Các phương pháp tối ưu véc tơ và ứng dụng

Trong luận án này, chúng tôinghiên cứu bài toán quihoạch lồi đamục tiêu, bài toán qui hoạch tuyến tính đa mục tiêu, bài toán tối ưu trên tập Pareto, bài toán quihoạch tích lồivà bàitoán

-lª quangthñy

luËn ¸ntiÕn sÜto¸n häc

-lª quangthñy

Chuyªn ngµnh: Lý thuyÕt tèi ­u

Luận án này được hoànthành tại Khoa Toán Tin ứng dụng, Trường Đại học

Bách khoaHà Nội, dưới sự hướng dẫn khoa học của GS TSKH.Lê Dũng Mưu

và PGS TS Nguyễn Thị Bạch Kim Các kết quả được trình bày trong luận án

là mới và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác

Các kết quả được công bố chung với GS TSKH Lê Dũng Mưu, PGS TS

Nguyễn Thị BạchKim và ThS Nguyễn Tuấn Thiện đã đượcsự đồngý của các

đồng tác giảkhi đưa vào luận án

Tác giả

Lê Quang Thủy

Mục lục

Chương1 Bàitoánquyhoạchlồiđamụctiêuvàcácbàitoánliênquan 14

1.1 Điểm hữu hiệu 15

1.2 Bàitoán quy hoạch lồi đa mục tiêu 16

1.3 Bàitoán tối ưu trêntập Pareto 20

1.4 Bàitoán quy hoạch tích lồi 26

Chương2 Thuậttoángiải quyhoạchlồiđamụctiêutrongkhônggian ảnhvà ứng dụng 31 2.1 Thuậttoán sinh cácđiểm giátrịhữu hiệu củaBài toánquy hoạch lồi đa mục tiêu (CM OP) 33

2.1.1 Cơ sởlý thuyết 33

2.1.2 Thuật toán sinh các điểm giá trị hữu hiệu của Bài toán (CM OP) 39

2.1.3 Ví dụ minh họa 41

2.2 Thuật toán giải bàitoán quy hoạch tích lồi 45

2.2.1 Thuật toán xấp xỉ ngoài giải Bài toán (CM PG E) 46

Chương3 Thuật toángiải bài toánquy hoạch

3.1 Điềukiện hữu hiệu 60

3.2 Thuật toán xác định tất cả các phương án cực biên hữu hiệu và

các cạnhhữu hiệu của Bài toán (LM OP ct

) 64

3.3 Thuật toán giải bàitoán quy hoạch tích các hàm tuyến tính 71

Chương4 Thuật toán tối ưu trơn giải bài toán tối ưu trên tập Pareto

và ứngdụng giải bài toáncực tiểudòng cực đại 73

4.1 Thuật toán phạt bậc hai giải Bài toán (P d) 744.2 Thuật toán theo lược đồDCA giải bài toántối ưu trêntập Pareto

và ứng dụng để giải bàitoán cực tiểu dòng cực đại 80

4.2.1 Thuật toán theolược đồ DCA giải bàitoán tối ưutrên tập

Pareto 80

4.2.2 Thuật toán DCA giải bài toán cực tiểu dòng cực đại 82

Danh mục các công trìnhcủa tác giảcó liên quanđến luận án 102

ha, xi tích vô hướng của hai véc tơ a và x

kxk chuẩn Euclide của véctơ x trong không gian R n

|x| giá trị tuyệt đốicủa x ∈ R

0 số 0, hoặc véctơ 0 trong không gian véc tơ R n

riX phần trong tươngđối của X

dimX số chiều (thứ nguyên) của tập X

conv(X) bao lồi của tập X

conv{x1, x2, , xk} bao lồi của các điểm x1, x2, , xk

A + B tổng véctơ của hai tập hợp A và B

f : X → R p ánh xạ f từ tập X ⊂ R n vào R p

(CM OP) Bài toán quy hoạch lồi đa mục tiêu

(LM OP) Bài toán quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu

(CM P X) Bài toán quy hoạch tích lồi

(LM P X) Bài toán quy hoạch tích tuyến tính

(P E) Bài toán tối ưu trên tập Pareto

rank(A) hạng của ma trậnA

A T

ma trậnchuyển vị của matrận A [a, b] đoạn thẳng nối hai điểm a, b ∈ R n

, tức là

[a, b] = {x ∈ R n : x = λa + (1 − λ)b, 0 ≤ λ ≤ 1} B[a, b] hộp đảo có gốc là b và đỉnh a (a, b ∈ R n), tức

B[a, b] = {x ∈ R n : a ≤ x ≤ b}

t.ư viết tắt của cụm từ "tương ứng"

v.đ.k viết tắt của cụm từ "với điều kiện"

Qui hoạch đa mục tiêu,hay còn gọi làTối ưu véc tơ, ra đời xuất pháttừ những

nhucầuthựctiễnlàconngườithườngxuyênphảigiảiquyếtbàitoántốiưuđồng

thời nhiều mục tiêu trong cùng một điều kiện, một hoàn cảnh nào đó Chẳng

hạn, trong điềukiện củamột xí nghiệpsảnxuất, ngườita mong muốntìm được

các phương án sản xuất saocho vừađáp ứng được nhu cầu của thị trường, vừa

thu được lợi nhuận cao, vừa tiết kiệm chi phí; Trong thị trường chứng khoán,

các nhà đầu tư đều mong muốn tìm kiếmđược những loại cổphiếu an toàn, có

lợi nhuận và tính thanh khoản cao, Do nhu cầu ứng dụng, việc nghiên cứu

xây dựngcác thuậttoán hữu hiệu đểgiải bàitoán quihoạchđamục tiêu và các

bài toán liên quanvới nó luôn là một trong các vấn đềđược quan tâm

Bài toán qui hoạch lồi đa mục tiêu là một lớp bài toán đặc biệt trong Tối

ưu véc tơ và có ý nghĩa ứng dụng quan trọng trong thực tế, đặc biệt là trong

lý thuyết quyết định, kinh tế, quản lý, công nghiệp, tài chính, Bài toán này

là tập lồi đa diện khác rỗng, Bài toán

(CM OP) được gọi là Bài toán qui hoạch tuyến tính đa mục tiêu và được kíhiệulà (LM OP) Đâylàtrườnghợpđặc biệtquantrọngcủabàitoánquihoạchlồi đa mục tiêu (xem [11])

Như đã biết, không gian giá trị (outcome space) R p

của bài toán qui hoạch

đa mục tiêu không có thứ tự đầy đủ, tức hai điểm bấtkỳ chưa chắc đãso sánh

được vớinhau nên khái niệm nghiệmtối ưuthông thường không còn thích hợp

nữa Trong quy hoạch đa mục tiêu, thông thường người ta sử dụng khái niệm

nghiệm hữu hiệu và nghiệm hữu hiệu yếu Cụ thể, một phương án chấp nhận

được x 0 ∈ X được gọi là nghiệm hữu hiệu (tương ứng

2

, nghiệm hữu hiệu yếu)

của Bài toán (CM OP) nếu không tồn tại x ∈ X sao cho f (x 0 ) > f (x) (t.ư.,

f (x 0 )  f (x)) Tậptấtcảcácnghiệm hữuhiệu (t.ư.,tập tấtcảcácnghiệmhữuhiệu yếu) của Bài toán (CM OP) được kí hiệu là X E (t.ư X W E) Khái niệmnghiệm hữu hiệu của bài toán qui hoạch lồi đa mục tiêu (CM OP) còn đượcgọilà nghiệmcực tiểuPareto Đây làkhái niệmđãđượcV.Pareto [61,62]đưa

ra khiông nghiên cứu về phúc lợi và thu nhập của dân chúng

Mục đích của qui hoạch đa mục tiêu là nghiên cứu cấu trúctập nghiệm hữu

hiệu X E, tập nghiệm hữu hiệu yếu X W E và xây dựng các thuật toán hiệu quả

đểxácđịnhmột phần haytoànbộcáctập nàyhoặc xácđịnhmột phầnhay toàn

bộ tập giá trị hữu hiệu (efficient outcomeset) Y E hoặc tập giátrị hữu hiệu yếu(weakly efficient outcome set) Y W E , trong đó

Y E := {y = f (x) : x ∈ X E }, Y W E := {y = f (x) : x ∈ X W E }.

Nhưđãbiết [11],ngaytrongtrườnghợp tuyến tính,tập nghiệmhữu hiệuX E

và tập nghiệm hữu hiệu yếu X W E của Bài toán (LM OP) đã là các tập khônglồi với cấu trúc rất phức tạp Đây là lý do chính làm cho việc giải Bài toán

(CM OP) có độ phức tạp cao

Chođến nay, đãcó nhiều thuật toánđược đềxuất để giải bàitoán qui hoạch

tuyến tính đamụctiêu vàbàitoán quihoạch lồiđa mụctiêu Các thuậttoán để

giải haibài toán này cóthể được phân loại theo haihướng tiếp cận chính:

• Tiếp cận trên không gian quyết định (decision space approach);

• Tiếp cận trên không gian ảnh hay không gian giá trị (outcome spaceapproach)

Tiếp cận trênkhông gian quyết định hướng đến việc xác định toàn bộ hay một

phần tập nghiệm hữu hiệu XE (t.ư., tập nghiệm hữu hiệu yếu XW E) của Bài

toán (CM OP) nói chung, và Bài toán (LM OP) nói riêng Về các thuật toángiải Bàitoánquihoạchtuyến tính đamụctiêu (LM OP) theohướngnày cóthể

kể đến các côngtrình của M Zeleny [57 ], J.C Ecker và I.A.Kouda [21 ], H.P

Benson [10 ], R E Stueur [46] P Armand và C Malivert [7], P Armand [8],

N.T.B Kim [27], N.T.B Kim và D.T Luc [30, 31], Các thuật toán của Z.H

Lin, D.L Zhu và Z.L Sheng [37 ], D.T Luc, T.Q.Phong và M Voll [39], là

để giải Bàitoán quihoạch lồi đamục tiêu (CM OP) Do cấutrúcphức tạpcủacác tập nghiệmhữu hiệu nên chi phí tính toán để xácđịnh các tập nghiệm này

tăng rất nhanh khikích thước bàitoán (tứcsố chiều củakhông gian quyết định

hoạch lồi đa mục tiêu

Tiếp cận trên không gian ảnh hay không gian giátrị nhằm xácđịnh toàn bộ

hoặc một phần của tập giá trị hữu hiệu Y E := f (X E ) và tập giá trị hữu hiệuyếu Y W E := f (X W E ) thay vì xácđịnh toànbộ cáctập nghiệm hữu hiệuX E và

X W E Lý dochính chohướng tiếp cận nàylà: Thông thường, các bàitoánthực

tế có số hàm mục tiêu p nhỏ hơn rất nhiều so với số biến n, hay thứ nguyên

của không gian ảnh R p

nhỏ hơn rất nhiều so với thứ nguyên của không gian

quyết định R n

Hơn nữa, nhiều điểmcủa tập nghiệmhữu hiệu(t.ư., tập nghiệm

hữu hiệu yếu) có thể có cùng một ảnh qua ánh xạ mục tiêu f nên tập Y E (t.ư.,

Y W E) thường có cấu trúc đơn giản hơn tập X E (t.ư., X W E) Do đó, cách tiếpcận này cho phéptiết kiệm đượcđángkể chiphí tính toánkhi p nhỏ hơn nhiều

so với n Do nhu cầu ứng dụng, tiếp cận này đã nhận được sự quan tâm đặcbiệt của nhiềutác giảtrong những nămgần đây vànhiều thuậttoán theohướng

này đã được đề xuất, chẳng hạn H.P Benson ([11], 1998), H.P Benson và E

Sun ([18], 2000), N.T.B Kim, N.T Hue và D.P Vu([36], 2006), đối với Bài

toán (LM OP) hoặc M Ehrgott, L Shao và A Schobel ([23], 2011), đối vớiBài toán (CM OP)

Bêncạnhbài toánquihoạch đamụctiêu, trongnhiều vấnđề thựctế, với các

điều kiện cho phép, người ta cần phải xác định phương án tốt nhất trong tập

các phương án làm cực tiểu hoặc cực đại đồng thời p ≥ 2 mục tiêu cho trước

đẹp nhất trong cácsản phẩm vừarẻ, vừađạtchất lượngcao, Trong điềukiện

cho phép của một nền kinh tế, ngườita cần xácđịnh một phương án điều hành

nền kinh tếsao cho giảm thiểulạm phátnhất trong các phương ánsao cho vừa

tăng trưởngkinh tế cao, vừagiảm thiểu ô nhiễm môi trường, vừa ổn định xuất

nhập khẩu, Mô hình toán học của bài toán này là bài toán Tối ưu trên tập

Pareto

Cụ thể, bài toán tối ưu trên tập Pareto là bài toán tối ưu một hàm số thực f e

trên tập nghiệm hữu hiệu X E của một bài toán quy hoạch tuyến tính đa mụctiêu Bài toán này được Philip [41] đưa ra lần đầu tiên vào năm 1972 và việc

giải nó không nhất thiết phải xác định toàn bộ tập nghiệm hữu hiệu X E Dotập nghiệm hữu hiệu X E nói chung là tập không lồi nên Bài toán tối ưu trêntập Pareto thuộc lớp bài toán tối ưu toàn cục và là bài toán khó ngay cả khi f e

là hàm tuyến tính và X E là tập nghiệm hữu hiệu của bài toán qui hoạch tuyếntính haimục tiêu Bàitoán tối ưu trêntập Pareto có ý nghĩa đặc biệt trongviệc

trợ giúp người ra quyết định (decision maker) Việc giải nó giúp ta chọn được

nghiệm hữu hiệu tốt nhất theo một tiêu chuẩn nào đó mà không nhất thiết đòi

hỏi phải xácđịnh toàn bộ tập nghiệm hữu hiệu cũng như cho phép ta xácđịnh

đượcnhững khoảng giátrịmàcác hàmmụctiêu củabàitoánquihoạchđamục

tiêu có thểđạt được trêntập nghiệm hữu hiệu X E

Xuất phát từ nhu cầu thực tế, bài toán này luôn nhận được sự quan tâm

đặc biệt của nhiều tác giả và nhiều thuật toán giải nó đã được đề xuất chẳng

hạn L.T.H An, L.D Muu và P.D Tao [5], H.P Benson [13, 14], N.V Thoại

[49, 50, 51],H.P Benson và S Sayin [19],J.G Ecker vàJ.H Song [22],N.T.B

Kim [28], N.T.B Kim và L.D Muu [32], P.T Thach, H Konno và D Yokota

[47], D.J White [60], Các thuật toán này cũng thuộc một trong hai hướng

tiếp cận là tiếp cận trên không gian quyết định R n

hoặc tiếp cận trên không

gian ảnh R p

và cũng có thể được chia thành các nhóm thuật toán với tên gọi

khác nhau, chẳng hạn thuật toán mặt phẳng cắt, thuật toán tìm đỉnh kề, thuật

toán tìm đỉnh không kề, thuật toán nhánh cận, thuật toán nới lỏng Lagrangian,

thuật toán tiếp cận đối ngẫu, thuật toán chia đôi,

Một bài toán tối ưu trên tập Pareto đặc biệt và được nhiều tác giả quan tâm

nghiên cứu trong thời gian gần đây là Bài toán cực tiểu dòng cực đại (Minmax

flow problem) Nét đặc thù và cũng là khó khăn khi giải bài toán này là bài

n

có sốmục tiêu p = n Vì vậy kỹthuật rút gọn số biến theotiếp cận trênkhônggian ảnh không còn tácdụngnữa Đếnnay, một sốtácgiảđã đềxuất các thuật

toán đểgiải bàitoánnày, chẳnghạnJ Gotoh,N.VThoai vàY Yamamoto [25],

M Shigeno,I Takahashi vàY Yamamoto [44], J.M.Shi vàY Yamamoto[45],

D Zenke [58], Tuy nhiên,nhu cầu tìmra một thuậttoán hữuhiệu đểgiải bài

toán nàytrongtrườnghợp sốbiếnnlớnluôn làvấnđềđượcquantâm Bàitoánnày sẽ được giới thiệuvà nghiên cứu trong Chương 4 của luận án

Một bàitoán khác cũng có liên quan với Bài toánqui hoạch lồi đa mục tiêu

làbàitoáncựctiểu tíchcủap ≥ 2hàmlồitrênmột tậplồiđóngkhácrỗng trong

R n

Để đơn giản, người ta gọi bàitoán này là Bài toán qui hoạch tích lồi và kí

hiệu là (CM P X) Tương tự như với quihoạch đamục tiêu, Bài toán quihoạchtích tuyến tính, kíhiệu là(LM P X), là bàitoán tìm cựctiểu tích của p ≥ 2hàm

tuyến tính trên một tập lồi đa diện khác rỗng trong R n

Như đã biết, bài toán

quy hoạchtích lồi có nhiều ứng dụng quan trọng trong các lĩnh vựckhác nhau

như: phântíchkinhtế,tàichính,đầutư, thiếtkếchipVLSIv.v TheoT.Matsui

[40], bài toán này thuộc lớp bài toán tối ưu toàn cục và là bài toán N P −khóngaycảkhi hàmmục tiêulà tích củahaihàm tuyến tính vàtập chấp nhậnđược

là một đa diện trong R n

Mặc dù vậy, cũng do đòi hỏi của thực tế và sự hỗ trợ

của máy tính tốc độ cao, nhiều tác giả đã quantâm nghiên cứu và đề xuất các

thuật toán giải Bài toán (CM P X) và Bàitoán (LM P X), chẳng hạn N.V Thoai([48], 1991), H.P Benson và G.M Boger ([16], 1997), B Jalmard, C Meyer

và H Tuy ([26], 1997), H.P Benson ([12], 1999), H.P Benson và G.M Boger

([17], 2000), N.T.B Kim và L.Q Thuy ([34], 2006), N.T.B Kim ([29], 2007),

N.T.B Kim, T.T.H Yen và N.T.L Trang ( [35], 2007), N.T.B Kim, N.C Nam

và L.Q Thuy ([33], 2011),

Trong luận án này, chúng tôinghiên cứu bài toán quihoạch lồi đamục tiêu,

bài toán qui hoạch tuyến tính đa mục tiêu, bài toán tối ưu trên tập Pareto, bài

toán quihoạch tích lồivà bàitoán quihoạch tích tuyến tính.Các kếtquả chính

của luận án bao gồm:

i)Đề xuất thuậttoán giải Bàitoán quy hoạchlồi đamục tiêu (CM OP) theotiếp cận trên không gian ảnh Thuật toán này cho phép người ra quyết định

xácđịnh được một sốlượng tùyý các điểm giátrịhữu hiệu và các nghiệmhữu

CM OP

Y = f (X) không có biểu diễn tường minh, nhưng nếu số lượng điểm giá trịhữu hiệu được xácđịnh theo thuật toánđủ lớn thì ta cóthể biểudiễn được một

tập có tập điểm hữu hiệu xấp xỉ với tập giá trị hữu hiệu Y E, tương tự như kếtquả của M Ehrgott, L Shao,và A Schobel ([23], 2011);

ii) Đưa ra điều kiện cần và đủ cho nghiệm hữu hiệu của bài toán qui hoạch

tuyến tính đa mục tiêu (LM OP) Từ đó, kết hợp với kỹ thuật quay đơn hình,xây dựngthuật toántheotiếp cậntrênkhông gian quyếtđịnh đểxácđịnh tấtcả

các phương án cực biênhữu hiệuvà các cạnhhữu hiệu của Bàitoán (LM OP) Nhờ kỹ thuật quay đơn hình, chúng tôi loại bỏ được giả thiết tập chấp nhận

đượcX phảicóthứnguyênđầy đủvà không córàng buộcthừa trongbiểudiễncủa nó như thuật toán được đề xuất trong [31] bởi N.T.B Kim và D.T Luc;

iii)Nghiên cứuBàitoánquihoạchtích lồi(t.ư.,bàitoánquihoạchtíchtuyến

tính) trong mối liên hệ của nó với Bài toán quihoạch lồi đa mục tiêu (t.ư., bài

toán qui hoạch tuyến tính đa mục tiêu) Qua đó đề xuất các thuật toán để giải

hai bài toán này;

iv) Nghiên cứu bài toán tối ưu trên tập Pareto, kí hiệu là (P E), có dạng cựctiểu một hàm thực trơn trêntập nghiệmhữu hiệu của Bài toánqui hoạch tuyến

tính đamục tiêu theo hướng cực đại, tứcbài toáncực đại đồng thời p ≥ 2 mục

tiêu tuyến tính trêntậplồi đadiệnkhácrỗng thuộc R n

Khácvới cácthuậttoán

đã có, chúng tôi biến đổi Bài toán (P E) về bài toán tối ưu trơn tương đương(P d) và đề xuất haithuật toán tối ưutrơn theo tiếp cận địa phương để xácđịnh

điểm KKT củaBàitoán (P d) Mộttrong haithuật toánnày đượcxây dựng theolược đồ DCA nên có thể giải một cách có hiệu quả các bài toán có số chiều

lớn (xem [4,6 ]) ứng dụngtrực tiếp củalược đồ này, chúng tôi thiết kế chitiết

thuật toán để giải Bài toán cực tiểu dòng cực đại, là một trong những bàitoán

thực tế cómô hình toán học là Bài toán (P E)

Nội dung chính của luận án được trình bày trong bốn chương

Chương 1 "Bài toán quy hoạch lồi đa mục tiêu và các bài toán liên

quan", dành để giới thiệu các bàitoán được nghiên cứu trong luận án Các kết

quả được trình bày ở chương này có thể xem như là sự chuẩn bị để thiết lập

cơ sở lý thuyết và xây dựng các thuật toán giải các bài toán cụ thể trong các

chương sau Cụ thể, sau khi trình bày một sốnét cơ bản về bài toán qui hoạch

1.1 và Mục 1.2, Mục 1.3, chúng tôi giới thiệu mô hình toán học của bài toán

tối ưu trêntập Pareto được nghiên cứu trong luận án và cáchbiến đổi bàitoán

này vềbàitoántối ưutrơn(P d)tươngđương vớinó Trong Mục 1.4nghiêncứubài toán qui hoạch tích lồi (t.ư., bài toán qui hoạch tích tuyến tính) trong mối

liên hệ của nó với Bài toán (CM OP) (t.ư., Bài toán (LM OP) )

Chương 2 "Thuật toán giải bài toán quy hoạch lồi đa mục tiêu trong

không gian ảnh và ứngdụng" trình bày các kếtquả nghiên cứu về tập giá trị

hữu hiệu của bài toán quy hoạch lồi đa mục tiêu (CM OP) và xây dựng thuậttoán (Thuậttoán GEOP)theotiếpcận trênkhông gianảnhđể sinhsốlượngtùy

ý các điểmgiá trị hữu hiệu và các nghiệm hữu hiệu tương ứng.Thuật toán xấp

xỉ ngoài (Thuật toán OAA) giải bài toán quy hoạch tích lồi tương ứng với bài

toán quy hoạchlồi đamụctiêu (CM OP) đượcthiết lập như làmột hệquả trựctiếp của Thuật toán GEOP và mối quan hệgiữa haibài toán này

Chương 3 "Thuật toán giải bài toán quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu

và ứng dụng" Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu bài toán quy hoạch

tuyến tínhđamụctiêu(LM OP)vớitậpchấpnhậnđượccóbiểudiễndướidạngchính tắc Do tính liên thông đường gấp khúc của tập nghiệm hữu hiệu (xem

[38]) nên để xác định được toàn bộ tập phương án cực biên hữu hiệu và các

cạnh hữu hiệu, ta chỉ cần haithủ tục:

i) Thủtục kiểmtra sựtồntại nghiệmhữu hiệu của bàitoánvà xácđịnh được

một phương án cực biên hữu hiệu đầu tiên;

ii) Thủ tục xác định tất cả các cạnh hữu hiệu và các phương án cực biên hữu

hiệu kề một phương án cực biên hữu hiệu đã biết

Thủ tục thứ hai được thiết lập trong Mục 3.2 dựa vào điều kiện hữu hiệu cho

Bàitoán (LM OP) đượcđưa raở Mục 3.1 vàkỹ thuậtquay đơnhình Cónhiềucáchđểtiếnhànhthủtụcthứnhấtchẳnghạnxem N.T.B.KimvàD.T Luc[30],

H.P Benson [10 , 14 ], ở đây chúng tôi sửdụng kếtquả củaH.P Benson [10]

như đã nêu ở Mệnh đề1.1, Chương 1 để thực hiện thủ tục này Việcứng dụng

thuật toán xác định toàn bộ tập phương án cực biên hữu hiệu để giải bài toán

qui hoạch tích tuyến tính tương ứng với bài toán qui hoạch tuyến tính đa mục

tiêu có tập chấp nhận được X là đa diện khác rỗng và các hàm mục tiêu nhận

X

Chương 4 "Thuật toán tối ưu trơn giải bài toán tối ưu trên tập Pareto

và ứng dụng để giải bài toán cực tiểu dòng cực đại" Thay vì giải trực tiếp

bài toán tối ưu trên tập Pareto (P E), chương này đề xuất hai thuật toán tối ưutrơn theo tiếp cận địa phương để xác định điểm KKT của bài toán tối ưu trơn

(P d) tương đương với Bài toán (P E) Việc biến đổi Bài toán (P E) về Bài toán(P d) đã được giới thiệu ở Mục 1.3, Chương 1 Cả hai thuật toán này đều sửdụng phương pháp hàm phạt Thuật toán thứ nhất (Thuật toán QP(P E ), Mục4.1) dùng kỹ thuật hàm phạt bậc hai, và thuật toán thứ hai (Mục 4.2.1) theo

lược đồ DCA quenthuộc (xem [4, 5,6 ])và cóthể ápdụng đểgiải các bàitoán

có kích thước lớn Mục 4.2.2 dành để nghiên cứu bài toán cực tiểu dòng cực

đại và xây dựng thuật toán theo lược đồ DCA để giải nó Thuật toán này được

minh họa bởimột ví dụsố đãđượctính toán trongmột số côngtrình trướcđây,

chẳng hạn [25] Cuối cùng, chúng tôi trình bày kết quả tính toán thử nghiệm

thuật toán giải bài toán cực tiểu dòng cực đại

Các kết quả của luận án đã được báo cáo tại Xêmina của Bộ môn Toán ứng

dụng (Khoa Toán Tin ứng dụng, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội), Hội nghị

Tối ưu và Tính toán khoa học lần thứ 7 (Ba Vì, Hà Nội 2009), Hội nghị Tối

ưu và Tính toán khoa học lần thứ 8 (Ba Vì, Hà Nội 2010), Hội nghị quốc tế

"The 2nd Asian confference on Intelligent information and Database systems:

ACIIDS 2010" (Hue, Vietnam - 2010) và Hội nghị toàn quốc lần III về ứng

dụng toán học 2010 (Hà Nội, 12/2010)

Cáckếtquảcủaluậnánđãđượccôngbốtrong4bàibáođăngở: i)East-West

Journal of Mathematics 2008; ii) Lecture Notes in Computer Science 5991,

Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2010; iii) Vietnam Journal of Mathematics

2011; iv) Journal of Applied Mathematics 2011

Bảnthảođầutiêncủaluậnáncótrìnhbàythuậttoánxấpxỉngoàigiảibàitoán

quihoạchtích haihàmlồitrêntập lồicompackhácrỗngtrong Rn

lời cảmơn

Trước hết, tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc hai người

thầy củamình là GS.TSKH LêDũng Mưu và PGS.TS NguyễnThị BạchKim

về sựhướng dẫn tậntình và nghiêm khắc Khôngnhững cácthầy đã từng bước

dẫn dắt và truyền cho tác giả lòng đam mê và kinh nghiệm nghiên cứu khoa

học màcòn động viên khích lệ tác giả vượt qua những khó khăn trong chuyên

môn và cuộcsống

Chânthành cảm ơn Ths Nguyễn Tuấn Thiện và ThS TạAnh Sơn về sự kết

hợp làm việc hiệuquả trong việc tính toán thửnghiệm cácthuật toán mới được

công bố trong luận án

Trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoànthành luận án, tác giả đã nhận

đượcsựquantâm,giúp đỡvànhững lời khuyênthiếtthựccủa GS.HoàngXuân

Phú, GS Nguyễn Đông Yên, GS Trần Vũ Thiệu, PGS Trương Xuân Đức Hà,

PGS Nguyễn Văn Châu, PGS Nguyễn Hữu Điển, PGS Lê Trọng Vinh, PGS

Nguyễn Cảnh Lương, PGS Tống Đình Quỳ, PGS Trần Việt Dũng, TS Trần

Xuân Tiếp,TS Nguyễn Đình Bình Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới

các thầy

Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Tổ chức cán bộ, Viện

Đào tạo sau Đại học - Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, Viện Toán học,

Phòng Điềukhiển Tối ưu- ViệnToán họcđãluôn tạo điềukiện thuận lợi trong

suốt quá trình tác giả nghiên cứu và hoàn thành luận án

Tác giả chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo cùng toàn thể cán bộ Khoa Toán

Tin ứng dụng, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, đã luôn động viên và giúp

đỡ

Xin chân thành cảm ơn TS Nguyễn Phương Anh, TS Nguyễn Cảnh Nam,

TS.NguyễnQuangThuận, ThS.ĐỗĐứcThuận, ThS.TrầnMinh Toàncùngcác

anh chị em nghiên cứu sinh và các bạn đồng nghiệp xa gần về sự động viên

khích lệ và những trao đổi hữu ích trong quá trình tác giảhọc tập, nghiên cứu

Cuối cùnglà sự bày tỏ lòng biết ơn đốivới những người thân trong giađình

đã luôn khuyến khích, động viên và chia sẻ mọi khó khăn cùng tác giả trong

Chương 1

Chương này dành để giới thiệu về các bài toán được nghiên cứu trong luận

án: Bài toán qui hoạch lồi đa mục tiêu, Bài toán tối ưu trên tập Pareto và Bài

toán qui hoạch tích lồi Các kết quả được trình bày ở đây có thể xem là sự

chuẩn bị để thiết lập cơ sở lý thuyết và xây dựng các thuật toán giải các bài

toán này trong các chương còn lại của luận án

Nhưđãbiết, dokhông giangiá trịcủabàitoán quihoạchđa mụctiêu không

có thứ tự đầy đủ nên thay vì khái niệm nghiệm tối ưu thông thường, người ta

sử dụng khái niệm nghiệm hữu hiệu và nghiệm hữu hiệu yếu Và khái niệm

nghiệm hữu hiệu (t.ư., nghiệm hữu hiệu yếu) của bài toán qui hoạch đa mục

tiêu được định nghĩa thông qua khái niệm điểm hữu hiệu (t.ư., điểm hữu hiệu

yếu) của một tập hợp Để tiện theo dõi, Mục 1.1 sẽ nhắc lại khái niệm điểm

hữu hiệu, điểmhữu hiệuyếu củamột tập hợptrong không gianR p

vàđiềukiện

hữu hiệu mà ta sẽ cần sử dụng đến trong các chương sau Bài toán qui hoạch

lồi đa mục tiêu và trường hợp riêng của nó là bài toán qui hoạchtuyến tính đa

mục tiêu được giới thiệu ở Mục 1.2 Mục 1.3 giới thiệu bàitoán tối ưu trêntập

Pareto được nghiên cứu trong luận án và cách chuyển bài toán này về một bài

Mục 1.4trong mối quanhệcủanóvới bàitoánquihoạchlồi đamụctiêu tương

ứng

Các kếtquả chính ở chương này đượctrình bày trêncơ sở các côngtrình đã

đượccôngbốtrong bốn bàibáo ([1 -4],tr102) trongphần Danhmụccác công

trình của tác giảcó liên quanđến luận án

1.1 Điểm hữu hiệu

Kí hiệu R p

là không gian Euclide p−chiều Phần trong, phần trong tương đối

và biên của một tập con Q ⊂ R p

(i) điểmhữu hiệu (hay điểm cực tiểu Pareto) của Q nếu

6 ∃y ∈ Q sao cho y0 > y, tức Q ∩ (y0− Rp +) = {y0};

6 ∃y ∈ Q sao cho y 0  y, tứcQ ∩ (y 0 −intR p + ) = ∅.

Kí hiệu MinQ là tập tất cả các điểm hữu hiệu của Q và WMinQ là tập tất cả

các điểm hữu hiệu yếu của Q Theo định nghĩa ta có

MinQ ⊆ WMinQ.

Các khái niệm điểm hữu hiệu và điểm hữu hiệu yếu của một tập hợp Q ⊂ R p

theo hướng cực đại đượcđịnh nghĩa hoàn toàn tương tự

Dễthấyrằng,nếuy 0làmộtđiểmhữuhiệuhoặclàmộtđiểmhữuhiệuyếucủa

tập Q thì y 0

phảithuộc vào biên ∂Q của Q Trường hợp Q là tập compac khác

rỗng thì ta luôn có MinQ 6= ∅ và hiển nhiên là WMinQ 6= ∅ (xem Corollary

3.11, p 50, [38 ])

Sau đây là điều kiện cần và đủ để một điểm y 0 ∈ R p

là một điểm hữu hiệu

yếu của tập con lồi khác rỗng Q ⊂ R p Kết quả quen biết này được chúng tôi

sử dụng để chứng minh Mệnh đề 2.2 trong Chương 2 và mệnh đề này là kết

quả then chốt được dùng để thiết lập thuật toán giải bài toán qui hoạch lồi đa

mục tiêu

Định lý 1.1 (xem Theorem 2.10, p 91, [38]) Cho Q là một tập con lồi khác

rỗng trong không gian R p

Khi đó, điểm y 0 ∈ Q là điểm hữu hiệu yếu của Q

khi và chỉkhi tồn tại véc tơ λ > 0 thuộc R p

sao cho y 0 là nghiệm cực tiểu củabài toán quy hoạch lồi với hàm mục tiêu tuyến tính

min hλ, yi v.đ.k y ∈ Q.

1.2 Bài toán quy hoạch lồi đa mụctiêu

Cho X làtập conlồi đóngkhácrỗng trongR n ,và f j : R n → R, j = 1, 2, , p

là các hàmlồi nhậngiátrịhữu hạn trênR n Bài toán quihoạch lồiđa mụctiêu

được phát biểu như sau

lµ tËp¶nh cña tËp X qua ¸nh x¹ f haylµ tËpgi¸ trÞ (outcomeset) cñabµito¸n

qui ho¹ch låi ®a môc tiªu (CM OP )

§Þnh nghÜa 1.2 i)§iÓm chÊp nhËn®­îc x 0 ∈ X ®­îcgäi lµ nghiÖmh÷u hiÖucña Bµi to¸n (CM OP) nÕu f (x 0 ) lµ ®iÓmh÷u hiÖu cña tËp Y;

ii) §iÓm chÊp nhËn ®­îc x 0 ∈ X ®­îc gäi lµ nghiÖm h÷u hiÖu yÕu cña Bµito¸n (CM OP) nÕu f (x 0 ) lµ ®iÓm h÷u hiÖu yÕu cña tËp Y

Nãic¸chkh¸c,®iÓmx0 ∈ X lµnghiÖmh÷u hiÖu(t.­.,nghiÖmh÷u hiÖuyÕu)cña Bµi to¸n (CM OP) nÕu kh«ng tån t¹i x0 ∈ X sao cho f (x0) > f (x0

là tập ảnh hữu hiệu yếu hay tập giá trị hữu hiệu yếu của Bài toán (CM OP)

Để đơn giản, trong Chương2 tasẽ sử dụngkí hiệuQ E đểchỉtập các điểmhữu

hiệu của tập Q ⊂ R p

Địnhlývôhướnghoásauđâychothấyrằngcóthểxácđịnhđượcmộtnghiệm

hữu hiệu của bài toán quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu (LM OP) bằng việc

giải một bài toán quy hoạch tuyến tính thông thường

Định lý1.2 (xemTheorem2.5, p 88, [38])Mộtđiểmchấpnhậnđượcx 0 ∈ X

là nghiệm hữu hiệu của Bài toán quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu (LM OP)

khi và chỉ khi tồn tại véc tơ λ  0 sao cho x 0 là một nghiệm tối ưu của bàitoán quy hoạch tuyến tính

Nhưđãbiết,tập nghiệmtối ưucủamột bàitoán quyhoạch tuyến tính làmột

diện của tập lồi đa diện chấp nhận được (xem Định lý 3.3, trang 70, [1]) Kết

hợp sựkiện nàyvớiĐịnhlý 1.2ta nhậnđượcmộttính chấtđặcsắccủa bàitoán

quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu

Hệquả 1.1 Giả sửx 0là một điểmtrong tươngđốicủa một diện Γ ⊆ X, trong

đó X là tập chấp nhận được của Bài toán quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu

(LM OP) Nếu x 0 là một nghiệm hữu hiệu của Bài toán quy hoạch tuyến tính

đa mục tiêu (LM OP) thì mọi điểm thuộc diện Γ đều là nghiệm hữu hiệu, tức

Γ ⊆ X E

Ta gọi một diện Γ của tập chấp nhận đượcX là diện hữu hiệu nếu Γ ⊆ X E.Theo Hệ quả 1.1, để kiểm tra một diện Γ có phải diện hữu hiệu không ta chỉ

cần kiểm tra một điểm bất kỳ x 0 ∈ riΓ có phải nghiệm hữu hiệu không Lưu

ý rằng tính chất thú vị này chỉ đúng cho bài toán qui hoạch tuyến tính đamục

tiêu và sẽđượckhai thácđểxây dựngthuật toánxácđịnhtoàn bộcáccạnhhữu

LM OP

Bàitoán qui hoạchtuyến tính đa mục tiêu (LM OP) được xéttrong Chương

3 có tập chấp nhận được X đượcbiểu diễn dưới dạng chính tắc, tức

X = {x ∈ R n : Ax = b, x ≥ 0},

trong đó A là ma trận thực cấp (m ì n), b ∈ R m

, và để phân biệt ta kí hiệu

bàitoán quihoạch tuyến tính đa mụctiêu này là (LM OP ct

) Việckiểm tratập

nghiệm hữu hiệu X E của Bài toán (LM OP ct) có khácrỗng hay không và xác

định một phương án cựcbiên hữu hiệu đầutiên được thựchiện nhờ kếtquả sau

trong đó x ¯ là một nghiệm chấp nhận được của bài toán quy hoạch tuyến tính

đa mục tiêu (LM OP ct)

(i) Nếu Bài toán (LP (¯ x)) không có nghiệm tối ưu thì Bài toán quy hoạch

tuyến tính đa mục tiêu (LM OP ct) có tậpnghiệm hữu hiệu bằng rỗng, tức

một phương án cực biên tối ưu x 0 thoả mãn x 0 ∈ X E

Một trường hợp đặc biệt của bài toán qui hoạch tuyến tính đa mục tiêu

(LM OP ct), mà theo H.P Benson [9] cũng nhiều khi xảy ra, là tập nghiệmhữu hiệu X E trùng với tập chấp nhận được X Khi đó, người ta gọi Bài toán

LM OPct

Sauđâylàđịnhlý vềđiềukiệncầnvàđủđểbàitoánquy hoạchtuyếntính đa

mục tiêu (LM OP ct

) là hữu hiệu hoàn toàn Định lý này cho phép ta kiểm tra

xem Bài toán (LM OP ct) có phải là hữu hiệu hoàn toàn hay không bằng việcgiải một bài toán qui hoạch tuyến tính

Mệnhđề1.2 (xem[9])Bài toánquy hoạch tuyếntính đa mụctiêu (LM OP ct

)

là hữu hiệu hoàntoàn khi vàchỉ khiv = 0, trong đó v là giá trị tối ưu của bài

toán quy hoạch tuyến tính sau

min hb, qi

v.đ.k q T A − z T ≥ 0

−u T C + r T A − z T = e T C

u, z ≥ 0.

Mệnh đề 1.1 và Mệnh đề 1.2 sẽ được sử dụng để kiểm tra giả thiết của bài

toán qui hoạch tuyến tính đa mục tiêu (LM OP ct

) trước khi giải bài toán này

bằng thuật toán được đề xuất trong Chương 3 của luận án

1.3 Bài toán tối ưu trên tập Pareto

Chúng tôi xét bàitoán tối ưu trêntập Pareto

Như đã biết, khó khăn chính cho việc giải Bài toán (P E) là tập chấp được

X E là tậpkhông lồi, không đượcbiểudiễn bởicácràng buộctườngminhvà có

cấu trúc rất phức tạp Để khắc phục khó khăn này, thay vì nghiên cứu trực tiếp

Bài toán (P E), chúng tôi nghiên cứu bài toán tối ưu trơn (P d) tương đương vớiBài toán (P E) Cách biến đổi Bài toán (P E) về Bài toán (P d) sẽ được trình bàyngay sauđây Nhờ đó, chúng tôi sửdụngđược các côngcụhiệu quả của tối ưu

trơn theo tiếp cận địa phương để xây dựng các thuật toán giải Bài toán (P d) ởChương 4 của luận án Các thuật toán này có thể cho phép giải Bài toán (P E)

màbài toánqui hoạchtuyến tính đamục tiêu tươngứng với nócó sốbiến n và

số mục tiêu p lớn

Trướchết, ta nhắclại một phát biểu khác của định lý vô hướng hóa cho bài

toán qui hoạch tuyến tính đa mục tiêu (M OLPC max)

Cho trước số thực c > 0 Với mỗi u ∈ K, ta xét bài toán

max ϕ c (u, v) v.đ.k v ∈ K, (RP c (u))

diện Do đó Bài toán (RP c (u)) có nghiệm tối ưu duy nhất, kí hiệu nghiệm đó

là v c (u). Giá trị tối ưu của bài toán này được kí hiệu là γ c (u),

Haimệnh đề sauđâyđóng vaitrò quantrọngtrong việcbiến đổibàitoán tối

ưu trên tập Pareto về bài toán tối ưu trơn

trong đó P K (λ, x + 1 c C T λ) là hình chiếu của (λ, x + 1 c C T λ) trên tập K;

(ii) Hàm giá trị tối ưu γ c (.) không âm, liên tục, khả vi trên K và

∇γ c (u) = ∇γ c (λ, x) = F (λ, x) − DF (λ, x) T [v c (λ, x) − (λ, x)],

trong đó∇γc(u)là véctơ gradientcủahàm γc tạiđiểmuvàDF (u)là matrậnJacobian của ánh xạ F.

(ii)Trước tiên,ta chứng minh γ c (u) ≥ 0với mỗi điểm cốđịnh u ∈ K Thật

vậy, vì γ c (u)là giá trị tối ưu của Bài toán (RP c (u)) nên

γ c (u) ≥ hF (u), u − vi − c

2 kv − uk

Đặc biệt, lấyv = u, từ (1.2) ta được γ c (u) ≥ 0.

Như đã biết (Mệnh đề 5.1, tr 59, [3] ), toán tử chiếu P K là liên tục trên K

nên v c (.) liên tụctrên K. Kết hợpsự kiệnnày với tính liên tụccủa ánh xạ F ta

có hàm giá trị tối ưu

γ c (u) = hF (u), u − v c (u)i − c

2 kv c (u) − uk

2 ,

trong đó v c (u) = v c (λ, x) = P K u − 1 c F (u)

, là hàm liên tụctrên K

VìhàmF (.)liêntục,khả vitrênK nêntheo[59](Theorem3.2, p 352)hàm

γ c (u) = γ c (λ, x), liên tục, khả vi trên K và ta có

∇γc(u) = ∇uϕc(u, vc(u)) = F (u) − DF (u)T[vc(u) − (u)] + c[vc(u) − (u)],

Mặt khác, theo tính chất của phép chiếu (xem Mệnh đề 5.1 , tr 59, [3]), ta có

u 0 = P K (u)khi và chỉ khi

hv − u 0 , u 0 − ui ≥ 0 ∀v ∈ K. (1.6)

Trong bất đẳngthức (1.6), thay u = u 0 − 1 c F (u 0 ), ta nhận được

hF (u 0 ), v − u 0 i ≥ 0 ∀v ∈ K.

Suy ra h−C T λ 0 , y − x 0 i ≥ 0 với mọi y ∈ X. Theo Định lý 1.3, ta cóx 0 ∈ X E

Ngượclại, giảsử x0 ∈ XE Theo Định lý 1.3, tồn tại λ0 ∈ Λ saocho

Theo Mệnh đề 1.4, Bài toán (P E) có thể đưa về bài toán tối ưu trơn tương

1.4 Bài toán quy hoạch tích lồi

Mộtlớp bàitoán có nhiều ứng dụng trong thực tế và có quanhệ với bàitoán

quyhoạchlồiđamụctiêu(CM OP)làbàitoánxácđịnhcựctiểucủatíchp ≥ 2

hàm lồi trên một tập lồi đóng khác rỗng trong R p

, để đơn giản, ta sẽ gọi nó là

Bài toán quy hoạch tích lồi

Bàitoán quyhoạchtích lồitươngứngvớibàitoánquyhoạch lồiđamụctiêu

Bài toán quy hoạch tích trong không gian ảnh tương ứng với Bài toán

(CM PX) được nghiên cứu trong luận ánnày là

trong đó Y là tập giá trị của Bài toán (CM OP) đượcđịnh nghĩa bởi (1.1).

Chương 2 của luận án nghiên cứu bài toán qui hoạch lồi đa mục tiêu

(CM OP) với giả thiết tập chấp nhận được X ⊂ R p

là tập lồi compac và

với mỗi j = 1, , p, hàm f j làhàm lồi xácđịnh, nhậngiá trịhữu hạn trên R n

và với mỗi j = 1, 2, p, hàm f j nhận giátrị dương trênX, tức

Hiển nhiên là bài toán này luôn có tập nghiệm hữu hiệu X E và Y ⊂ intR p +.Trong trường hợp này, suy trực tiếp từ định nghĩa và sử dụng giả thiết (1.7), ta

dễ dàng thấy được mối quan hệ giữa nghiệm tối ưu toàn cục của bài toán quy

hoạch tích trong không gian ảnh (CM P Y) và tập giátrịhữu hiệuY E = f (X E )

của Bài toán (CM OP) như sau

Mệnh đề 1.5 Mỗi nghiệm tối ưu toàn cục của Bài toán (CM P Y) đều thuộctập điểm giá trị hữu hiệu Y E

Bài toán quy hoạch tích lồi (CM P X) và bài toán quy hoạch tích tương ứngtrong không gian ảnh (CM P Y) là tương đương theo nghĩa được mô tả trong

Định lý 1.4 Một phát biểu tương tự với định lý này có thểtìm thấy trong [12]

(H.P Benson, Theorem 2.2, p 318)

Định lý 1.4 Với giả thiết (1.7), nếu y ∗

là một nghiệm tối ưu toàn cục của Bài

toán (CM P Y) thì mỗi x ∗

∈ X sao cho f (x ∗

) ≤ y ∗

là nghiệm tối ưu toàn cục

của bài toán (CM PX) Hơn nữa, giá trị tối ưu của hai bài toán (CM PX) và(CM PY) là bằng nhau, nghĩa là

là nghiệm tối ưu toàn cục của Bài toán

(CM P X) Thật vậy, giảsử phản chứng rằng tồn tại x ∈ X sao cho

j Bất đẳng thức này mâu

thuẫn vớigiả thiết y ∗

là nghiệm tối ưutoàn cục củaBài toán (CM P Y) Vậy x ∗

là nghiệm tối ưu toàn cục của Bài toán (CM P X) 

Tương tự như với qui hoạch đa mục tiêu, khi bài toán quy hoạch tích lồi

(CM P X) có tập chấp nhận được X ⊂ R n

là tập lồi đa diện và f j , j =

1, 2, , p, làcác hàmtuyến tính,tứcf j (x) = hc j , xi, c j ∈ R n , j = 1, 2, , p,

thì nó được gọi là Bài toán quy hoạch tích tuyến tính Bài toán qui hoạch tích

tuyến tính tương ứng với bài toán quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu (LM OP)

Quan hệgiữa nghiệm tối ưutoàn cục của bàitoán quy hoạch tích tuyến tính

(LM P X) và nghiệm hữu hiệu của bài toán quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu

LM OP

Mệnh đề 1.6 Giả sử bài toán quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu (LM OP) có

tập chấp nhận được X là đa diện khác rỗng và các hàm mục tiêu nhận giá trị

dương trên X Khi đó Bài toán (LM P X) có ít nhất một nghiệm tối ưu toàn

cục x ∗

thuộc tập các phương áncực biên hữu hiệucủa Bài toán (LM OP) , tức

x ∗

∈ X E ∩ V (X), trong đó V (X) là tập tất cả các đỉnh của đa diện X

Chứng minh Vì hàm mục tiêu g(x) =

p

Q

j =1

hc j , xi là hàm tựa lõm (Corollary

2.1, p 493, [16]) nên Bài toán (LM P X) đạt nghiệm tối ưu tại ít nhất một đỉnh

x 0 ∈ V (X) của X (Proposition 2.2, p 496, [16]) Ta chỉ cần chỉ ra x 0 cũng là

một nghiệm hữu hiệu củabài toán quihoạchtuyến tính đamục tiêu (LM OP)

Thật vậy, giả sử phản chứng rằng x 0 ∈ X / E Theo định nghĩa, tồn tại điểm

Theo Mệnh đề 1.3, nếu ta đã xác định được toàn bộ tập các phương án

cực biên hữu hiệu X E ∩ V (X) của bài toán qui hoạch tuyến tính đa mục tiêu(LM OP) thì việc giải bài toán qui hoạch tích tuyến tính tương ứng với nó chỉ

đơn giản là việc so sánhgiá trị hàm mục tiêu g(x) =

Kết luận

Sau khi nhắc lại một số khái niệm và kết quả quen biết của Bài toán quy

hoạch lồi đa mục tiêu và Bài toán quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu Chương

này giớithiệubàitoántốiưutrêntậpParetovàcácbàitoánquihoạchtích được

nghiên cứu trong luận án Kết quả chính của chươngnày là:

-Đề xuất cáchbiến đổi(Mệnh đề1.3, Mệnhđề 1.4 )bàitoán tối ưutrêntập

Pareto (P E) về bài toán tối ưu trơn (P d) tương đương;

-Môtả mối quanhệgiữanghiệm tốiưutoàn cụccủabàitoán quihoạchtích

lồi (t.ư., bài toán qui hoạch tích tuyến tính) với tập nghiệm hữu hiệu của bài

toán qui hoạchlồi đamục tiêu (t.ư., bàitoán quihoạch tuyến tính đa mụctiêu)

(Mệnh đề1.5, Mệnh đề1.6) vàmối quanhệgiữa bàitoán quihoạch tích lồi và

bàitoán quihoạchtíchlồi trênkhônggian ảnhtươngứng vớinó (Địnhlý1.4)

Chương 2

Xét bài toán quy hoạch lồi đa mục tiêu

trongđóf (x) = f 1 (x), f 2 (x), , f p (x)
T

, vàX ⊂ R n làtậplồicompackhácrỗng xácđịnh bởi

X := {x ∈ R n : g i (x) ≤ 0, i = 1, , m},

vớig 1 , , g m vàf 1 , , f plàcác hàmlồixácđịnh vànhậngiátrịhữu hạntrên

R n

và với mỗi j = 1, 2, p, hàm f j nhận giá trịdương trênX

Như đã biết, Bài toán (CM OP) có nhiều ứng dụng trong thực tế để giải

các bài toán nảy sinh từ các lĩnh vực khác nhau như kỹ thuật, kinh tế, tài

chính, đặc biệt là trong lý thuyết ra quyết định (xem [12]) Đến nay đã có

một sốtácgiảđưa ra cácthuậttoán đểgiảiBài toán(CM OP) , chẳnghạn Z.H

Lin, D.L Zhu và Z.L Sheng ([37], 2003), D.T Luc, T.Q Phong và M Voll

([39], 2005), M Ehrgott, L Shao và A Schobel ([23], 2011), Tổng quan về

việc nghiên cứu Bài toán (CM OP) có thể xem trong [20]

Nhắc lại rằng, tập nghiệm hữu hiệu của Bài toán (CM OP) là

X E = {x ∈ X : @x 0

∈ X f (x) > f (x 0

)}

và tập giá trị hữu hiệu của nó là Y E = f (X E ). Theo giả thiết, X là tập lồicompac nên ta luôn có X E 6= ∅ (xem [38]).

Cho một điểm giá trị hữu hiệu y ∗ ∈ Y E Dễ chứng minh rằng, mỗi điểm

∈ X E Để thuận tiện ta gọi x ∗

là nghiệm hữu hiệu tương ứng với điểm

giá trị hữu hiệu y ∗

Trong chươngnày, chúng tôi đề xuất:

i)Thuật toán sinh các điểm giáhữu hiệu của bàitoán quy hoạch lồi đamục

tiêu (CM OP)vàcácnghiệmhữuhiệutươngứngvớichúng Sốlượngcácđiểm

này tùythuộc yêu cầu của ngườira quyết định;

ii) Thuật toán xấp xỉ ngoài trên không gian ảnh để giải bài toán qui hoạch

tích lồi (CM P X) tươngứng với bài toán qui hoạch lồi đa mục tiêu (CM OP) Các thuật toán này đều theo cách tiếp cận trên không gian ảnh Lưu ý rằng,

trong mỗi bước lặp của thuật toán giải Bài toán (CM OP) , bằng việc giải một

quy hoạchlồivớihàmmụctiêutuyến tínhtanhậnđượcđồngthờimột điểmgiá

trị hữu hiệu và một nghiệm hữu hiệu tương ứng của Bài toán (CM OP) Hơn

nữa, mặc dù tập giá trị Y = f (X) không có biểu diễn tường minh, nhưng nếu

số lượng điểm giátrị hữu hiệu được sinh ra đủ lớn thì ta có thể biểu diễn được

một tập có tập điểm hữu hiệu xấp xỉ với tập giá trị hữu hiệu Y E

Mục 2.1 giới thiệu thuật toán sinh các điểm giá trị hữu hiệu và các nghiệm

hữu hiệu tương ứng của bài toán quy hoạch lồi đa mục tiêu (CM OP) từ cơ sở

lý thuyết, đến thuật toán chi tiết và ví dụ số minh họa cho thuật toán Thuật

toán xấpxỉ ngoài giải bàitoán quy hoạchtích cáchàm lồi (CM P X) vàkếtquảtính toán được trình bày trong Mục 2.2

Các kết quả của chương này đã được công bố ở các bài báo số 2 và 4 trong

phần Danh mục các công trình của tácgiả có liên quan tới luận án

2.1 Thuật toán sinh các điểm giá trị hữu hiệu của Bài toán quy hoạch

lồi đa mục tiêu (CMOP)

2.1.1 Cơ sở lý thuyết

Như đã biết,nếu f 1 , f 2 , , f p là các hàm tuyến tính, tứcf (x) = Cx với C là

ma trận cấp (p ì n), thì tập giá trị Y = C(X) = {y ∈ R p : y = Cx, x ∈ X}

cũng là tập lồi (Theorem 3.4, p 19, [42]) Trong trường hợp tổng quát thì Y

chưa chắcđã là tập lồi Tuy nhiên, dễ thấy rằng tập

G 0 = Y + R p +

làtậplồiđóngcósốchiềuđầy đủtrongR p

(Proposition2.2, p 216,[15]) Nhắc

lại rằng, Y E trùng với tập điểm hữu hiệu MinY của Y Vì vậy để đơn giản, ta

kí hiệu Q E là tập điểm hữu hiệu của một tập Q ⊂ R p

Định lý 2.1 (Theorem 3.2, p 22, [55 ]) Tập các điểm giá trị hữu hiệu của Bài

toán (CM OP) trùng với tậpđiểm hữu hiệu của tập G 0, tứcY E = G 0 E

Thay vì làm việc với tập giá trị Y, ta làm việc với tập lồi compackhác rỗng

là nghiệm tối ưu và

yk opt là giá trị tối ưu của bài toán

luôn có nghiệm tối ưu và giá trị tối ưu của Bài toán (P (k)) bằng giá trị tối ưu

của Bài toán (P 0 (k)) Hơn nữa, nếu (x ∗

được gọi là điểm hữu hiệu lý tưởng của G 0 Rõ ràng, nếu y m ∈ G 0

thì Y E = G 0 E = {y m } Vì vậy, ta sẽ xét Bài toán (CM OP) với giả thiết rằng

y m 6∈ G 0

Mệnh đề 2.1 sẽ chứng tỏ tập G có tập điểm hữu hiệu G E trùng tập giá trịhữu hiệu Y E của Bài toán (CM OP) Lưu ý rằng, tập G không nhất thiết chứatập giá trị Y (xem minh họa trong trườnghợp p = 2 ở Hình 2.1) Đây là điểm

khác biệt so với thuật toán xấp xỉ ngoài trên không gian ảnh giải bài toán qui

hoạch tuyến tính đamục tiêu [11 ] doH P Benson đề xuất năm 1998, trong đó

H.P Benson sử dụng một tập có tập điểm hữu hiệu trùng tập YE nhưng tập Y

G

Y G

Hình2.1

Mệnh đề 2.1 Tậpcác điểm giá trị hữu hiệu của Bài toán (CM OP) trùng với

tập điểm hữu hiệu của tập G, tức Y E = G E

Chứng minh Kết luận của mệnh đề này được suy trực tiếp từ Định lý 2.1 và

định nghĩa của điểm y M

Đặt

B 0 = (y m + R p + ) ∩ (y M − R p + ).

Hiển nhiên rằng G ⊂ B 0

Kết quả sau đóng vai trò then chốt trong việc xây

dựng thuật toán xác định các điểm giá trị hữu hiệu của Bài toán (CM OP)

Thuật toán này sẽ được trình bày trong Mục 2.1.2

Mệnh đề 2.2 Cho một điểm tùy ý y ∈ B ¯ 0 \ G Gọi y w

là giao điểm duy nhất

của biên ∂G và đoạn thẳng nối điểm ¯và điểm y M

là tập lồi compac chứa gốc 0 của không gian ảnh R p

và 0 thuộc biên của D Do đó theo [52] (Lemma 1.3, p 18,), tồn tại véc tơ

G, ta có thểchọn điểm y M sao cho (y w + S) ⊂ G Điều này kéo theo S ⊂ D.

Từ (2.4), thay ulần lượt bởi e 1 , e 2 , , e p , ta thấy rằng

Để hoàn thiện chứng minh, ta cần chứng tỏ y w ∈ G E Thật vậy, giảsử phảnchứng rằng

trong đó, với mỗi k = 1, , p, Fk là tập nghiệm tối ưu của bài toán

Mâu thuẫn này chứng tỏ giảthiết phản chứng là sai và y w ∈ G E Vậy mệnh đề

Chú ý 2.1 Mệnh đề 2.2 có thể được xem như một sự mở rộng Mệnh đề 2.4

của H.P Bensontrong [11] Trongmệnh đề đó,H.P Benson đãchỉra rằng giao

điểm duy nhất của biên của một tập chứa tập giá trị hữu hiệu Y với một đoạn

thẳng tương ứng là điểm giá trị hữu hiệu yếu của tập này Lưu ý rằng, ở đây

chúng ta chỉra rằng y w là điểm giá trịhữu hiệu của G

Chú ý 2.2 Cho một điểm y ∈ B ¯ 0 \ G Theo Mệnh đề 2.2 và Mệnh đề 2.1,

đoạn thẳng nối ¯ và y M

chứa duy nhất một điểm giá trị hữu hiệu y w ∈ Y E và

y w

thuộc biên ∂G của tập G Để xácđịnh y w

, ta tìm giá trị duy nhất λ ∗

Theo định nghĩa của G, dễ dàngthấy rằng λ ∗

là giá trịtối ưu của bàitoán quy

hoạch lồi với hàm mục tiêu tuyến tính sau

min λ

v.đ.k f (x) − λ(y M − ¯ y) − ¯ y ≤ 0, (T (¯ y))

g i (x) ≤ 0, i = 1, , m,

0 ≤ λ ≤ 1.