Tạp chí toán tuổi thơ 2 kỳ số 43

ÑIEÅM XUAÁT PHAÙT CUÛA LÔØI GIAÛI SAI Cã mét bµi to¸n cïng lêi gi¶i nh­ sau :.. Bµi to¸n.[r]

tự nhiên liên tiếp lại có một số như vậy) ;

Số các bội của 53mà không là bội của

l Tuy bài toán không khó, nhưng còn cókhá nhiều bạn đã mắc phải những sai lầm

đáng tiếc để rồi đưa ra kết quả chưa chínhxác Các bạn được thưởng kì này là NguyễnThị Ngọc Huyền, 7A2, THCS II Thị TrấnThanh Ba, Thanh Ba, Phú Thọ ; NguyễnMạnh Tuấn, 8B, THCS Lí Nhật Quang, ĐôLương, Nghệ An ; Lê Thanh Nga, 6A1,THCS Trưng Vương, Mê Linh, Vĩnh Phúc ;Phùng Mạnh Linh, 7A4, THCS Trần ĐăngNinh, TP Nam Định ; Lại Đắc Hợp, 7A,THCS Huyện Thuận Thành, Thuận Thành,Bắc Ninh

Minh trân(Phòng GD Hương Thủy, Thừa Thiên-Huế)

Bài toán 1 Cho hai số dương x, y thỏa

Cách 2 áp dụng bất đẳng thức Cô-si

cho hai số dương 2xy ; x2 y2ta có

 ’  0  4  2M  0  M  2 suy ra

x2y2(x2 y2)  2 (theo cách 2)

lTừ cách giải bài toán trên ta giải đượccác bài toán sau :

Bài toán 2 Tìm nghiệm dương của hệ

Bài toán 3 Cho hai số dương x, y thỏamãn x  y  a Tìm giá trị lớn nhất của biểuthức xy(x2 y2)

x y

x y x y

  2 12T



 ( 2 2)2

xy x yT



 2 2 2( 2) :

2

x y x yT

so sánh lời giải với nhau, trình bày với thầy giáo về bài làm củamình không ? Các bạn có sưu tầm và giải thử các đề thi của cáctrường, các tỉnh khác không ? Theo tôi, chắc chắn có nhiều bạn

sẽ không bỏ qua cơ hội “ngàn vàng” này, bởi vì việc đó giúp chocác bạn củng cố và tự đánh giá lại kiến thức của mình

Sau đây là kết quả của quá trình suy nghĩ về một bài toán trong đề thi tuyển sinhvào trường THPT của Sở GD-ĐT Hà Nội năm học 2006-2007

SAU MOÃI Kè THI

(Tiếp theo trang 19)

AD và BC, đồng thời O là trung điểm của

O1O2 ; O2C // O1A // O1A’ ; O2C  O1A 

O1A’ Suy ra O1A’CO2 là một hình thang

cân nên nội tiếp được đường tròn Tương tự

như trường hợp 1 ta cũng thu được

suy ra t1// t2

l Bạn Nguyễn Ngọc Trung, 9A1, THCS

Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ đưa ra

cách giải độc đáo sau :

Gọi M ; N ; E ; F lần lượt là giao điểm của

AO1và DO2 ; BO1và CO2 ; AO1 và CD ;

BO1 và CD Sau khi chứng minh được

suy ra MN song song, cách đều AB và CD, rồi tứ giác O1MO2N nội

tiếp, dẫn đến các cặp tam giác sau đồng

dạng : O1O2N và DAM ; O1CN và O2AM,

suy ra Chứng minh

thu đượcrồi t1// t2

Cách giải này của bạn Ngọc Trung rõ ràng

là không đòi hỏi phải xét hai trường hợp như

trên Về giải pháp thì cách này cũng nhằm

đến chứng minh đẳng thức “góc” (8)

l Lời giải thứ ba của bạn Trần Vũ Trung,

nhà số 13 ngõ 289, Lê Hồng Phong,

TP Nam Định, Nam Định cũng khá độc đáo,

tuy nhiên chưa hoàn chỉnh vì đã xét thiếu

trường hợp AB  CD :

Giả sử AB < CD, gọi A’ là điểm đối xứng

của A qua O1O2và S là giao điểm của AD

và BC thì S thuộc O1O2 Dựng DF // AO1, F

thuộc O1O2suy ra CF // BO1(bạn đọc tự vẽ

hình) Từ AO1 vuông góc với DO2và BO1

vuông góc với CO2suy ra CO2DF là tứ giác

nội tiếp và do đó tứ giác

AO1O2A’ cũng nội tiếp

Từ đó suy ra rồi

Gọi H ; K lần lượt là giao điểmcủa t1và AB ; t2và CD thì chứng minh được

và (do O1và O2lần lượt là tâm các đường trònnội tiếp của các tam giác ADK và BCH) Suy ra CHAK làhình bình hành và CH // AK hay t1// t2

lĐăng quang trong trận đấu này chính làhai bạn Đỗ Trung Kiên và Nguyễn NgọcTrung vì có những lời giải sáng tạo, ngắngọn và chặt chẽ

Chú thích Ngoài ba lời giải trên đây, bàitoán vẫn còn những lời giải khác, trong đó

có lời giải sử dụng điều kiện (cần và đủ) đểmột tứ giác ngoại tiếp được đường tròn,nghĩa là trong chứng minh không sử dụnggóc mà sử dụng độ dài đoạn thẳng Nếu có

điều kiện thì tôi sẽ giới thiệu tiếp để bạn đọcthấy được sự phong phú trong việc tiếp cậnmột bài toán mới, nhất là những bài toánhay như kiểu bài toán thách đấu này

Nguyễn Đăng Phất

    AKC CHA HCD

1 90 1

2BOC  BHC

l Keỏt quaỷ : (TTT2 số 41)

l Kỡ naứy :

Hầu hết các bạn đều phát hiện ra điểm

xuất phát của lời giải sai, đó là ngộ nhận tứ

giác NPRL là hình bình hành, do đã sử

dụng hình vẽ trong trường hợp đặc biệt

-ngũ giác ABCDE đều

lLời giải đúng

Gọi L là trung điểm của BE, ta có NPLR

là hình bình hành, suy ra K là trung điểm

của PL  HK là đường trung bình của tam

giác PML  HK // ML và Mặt khác, ML là đường trung bình của tamgiác BAE suy ra ML // AE và

Vậy HK // AE và đpcm

l Các bạn được thưởng kì này là DươngHoàng Hưng, 8B, THCS Lý Nhật Quang,

Đô Lương, Nghệ An ; Nguyễn Thùy Linh,9A, THCS Đồng Phong, Nho Quan, NinhBình ; Hoàng Phương Thảo, 50/3, PhanChu Trinh, TP Huế, Thừa Thiên - Huế ;Nguyễn Minh Việt, 9D, THCS Nguyễn TựTân, Bình Sơn, Quảng Ngãi ; Võ XuânMinh, 81, THCS Nguyễn Văn Trỗi, CamNghĩa, Cam Ranh, Khánh Hòa

Anh kính lúp

 1 ,4

HK AE

 1 2

ML AE

 1 2

HK ML

KEÁT LUAÄN NHệ THEÁ ẹệễẽC KHOÂNG ?

ẹIEÅM XUAÁT PHAÙT CUÛA LễỉI GIAÛI SAI

Có một bài toán cùng lời giải như sau :Bài toán Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Lời giải Điều kiện của x để P có nghĩa là

l Kết quả : (TTT2 số 41)

v Kỡ naứy :

Đây là bài làm của em Nguyễn Thị

Tường Vy, 3A, Yersin, Phan Thiết, Bình

Thuận :

Sáng nay mua Toán Tuổi thơ

Về nhà ngồi đọc, mong chờ bài đăng

IQ bốn mốt (41) hơi căng

Nhìn các đơn thức lằng nhằng làm sao

Số mũ từng ẩn nháo nhào

Quy luật bí mật thế nào ở đây ?

Nghĩ đi, nghĩ lại ngất ngây

Ai ngờ lóe sáng ở giây cuối cùng :

Bậc từng đơn thức lại chung

Con số 11 chân dung rõ ràng

Thế là lời giải nhẹ nhàng

Phương án 2 chọn ! Bác Quang chắc cười !

Ngoài bạn Tường Vy, TTT còn thưởng

cho các bạn : Nguyễn Văn Bình, tổ 8 khu

phố II, thị trấn Hà Lam, Thăng Bình, Quảng

Nam ; Hà Thị Thanh Bình, số 10 Bảo Quốc,

TP Huế, Thừa Thiên - Huế Đặc biệt, bạn

Vũ Văn Duy, xóm 3, Việt Hồng, Thanh Hà,

Hải Dương, sau bài giải bạn có viết : “BácQuang ơi ! Tuy cháu giải mục này đúngnhiều lần nhưng chưa được thưởng lần nào.Nếu lần này được thưởng, cháu nhờ bácchuyển phần thưởng của cháu tới Quỹ nạnnhân bị chất độc màu da cam, được không

ạ ? Cháu cảm ơn bác nhiều !” Bác đọcxong, cảm động quá ! Bác vẫn cứ gửi phầnthưởng đến tận tay để cháu trực tiếp thựchiện hành động “nghĩa hiệp” của mình nhé !

Nguyễn Đăng QuangBạn chọn hình nào thay vào dấu chấm hỏi để hợp lôgic ?

Ngoài cách gửi bài dự thi về tạp chí, các bạn hãy gọi đến số 19001548 và làm theochỉ dẫn hoặc nhắn tin đến số 8109 theo mẫu 3T IQ2 X Y, trong đó X là đáp án của bạn ;

Y là số người có đáp án đúng

Chúc mừng bạn Phạm Thị Phương Nhung, mẹ là Phạm Thị Thu Dung, Ban Tuyên giáoTỉnh ủy Gia Lai (số điện thoại 0902157439) đã trúng thưởng cuộc thi trên TTT2 số 41

(TTT2 số 41)

SO SAÙNH HAI BIEÅU THệÙC

QUA BIEÅU THệÙC TRUNG GIAN

u u u u u u u u u u u u u u u u u uTrong thực tế cuộc sống, chúng ta cũng

đã thấy được tầm quan trọng của yếu tố

trung gian và việc lựa chọn được yếu tố

trung gian phù hợp cho từng trường hợp, đối

tượng cụ thể Nhân dịp TTT2 số 42 đề cập

đến một dạng toán so sánh biểu thức trong

sách giáo khoa, tôi muốn nhắc lại với các

bạn một phương pháp quan trọng để so

sánh giá trị của hai biểu thức, đó chính là

phương pháp xét biểu thức trung gian Mời

các bạn hãy theo dõi các ví dụ sau

Ví dụ 1 Với mọi số tự nhiên n  2, hãy so

Vậy A < 1

Nhận xét Hai cách giải trên đều chọn

được biểu thức trung gian có thể so sánhtrực tiếp được với biểu thức A và so sánh

được với 1 chỉ qua các bước biến đổi khá

đơn giản và quen thuộc

Trong bài toán cụ thể này, rõ ràng cách 2ngắn gọn và đơn giản hơn cách 1, tuy nhiênnếu bài toán bắt so sánh A với thì đương nhiên không thể dùng được cách 2

Ví dụ 2 Với mọi số tự nhiên n  2, hãy sosánh

1 1 1 1 1 1 1 1

1 2 2 3 3 4 11

1 1

C

n nn

Như vậy, việc chọn biểu thức trung gian

cơ bản phải thỏa mãn được những điều

kiện thuận lợi cho việc rút gọn, so sánh

hoặc gắn kết được với biểu thức cần so

sánh

Qua các ví dụ trên, phần nào chúng ta

thấy được yêu cầu và lợi thế của phương

pháp sử dụng biểu thức trung gian trong bài

toán so sánh giá trị hai biểu thức Chúc các

điện Cổ Tiết, Tam Nông, Phú Thọ ; Lê ThịHồng Nhung, xóm 6, Thụy Quỳnh, TháiThụy, Thái Bình ; Hoàng Văn Đông, xóm 1,Xuân Sơn, Đô Lương ; Hoàng Thu Phương,

mẹ là Nguyễn Thị Dương, giáo viên THCS

Đông Sơn, Đô Lương ; Trần Thái Sơn, bố

là Trần Thanh Biên, xóm 7, xã Nghi Hoa,Nghi Lộc, Nghệ An ; Phạm Kiều Linh, 140Trưng Trắc, Phúc Yên ; Lê Thái Sơn, khu 2,xã Tề Lỗ, Yên Lạc ; Nguyễn Thị Ngọc, 7A1,THCS Yên Lạc, Yên Lạc, Vĩnh Phúc ;Trịnh Việt Hùng, xóm 5, Thọ Trường, ThọXuân ; Lê Thị Mai Phương, số nhà 01

đường 30 tháng 4, tiểu khu 4, Thị trấn HàTrung, Hà Trung, Thanh Hóa ; Đỗ KiềuLinh, đội II, xóm 4, thôn Tảo Khê, xã TảoDương Văn, ứng Hòa, Hà Tây ; Kiều HồngVân, tổ 2, khối 8, Bắc Hồng, Hồng Lĩnh,

TX Hà Tĩnh ; Ngô Thu Hường, số 31, HàHuy Tập, P Nam Hà, TX Hà Tĩnh, Hà Tĩnh ;Nguyễn Thị Mỹ Linh, 48D/212, Đà Nẵng,Ngô Quyền, Hải Phòng ; Nguyễn DiệuThắm, Đông Lễ, Đông Tảo, Khoái Châu,Hưng Yên ; Nguyễn Kiều My, con bốNguyễn Văn Thức, Ban Dân vận Tỉnh ủyQuảng Ngãi, 146 Lê Trung Đình, TP QuảngNgãi, Quảng Ngãi ; Trần Hoàng PhươngThảo, 50/3 đường Phan Chu Trinh, TP Huế,Thừa Thiên - Huế ; Nguyễn Đình Cương,

mẹ là Nguyễn Thị Xuân, số 6 Tống DuyTân, phường Ngọc Châu, TP Hải Dương,Hải Dương

(TTT2 số 41)

số là bình phương của một số nguyên lẻ.

Bài 2 (Problem 1, 1991)

Chứng minh rằng tổng các bình phương của m số tự nhiên liêntiếp không thể là số chính phương, với m  {3 ; 4 ; 5 ; 6} Khi

m  11, hãy cho một ví dụ để chứng tỏ tổng các bình phương của

m số tự nhiên liên tiếp là số chính phương

Bài 3 (Problem 3, 1991)

Khi số 1 có thể viết được thành tổng của N phân số Ai Cậpkhác nhau từng đôi một, ta nói N là số chấp nhận được(acceptable) Hãy chứng minh rằng mọi số nguyên dương N đềuchấp nhận được, với N  3

Chú thích (của người biên tập) Phân số Ai Cập là phân số

có tử số bằng 1 Như vậy, ta có thể phát biểu bài toán theo cáchkhác : Chứng minh rằng số 1 có thể được phân tích thành tổngcủa N phân số Ai Cập khác nhau từng đôi một, với N là sốnguyên dương bất kì

Bài 4 (Problem 2, 1992)

Cho một số nguyên dương Ta lập số mới bằng cách nhân cácchữ số của số đó Quá trình này được lặp lại nhiều lần cho đếnkhi số nhận được là số có một chữ số Lúc đó, ta nói chữ số saucùng này là căn chữ số (digital root) của số nguyên dương đãcho

Ví dụ : 24378  1344  48  32  6 Vậy 6 là căn chữ sốcủa 24378

Chứng minh rằng nếu số nguyên dương n có căn chữ số bằng

1 thì n phải có tất cả các chữ số bằng 1

gIốI THIẻU ẻ

(Tiếp theo kì trước)

CUOÄC THI OLYMPIC TOAÙN QUOÁC GIA AI-LENBài 1 (Problem 3, 1989)

Xét trường hợp tam giác ABC có

các điểm A và D nằm cùng phía đối với

Bài 3 (Problem 12, 1989) Gọi các đỉnh

của hình vuông S là M, N, P, Q trong đó A,

(vì k dương)

Do là số vô tỉ nên 8n  4m3 12mhay

Đảo lại, giả sử tồn tại số nguyên dương

m m

n 

2

( 3) 2

m m

n 



2 1n

Hửụựng daón giaỷi ủeà kỡ trửụực :

Kỡ thi tuyeồn sinh vaứo lụựp 10,

THPT chuyeõn Nguyeón Bổnh Khieõm, tổnh Vúnh Long,

Bài 3 Gọi vận tốc của ca nô khi đi ngược

dòng là x km/h, suy ra vận tốc của ca nô khi

a) Dễ thấy nên DMBI là

tứ giác nội tiếp

b) Ta lại có suy ra BI // AD(cùng vuông góc với CD)

c) Từ giả thiết ta có M đồng thời là trung

điểm của AB và DE suy ra ADBE là hìnhbình hành  AD // BE  I, B, E thẳng hàngvì theo câu b) thì AD // BI

ẹEÀ THI TUYEÅN SINH VAỉO LễÙP 10 (Voứng 2), KHOÁI THPT CHUYEÂN, ẹAẽI HOẽC Sệ PHAẽM HAỉ NOÄI

Naờm hoùc 2006-2007 ; Thụứi gian : 150 phuựt

Giả sử x1và x2là hai số nguyên dương

đã cho ; a và b theo thứ tự là trung bình

cộng và trung bình nhân của x1và x2 Biết

rằng tỉ số là một số nguyên dương

Chứng minh rằng x1 x2

Câu 4 (4,0 điểm)

Cho hai đường tròn (C1) và (C2) cắt

nhau tại hai điểm A, B Biết rằng (C1) có

A nằm trong đoạn MN Tiếp tuyến của(C1) tại M và tiếp tuyến của (C2) tại N cắtnhau tại điểm E

1) Chứng minh rằng tứ giác EMBN là tứgiác nội tiếp

2) Tính độ dài các cạnh của tam giác

AO1O2.3) Chứng minh rằng

1 2

O AO

2EM EN 4( 3 15)a

b

a) Hai tam giác AMD và CDN đồng dạng

theo trường hợp g.g vì có (so

tỉ lệ Suy ra

AEBC là tứ giácnội tiếp

c) Từ câu b) suy ra E thuộc cung nhỏ ABcủa đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

l Kết quả :

THI GIAÛI TOAÙN QUA THệ

Bài 1(41) Cho x, y, z là các số thực

dương thỏa mãn điều kiện

Tìm giá trị nhỏ nhất của x  y  z

Lời giải áp dụng bất đẳng thức cô-si

cho các số dương ta có

(1)(2)

bất đẳng thức Cô-si trong bài toán này khá

quen thuộc, các bạn giải đúng đều làm như

trên Sau đây là các bạn có lời giải gọn nhất :

Xuân, Thanh Hóa ; Võ Xuân Minh, 81,

THCS Nguyễn Văn Trỗi, Cam Nghĩa, Cam

Ranh, Khánh Hòa ; Nguyễn Ngọc Huy, 7A,

THCS Trần Văn Ơn, Hồng Bàng, HảiPhòng ; Tạ Quang Trung, 8A, THCS ĐạiThịnh, Thường Lệ, Mê Linh, Vĩnh Phúc ; LêDuy Tùng ; Lê Hồng Thiện ; Nguyễn HoàngPhương, 9E, THCS Chu Văn An, Eakar,

Đắk Lắk

Nguyễn anh quânBài 2(41) Chứng minh 321 224 68 1chia hết cho 1930

ở đây a  37, b  28, c  1, suy ra A chiahết cho 37 28 1  1930

Vậy bài toán đã được chứng minh.Nhận xét Một số bạn học sinh do khôngliên hệ đến hằng đẳng thức (1) nên có lờigiải dài hơn (phân tích 1930  25193 vàxét phần dư của các số 2n, 3n(n  *) khichia cho 5, chia cho 193) Các bạn có lờigiải tốt là Triệu Thị Quỳnh Mai, 7A3, THCSLâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ ; Lê ThịTuyết Mai ; Nguyễn Thị Ngọc ; Phùng NgọcQuý, 7A1, THCS Yên Lạc, Yên Lạc, VĩnhPhúc ; Hoàng Tiến Dũng, 7A, THCS LêHữu Lập, Hậu Lộc, Thanh Hóa ; Trần ViệtCường ; Trần Phương Thảo, 7C, THCS ThịTrấn Kỳ Anh, Kỳ Anh, Hà Tĩnh ; PhạmQuang Thịnh ; Phan Long Tri Yên, 7H,THCS Hùng Vương, TP Tuy Hòa, Phú Yên ;

Đỗ Thị Thùy Linh, 6A6, THCS Đồng Nai,Cát Tiên, Lâm Đồng

Bài 3(41) Tìm nghiệm nguyên dương

Ninh, TP Nam Định, Nam Định ; Nguyễn

Văn Tuân, 8/1, THCS Hợp Tiến, Nam Sách ;

Nguyễn Sơn Tùng, con bố Nguyễn Văn

Đức, thôn Nghĩa Xã, Đại Đồng, Tứ Kỳ, HảiDương ; Nguyễn Thị Trang, 8B, THCS NamHưng, Tiền Hải, Thái Bình ; Hoàng TiếnDũng, 7A, THCS Lê Hữu Lập, Hậu Lộc,Thanh Hóa ; Lê Công Minh, 7A, THCSBình An, Can Lộc ; Nguyễn Trung Thành, 8B,THCS Thị Trấn Kỳ Anh, Kì Anh, Hà Tĩnh ;Phạm Việt Hùng ; Hồ Hữu Quân, 8C, THCS

Hồ Xuân Hương, Quỳnh Lưu ; NguyễnMạnh Tuấn, 8B, THCS Lí Nhật Quang, ĐôLương, Nghệ An ; Huỳnh Văn Nhật Huy, 61,THCS Nguyễn Tri Phương, TP Huế, ThừaThiên - Huế ; Đào Lê Vy, 8A1, THCS TăngBạt Hổ, Hoài Ân, Bình Định

Nguyễn Minh ĐứcBài 4(41) Cho tam giác vuông ABC( ), BC  a, AC  b, AB  c Gọi hclà

độ dài đường cao của tam giác đó kẻ từ C.Chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi nào ?Lời giải Do tam giác ABC vuông tại Cnên c2 a2 b2 2ab, hay

Ta nhận thấy ab  chc( 2SABC), suy ra



c abhc

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b hay

tam giác ABC vuông cân tại đỉnh C

Nhận xét 1) Từ bài toán trên, bạn Đỗ

Việt Hùng, số nhà 11, ngõ 1/1, đường

Trường Chinh, TX Phủ Lý, Hà Nam đã đề

xuất và giải đúng bài toán mạnh hơn : “Cho

tam giác ABC có ; BC  a, AC  b,

AB  c ; R, r lần lượt là bán kính của các

đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp Chứng minh

”

Lưu ý :

2) Ngoài bạn Hùng, các bạn sau có lời

giải đúng và gọn : Nguyễn Hữu Thanh, 8A3,

THCS Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ ;

Nguyễn Văn Tú, 9B, THCS Lập Thạch ; Lê

Sơn Hải, 9B, THCS Yên Lạc, Yên Lạc, Vĩnh

Phúc ; Nguyễn Ngọc Huy, 7A, THCS Trần

Văn Ơn, Hồng Bàng, Hải Phòng ; Nguyễn

Lâm Phúc, 8A, trường Hà Nội - Amsterdam,

Hà Nội ; Đoàn Thu Hà, 9A3, THCS Chu

Mạnh Trinh, Văn Giang, Hưng Yên ;

Nguyễn Duy Cường, 24D Tam Giang, P Trần

Hưng Đạo, TP Hải Dương, Hải Dương ;

Hoàng Văn Công, 8B, THCS Phạm Huy

Thông, Ân Thi, Hưng Yên ; Nguyễn Mạnh

Quyết, 9A2, THCS Trần Đăng Ninh, TP Nam

Định, Nam Định ; Hoàng Tiến Dũng, 7A ;

Lê Anh Công, 8C, THCS Lê Hữu Lập, Hậu

Lộc, Thanh Hóa ; Hồ Hữu Quân, 8C, THCS

Hồ Xuân Hương, Quỳnh Lưu ; Cao Thị

Thanh Hoa, 8C, THCS Cao Xuân Huy, Diễn

Bài 5(41) Cho tam giác ABC có

Đường tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC,tiếp xúc với các cạnh AB, AC, BC lần lượttại các điểm D, E, F Đường thẳng DE cắtcác đường thẳng BO, CO lần lượt tại các

điểm N, M Tính diện tích tam giác MNFtheo diện tích tam giác ABC

Lời giải (của bạn Phan Long Tri Yên,7H, THCS Hùng Vương, Tuy Hòa, Phú Yên)Trong lời giải này, kí hiệu S(.), r(.) lần lượtchỉ diện tích, bán kính đường tròn nội tiếpcủa tam giác

Trường hợp 1 : AB  AC Ta có ABC

đều, dễ thấy S(FMN)  S(ABC), bạn đọc

Tương tự, ta có

Vậy FMN ABC (g.g), suy ra

(3)

Dễ thấy hai tam giác này đều có O là tâm

đường tròn nội tiếp Gọi H là hình chiếu của

O trên FM, suy ra r(FMN)  OH

 (4)

Từ (3) và (4) suy ra

Nhận xét 1) Bài toán này không khó, có

30 bạn tham gia giải và đều giải đúng

2) Xin nêu tên một số bạn có lời giải tốt :

Nguyễn Hữu Thanh, 8A3, THCS Lâm Thao,

Lâm Thao, Phú Thọ ; Nguyễn Thị Ngọc

Mai, 9A, THCS Yên Phong, Yên Phong,

Bắc Ninh ; Hoàng Lan Phương, 9D, trường

Hà Nội - Amsterdam, Hà Nội ; Hoàng Văn

Sáng, 9A1, Phân hiệu học sinh giỏi Kiến

Xương, Thái Bình ; Vũ Thanh Tú, 9A2,

THCS Vũ Hữu, Bình Giang, Hải Dương

Nguyễn Minh Hà

1( ) ( )

Thi giaỷi toaựn qua thử

Các bạn được thưởng kì này

Phan Long Tri Yên, 7H, THCS HùngVương, Tuy Hòa, Phú Yên ; NguyễnHữu Thanh, 8A3, THCS Lâm Thao, LâmThao, Phú Thọ ; Đào Lê Vy, 8A1, THCSTăng Bạt Hổ, Hoài Ân, Bình Định ;Hoàng Tiến Dũng, 7A, THCS Lê HữuLập, Hậu Lộc, Thanh Hóa ; NguyễnNgọc Huy, 7A, THCS Trần Văn Ơn,Hồng Bàng, Hải Phòng ; Hồ Hữu Quân,8C, THCS Hồ Xuân Hương, Quỳnh Lưu,Nghệ An ; Đỗ Việt Hùng, số 11 ngõ 1/1,

đường Trường Chinh, TX Phủ Lý, HàNam ; Lê Phương, 8A6, THCS Ngô SĩLiên, TP Bắc Giang, Bắc Giang ; VũThị Thu Hà, 8A, THCS Vĩnh Tường,Vĩnh Tường, Vĩnh Phúc ; Nguyễn ThịNgọc Mai, 9A, THCS Yên Phong, YênPhong, Bắc Ninh ; Hoàng Lan Phương,9D, trường Hà Nội - Amsterdam, Hà Nội ;Trần Thu Thủy, 8A4, THCS Trần ĐăngNinh, TP Nam Định, Nam Định

Vì giá vật tư và cước vận chuyển tăng,

được sự đồng ý của cơ quan quản lí, kể

từ tháng 10-2006, giá bán lẻ Tạp chíToán Tuổi thơ 2 ra ngày 15 hàng tháng

sẽ là 3000 đồng (ba nghìn đồng) / số.Rất mong bạn đọc xa gần thông cảm

và tiếp tục ủng hộ Tạp chí

Tạp chí Toán Tuổi thơ

THOÂNG BAÙO

Đêm qua, Sở Công an thành phố đã phá

một đường dây buôn lậu đồ trang sức Qua

xét hỏi, công an biết được bọn buôn lậu

đang cất giấu tang vật ở một thị trấn nhỏ ở

ngoại ô Biết đây là những tên tội phạm rất

khôn ngoan và gian giảo nên cơ quan công

an đã nhờ thám tử Sê-Lốc-Cốc đi cùng với

hai chiến sĩ trinh sát Triệu Ngôn và Vũ Hân

đến thị trấn này để tiếp tục điều tra

Tranh thủ từng giờ từng phút, với quyết

tâm không để bọn chúng tẩu thoát, nên 5

giờ sáng hôm sau, thám tử Sê-Lốc-Cốc

cùng hai chiến sĩ đã tới bến xe thị trấn

Ngay lập tức, Triệu Ngôn phát hiện hai tên

trong đường dây buôn lậu đang bình thản

đi dạo trong vườn hoa phía bên phải bến

xe Vũ Hân nhận xét :

- Có lẽ chúng đang muốn thủ tiêu tang

vật trước khi rời khỏi đây Cấp trên báo là

đêm qua chúng nghỉ tại một khách sạn nhỏ

và vừa rời khách sạn lúc 4 giờ 30 sáng nay

- Như vậy là chúng rời khách sạn khi trời

còn tối, mới cách đây có nửa tiếng - thám

tử nói

Triệu Ngôn bước nhanh đến trước mặt

hai tên buôn lậu :

- Đừng diễn kịch nữa, các anh hãy mau

giao nộp hàng lậu !

Nhưng, thật bất ngờ, một trong hai tên

lại hất hàm hỏi :

- Anh đùa đấy à ? Ai buôn lậu ? Đừng đổ

oan cho người tốt !Tên kia cũng nói thêm vào :

- Các ông phải bắt được tận tay rồi hãynói Không có chứng cớ làm sao dám vu vạcho người khác ?

Chứng cứ ư ? Bằng kinh nghiệm nghềnghiệp, Triệu Ngôn biết chắc chắn tang vậtbuôn lậu đang nằm trong những chậu hoahồng đặt trong vườn hoa kia, nhưng giữahàng mấy trăm chậu, biết trong chậu nào

có giấu đồ trang sức ? Không thể đập vỡtất cả các chậu hoa được Triệu Ngôn hỏi ý

Vũ Hân nhưng Vũ Hân cũng đang rất lúngtúng, chưa biết phải làm thế nào

- Chúng ta phải hỏi thám tử Sê-Lốc-Cốcthôi ! - hai anh bàn nhau Nhưng khi họquay lại tìm thám tử thì thấy ông đangthong thả dạo bước bên những chậu hoahồng trong vườn hoa Trời ơi ! Sao lúc này

mà thám tử lại có thể ung dung ngắm hoathế kia ? Triệu Ngôn và Vũ Hân cảm thấyvô cùng sốt ruột và lo lắng

Đúng lúc đó, hai anh thấy thám tử cúingười xuống, bưng một chậu hoa lên Rồi

ông đi nhanh về phía hai tên buôn lậu

- Các người đòi chứng cứ ư ? Đây, chậuhoa này chính là chứng cứ - Vừa nói, thám

tử vừa ném chậu hoa xuống đất

Chậu vỡ, đồ trang sức bên trong rơi ratung tóe Sắc mặt hai tên buôn lậu biến sắc

- Các người đã chuẩn bị sẵn chậu hoa

Tiến Chiêm (Hà Nội)