Tạp chí toán tuổi thơ 2 kỳ số 35

Hoµng Minh LËp , 7E, THCS Quang Trung, KiÕn X­¬ng, Th¸i B×nh ; NguyÔn Minh Loan , 9E, THCS Th©n Nh©n Trung, BÝch §éng, ViÖt Yªn, B¾c Giang ; Vò ThÞ Ngäc Thóy , 9D, THCS T[r]

Kết quả

Tất cả các bạn đều có câu trả lời đúng,

tuy nhiên chỉ có 5 bạn trình bày hơn một

cách chứng minh, xứng đáng nhận được

phần thưởng kì này, đó là các bạn : Nguyễn

Mạnh Tuấn, 8B, THCS Lí Nhật Quang, Đô

Lương ; Võ Mạnh Tài, 9A, THCS Tôn

Quang Phiệt, Thanh Chương, Nghệ An ;

Lâm Tiến Phát, 9A, THCS Trần Hưng Đạo,

TP Quảng Ngãi, Quảng Ngãi ; Hoàng Lan

Phương, 9D, trường Hà Nội - Amsterdam,

Hà Nội ; Hoàng Đăng Nhâm, 92, THCS Kim

SABCD= SABF+ SBCF+ SCDE+ SADE;

Các tam giác ABF, BCF, CDE, ADE đều

là các tam giác vuông nên lần lượt nằm

trong các đường trong đường kính AB, BC,

CD, DA Nói cách khác, bốn đường tròn

này phủ kín bốn tam giác ABF, BCF, CDE,

ADE hay phủ kín tứ giác ABCD

Cách 2 : Gọi I là một điểm bất kì nằm

trong tứ giác ABCD, ta có

.Suy ra góc lớn nhất trong bốn góc này

BC ; CD ; DA, suy ra điều phải chứng minh.Cách 3 : Giả sử tồn tại một điểm M nằmtrong tứ giác ABCD nhưng nằm ngoài tất cảbốn đường tròn đường kính AB ; BC ; CD ;

  AMB ; BMC ; CMD ; DMA



AIB

o o

360 90

4 

AIB BIC CID DIA 360   

ẹoàng quy hay khoõng ?

L ieõn heọ caực baứi taọp cuứng loaùi

Trong quá trình học toán, chắc rằng đã

có không ít lần các bạn gặp lại những bài

toán “cũ” mà cách phát biểu có thể hoàn

toàn khác hoặc khác chút ít ; những bài

toán tương tự, mở rộng hay đặc biệt hóa mà

các bài toán này có cùng phương pháp giải

Nếu bạn có kĩ năng thường xuyên lưu ý,

liên hệ một bài toán “mới” với những bài

toán đã biết thì rất có thể bạn sẽ phát hiện

ra rằng bài toán đó không còn mới đối với

bạn nữa hoặc nhanh chóng xếp loại được

bài toán, từ đó định hướng được phương

pháp giải quyết

Các bài toán sau đây là một ví dụ như

vậy, chỉ sử dụng kiến thức lớp 7

Bài toán 1 : Cho tam giác ABC Dựng

các tam giác đều ABD, BCE, CAF ra phía

ngoài tam giác ABC Chứng minh rằng :

a) CD  AE  BF

b) Góc nhọn tạo bởi CD và BF bằng 60o

Bài toán 2 : Cho ba điểm B, A, C thẳng

hàng, theo thứ tự đó Dựng về cùng một

phía đối với đường thẳng BC các tam giác

đều BAD, ACF và dựng về phía đối diệntam giác đều BCE Chứng minh rằng :a) CD  AE  BF

b) Góc nhọn tạo bởi CD và BF bằng 60o

Bài toán 3 : Cho ba điểm A, B, C thẳnghàng, theo thứ tự đó Dựng về cùng mộtnửa mặt phẳng bờ AC các tam giác đềuABD, BCE, CAF Chứng minh rằng :a) CD  AE  BF

b) Góc nhọn tạo bởi CD và BF bằng 60o

Bài toán 4 : Cho tam giác ABC Dựngcác tam giác đều ABD, BCE, CAF lần lượtnằm trên các nửa mặt phẳng bờ AB chứa

Nguyễn Đức Trường(THCS Đa Tốn, Gia Lâm, Hà Nội)

điểm C, bờ BC chứa điểm A, bờ AC chứa

điểm B Chứng minh rằng :

a) CD  AE  BF

b) Góc nhọn tạo bởi CD và BF bằng 60o

Bài toán 5 : Cho tứ giác ABCM Dựng

tam giác đều ABD, CMF ra phía ngoài của

tứ giác Dựng tam giác đều BCE nằm trên

nửa mặt phẳng bờ BC, chứa tứ giác ABCM

a) Chứng minh rằng : DE  AC ; EF  BM

b) AC cắt BM tại O Tính tổng

Nhận xét :

+ Bài toán 1 được chứng minh khá dễ

dàng nhờ phép chứng minh hai tam giác

bằng nhau và sử dụng tính chất tổng ba

góc trong tam giác bằng 180o

+ Các bài toán 2 ; 3 ; 4 ; 5 là các mở rộng

của bài toán 1, được chứng minh tương tự

như bài toán 1

+ Các bạn sẽ nhận ra các bài toán sau

cũng dễ dàng được chứng minh nhờ sử

dụng phương pháp chứng minh bài toán 1

Bài toán 6 : Cho tam giác ABC Dựng

về phía ngoài tam giác các hình vuôngABDE, ACGF

Chứng minh rằng : BF  CE ; BF  CE

Bài toán 7 : Cho ba điểm A, B, C thẳnghàng, theo thứ tự đó Dựng về cùng mộtphía đối với đường thẳng AB các hìnhvuông ABDE, BCIH

Chứng minh rằng : AH  CD ; AH  CD

Bài toán 8 : Cho tam giác ABC Dựngcác hình vuông ABDE, BCFG lần lượt cùngnằm trên các nửa mặt phẳng chứa tamgiác ABC có bờ AB, BC Chứng minh rằng :

Khoõng toàn taùi tam giaực caõn ?

Ta thấy (x  y)2; (x  1)2; (y  x)2không

đồng thời bằng 0 nên F(x, y) > 0

F(x, y) đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi

a  (x  1)2và b  (x  y)2 (y  x)2đồngthời đạt giá trị nhỏ nhất

a  (x  1)2đạt giá trị nhỏ nhất bằng 0 khi

x  1

Khi đó b  (x  y)2 (y  x)2 2y2 2,nên b đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 khi y  0.Vậy giá trị nhỏ nhất của F(x, y) là 2 khi :

Các bạn nghĩ sao ? Phải chăng lời giảitrên là đúng ?

nguyễn thị thanh thủy(THCS Hoa Thành, Yên Thành, Nghệ An)

Tất cả các bạn tham gia gửi bài đều

phát hiện ra phép chứng minh sai ở chỗ

biến đổi dẫn đến phân thức

Phân thức này không xác định vì

EB  2HI  0 (do EB  ED  2HI) Tuy

nhiên, nhiều bạn chưa nêu được điều

cảnh báo khi áp dụng các tính chất của tỉ

lệ thức :

Dãy đẳng thức chỉ đúng

khi n  q

Xin trao thưởng cho các bạn có lập

luận tốt hơn cả : Đào Mạnh Linh, 7C1,

THCS Quang Trung ; Trần Thị Hương

Giang, 9B, THCS Dư Hành Kênh, Lê

Chân, Hải Phòng ; Trần Văn Hạnh, 9B,

m p m pDãy đẳng thức m p m p chỉ đúng

Dãy đẳng thức chỉ đúng

n q n q

m p m p

m p m pDãy đẳng thức m p m p chỉ đúng

biến đổi dẫn đến phân thức

EB 2HI

biến đổi dẫn đến phân thức

EB 2HIbiến đổi dẫn đến phân thức 2HI EB2HI EB

biến đổi dẫn đến phân thức 2HI EB

anh hùng dân tộc Lý Thường Kiệt Tuy

nhiên, chỉ có một số bạn giải thích vì sao lại

chọn phương án này : địa chỉ của Trụ sở

Công ty Văn phòng phẩm Hồng Hà là 25 Lý

Thường Kiệt, Hà Nội Các bạn sau đây đã

có giải thích đúng hoặc giải bằng thơ có vần

điệu sẽ được nhận giải thưởng : Vũ Thu Hà,6A2, THCS Hai Bà Trưng, Phúc Yên, VĩnhPhúc ; Nguyễn Thị Hà B, 7B, THCS báncông Xuân Diệu, Can Lộc, Hà Tĩnh ;Nguyễn Thúy Hiền, 9B, THCS Kiều Phú,Quốc Oai, Hà Tây ; Võ Trung Thông, 7C,THCS Nghĩa Hồng, Nghĩa Đàn ; Nguyễn BáTuấn Anh, 8A, THCS Đặng Thai Mai,

TP Vinh, Nghệ An ; Đoàn Thái Quỳnh, 7/3,THCS Lê Quý Đôn, TP Hải Dương ; PhanThị Yến Hoa, 9A1, THCS Chu Văn An,Thanh Hà, Hải Dương

THCS Nghĩa An, Ninh Giang, Hải Dương ;Phan Minh Thắng, 9D, THCS Bến Thủy, Vinh,

Nghệ An ; Phạm Hoàng Tỷ Tỷ, 9A3, THCSNguyễn Trân, Hoài Nhơn, Bình Định

Anh kính lúp

l Keỏt quaỷ : Caõu ủoỏ Hoàng Haứ

Bài 1 : Bạn Võ Quang Dũng, 8B, THCS

bán công Xuân Diệu, Can Lộc, Hà Tĩnh

có bài giải như sau :

Hình A chia bốn phần bằng nhau

Hình B giống thế chẳng khác đâu

Tiếp đến D, E cũng như vậy

Hình C lạc loài bước ra mau

Bài giải giản đơn chỉ có thế

Đâu phải làm gì nghĩ quá lâu

Mau viết nhanh tay gửi tòa soạn

Để đo trí tuệ có trong đầu

Bài 2 : Các bạn đưa ra hai đáp án đều

án “hình A lạc loài” là hợp lí hơn cả

Các bạn được thưởng kì này là bạn VõQuang Dũng và các bạn : Mai Thị ThùyLinh, 9B, THCS Lê Hữu Lập, Hậu Lộc,Thanh Hóa ; Lê Duy Thịnh, 7A1, THCSHai Bà Trưng, TX Phúc Yên, Vĩnh Phúc

Nguyễn Đăng Quang

Hỡnh cuoỏi laứ hỡnh naứo ?

Trên TTT2 số 14 đã có nêu một phương

pháp khai căn cho dạng căn bậc hai khá

phổ biến này thông qua hằng đẳng thức

(a  b)2, bằng cách biến đổi về dạng

2ab và M về dạng a2 b2 Để tìm được a

và b trong trường hợp này là khá phức tạp

nếu ta không “mò” được kết quả, vì khi đó

Ví dụ 5 (Bài 64b, trang 13, sách Bài tập

Ta thấy : x1 1 không thỏa mãn điềukiện (2) ; x2 3 thỏa mãn cả hai điều kiện(1) và (2)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duynhất : x  3

Bài tập áp dụng :Bài tập 1 : Rút gọn các biểu thức sau :

Cuoọc thi Olympic toaựn hoùc cuỷa nửụực Anh

Cuộc thi Olympic Toán học của nước

Anh (British Mathematical Olympiad) được

bắt đầu từ năm 1965 Từ đó cho đến năm

1980, chỉ có một vòng thi duy nhất, bài thi

bao gồm 9 đến 11 bài, rồi rút xuống còn 5

đến 6 bài Từ năm 1981, người ta tổ chức

thêm vòng thi thứ hai, gọi tắt là FIST

(Further International Selection Test) Từ

năm 1992, người ta gọi vòng thi thứ nhất

là BMO Round 1 còn FIST được đổi lại

thành BMO Round 2

Vào năm 1991, người ta thành lập ủy ban

Olympic Toán học (British Mathematical

Olympiad Committee) nhằm đẩy mạnh

hơn nữa tiến trình tìm kiếm và bồi dưỡng

tài năng Toán học, ủy ban này được các

hiệp hội sau đây đóng góp tài chính và cung

cấp những giáo sư tham gia bồi dưỡng :

lHội Toán học Edinburgh

lViện Toán học và ứng dụng

lHội Toán học London

(London Mathematical Society)

lHội Toán học

(The Mathematical Association)

Một số bài trong giai đoạn trước năm

1980 vẫn phù hợp với học sinh khá giỏi

bậc THCS của nước ta hiện nay Do vậy,

trong TTT2 các số 35 và 36, chúng tôi xin

giới thiệu cùng các bạn một số bài thi

tuyển chọn và cải biên trong giai đoạn

này

Bài 1 (Problem 2, 1965, cải biên)

Hà và Thiệp chơi trò đuổi bắt nhau Hà

đang ở vị trí tâm của một cái hồ hình tròn.Thiệp đứng sát bờ, anh ta không bơi được,nhưng anh ta có thể chạy với tốc độ là 4v,anh ta cố tìm cách bắt Hà khi Hà lên bờ.Còn Hà, anh ta có thể bơi với tốc độ v vàchạy nhanh hơn 4v Lúc Hà bắt đầu bơi thìThiệp cũng khởi sự chạy quanh hồ Hỏi Hà

có thể chạy thoát được hay không ? (Cáctốc độ nói trên lấy trên cùng một đơn vịthời gian)

Bài 2 (Problem 3, 1965)Chứng minh rằng np n chia hết cho p,với p  3 ; 7 ; 13 và với mọi số nguyên n Bài 3 (Problem 5, 1965)

lớn hơn 0,999

n(2 2)ThS Nguyễn Văn Nho (NXBGD)

Bài 1 Từ điều kiện f(1)  f(2)   f(n)  n2f(n) ta suy ra :

Bài 3 Gọi O, O1, O2, O3lần lượt là tâm của vòng

tròn lớn và ba vòng tròn nhỏ Dễ thấy tam giác

Hửụựng daón giaỷi ủeà kỡ trửụực

(Kỡ thi tuyeồn sinh vaứo lụựp 10, 2005 - 2006, moõn Toaựn chung, trửụứng THPT chuyeõn Leõ Quyự ẹoõn, tổnh Bỡnh ẹũnh)

Câu 1 : Ta có

Do đó

Nếu x  2 thì (*) trở thành 2  x  x  8  2  8, vô nghiệm.Nếu x > 2 thì (*) trở thành x  2  x  8  x  5 > 2

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x  5

Khi đó SAMB SABDC (SAMNC SBDNM) 

Đẳng thức xảy ra khi m   [1 ; 2], suy ra

M , khi đó SMABđạt giá trị lớn nhất là

Câu 4 : a) Ta có suy ra 

OM  BC tại N là trung điểm của BC

b) Ta có AK // OM (cùng vuông góc với BC) suy ra

(so le trong) Mặt khác (OAM cân) suy ra KAM MAO 

2 2

ẹeà thi hoùc sinh gioỷi lụựp 9, naờm hoùc 2003 - 2004, tổnh Phuự Thoù

c) Gọi E là trung điểm của AC Ta có EN là đường trung bình của ABC  EN // AB ;

EN 

Mặt khác, AH // ON (cùng vuông góc BC), BH // OE (cùng vuông góc AC), do đó

AHB NOE (g.g), suy ra Vậy AH  2NO

Câu 5 : Vì k(k 1)  k  k2, ta có :

S  1.2  2.3  3.4   n(n  1)  (1  2  3   n)  (12 22 32  n2) (1)

Ta chứng minh được 12 22 32  n2 (2)(bằng phương pháp quy nạp theo n, với n  N*) và 1  2  3   n  (3)

Bài 2 : (2 điểm) Cho các số a, b, c khác

0 và đôi một khác nhau, thỏa mãn điều kiện

a3 b3 c3 3abc Tính :

Bài 3 : (2 điểm) a) Tìm a để phương trình

3|x|  2ax  3a  1 có nghiệm duy nhất

b) Cho tam thức bậc hai f(x)  ax2 bx  c

thỏa mãn điều kiện |f(x)|  1 với mọi x  [1 ; 1]

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : 4a2 3b2

Bài 4 : (1,5 điểm) Cho và hai điểm

A ; B lần lượt nằm trên hai tia Ox ; Oy, thỏamãn OA  OB  m (m là độ dài cho trước.Chứng minh rằng đường thẳng đi qua trọngtâm G của tam giác ABO và vuông góc với

AB luôn đi qua một điểm cố định

Bài 5 : (2,5 điểm) Cho tam giác nhọnABC Gọi ha, hb, hc lần lượt là các đườngcao và ma, mb, mc lần lượt là các đườngtrung tuyến của các cạnh BC, CA, AB ; R và

r lần lượt là bán kính của các đường trònngoại tiếp và nội tiếp của tam giác ABC Chứng minh rằng : a b c

một số chính phương khi chia cho 4 hoặc

chia cho 3 chỉ có thể dư 0 hoặc dư 1

Nếu y  0 thì A  2006 chia cho 4 dư 2

Nếu y  1 thì A  2007 chia cho 4 dư 3

Nếu y  2 thì A  2009 chia cho 3 dư 2

Chứng tỏ : Với y  2 thì A không là số

chính phương

Nếu y  3 thì A chia cho 8 dư 5 mà số

chính phương lẻ khi chia cho 8 chỉ có thể

cho số dư là 1 nên A cũng không phải là số

chính phương

Vậy bài toán được chứng minh

Nhận xét : Hầu hết các bạn đều giải như

trên Các bạn lớp 6 sau có lời giải tốt :

Nguyễn Đức Nguyên, 6A, THCS Phạm Sư

Mạnh, Kinh Môn, Hải Dương ; Nguyễn Thị

Phượng, 6C, THCS Vĩnh Tường, Vĩnh Phúc ;

Lương Thị Thanh Mai, 6A3, THCS Thị trấn

Hưng Hà ; Đặng Đình Khiêm, 6A1, trường

Phân hiệu chất lượng cao, Kiến Xương,

Thái Bình ; Phan Tuấn Vũ, 6D, THCS Hưng

Dũng, TP Vinh, Nghệ An ; Nguyễn Thúc

Vũ Hoàng, Nguyễn Phước Vĩnh, 6M, THCS

Nguyễn Huệ, Đông Hà, Quảng Trị

Nguyễn Minh ĐứcBài 2(33) : Giải phương trình :

1  và 1  Nhận xét : 1) Có thể giải bài toán bằngcách áp dụng bất đẳng thức (a  b)2 4ab,

đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b.2) Các bạn có lời giải tốt nhất là : NguyễnTuấn Anh, 8A, THCS Lý Tự Trọng, HươngCanh, Bình Xuyên ; Trần Bá Trung, 9A1,THCS Yên Lạc, Vĩnh Phúc ; Nguyễn ThịMinh Nguyệt ; Võ Huyền Trang, 8B, THCSNguyễn Tuấn Thiện, Phố Châu, HươngSơn, Hà Tĩnh ; Hoàng Minh Lập, 7E, THCSQuang Trung, Kiến Xương, Thái Bình ;Phạm Hoàng Vũ, 7C, THCS Lí Thường Kiệt,

Hà Trung, Thanh Hóa ; Nguyễn Thị Hạnh,9A1, THCS Nguyễn Trực, Kim Bài, ThanhOai, Hà Tây ; Hoàng Lan Phương, 9D,trường Hà Nội - Amsterdam, Hà Nội ;Nguyễn Ngô Minh Thắng, 9/1, THCSNguyễn Khuyến, TP Đà Nẵng ; Phan Trung

Đình, 9A1, THCS Phổ Cường, Đức Phổ,Quảng Ngãi ; Đỗ Hương Quỳnh, 8A3,THCS Chu Mạnh Trinh, Văn Giang, HưngYên ; Nguyễn Minh Loan, 9E, THCS ThânNhân Trung, Bích Động, Việt Yên, BắcGiang ; Các tập thể lớp 7C ; 8C, THCS HồXuân Hương, Quỳnh Lưu, Nghệ An ; 9A1,THCS Lâm Thao, Phú Thọ

Nguyễn Anh QuânBài 3(33) : Giải hệ phương trình

Lời giải : Hệ đã cho tương đương với

3

Giang, Hưng Yên ; Chu Thùy Linh, Thân

Thị Thu, Nguyễn Minh Loan, 9E, THCS

Thân Nhân Trung, Việt Yên, Bắc Giang ;

Nguyễn Ngọc Huy, 7A, THCS Trần Văn Ơn,

Hồng Bàng, Hải Phòng ; Trần Quang Sự,

9A1, THCS Yên Lạc, Vĩnh Phúc ; NguyễnThị Thùy Dung, 9C, THCS Nguyễn HữuTiến, Duy Tiên, Hà Nam ; Nguyễn CôngHoan, 8C, THCS Hồ Xuân Hương, QuỳnhLưu, Nghệ An ; Nguyễn Văn Tuấn, 8C, THCSNguyễn Trọng Bình, Kì Anh ; Bùi Mai Thảo,9C, THCS Yên Trấn, Đức Thọ, Hà Tĩnh

Trần Hữu NamBài 4(33) Cho tam giác ABC cân tại A vàChứng minh rằng là số vô tỉ.Lời giải (của bạn Vũ Thị Ngọc Thúy, 9D,THCS Tân Trào, Thanh Miện, Hải Dương) :

Kẻ phân giác BD của (D  AC)

Khi đó , suy ra ABD cân tại D và BDC cân tại B  AD  BC  BD Theo tính chất đường phân giác trong

 1

y6

 1

z

2

 

3x2

 1

y2

được và đề xuất bài toán :

“Cho ABC cần tại A và Chứng

minh rằng AB2 BC2 AC.BC  0”

2) Các bạn sau cũng có lời giải tốt :

Nguyễn Văn Hiếu, 9D5, THCS Chu Văn An,

Ngô Quyền, Hải Phòng ; Nguyễn Thị Ngọc

Mai, 9A, THCS Yên Phong, Bắc Ninh ; Hà

Thị Thanh Huyền, 9A1, THCS Lâm Thao,

Phú Thọ ; Trần Văn Hạnh, 9B, THCS Nghĩa

An, Ninh Giang ; Nguyễn Văn Mạnh, 9A2,

THCS Vũ Hữu, Bình Giang, Hải Dương ;

Hoàng Minh Lập, 7E, THCS Quang Trung,

Kiến Xương, Thái Bình ; Phan Thành Luân,

9A, THCS Đặng Thai Mai, TP Vinh ; Nguyễn

Đức Công, 9D, THCS Lý Nhật Quang, Đô

Lương, Nghệ An ; Võ Văn Tuấn, 9A5, THCS

Nguyễn Du, KRông Buk, Đắk Lắk

Nguyễn Văn MạnhBài 5(33) : Cho đường tròn tâm O, đường

kính AB Trên một nửa đường tròn đường

kính AB lấy các điểm C, D sao cho

(D khác B) ; Trên nửa đường tròn

còn lại lấy điểm E (khác A và B) CE cắt AD

tại I Đường thẳng IO cắt BE tại K Chứng

Lời giải (của bạn Nguyễn Ngọc Long,9A, THCS Thuận Thành, Bắc Ninh) : Gọi F là điểm đối xứng của D qua IK

Suy ra F  (O) Ta có (góc có cạnh tương ứng vuông góc) (1)Mặt khác vì tứ giác BDFE nội tiếp nên ta

có (2)

Từ (1) và (2) suy ra

 Tứ giác IFEK nội tiếp

(vì D, F đối xứng với nhau qua IK)

Chú ý rằng tứ giác CDBE nội tiếp nên ta

có (4)

Từ (3) và (4) suy ra

Nhận xét : 1) Đây là bài toán tương đốikhó, chỉ có 9 bạn tham gia giải

2) Có hai bạn giải sai vì tự ý coi rằng : D

và E đối xứng với nhau qua O

3) Các bạn sau đây có lời giải tốt :Nguyễn Đình Quân, 9A, THCS Kiều Phú,Quốc Oai, Hà Tây ; Trần Thị Thu Hoài, 9C,THCS Tân Ninh, Quảng Ninh, Quảng Bình ;Trần Minh Đức, 7/2, THCS Lê Văn Thiêm,

TX Hà Tĩnh, Hà Tĩnh ; Nguyễn XuânThiện, 9A1, Phân hiệu học sinh giỏi Thanh

(Mục Thách đấu, TTT2 số 33) TRAÄN ẹAÁU THệÙ HAI MệễI LAấM

l Gọi A0, B0, C0 lần lượt là trung điểm

của các cạnh BC, CA, AB Ta có B0C0 //

BC, C0A0 // CA, A0B0 // AB, suy ra

Từ giả thiết ta lại

có CA2 a0 b  CA, BA3 a0 c  BA

Do đó A2  B0A, A  C0A3, B0A2  B0A0

( ), C0A3 C0A0( )

Từ đó suy ra B0A2A0, C0A0A3, AA2A3

đều là những tam giác cân (lần lượt tại B0,

C0, A) và đồng dạng với nhau A0, A2, A3

thẳng hàng, hơn nữa cùng thuộc đường

phân giác trong của

Ta cũng có những kết quả tương tự với

các điểm B0, B1, B3và các điểm C0, C1, C2

Suy ra ba đường thẳng A2A3, B3B1, C1C2

đồng quy tại J là tâm đường tròn nội tiếp

A0B0C0, là tam giác trung bình của ABC

đường tròn đường kính CJ, tachứng minh được DE 

Suy ra

Nhận xét : 1) Bạn Hoàng Việt ánh nhậnxét rằng việc chứng minh ba đường thẳng

A2A3, B3B1, C1C2đồng quy khá đơn giản

Ta đã chứng minh được ba đường thẳng này

là ba đường phân giác của A0B0C0.2) Yêu cầu tiếp theo của bài toán hơi khó

đối với các bạn THCS Tuy nhiên như đãthấy, để thực hiện yêu cầu này chỉ đòi hỏi

vẽ thêm hai đoạn thẳng vuông góc JD, JE

và sử dụng định lí về đường vuông và

đường xiên (để so sánh các đoạn thẳng).3) Bài này chỉ có ba võ sĩ nhận thi đấu làHoàng Việt ánh, 8A, THCS Thanh Cường,Thanh Hà, Hải Dương ; Tập thể tổ 3, 9A3,THCS Tiên Minh, Tiên Lãng, Hải Phòng ;Nguyễn Phi Hùng, 10 Toán, ĐHKH Huế,Thừa Thiên - Huế Để chứng minh A2A3,

B3B1, C1C2đồng quy, bạn Hùng phải sử dụng

định lí Xê-va vào việc chứng minh ba điểmthẳng hàng ; để chứng minh thìcác bạn lớp 9A3, THCS Tiên Minh lại phải

sử dụng các công thức biến đổi lượng giác.4) Võ sĩ Hoàng Việt ánh xứng đáng được

đăng quang trong trận đấu này vì lời giảicủa bạn ánh chỉ cần đến kiến thức Hình học

8 (tuy lời giải còn dài vì đòi hỏi vẽ thêmnhiều đường phụ và hình vẽ hơi rối)

Nguyễn Đăng Phất

AB JC 3

ABJC3



AB JC 3

12

và luôn được cất giữ trong kho có bảo vệ

ấy thế mà, thật bất ngờ, hơn một tuần sau, chiếc đầulân quý giá đã biến mất Sáng sớm hôm ấy, người gáckho hớt hải đến báo với cảnh sát Sự việc như sau :Tối hôm trước, người gác kho có uống chút rượutrước khi đến nhận ca gác đêm Anh ta ngồi trên ghếsô-pha xem ti vi rồi ngủ thiếp đi mà quên chưa khóacửa kho Lúc đó khoảng 7 giờ tối Đến gần 9 giờ, anh

ta tỉnh dậy, vội đi khóa cửa, tắt ti vi, tắt đèn rồi ngủ tiếp.Sáng hôm sau anh ta mới phát hiện thấy chiếc đầu lân

bị mất, lúc đó cửa kho vẫn khóa Điều đó chứng tỏ kẻgian đã ra tay trong khoảng thời gian từ 7 đến 9 giờ tối.Cảnh sát đã lập tức điều tra và tìm được ba kẻ tìnhnghi Được biết thám tử Sê-Lốc-Cốc tài giỏi vẫn còn ởthị trấn, cảnh sát đã quyết định mời ông đến giúp đểnhanh chóng xác định được thủ phạm

Thám tử Sê-Lốc-Cốc vui vẻ đồng ý Vẫn như mọi lần,sau khi tìm hiểu tình hình qua cảnh sát, ông đề nghị chogặp những kẻ tình nghi

- Các anh hãy cho tôi biết, tối hôm qua từ 7 giờ đến

9 giờ, các anh đã làm gì, ở đâu ?Người thứ nhất tên Tuân trả lời :

- Dạ thưa, lúc đó tôi chơi điện tử trong quán Nhưngkhông hiểu sao, lão chủ quán lại không nhớ mặt tôi chứ ?

Nguyễn Xuân Quý

(K53D, khoa Toán-Tin,

ĐHSP Hà Nội)

Teõn troọm ủaởc bieọt

l Kết quả : (TTT2 số 33)

Nếu nhớ thì lão đã làm chứng cho tôi được

rồi Chắc vì quán rộng và lúc đó đông

người quá Tôi thật không may !

Người thứ hai tên Kiên khai :

- Lúc đó tôi ra công viên dạo mát, gần 9

rưỡi mới về Rất tiếc là tôi không gặp ai

quen để người ta có thể xác nhận điều đó

giúp tôi

Cuối cùng là kẻ tình nghi tên Dũng

- Lúc đó tôi lên sân thượng nhà tôi uống

rượu, ngắm trăng một mình Vầng trăng

lưỡi liềm thật đẹp ! Mãi đến khi trời nhiều

mây, trăng bị che khuất, tôi mới xuống đi

ngủ

Nghe xong lời khai của ba người, thám

tử mỉm cười :

- Tôi biết ai là người đã lấy chiếc đầu lân

rồi Tốt nhất, người đó hãy thành thật đi !

Thế còn các thám tử “Tuổi Hồng” thì sao,

các bạn có đoán ra không ? Đố các bạn

biết, thám tử tài ba của chúng ta đã căn cứ

vào đâu để xác định chính xác kẻ gian ?

Có lẽ các bạn tham gia dự thi lầnnày ai cũng biết Tiếng Anh nên tấtcả đều có câu trả lời đúng : Thám

tử Sê-Lốc-Cốc đã tìm ra TAILORchính là người mà tên trộm muốnnói TAILOR có nghĩa là thợ may.Chỉ cần sắp xếp lại tên thủ đô củatừng nước theo thứ tự tên các nướcghi trong mảnh giấy, rồi chú ý đếnchữ cái đầu tiên của tên các thủ đô

là chúng ta sẽ có từ TAILOR

Phần thưởng kì này được trao chonăm bạn có tên sau đây : NguyễnThị Mai, mẹ là Nguyễn Thị Nga,

291, tổ 12, P Nguyễn Trãi, TX HàGiang, Hà Giang ; Nguyễn AnhTuấn, 7B, THCS Hồng Quang,Hồng Quang, Ân Thi, Hưng Yên ;Nguyễn Ngọc Phiên, 8B, THCS PhổVăn, Đức Phổ, Quảng Ngãi ; PhạmNguyễn Liên Phương, 14/80 Lí TựTrọng, P 7, TP Tuy Hòa, Phú Yên ;

Lê Nam Anh Tuấn,103 Bùi ThịXuân, TP Phan Thiết, Bình Thuận

Phan Hương