Các chuyên đề học sinh giỏi hình học lớp 8

a) BH CM AD.. CHUYEÂN ÑEÀ 5 – BOÅ ÑEÀ HÌNH THANG VAØ CHUØM ÑÖÔØNG THAÚNG ÑOÀNG QUY A.. Bieát AM, AN caét BD thaønh ba ñoaïn baèng nhau. Goïi M laø trung ñieåm cuûa BC.. Cho hình chöõ[r]

CHUYÊN ĐỀ 1 - CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐỊNH LÍ TA-LÉT A.Kiến thức:

C B

A

O G E

B A

c) Khi đường thẳng a thay đổi vị trí nhưng vẫn qua A thì tích BK

DG có giá trị không đổi

Giải

a) Vì ABCD là hình bình hành và K ∈ BC nên

AD // BK, theo hệ quả của định lí Ta-lét ta có:

Nhân (1) với (2) vế theo vế ta có: BK = a BK DG = ab

b DG⇒ không đổi (Vì a = AB; b = AD là độ dài hai cạnh của hình bình hành ABCD không đổi)

4 Bài 4:

H

F K

D

C B

A

G b

a

B A

3

Cho tửự giaực ABCD, caực ủieồm E, F, G, H theo thửự tửù chia trong caực caùnh AB, BC,

CD, DA theo tổ soỏ 1:2 Chửựng minh raống:

EMG = 90 (4) Tương tự, ta có:  0

FNH = 90 (5)

Từ (4) và (5) suy ra   0

EMG = FNH = 90 (c)

Từ (a), (b), (c) suy ra ∆EMG = ∆FNH (c.g.c) ⇒ EG = FH

b) Gọi giao điểm của EG và FH là O; của EM và FH là P; của EM và FN là Q thì

Cho hình thang ABCD có đáy nhỏ CD Từ D vẽ đường thẳng song song với BC, cắt AC tại M và AB tại K, Từ C

vẽ đường thẳng song song với AD, cắt AB tại F, qua F ta lại vẽ đường thẳng song song với AC, cắt BC tại P Chứng minh rằng

4

AK // CD ⇒ CM = DC

AM AK (2) các tứ giác AFCD, DCBK la các hình bình hành nên

Từ (4) và (5) suy ra : qua P có hai đường thẳng IP, PM cùng song song với AB // DC nên theo tiên đề Ơclít thì ba

điểm P, I, M thẳng hang hay MP đi qua giao điểm của CF và DB hay ba đường thẳng MP, CF, DB đồng quy

6 Bài 6:

Cho ∆ABC có BC < BA Qua C kẻ đường thẳng vuông goác với tia phân giác BE của ABC; đường thẳng này cắt

BE tại F và cắt trung tuyến BD tại G Chứng minh rằng đoạn thẳng EG bị đoạn thẳng DF chia làm hai phần bằng nhau

Giải

Gọi K là giao điểm của CF và AB; M là giao điểm của DF và BC

∆KBC có BF vừa là phân giác vừa là đường cao nên ∆KBC cân tại B

B A

M G

Gäi giao ®iÓm cña EG vµ DF lµ O ta cã OG = OE = FO

DF

  EF

CHUYÊN ĐỀ 2 – CÁC BÀI TOÁN SỬ DỤNG ĐỊNH LÍ TALÉT VÀ TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN

2 Tính chất đường phân giác:

∆ABC ,AD là phân giác góc A ⇒ BD = AB

a) AD là phân giác của BAC nên BD AB c

a

c b

I

B A

C

A

N M

C B

A

3.Bài 3:

Cho ∆ABC, trung tuyến AM, các tia phân giác của các góc AMB , AMC cắt AB, AC theo thứ tự ở D và

E

a) Chứng minh DE // BC

b) Cho BC = a, AM = m Tính độ dài DE

c) Tìm tập hợp các giao diểm I của AM và DE nếu ∆ABC có BC cố định, AM

M

I

C B

A

c) Ta có: MI = 1

2 DE = a.m

a + 2m không đổi ⇒ I luôn cách M một đoạn không đổi nên tập hợp các điểm

I là đường tròn tâm M, bán kính MI = a.m

a + 2m (Trừ giao điểm của nó với BC d) DE là đường trung bình của ∆ABC⇔ DA = DB ⇔ MA = MB ⇔ ∆ABC vuông ở A

4 Bài 4:

Cho ∆ABC ( AB < AC) các phân giác BD, CE

a) Đường thẳng qua D và song song với BC cắt AB ở K, chứng minh E

nằm giữa B và K

⇒ E nằm giữa K và B

b) Gọi M là giao điểm của DE và CB Ta có CBD = KDB (so le trong)⇒KBD = KDB 

mà E nằm giữa K và B nên KDB > EDB⇒ KBD > EDB ⇒ EBD > EDB ⇒ EB < DE

Ta lại có CBD + ECB = EDB + DEC     ⇒DEC>ECB ⇒DEC>DCE (Vì DCE = ECB)

A

Qua C kỴ ®­êng th¼ng song song víi AD , c¾t tia BA ë H

Theo §L TalÐt ta cã: AD BA

CH = BH ⇒BA.CH c.CH c

.2 2

Cho ∆ABC có BC = a, AC = b, AB = c (b > c), các phân giác BD, CE

a) Tính độ dài CD, BE rồi suy ra CD > BE

b) Vẽ hình bình hành BEKD Chứng minh: CE > EK

CHUYÊN ĐỀ 3 – CÁC BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG

A Kiến thức:

* Tam giác đồng dạng:

a) trường hợp thứ nhất: (c.c.c)

∆ABC A’B’C’ ⇔ AB = AC = BC

A'B' A'C' B'C'b) trường hợp thứ nhất: (c.g.c)

∆ABC A’B’C’ ⇔ AB = AC

A'B' A'C' ; A = A' 

c Trường hợp đồng dạng thứ ba (g.g)

∆ABC A’B’C’ ⇔ A = A' ; B = B' 

AH; A’H’là hai đường cao tương ứng thì: A'H'

AH = k (Tỉ số đồng dạng); A'B'C'

A

b) Gọi AC = b, AB = a, BC = c thì từ câu a ta có b 2 = a(a + c) (1)

Vì b > anên có thể b = a + 1 hoặc b = a + 2

CE =

BD Chứng minh rằng

a) ∆DBO ∆OCE

b) ∆DOE DBO ∆OCE

c) DO, EO lần lượt là phân giác của các góc BDE, CED

d) khoảng cách từ O đến đoạn ED không đổi khi D di động trên AB

Giải

a) Từ

2OB

2

E + C EOC 180+ = (3) Từ (1), (2), (3) suy ra DOE  = =B C

∆

D

C B

A

∆DOE và ∆DBO có DO = OE

DB OC (Do ∆DBO ∆OCE)

và DO = OE

DB OB (Do OC = OB) và DOE  = =B C

nên ∆DOE ∆DBO ∆OCE

c) Từ câu b suy ra D = D1 2⇒ DO là phân giác của các góc BDE

Củng từ câu b suy ra E = E1 2 EO là phân giác của các góc CED

c) Gọi OH, OI là khoảng cách từ O đến DE, CE thì OH = OI, mà O cố định nên

OH không đổi ⇒OI không đổi khi D di động trên AB

Bài 4: (Đề HSG huyện Lộc hà – năm 2007 – 2008)

Cho ∆ABC cân tại A, có BC = 2a, M là trung điểm BC, lấy D, E thuộc AB, AC sao cho DME = B 

a) Chứng minh tích BD CE không đổi

b)Chứng minh DM là tia phân giác của BDE

c) Tính chu vi của ∆AED nếu ∆ ABC là tam giác đều

Giải

a) Ta có DMC = DME + CME = B + BDM    , mà DME = B (gt)

nên CME = BDM , kết hợp với B = C  (∆ABC cân tại A)

(do BM = CM)⇒ ∆DME ∆DBM (c.g.c) ⇒ MDE = BMD  hay DM là tia

phân giác của BDE

c) chứng minh tương tự ta có EM là tia phân giác của DEC

kẻ MH ⊥CE ,MI ⊥DE, MK ⊥DB thì MH = MI = MK ⇒ ∆DKM = ∆DIM

⇒DK =DI ⇒ ∆EIM = ∆EHM ⇒EI = EH

Chu vi ∆AED là P AED = AD + DE + EA = AK +AH = 2AH (Vì AH = AK)

∆ ABC là tam giác đều nên suy ra ∆ CME củng là tam giác đều CH = MC

C B

CB

A

Bài 5:

Cho tam giác ABC, trung tuyến AM Qua điểm D thuộc cạnh BC, vẽ đường

thẳng song song với AM, cắt AB, AC tại E và F

a) chứng minh DE + DF không đổi khi D di động trên BC

b) Qua A vẽ đường thẳng song song với BC, cắt FE tại K Chứng minh rằng K

là trung điểm của FE

AM = AM ⇒FK = EK hay K là trung điểm của FE

Bài 6: (Đề HSG huyện Thạch hà năm 2003 – 2004)

Cho hình thoi ABCD cạnh a có  0

A = 60 , một đường thẳng bất kỳ qua C cắt tia đối của các tia BA, DA tại M, N

a) Chứng minh rằng tích BM DN có giá trị không đổi

b) Gọi K là giao điểm của BN và DM Tính số đo của góc BKD

E

D M

C B

CB

A

Suy ra M = B1 1 ∆MBD và∆BKD có BDM = BDK  và M = B1 1 nên   0

BKD = MBD = 120

Bài 7:

Cho hình bình hành ABCD có đường chéo lớn AC,tia Dx cắt SC, AB, BC lần lượt tại I, M, N Vẽ CE vuông góc với AB, CF vuông góc với AD, BG vuông góc với AC Gọi K là điểm đối xứng với D qua I Chứng minh rằng

D

C

B

Cộng (5) và (6) vế theo vế ta có:

AB AE + AF AD = (AG + CG) AG + (AG + CG) CG

⇔ AB AE + AF AD = AG 2 +2.AG.CG + CG 2 = (AG + CG) 2 = AC 2

Vậy: AB AE + AD AF = AC 2

Bài tập về nhà

CHUYÊN ĐỀ 4 – CÁC BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG

A Kiến thức:

* Tam giác đồng dạng:

a) trường hợp thứ nhất: (c.c.c)

∆ABC A’B’C’ ⇔ AB = AC = BC

A'B' A'C' B'C'b) trường hợp thứ nhất: (c.g.c)

∆ABC A’B’C’ ⇔ AB = AC

A'B' A'C' ; A = A' 

c Trường hợp đồng dạng thứ ba (g.g)

∆ABC A’B’C’ ⇔ A = A' ; B = B' 

AH; A’H’là hai đường cao tương ứng thì: A'H'

AH = k (Tỉ số đồng dạng); A'B'C'

A

⇒ AC = 12 cm

b) Gọi AC = b, AB = a, BC = c thì từ câu a ta có b 2 = a(a + c) (1)

Vì b > anên có thể b = a + 1 hoặc b = a + 2

CE =

BD Chứng minh rằng

a) ∆DBO ∆OCE

b) ∆DOE DBO ∆OCE

c) DO, EO lần lượt là phân giác của các góc BDE, CED

d) khoảng cách từ O đến đoạn ED không đổi khi D di động trên AB

Giải

a) Từ

2OB

E + C EOC 180+ = (3)

∆

D

C B

A

Từ (1), (2), (3) suy ra DOE  = =B C

∆DOE và ∆DBO có DO = OE

DB OC (Do ∆DBO ∆OCE)

và DO = OE

DB OB (Do OC = OB) và DOE  = =B C

nên ∆DOE ∆DBO ∆OCE

c) Từ câu b suy ra D = D1 2⇒ DO là phân giác của các góc BDE

Củng từ câu b suy ra E = E1 2 EO là phân giác của các góc CED

c) Gọi OH, OI là khoảng cách từ O đến DE, CE thì OH = OI, mà O cố định nên

OH không đổi ⇒OI không đổi khi D di động trên AB

Bài 4: (Đề HSG huyện Lộc hà – năm 2007 – 2008)

Cho ∆ABC cân tại A, có BC = 2a, M là trung điểm BC, lấy D, E thuộc AB, AC sao cho DME = B 

a) Chứng minh tích BD CE không đổi

b)Chứng minh DM là tia phân giác của BDE

c) Tính chu vi của ∆AED nếu ∆ ABC là tam giác đều

Giải

a) Ta có DMC = DME + CME = B + BDM    , mà DME = B (gt)

nên CME = BDM , kết hợp với B = C  (∆ABC cân tại A)

(do BM = CM)⇒ ∆DME ∆DBM (c.g.c) ⇒ MDE = BMD  hay DM là tia

phân giác của BDE

c) chứng minh tương tự ta có EM là tia phân giác của DEC

kẻ MH ⊥CE ,MI ⊥DE, MK ⊥DB thì MH = MI = MK ⇒ ∆DKM = ∆DIM

⇒DK =DI ⇒ ∆EIM = ∆EHM ⇒EI = EH

Chu vi ∆AED là P AED = AD + DE + EA = AK +AH = 2AH (Vì AH = AK)

∆ ABC là tam giác đều nên suy ra ∆ CME củng là tam giác đều CH = MC

a

=

2 1

C B

CB

A

⇒ AH = 1,5a ⇒ P AED = 2 AH = 2 1,5 a = 3a

Bài 5:

Cho tam giác ABC, trung tuyến AM Qua điểm D thuộc cạnh BC, vẽ đường

thẳng song song với AM, cắt AB, AC tại E và F

a) chứng minh DE + DF không đổi khi D di động trên BC

b) Qua A vẽ đường thẳng song song với BC, cắt FE tại K Chứng minh rằng K

là trung điểm của FE

AM = AM ⇒FK = EK hay K là trung điểm của FE

Bài 6: (Đề HSG huyện Thạch hà năm 2003 – 2004)

Cho hình thoi ABCD cạnh a có  0

A = 60 , một đường thẳng bất kỳ qua C cắt tia đối của các tia BA, DA tại M, N

a) Chứng minh rằng tích BM DN có giá trị không đổi

b) Gọi K là giao điểm của BN và DM Tính số đo của góc BKD

E

D M

C B

A

1

M

CB

Suy ra M = B1 1 ∆MBD và∆BKD có BDM = BDK  và M = B1 1 nên   0

BKD = MBD = 120

Bài 7:

Cho hình bình hành ABCD có đường chéo lớn AC,tia Dx cắt SC, AB, BC lần lượt tại I, M, N Vẽ CE vuông góc với AB, CF vuông góc với AD, BG vuông góc với AC Gọi K là điểm đối xứng với D qua I Chứng minh rằng

D

C

B

⇒AF AD = AC CG ⇒ AF AD = (AG + CG) CG (6)

Cộng (5) và (6) vế theo vế ta có:

AB AE + AF AD = (AG + CG) AG + (AG + CG) CG

⇔ AB AE + AF AD = AG 2 +2.AG.CG + CG 2 = (AG + CG) 2 = AC 2

Vậy: AB AE + AD AF = AC 2

Bài tập về nhà

CHUYÊN ĐỀ 5 – BỔ ĐỀ HÌNH THANG VÀ CHÙM ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY

A Kiến thức:

1) Bổ đề hình thang:

“Trong hình thang có hai đáy không bằng nhau, đường thẳng đi qua giao điểm của các đường chéo và đi qua giao điểm của các đường thẳng chứa hai cạnh bên thì đi qua trung điểm của hai đáy”

Chứng minh:

Gọi giao điểm của AB, CD là H, của AC, BD là G, trung điểm của AD, BC là E và F

Nối EG, FG, ta có: ∆ADG ∆CBG (g.g) , nên :

CB =CG ⇒ 2CF =CG ⇒ CF =CG (1)

Ta lại có : EAG =FCG (SL trong ) (2)

Từ (1) và (2) suy ra : ∆AEG ∆CFG (c.g.c)

Do đó: AGE =CGF⇒ E , G , H thẳng hàng (3)

Tương tự, ta có: ∆AEH ∆BFH⇒AHE =BHF

⇒ H , E , F thẳng hàng (4)

Tõừ (3) và (4) suy ra : H , E , G , F thẳng hàng

2) Chùm đường thẳng đồng quy:

Nếu các đường thẳng đồng quy cắt hai đường thẳng song song thì

chúng định ra trên hai đường thẳng song song ấy các đoạn thẳng

tương ứng tỉ lệ

Nếu m // n, ba đường thẳng a, b, c đồng quy ở O chúng cắt m tại

A, B, C và cắt n tại A’, B’, C’ thì

+ Nếu ba đường thẳng trong đó có hai đường thẳng cắt nhau, định

ra trên hai đường thẳng song song các cặp đoạn thẳng tương ứng

tỉ lệ thì ba đường thẳng đó đồng quy

+ Nếu hai đường thẳng bị cắt bởi ba đường thẳng đồng quy tạo thành các cặp đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì chúng song song với nhau

// //

/ / H

G E

F

D

C B

A

c b

A

MN // BC (MN là đường trung bình của ∆BCD)

⇒ Tứ giác HBFM là hình thang có hai cạnh bên đòng quy tại A, N

là trung điểm của đáy BF nên theo bổ đề hình thang thì N là trung

điểm của đáy MH

Cho ∆ABC có ba góc nhọn, trực tâm H, một đường thẳng qua H

cắt AB, AC thứ tự tạ P, Q sao cho HP = HQ Gọi M là trung điểm

H là trực tâm của ∆ABC nên CH⊥A B (2)

Từ (1) và (2) suy ra MK ⊥CH ⇒ MK là đường cao của∆CHK (3)

Từ AH ⊥BC ⇒ MC⊥HK ⇒ MI là đường cao của ∆CHK (4)

Từ (3) và (4) suy ra M là trực tâm của ∆CHK⇒ MH⊥CN ⇒ MH⊥PQ

3) bài 3:

H

G F

E

N

M D

C B

A

I K N

M

Q

P H

C B

A

Cho hình chữ nhật ABCD có M, N thứ tự là trung điểm của

AD, BC Gọi E là một điểm bất kỳ thuộc tia đối của tia DC, K

là giao điểm của EM và AC

Chứng minh rằng: NM là tia phân giác của KNE

Vậy NM là tia phân giác của KNE

∆BAE = ∆BCH (c.g.c) ⇒ BAE = BCH   mà BAE + BEA   = 900

Mặt khác BEA = MEC ; MCE = BCH     ⇒ MEC + MCE   = 900 ⇒ AMC = 900

B A

H M

G F

E

B A

Nếu EH và AC không song song thì EH, AC, FG đồng quy

b) Gọi giao điểm của EH, HG với AC

Trong hình thang DFEB có hai cạnh bên DF, BE đồng quy tại A và

OB = OD nên theo bổ đề hình thang thì M là trung điểm của EF

Tương tự: N là trung điểm của GH

E

N M

B A

CHUYÊN ĐỀ 6 – SỬ DỤNG CÔNG THỨC DIỆN TÍCH ĐỂ THIẾT LẬP QUAN HỆ ĐỘ DÀI

CỦA CÁC ĐOẠN THẲNG

A Một số kiến thức:

1 Công thức tính diện tích tam giác:

S = 1

2 a.h (a – độ dài một cạnh, h – độ dài đường cao tương ứng)

2 Một số tính chất:

Hai tam giác có chung một cạnh, có cùng độ dài đường cao thì có cùng diện tích

Hai tam giác bằng nhau thì có cùng diện tích

B Một số bài toán:

1 Bài 1:

Cho ∆ABC có AC = 6cm; AB = 4 cm; các đường cao AH; BK; CI Biết AH = CI + BK

2Tính BC

Cho ∆ABC có độ dài các cạnh là a, b, c; độ dài các đường cao tương ứng là h a , h b , h c Biết rằng a + h a =

b + h b = c + h c Chứng minh rằng ∆ABC là tam giác đều

B A

  = 0 ⇒ ∆ABC cân ở C hoặc vuông ở C (1)

Tương tự ta có: ∆ABC cân ở A hoặc vuông ở A (2); ∆ABC cân ở B hoặc vuông ở B (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra ∆ABC cân hoặc vuông ở ba đỉnh (Không xẩy ra vuông tại ba đỉnh) ⇔ ∆ABC là tam giác đều

OA'C OA'B OA'C OA'B 1

AA'C AA'B AA'C AA'B

1AA'+BB'+CC' = S + S + S = =S

A

Cho tam giác đều ABC, các đường caoAD, BE, CF; gọi A’, B’, C’ là hình chiếu của M

(nằm bên trong tam giác ABC) trên AD, BE, CF Chứng minh rằng: Khi M thay đổi vị trí trong tam giác ABC thì:

a) A’D + B’E + C’F không đổi

b) AA’ + BB’ + CC’ không đổi

Giải

Gọi h = AH là chiều cao của tam giác ABC thì h không đổi

Gọi khoảng cách từ M đến các cạnh AB; BC; CA là MP; MQ; MR thì A’D + B’E + C’F = MQ + MR +

MP

Vì M nằm trong tam giác ABC nên S BMC + S CMA + S BMA = S ABC

⇔ BC.(MQ + MR + MP) = BC.AH ⇒ MQ + MR + MP = AH

⇒ A’D + B’E + C’F = AH = h

Vậy: A’D + B’E + C’F = AH = h không đổi

b) AA’ + BB’ + CC’ = (AH – A’D)+(BE – B’E) (CF – C’F)

= (AH + BE + CF) – (A’D + B’E + C’F) = 3h – h = 2h không đổi

Bài 5:

Cho tam giác ABC có BC bằng trung bình cộng của AC và AB; Gọi I là giao điểm của các phân giác, G là trọng tâm của tam giác Chứng minh: IG // BC

Giải

Gọi khoảng cách từ a, I, G đến BC lần lượt là AH, IK, GD

Vì I là giap điểm của ba đường phân giác nên khoảng cách từ I đến ba cạnh AB, BC, CA bằng nhau và bằng IK

Vì I nằm trong tam giác ABC nên:

S ABC = S AIB + S BIC + S CIA ⇔BC.AH = IK(AB+BC+CA) (1)

Mà BC = AB + CA

2 ⇒ AB + CA = 2 BC (2)

Bài tập về nhà:

1) Cho C là điểm thuộc tia phân giác của  0

xOy = 60 , M là điểm bất kỳ nằm trên đường vuông góc với

OC tại C và thuộc miền trong của xOy, gọi MA, MB thứ tự là khoảng cách từ M đến Ox, Oy Tính độ dài OC theo MA, MB

2) Cho M là điểm nằm trong tam giác đều ABC A’, B’, C’ là hình chiếu của M trên các cạnh BC, AC,

AB Các đường thẳng vuông góc với BC tại C, vuông góc với CA tại A , vuông góc với AB tại B cắt

nhau ở D, E, F Chứng minh rằng:

a) Tam giác DEF là tam giác đều

b) AB’ + BC’ + CA’ không phụ thuộc vị trí của M trong tam giác ABC

R

Q

P

C' B' A' M

D C B

M K

H

G I

B

CHUYÊN ĐỀ 7: CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐA GIÁC

a Định nghĩa: Tứ giác ABCD là hình gồm 4 đoạn thẳng AB, BC, CD, DA trong đó bất kỳ 2 đoạn

thẳng nào cũng không cùng nằm trên 1 đường thẳng

b Tứ giác lồi: Là tứ giác luôn nằm trong 1 nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa bất kỳ cạnh nào của tứ giác

c Chú ý: Khi nói đến tứ giác mà không chú thích gì them, ta hiểu đó là tứ giác lồi

4 Góc ngoài của tứ giác: Góc kề bù với 1 góc trong của tứ giác

gọi là góc ngoài của tứ giác

- Ta có ˆB1là góc ngoài tại đỉnh B

B Bài t ập

Bài 1: Cho tứ giác ABCD có: BADˆ =BCDˆ =900, phân giác

trong của góc ABC cắt AD tại E phân giác trong của góc ADC

cắt BC tại F Chứng minh BE // DF

β

E D

C

B A

C B

A

1 D

C B

A

+) Từ (1), (2)suy ra β = 1

E và hai góc này ở vị trí đồng vị nên BE/ /DF

Bài 2: Cho tứ giác ABCD có:   0

Bài 5: Cho tứ giác ABCD có: A B C Dˆ: ˆ: ˆ: ˆ =5 : 8 :13 :10

a Tính các góc của tứ giác ABCD

b AB cắt CD tại E, AD cắt BC tại F Phân giác góc AED

và góc AFB cắt nhau tại O, phân giác góc AFB cắt CD và

AB tại M và N Chứng minh rằng O là trung điểm của

1

1

1 2

1

E

D

C B

A

75°

1 O

2 1

1

D

N

F C

D

C B

A

1 1 0

- Nếu một hình thang có hai cạnh bên song song thì hai cạnh bên bằng nhau

- Nếu một hình thang có hai cạnh đáy bằng nhau thì hai cạnh bên song song và bằng nhau

2 1

1 D

C

E B

A

H3 THANG CÂN H2 THANG VUÔNG

H1 HÌNH THANG

C A

2 Hình thang vuông là hình thang có 1 góc vuông

B HÌNH THANG CÂN

1 Định nghĩa

Hình thang cân là hình thang có hai góc kề 1 đáy bằng nhau

ABCD là hình thang cân ( đáy AB, CD ) ˆ ˆ ( à hinh thang )ˆ ˆ

2 Tính chất: Trong hình thang cân

- Hai cạnh bên bằng nhau

- Hai đường chéo bằng nhau

3 Dấu hiệu nhận biết

- Hình thang có 2 góc kề 1 đáy bằng nhau là hình thang cân

- Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân

4 Chú ý: Hình thang có hai cạnh bên bằng nhau chưa chắc đã là hình thang cân ( Hình bình hành )

C BÀI T ẬP ÁP DỤNG

Bài 1: Cho tam giác ABC và đường thẳng d đi qua trọng tâm G của tam giác ABC và cắt các đoạn

AB, AC Chứng minh rằng tổng khoảng cách từ B và C tới d bằng khoảng cách từ A tới d

L ời giải

Ta có tứ giác BEFC là hình thang ( BE // CF )

Gọi N là trung điểm của EF, M là trung điểm của BC

2 (1)2

BE CF MN

BE CF MN

MN d

+

+) Lấy P thuộc tia đối của MG sao cho MP = MG

GP GA

+) Lấy K thuộc d sao cho NG = NK

12

H1 HÌNH THANG

C A

L ời giải

+) Gọi M là trung điểm của BC +) P là trung điểm của AG +) K là hình chiếu của M lên d

Ta có : BE + CF = 2MK

AD + GH = 2PQ; MK + PQ = 2GH 2( MK + PQ ) = 4GH; BE + AD + CF = 3GH (dpcm)

Bài 3: Cho hình thang ABCD ( AB // CD ),

trong đó CD = BC + AD Hai đường phân giác của hai góc A và B cắt nhau tại K Chứng minh rằng

a Tính các góc của hình thang cân ABCD

b Biết BC = 6cm, tính chu vi và diện tích của hình thang cân ABCD

Bài 5: Cho tam giác đều ABC Từ 1 điểm M nằm bên trong tam giác ta vẽ các tia gốc M song song

với BC cắt AB ở D, song song với AC cắt BC tại E, song song với AB

cắt AC tại F Chứng minh rằng chu vi tam giác DEF bằng tổng các khoảng cách từ M đến ba đỉnh của tam giác

L ời giải

Chu vi tam giác ABC là : DE + DF + EF

M G P

1

1 2

M

D

F A

Khoảng cách từ M đến 3 đỉnh là : MA + MB + MC

Ta cần chứng minh : DE + DF + EF = MA + MB + MC

+) Ta có hình thang BDME là hình thang cân (MD BE B // , ˆ = = = E ˆ C ˆ 60 )0 ⇒DE=MB

Chứng minh tương tự ta có : DF= MA, EF = MC

b ∆ADE, ∆ACB cân tại A có chung góc A

180ˆ

ˆ ˆ2

Vậy CE và BD là giao điểm của góc C và B

Vậy I là giao điểm của 3 đường phân giác của tam giác ABC

Bài 7: Cho hình thang ABCD ( AB // CD) tia phân giác góc C đi qua trung điểm M của AD CMR:

H

I

B C

A

2

2 1

2 1

E

M

B A

Bài 8: Cho hình thang ABCD ( AB // CD), có C=600, DB là phân giác của góc D, Biết chu vi của

hình thang là 20cm, Tính mỗi cạnh của hình thang

ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC, HÌNH THANG

A ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC

1 Định nghĩa: Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác

2 Các định lý

a Định lý 1: Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai

thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba

2

B ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA HÌNH THANG

H5 ĐƯỜNG TRUNG BÌNH HÌNH THANG H4.ĐƯỜNG TRUNG BÌNH TAM GIÁC

N M

N M

N M

2 1

E

1 Định nghĩa: Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của hình thang

2 Các định lý

a Định lý 1: Đường thẳng đi qua trung điểm 1 cạnh bên của hình thang và song song với hai đáy thì

đi qua trung điểm của cạnh bên thứ hai

c Để E, F, K thẳng hàng, khi đó EF đồng thời song song với

AB, CD Tức là tứ giác ABCD là hình thang ( AB // CD )

1

D2

D

C

B A

bình của tam giác = 10cm

Bài 3: Cho tam giác ABC có AB = c, BC = a, AC = b Qua A

kẻ đường thẳng song song với BC cắt tia phân giác góc B và C tại D và E Từ A kẻ AP vuông góc

với BD; AQ vuông góc với CE PQ lần lượt cắt EB, CD tại M, N Tính MN, PQ theo a, b, c

L ời giải

+) Eˆ1=Cˆ1 =C sltˆ2( )⇒ ∆EAC cân tại A ⇒AE=AC AQ; ⊥EC⇒AQ là đường cao, phân giác,

trung trực, đường trung tuyến ⇒QE=QC

+) Tương tự ∆ABD cân tại A và BP=PD

+) ∆ABH có BP là phân giác và đường cao ⇒ ∆ABH cân tại B ⇒P là trung điểm của AH

Tương tự: Q là trung điểm của AF 1

2

⇒ = +) MQ//BC⇒M là trung điểm của BE ; +) N là trung điểm của BE

Bài 4: Cho hình thang ABCD ( AB // CD), Gọi E là giao điểm

của AD và BC, Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AE,

BE, AC, BD CMR: MNPQ là hình thang

L ời giải

Dễ dạng chứng minh được MN // AB

1

2 1

P Q

N H

B A

R

P Q

N M

B E

A

- Gọi R là trung điểm của AD khi đó ta có: RQ // AB

RP // DC // AB

Nên RP // AB => R, Q, P thẳng hàng => PQ // AB

Vậy MNPQ là hình thang

Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A, Vẽ AH vuông góc với BC tại H, Gọi M, N lần lượt là trung

điểm của các đoạn thẳng AH CH, CMR :

MN vuông góc với AB và BM vuông góc với AN

Bài 6: Cho đoạn thẳng AB và trung điểm O của nó, trên cùng 1 nửa mặt phẳng có bờ AB, vẽ hai tia

Ax và By vuông góc với AB, Một góc vuông đỉnh O cắt Ax tại C, cắt By tại D

a) AC + BD = CD b) CO là tia phân giác của ACD

L ời giải

a) Gọi I là trung điểm của CD

AC // BD => OI là trung bình của hình thang ABCD

⇒ = Vậy OC là tia phân giác góc ACD

Bài 7: Cho tứ giác ABCD có AD = BC, đường thẳng đi qua trung điểm M và N của các cạnh AB và

CD cắt AD và BC lần lượt ở E và F, CMR : AEM =MFB

Lời giải

Gọi I là trung điểm của BD

Ta có: MI, NI lần lượt là đường trung bình