, x1, x2 được xác định trong các khoảng thời gian cụ thể

Ví dụ 2.1.1 Giải phương trình vi phân có chậm rời rạc sau

x0(t) = x(t − 1) − x(t) (2.2)với có hàm điều kiện ban đầu x(t) = (t − 1)2 với t ∈ [−1; 0] bằng phươngpháp giải từng bước

• Bước 1: Nếu t ∈ [−1; 0] thì ta có x(t) = (t − 1)2

Luận văn Thạc sĩ Chuyên ngành Toán Ứng dụng

• Bước 2: Nếu t ∈ [0; 1] ⇒ t − 1 ∈ [−1; 0] Từ điều kiện ban đầu ta có

x(t − 1) = (t − 2)2 Khi đó phương trình (2.2) trên đoạn [0; 1] sẽ là

• Bước 3: Nếu t ∈ [1; 2] ⇒ t − 1 ∈ [0; 1] ⇒ x1(t − 1) = 1

3(t − 3)

3+ Ce−t+1.Chúng ta sẽ giải phương trình x0(t) = x1(t − 1) − x(t) Quá trình sẽtiếp tục cho đến khoảng thời gian t mà chúng ta muốn tiếp cận

2.1.2 Phương pháp giải phương trình vi phân có chậm rời rạc

y là nghiệm cần tìm (biến phụ thuộc vào thời gian), z là một ma trận cộtgồm nhiều thành phần mà mỗi thành phần là một có chậm

Tiếp theo ta phải định nghĩa hàm lịch sử y = history(t) Hàm lịch sử lànghiệm cần tìm khi t ≤ t0, với t0 là hằng số cho trước Cuối cùng ta sử dụngcâu lệnh bắt buộc để giải DDEs: Sol = ddesd(@ddefun,@delay,@history,tspan);

Cấu trúc nghiệm nhận được là một miền gồm hai thành phần, các bướcthời gian và các nghiệm tương ứng theo thời gian đó

Ví dụ 2.1.2 Giải phương trình vi phân có chậm sau

Luận văn Thạc sĩ Chuyên ngành Toán Ứng dụng

Ví dụ 2.1.3 Giải phương trình vi phân có chậm sau

Ví dụ 2.1.4 Giải phương trình DDEs sau

Luận văn Thạc sĩ Chuyên ngành Toán Ứng dụng2.2 Phương trình vi phân có chậm vô hạn của dạng

Z ∞ 0y(t − s)gap(s)ds (2.5)Trong đó hàm Dirac δ

Z t

−∞

y(η)gap(t − η)dη (2.6)với hạt nhân gap là hàm mật độ xác suất của hàm phân phối xác suất

gap(u)du Trong trườnghợp đặc biệt

Z ∞ 0