Kỹ thuật ghép kênh theo bước sóng

Bộ ghép kênh theo bước sóng là một linh kiện thụ động, làm việc trong miền quang, và là một linh kiện không thể thiếu được trong hệ thống thông tin quang tốc độ cao.. Chương 1 giới thiệu

Đại Học Quốc Gia Tp Hồ Chí Minh

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

-

ĐỖ VĂN VIỆT EM

KỸ THUẬT GHÉP KÊNH

THEO BƯỚC SÓNG

Chuyên ngành: Kỹ Thuật Vô Tuyến – Điện Tử

Mã số ngành: 2.07.01

LUẬN VĂN THẠC SĨ

TP HỒ CHÍ MINH, tháng 6 năm 2003

Đại Học Quốc Gia Tp.Hồ Chí Minh CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Độc Lập – Tự Do – Hạnh Phúc

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ

Họ và tên học viên: ĐỖ VĂN VIỆT EM Phái : Nam

Ngày, tháng, năm sinh : 01 - 01 - 1974 Nơi sinh : Long An

Chuyên ngành: Kỹ Thuật Vô tuyến-Điện tử Mã số : 2.07.01

I TÊN ĐỀ TÀI : KỸ THUẬT GHÉP KÊNH THEO BƯỚC SÓNG

II NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG :

− Khảo sát nguyên lý ghép kênh theo bước sóng WDM

− Mô phỏng nguồn Laser, hệ thống ghép và tách kênh WDM, bộ tách sóng

− Đánh giá chất lượng qua thông số BER

III NGÀY GIAO NHIỆM VỤ ( Ngày bảo vệ đề cương) : 30-11-2002

IV NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ ( Ngày bảo vệ luận án tốt nghiệp): 10-06-2003

V HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ HƯỚNG DẪN : PGS TS VŨ ĐÌNH THÀNH

CÁN BỘ HƯỚNG DẪN CHỦ NHIỆM NGÀNH BỘ MÔN QUẢN LÝ NGÀNH

(Ký tên và ghi rõ họ, tên, học hàm và học vị)

Nội dung và đề cương luận văn thạc sĩ đã được Hội Đồng Chuyên Ngành thông qua

Ngày tháng năm PHÒNG ĐÀO TẠO SĐH KHOA QUẢN LÝ NGÀNH

LỜI CẢM ƠN

" Xin chân thành cảm ơn Thầy VŨ ĐÌNH THÀNH đã tận tình

giúp đỡ và hướng dẫn em rất nhiều để hoàn thành luận văn này

" Xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo đã tận tình dạy dỗ tôi trong những năm học vừa qua, đặc biệt các thầy cô trong bộ môn Điện tử – Viễn thông thuộc trường Đại học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh

" Xin chân thành cảm ơn các bạn bè và đồng nghiệp đã giúp đỡ tôi trong những lúc khó khăn cũng như tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong thời gian vừa qua

" Cuối cùng, tôi xin gởi lời biết ơn sâu sắc nhất đến cha, mẹ và các người thân trong gia đình

LỜI GIỚI THIỆU

Mạng viễn thông dựa trên công nghệ sợi quang trở thành hệ thống truyền thông chính, với các tuyến sợi quang có dung lượng lớn được lắp đặt trên toàn cầu, trên đất liền và cả dưới biển Trong các hệ thống thông tin quang thế hệ trước, ứng dụng chủ yếu cơ bản dựa trên sợi quang, nguồn quang, và tách sóng quang Hiện nay, có nhiều linh kiện quang thụ động và tích cực trên tuyến quang thực hiện chức năng kết hợp các chức năng mạng trong miền quang, như khôi phục tín hiệu, định tuyến, và chuyển mạch Bộ ghép kênh theo bước sóng là một linh kiện thụ động, làm việc trong miền quang, và là một linh kiện không thể thiếu được trong hệ thống thông tin quang tốc độ cao Và kỹ thuật ghép kênh theo bước sóng WDM đang được triển khai và đưa vào khai thác trong các mạng thế hệ sau Mạng viễn thông Việt Nam cũng đang phát triển theo hướng với mạng lõi sử dụng ghép kênh theo bước

sóng Nắm bắt được vấn đề này, tôi thực hiện nghiên cứu đề tài “Kỹ Thuật Ghép Kênh Theo Bước Sóng” Luận văn trình bày gồm năm chương Chương 1 giới thiệu tổng quan về

thông tin quang và ghép kênh theo bước sóng: chương này trình bày ánh sáng được sử dụng để truyền tin và các bước sóng ánh sáng sử dụng thông dụng, các loại sợi quang sử dụng hiện nay, và chuẩn ghép kênh theo bước sóng của ITU-T Chương 2 trình bày việc sử dụng lý thuyết sóng để tìm hiểu các mode sóng lan truyền trong sợi quang Sử dụng hệ phương trình Maxwell để giải quyết bài toán truyền tín hiệu trong ống dẫn sóng quang, ống dẫn sóng hình trụ tròn Chương 3 đi sâu phân tích sóng lan truyền trong sợi đơn mode, đây là loại sợi sử dụng chủ yếu trong các hệ thống viễn thông hiện nay cũng như được sử dụng trong công nghệ chế tạo các linh kiện quang trong hệ thống toàn quang, như bộ ghép kênh theo bước sóng, bộ tách kênh theo bước sóng, bộ lọc quang, bộ chuyển mạch quang Do đó việc đi sâu khảo sát sợi đơn mode là cần thiết Từ các vấn đề cơ bản này, ta khảo sát quá trình ghép mode, ghép kênh theo bước sóng và tách kênh theo bước sóng Các vấn đề này được trình bày chi tiết trong chương 4 Và chương cuối, chương 5 trình bày một số kết quả mô phỏng Chương trình mô phỏng được viết bằng MatLab, mô phỏng bộ phát quang bằng laser và bộ ghép/tách kênh theo bước sóng

Hệ thống ghép kênh theo bước sóng, thường được gọi là hệ thống WDM, là một hệ thống quang tốc độ cao Hệ thống này thực hiện ghép các luồng tín hiệu quang riêng lẽ thành một luồng quang duy nhất, sau đó truyền tín hiệu này trên sợi quang đơn mode Kỹ thuật này dựa trên nguyên lý chia nhỏ băng thông ánh sáng, sử dụng mỗi băng thông nhỏ để truyền tín hiệu trên đó Về quan điểm truyền dẫn, đây có thể xem đây là kỹ thuật truyền song song các tín hiệu quang có các bước sóng khác nhau trên cùng một đường truyền quang Chính việc ghép kênh theo bước sóng này làm tăng dung lượng truyền dẫn của sợi quang mà không tăng tốc độ truyền bit trên đó Đây là ưu điểm chính của kỹ thuật ghép kênh theo bước sóng Đồng thời, ta hoàn toàn có thể truyền các bước sóng khác nhau có tộc độ nền khác nhau (tốc độ nền là tốc độ chuỗi dữ liệu số là bước sóng đó tải đi) Ưu điểm này không thể có được trong các hệ thống ghép kênh theo thời gian như PDH hay SDH

Ghép kênh theo bước sóng là vấn đề tương đối mới nên trong luận văn không thể không có những thiếu sót, mong quý thầy cô và các bạn đóng góp

Tác giả

MỤC LỤC

Lời cảm ơn

Lời giới thiệu

Mục lục

Chương 1: Tổng quan về thông tin quang

1.1 Giới thiệu 1

1.2 Sợi quang 2

1.3 Ghép kênh theo bước sóng 4

Chương 2: Mode sóng trong sợi quang SI 2.1 Lời giải tổng quát phương trình sóng .10

2.2 Các sóng không suy hao 16

2.3 Các mode sóng .22

2.4 Sóng điện ngang 22

2.5 Sóng từ ngang 28

2.6 Sóng hybrid 30

2.7 Sóng cực hướng tuyến tính 36

Chương 3: Sợi đơn mode 3.1 Trường điện từ trong sợi đơn mode SI 42

3.2 Dòng năng lượng trong sợi đơn mode SI .47

3.3 Đường kính trường mode 49

Chương 4: Ghép kênh theo bước sóng 4.1 Các loại coupler quang 51

4.2 Ghép mode trong coupler WDM 58

4.3 Các loại bộ ghép kênh theo bước sóng 63

4.4 Phân tích bộ ghép bốn bước sóng 64

4.5 Các loại bộ tách kênh theo bước sóng 67

4.6 Bộ lọc quang 69

Chương 5: Kết quả mô phỏng 5.1 Mô hình toán học 75

5.2 Sơ đồ chương trình mô phỏng 83

5.3 Kết quả và nhận xét 84

5.4 Kết luận 100

Phụ lục 101

Tài liệu tham khảo 103

Ánh sáng được sử dụng để truyền thông tin đã được con người biết đến và sử dụng từ

rất lâu Tuy nhiên, hệ thống tin quang lúc bấy giờ còn rất thô sơ và được sử dụng để truyền

những thông tin đơn giản: báo hiệu có kẻ định trong chiến tranh, chỉ dẫn đường thủy như hải

đăng, … Và môi trường ttruyền dẫn chính là không khí Mãi đến thế kỷ 20, hệ thống thông

tin quang mới được xây dựng hoàn thiện Môi trường truyền dẫn được sử dụng là sợi thủy

tinh

Aùnh sáng mang tính chất sóng và hạt, và các đại lượng sau đặc trưng cho các tính

chất trên của ánh sáng:

- Tần số: được ký hiệu là f, đơn vị Hertz [Hz]

- Bước sóng: được ký hiệu là λ, đơn vị mét [m]

- Năng lượng photon: được lý hiệu là E, đơn vị là Joule [J] hoặc electronVolt

h là hằng số Planck, h = 6,625.10-34Js

Aùnh sáng được sử dụng trong các hệ thống thông tin hiện nay nằm trong trong vùng

hồng ngoại, có bước sóng từ 800nm đến 1600nm Phổ suy hao ánh sáng trong sợi Silica

(SiO2) được minh họa ở hình 1.1 [1]

8 10

6 4 2 0

800 600

α [dB/Km]

λ [nm]

1600 1400

1200 1000

Hình 1.1 Đặc tuyến suy hao ánh sáng trong sợi Silica (SiO2)

Trên đặc tuyến có ba vùng cực tiểu, bước sóng ánh sáng trong ba vùng cực tiểu này được chọn để truyền tín hiệu Ba vùng này được gọi là ba cửa sổ quang Bước sóng trung tâm của ba cửa sổ này lần luợt là λ1 = 850nm (cửa sổ 1), λ2 = 1300nm (cửa sổ 2), λ3 = 1550nm (cửa sổ 3)

n 2 : chiết súât lớp bọc

Hình 1.2 Sợi quang SI: (a) Cấu trúc cơ bản sợi quang; (b) Dạng phân bố chiết suất của sợi quang SI;

(c) Mặt cắt ngang sợi quang; (d) Mặt cắt theo chiều dài sợi quang

Lõi có chiết suất n1, lõi có chiết suất n2 nhỏ hơn chiết suất lõi Để phân tích ánh sáng

lan truyền trong sợi quang người ta sử dụng hai lý thuyết để giải quyết vấn vấn đề, đó là

quang hình và quang sóng Với thuyết quang hình, ta xem ánh sáng lan truyền dưới dạng tia

sáng với các đặc tính truyền thẳng, phản xạ, khúc xạ Với thuyết quang sóng, ta xem ánh

sáng là một sóng điện từ có tần số rất cao, hàng THz Và sử dụng hệ phương trình Maxwell

để giải quyết vấn đề

Sợi quang bao gồm các loại sau: nếu phân loại theo dạng phân bố chiết suất trong lõi

sợi quang thì có loại SI (Step-Index) và GI (Graded-Index); nếu phân loại theo đặc tính lan

truyền ánh sáng thì có loại đa mode (Multi-mode) và đơn mode (Single mode)

Tổng quát, chiết suất lõi sợi quang là môt đại lượng thay đổi, với biểu thức toán học

biểu diển như sau: [1]

−

≤

≤

a r

g a

r n

b r a n

r n

211

2

)

trong đó: n 1 là giá trị chiết suất lớn nhất ở lõi sợi quang, tức giá trị tại r = 0; n 2 là chiết

suất lớp bọc; a là bán kính lõi sợi quang; b là bán kính lớp bọc sợi quang; r là bán kính sợi

quang có tâm nằm trên trục sợi quang; Δ là độ chênh lệch chiết suất tương đối, được xác

định như sau:

2 1

2 2 2 1

g là hệ số mũ, có giá trị từ 1 đến ∝ Giá trị của g sẽ quyết định nên dạng phân bố chiết của

sợi quang Hình 1.3 minh họa một số dạng phân bố chiết suất của sợi quang ứng với g = 1

(phân bố chiết suất dạng tam giác), g = 2 (phân bố chiết suất dạng paraboll), g = ∝ (phân bố

chiết suất dạng bậc thang)

Hình 1.3 Dạng phân bố chiết trong lõi sợi quang: (a) Sợi có phân bố chiết suất dạng tam giác; (b)

Sợi có phân bố chiết suất dạng paraboll, hay sợi GI (Graded-Index); (c) Sợi có phân bố chiết suất

dạng bậc thang, hay sợi SI (Step-Index)

Sợi có phân bố chiết suất dạng bậc thang (thường gọi là sợi SI) và dạng paraboll (thường gọi là sợi GI) là thông dụng nhất Sau này có một số sợi có phân bố chiết suất đặc biệt được sử dụng cho các tuyến truyền dẫn đường dài, tốc độ cao

Khi phóng ánh sáng vào sợi quang, ánh sáng đi theo nhiều đường trong sợi quang, trạng thái ổn định của các đường này gọi là mode sóng Các mode sóng lan truyền trong sợi quang có phân cực tuyến tính được ký hiệu là LPnm (n=0, 1, 2, ,,,; m = 1, 2, 3, …) [3] Các mode sóng này sẽ được trình bày chi tiết ở chương 2

Như vậy, ta có các loại quang sau: sợi đa mode SI, sợi đa mode GI, và sợi đơn mode

SI (thường gọi là sợi đơn mode)

1.3 Ghép kênh theo bước sóng

Thế hệ đầu tiên của sự phát triển mạng quang là sự thay thế môi trường truyền dẫn cáp đồng bằng cáp quang Lúc bấy giờ dung lượng truyền dẫn thông tin rất lớn (theo lý thuyết 50 Tbit/s), thỏa mãn hầu hết các băng thông theo yêu cầu Tuy nhiên, ngày nay rõ ràng giả thiết đó là sai Hiển nhiên băng thông sợi quang lớn hơn băng thông cáp đồng hàng trăm lần, nhưng nhu cầu băng thông là rất lớn, đến nỗi các hệ thống thông tin quang ngày nay không thể thỏa mãn những nhu cầu này

Sợi quang đa mode có dải thông giới hạn do tán sắc mode, nhưng ngay cả hệ thống sợi quang đơn mode cũng không thể truyền tải nổi lưu lượng được tạo ra do nhu cầu của xã hội hiện đại Có nhiều nguyên nhân gây cản trở cho việc tăng tốc độ bit truyền tín hiệu Thứ nhất, khoảng cách truyền sợi quang đơn mode bị giới hạn do tán sắc và ảnh hưởng phi tuyến của sợi quang Nhưng cản trở chính có thể thấy rõ nhất là, theo lý thuyết dải thông của sợi quang đơn mode là khoảng 50THz, trong khi đó các bộ phát và thu điện tử hiện đại có thể hoạt động không quá 10GHz [4] Do đó, tốc độ bit của hệ thống điểm-điểm (point-to-point systems) bị giới hạn bởi thiết bị điện tử của hệ thống Nói cách khác, hệ thống truyền dẫn này chỉ mới sử dụng một phần nhỏ dung lượng truyền của sợi đơn mode

Giải pháp cho vấn đề này đã tồn tại trong viễn thông trước công nghệ truyền dẫn quang phát triển, đó là ghép kênh Các công ty điện thoại đã sử dụng ghép kênh theo thời gian từ trước những năm 1960’s để tăng dung lượng các đường truyền dẫn bằng cáp đồng đã lắp đặt

Hai kỹ thuật ghép kênh đang sử dụng trong hệ thống thông tin quang hiện nay là ghép kênh theo thời gian TDM (Time-Division Multiplexing) và ghép kênh theo bước sóng WDM (Wavelength-Division Multiplexing)

Khái niệm ghép kênh theo thời gian TDM được minh họa đơn giản như hình 1.4

Hình 1.4 Sơ đồ đơn giản minh họa ghép kênh TDM

Tín hiệu từ TX1, TX2 và các bộ phát khác đưa đến bộ ghép kênh MUX (Multiplexer) Bộ ghép lấy mẫu mỗi tín hiệu, gán một khe thời gian cho mẫu này và truyền chúng trên cùng một đường truyền Các mẫu này được truyền theo trình tự về thời gian Ở bộ thu, bộ phân kênh DEMUX (Demultiplexer) phân những mẫu này và định hướng tín hiệu từ TX1 đến RX1 hoặc RXk nào đó Như vậy bộ thu có được tín hiệu từ bộ phát dưới dạng chuỗi khe thời gian các mẫu

Dải thông của sợi quang sử dụng cho TDM là bao nhiêu? Hãy khảo sát bài toán sau: nếu chúng ta có 4 bộ phát, mỗi bộ phát TX phát ở tốc độ 2,5-Gbits/s thì sợi quang phải mang một tín hiệu với tốc độ 10-Gbit/s Từ đó cho thấy TDM đơn giản làm tăng tốc độ bit truyền tín hiệu Giả sử dải thông BW (Bandwidth) bằng với tốc độ bit BR (Bit rate), chúng ta có thể thấy sự nhảy vọt về tốc độ Một câu hỏi kế tiếp là chúng ta có thể tăng số lượng kênh ghép hay không? Câu trả lời là có, nhưng bộ ghép và bộ phân kênh sẽ phải hoạt động ở tốc độ bit cao hơn Cả bộ MUX và DEMUX (TDM) là những mạch điện tử có giới hạn tốc độ hoạt động (khoảng 10-Gbits/s) [4]

Ghép kênh theo bước sóng được dựa trên nguyên lý vật lý cơ bản sau: nhiều luồng sáng ở các bước sóng khác nhau có thể lan truyền cùng lúc trên cùng sợi quang mà không bị giao thoa (interference) Nguyên lý hoạt động của hệ thống ghép kênh theo bước sóng được mô tả đơn giản như ở hình 1.5

Hình 1.5 Sơ đồ minh họa ghép kênh theo bước sóng

TX1

TX2

TXn

RX1 RX2

RXn

n 2 1 n 2 1

TDM DEMUX

TDM MUX

TX1

TX2

TXn

RX1 RX2

RXn

WDM DEMUX

WDM MUX

TX1 tạo ra luồng dữ liệu ở bước sóng λ1, TX2 sử dụng λ2, … Toàn bộ các tín hiệu này được tổ hợp lại bằng bộ ghép kênh và được truyền đồng thời trên cùng sợi quang Bộ phân kênh ở đầu thu chia các tín hiệu này có các bước sóng khác nhau và dẫn chúng đến bộ thu tương ứng Về quang điểm truyền dẫn, ghép kênh theo bước sóng chia toàn bộ băng thông sợi quang thành nhiều đoạn và mỗi tín hiệu (bước sóng) sẽ sử dụng đoạn băng thông riêng của nó

Có sự tương đồng tồn tại giữa các phương pháp để tăng dung lượng của sợi quang và mạng xa lộ Ghép kênh theo thời gian TDM giống như tăng tốc độ của xe đi trong xa lộ, còn ghép kênh theo bước sóng giống như thêm những làn xe trên một con đường Những điểm tương đồng này là nguyên lý mà mỗi kỹ thuật áp dụng để tăng tốc độ truyền dẫn: TDM sử dụng truyền nối tiếp, trong khi đó WDM sử dụng truyền song song

Ghép kênh theo thời gian TDM và ghép kênh theo bước sóng WDM là hai kỹ thuật cạnh tranh nhau? Không, chúng hổ trợ nhau và cùng nhau phát triển Ghép kênh theo bước sóng là hướng chính của sự phát triển mạng quang hiện tại Tốc độ bit của TDM bị giới hạn bởi các linh kiện điện tử, khoảng 10-Gbis/s Do đó chúng ta không thể tăng tốc độ bit theo hướng này Ghép kênh theo bước sóng là giải pháp tốt để tăng dung lượng truyền dẫn với mỗi bước sóng tải 10-Gbits/s Nếu chúng ta truyền dẫn nhiều bước sóng, ví dụ 16 bước sóng (hay 16 kênh), thì tốc độ bit tổng là 160-Gbits/s Tuyến truyền dẫn quang sử dụng kỹ thuật ghép kênh theo bước sóng với 128 bước sóng có thể truyền 1,28-Tbits/s đã đưa vào thương mại

Ghép kênh theo bước sóng được chia làm hai loại lớn: ghép kênh theo bước sóng băng rộng (broadband WDM) và ghép kênh theo bước sóng băng hẹp (narrowband WDM) Ghép kênh theo bước sóng băng rộng sử dụng các bước sóng 1300-nm và 1550-nm cho truyền dẫn song công Do đó, nếu một tín hiệu gởi theo một hướng với bước sóng 1300-nm thì nó sẽ gởi lại bước sóng 1550-nm trên cùng một sợi quang Ghép kênh theo bước sóng băng hẹp ghép 4, 8, 16, 32, hoặc nhiều bước sóng hơn sử dụng khoảng bước sóng từ 1530-nm đến 1610-nm Hiện nay, các mạng truyền dẫn tốc độ cao chủ yếu sử dụng ghép kênh bước sóng băng hẹp

Hình 1.6 minh họa phổ suy hao của sợi quang ở cửa quang thứ hai và thứ ba, vùng tần số ánh sáng được sử dụng trong hệ thống WDM [2]

Hình 1.6 Vùng phổ ánh sáng sử dụng trong hệ thống WDM

Với ghép kênh theo bước sóng băng hẹp, người ta sử dụng ánh sáng có bước sóng trong vùng cửa sổ thứ ba (bước sóng 1550nm) có độ rộng bước sóng từ 1530nm đến 1560nm Độ rộng này được xác định từ thông số vật lý, độ rộng băng tần, của bộ khuếch đại quang sợi EDFA Trong vùng này, ta có thể chọn bất kỳ bước sóng nào để làm sóng mang quang trong hệ thống WDM Khoảng cách giữa các kênh trong hệ thống WDM tùy thuộc vào số lượng kênh bước sóng sử dụng Khoảng cách giữa các kênh có thể là lớn hơn 200GHz, bằng 200GHz, 100GHz, hay 50GHz Số lượng kênh càng nhiều thì khoảng cách kênh càng hẹp Và hiện nay người ta đang thử nghiệm các thiết bị ghép với khoảng cách kênh hẹp hơn là 25GHz Hiển nhiên, khoảng cách kênh càng hẹp thì càng bị nhiễu xuyên kênh Bảng dưới đây trình bày các bước sóng và tần số trung tâm của các kênh quang theo chuẩn của ITU-T, gọi là lưới ITU-T (ITU-T grid) [4] Lưới này trình bày với khoảng cách kênh là 100GHz (tương đương với 0.8nm) có tần số tham khảo là 193,1THz (hay ở bước sóng 1552,52nm trong chân không)

Bảng 1.1 Tần số và bước sóng trung tâm

1528,77 1529,55 1530,33 1531,12 1531,90 1532,68 1533,47 1534,25 1535,04 1535,82 1536,61 1537,40 1538,19 1538,98 1539,77 1540,56 1541,35 1542,14 1542,94 1543,73 1544,53 1545,32 1546,12 1546,92 1547,72 1548,51 1549,32 1550,12 1550,92 1551,70 1552,52 1553,33 1554,13 1554,94 1555,75 1556,55 1557,36 1558,17 1558,98 1559,79 1560,61

Ta có mối quan hệ giữa tần số và bước sóng ánh sáng trong chân không là:

C Δ

−

=

với C là vận tốc ánh sáng trong chân không, và bằng C = 299792458 m/s (theo

khuyến nghị G.692 của ITU-T) Dấu “-“ ở công thức (1.5) và (1.6) cho biết f và λ là hai đại

lượng quan hệ tỉ lệ nghịch, tức khi f tăng thì λ giảm và ngược lại

Từ công thức (1.5) và (1.6) ta có thể suy ra khoảng cách kênh theo bước sóng nếu

biết khoảng cách kênh theo tần số và ngược lại, với tần số và bước sóng tham khảo là

193,1THz và 1552,52nm Ví dụ: nếu khoảng cách kênh theo tần số lần lượt là 200GHz,

100GHz, 50GHz thì khoảng cách kênh theo bước sóng lần lượt là 1,6nm, 0,8nm, 0,4nm [4]

CHƯƠNG 2

MODE SÓNG TRONG SỢI QUANG SI

Nội dung chính:

Lời giải tổng quát của phương trình sóng

2.1 Sóng không suy hao

2.2 Sóng ngang, sóng hydrid và các mode

2.3 Sóng ngang và các mode

2.4 Các mode hybrid

2.5 Leaky mode

2.6 Các mode được phân cực tuyến tính

2.1 Lời Giải Tổng Quát của Phương Trình Sóng

Mặt cắt ngang và dạng phân bố chiết suất của ống dẫn quang SI được minh hoạ ở hình 2.1

Hình 2.1 Mặt cắt ngang và dạng phân bố chiết suất của sợi SI

Mặc dù lớp vỏ bọc của sợi thực tế có đường kính giới hạn, nhưng chúng ta sẽ phân tích lớp bọc (cladding) có bề dày vô hạn để đơn giản việc phân tích một cách đáng kể, và nó phù hợp với việc làm gần đúng vì trường trong lớp bọc tổng quát giảm mạnh theo khoảng cách tính từ trục lõi sợi

Vật liệu làm lõi và lớp bọc được giả sử là đồng nhất, tuyến tính và đẳng hướng (homogeneous, linear, and isotropic)

Gọi hằng số điện môi, độ dẫn điện và độ từ thẩm của lõi và lớp bọc lần lượt là ε1, σ1,μ1

và ε2, σ2, μ2

Vì vật liệu sợi không có tính từ tính nên μ1 = μ2 = μ0

Ta có hệ phương trình Maxwell [5]:

t

B E

J t

D H

Với hai phương trình (2.1) và (2.2) là hai phương trình độc lập

Với hai phương trình (2.3) và (2.4) là hai phương trình phụ thuộc

Và các biểu thức quan hệ:

E J H

B E

D = ε , = μ , = σ (2.5) Với:

Š E: vector cường độ điện trường điện (V/m)

Š D: vector cảm ứng điện (C/m 2 )

Š H: vector cường độ trường từ (A/m)

Š B: vector cảm ứng từ (Wb /m 2 )

Š ε = ε 0 εr : hằng số điện môi hay còn gọi là độ thẩm điện của môi trường (F/m)

Š

9 0

10.9.4

1

π

ε = (F/m): hằng số điện trong chân không (trong hệ đơn vị đo SI)

Š εr: độ thẩm điện tỷ đối (hằng số điện môi tương đối) của môi trường với chân không,

không có đơn vị

Š μ = μ0μr : độ từ thẩm của môi trường, (H/m)

μ 0 = 4π.10 -7 (H/m) (trong hệ đơn vị đo SI): hằng số từ hay độ từ thẩm của chân không

μr: độ từ thẩm tỷ đối (độ từ thẩm tương đối) của môi trường đối với chân không, không có đơn vị

Š ρ: mật độ điện tích khối (C/m 3 )

Š σ : độ dẫn điện của môi trường (s/m)

Nhắc lại:

Š

Az Ay Ax

z y x

i i i A curl A rot

z y x

i x

∂

∂+

∂

∂+

Az Ay Ax

i i i B A

z y x

=

×

Š div A=∇r.A

Từ đó suy ra: rot A=curl A=∇×A

Từ những vấn đề nhắc lại trên, hệ phương trình Maxwell có thể được viết lại như sau [6]:

t

H t

E J

ρ

=

Lưu ý: Hệ phương trình trên viết trong hệ Descartes

Giải hệ phương trình (2.6) và (2.7) [6]

Nhân hai vế của phương trình (2.6) với ∇, ta được:

t o

( )

t

E t

E E

E

∂

∂+

x E i E i E i

f x

f f

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

=

f: hàm vô hướng

Giới hạn ở đây ta chỉ xét sóng dao động hình sin Nên biểu thức tổng quát của trường

điện là:

e y x E t z y x

Với γ = α + jβ: hằng số lan truyền (2.15)

Do đó:

E j t

E = ω

∂

E t

với k 2 = ω2μ0ε - jωμ0σ (2.19)

Vật liệu được giả sử không suy hao, do đó σ = 0 và ε1 , ε2 là những số thực Phương

trình (2.19) trở thành:

k 2 = ω2μ0ε = ω2μ0ε0εr = k 0 2 εr (2.20) Với k 0 2 = ω2με0

Hay

C

k =ω μ ε =ω

0 0

Mặt cắt ngang của sợi quang có dạng hình học tròn đối xứng nên hệ tọa độ thích hợp cho

việc khảo sát là hệ tọa độ trụ tròn (r, ϕ, z) Chọn trục z trùng với trục của sợi quang

Trong hệ tọa độ trụ ta có:

z z r

r r

r

E E r E i

r

E E r E

∇+

∇+

Do đó phương trình trở thành

r z

z r

r r

r

E E r E i

r

E E r

∇+

2 0 2

2 2

2 2

2

z

E E

r r

E r r

E

∂+

∂

∂+

∂

∂+

2 2 2 2 2 2

2

=+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

z r z

z z

z

E E

r r

E r r

2 2 2

2

=+

++

z d

Z d R d

d r

RZ r d

dR r

Z r

d

R d

ϕ

φφ

φ

Chia hai vế cho RΦZ, ta được:

111

1

0 2 2 2

2 2 2

2

=+

++

z

Z d Z d

d r r d

dR R r r d

R d

δϕ

dR R r r d

R d R z

d

Z d

ϕ

φφ

2 0 2 2 2 2

2 2

2

111

11

Ta nhận thấy vế phải của phương trình (2.27) không phụ thuộc vào z, do đó khi z thay

đổi không làm ảnh hưởng đến vế phải của phương trình (2.27), điều này tương đương với:

d

Z d

Với C 1 , C 2 là những hằng số tùy ý và được xác định từ điều kiện biến

Hằng số γ được gọi là hằng số lan truyền Tổng quát, γ là một số phức, có thể được viết

dưới dạng

α: được gọi là hằng số suy hao (attenuation constant)

β: được gọi là hằng số pha (phase constant)

Nhận xét:

Từ biểu thức của Z(z) (xem phương trình (2.30)), ta nhận thấy sóng lan truyền theo

phương z là sự chồng chập của hai thành phần sóng : C1e(-γz) và C2e(γz) Thành phần sóng C1e(-γz)

được gọi là sóng tới, và thành phần C2e(γz) được gọi là sóng phản xạ Thành phần sóng tới lan

truyền theo hướng z > 0, thành phần sóng phản xạ lan truyền theo hướng z < 0 Nếu sóng lan

truyền không có thành phần phản xạ, thì từ phương trình (2.30), ta suy ra C2 = 0

Thế phương trình (2.28) vào phương trình (2.27), và nhân hai vế với r2, ta được:

dR R

r r d

R d R

r

ϕ

φφ

0 2 2 2 2

2 2 2

Suy ra:

−

= r r k r

r d

dR R

r r d

R d R

r d

ϕ

φφ

2 0 2 2 2 2

2 2 2

2

Nhận thấy vế phải của phương trình (2.33) không phụ thuộc vào ϕ, do đó vế trái của

phương trình (2.33) phải là một hằng số, đặt:

22

21

n d

2

=+ φϕ

φ

n d

d

(2.35) Phương trình đặc trưng của phương trình vi phân (2.35) là:

u 2 + n 2 = 0

Suy ra: u = ± jn

Do đó nghiệm tổng quát của phương trình (2.35) là:

Φ(ϕ) = C 3 cos(nϕ) + C 4 sin(nϕ)

C 3 C 4 là những hằng số tuỳ ý

n: là số nguyên

Thay (2.34) vào phương trình (2.33), ta được:

r

k r r

r d

dR R

r r d

R d R

r

0 2 2 2 2

2 2

2 2

0 2 2

++

r

n k

r d

dR r r d

R d

r

n h r d

dR r r d

R

Phương trình (2.40) là phương trình vi phân Besel, và nghiệm của nó là các hàm Bessel

2.2 Các Sóng Không Suy Hao

Đối với sóng không suy hao thì phần thực của hằng số lan truyền bằng không, tức

Re{γ}=0

Hay α = 0 Từ đó suy ra:

γ = jβ (2.41)

Do đó, phương trình (2.39) có thể được viết lại:

Vì chúng ta chỉ quan tâm tới các sóng được định hướng, tức là sóng bên trong ống dẫn

sóng, nên chúng ta cần nghiên cứu các trường dao động bên trong lõi và trường suy biến bên

trong lớp bọc Từ đó chúng ta có thể giả sử h 2 là một số dương bên trong lõi, và âm bên trong

lớp bọc [6]

Hơn nữa, giữa lõi và lớp bọc có sự khác nhau về chất liệu, nên chúng ta gọi hằng số điện

môi tương đối trong lõi và lớp bọc lần lượt là εr1 và εr2 , và có chiết xuất tương ứng là n 1 và n 2

2.2.1 E z Bên trong Lõi

Bên trong lõi, h = h 1 (hằng số là một số thực, vì h 2 > 0)

Từ phương trình (4.47), ta thấy vận tốc pha ω/β của sóng được dẫn (guided wave) lớn

hơn vận tốc pha

1

0n k

ω của sóng phẳng trong vật liệu lõi lớn có chiết suất n

1 [6]

Bên trong lõi, phương trình (2.40) trở thành:

01

2

2 2 1 2

r

n h r d

dR r r d

R d

(2.48)

Nghiệm của phương trình (2.48) là:

Với J n và N n là các hàm Bessel loại 1 và loại 2 bậc n

C 5 C 6 là các hằng số tuỳ ý

Hình 2.2 (a) và (b) vẽ các hàm Jn và Nn [2], [3]

(a)

(b) Hình 2.2 (a) Hàm Bessel loại 1; (b) Hàm Bessel loại 2

Từ hình 2.2 (b), ta nhận thấy N n (0) = -∞, do đó trong lõi trường không tỷ lệ với thành phần Nn Như vậy, C 6 = 0 Phương trình (2.49) trở thành:

Suy ra: E z = RφZ Từ phương trình (2.30), (2.36), (2.50), ta được:

E z = J n (h 1r )(A 1 cos nϕ + B 1 sin nϕ) e (jωt - γz) , r < a (2.51)

Với A 1 = C 1 C 3 C 5

BB1 = C 1 C 4 C 5

a: bán kính lõi

(chỉ số 1 của A và B để chỉ ở trong lõi)

2.2.2 E z trong Lớp Bọc

Trong lớp bọc ta có thể viết:

Điều này có nghĩa là vận tốc pha ω/β của sóng được dẫn nhỏ hơn vận tốc pha của sóng

phẳng trong vật liệu lớp bọc lớn có chiết suất n2 [3]

Trong trường hợp này, tức h = jh 2, phương trình (2.40) trở thành:

0

1

2

2 2 2 2

−

r

n h r d

dR r r d

R

Nghiệm của phương trình (2.57) là:

Với In và Kn là các hàm Bessel sửa đổi (Modified Bessel Function) loại 1 và loại 2 bậc n

C7, C8 là các hằng số tuỳ ý

Hình 2.3 (a) và (b) vẽ các hàm In, Kn [2], [6]

Hình 2.3 (a) Hàm Bessel sửa đổi loại 1; (b) hàm Bessel sửa đổi loại 2

Từ hình 2.3 (a), ta nhận thấy In (∞) = ∞, do đó trong lớp bọc trường không thể tỷ lệ với In

Do đó C 7 = 0, phương trình (2.50) trở thành:

2.2.3 Độ lớn của các thành phần trường khác

Chúng ta có thể tiến hành xác định Hz tương tự như Ez Ta được kết quả:

H z = J n (h 1 r) (F 1 cos nϕ + G 1 sin nϕ) e (jωt - γz) , r < a (2.61)

H z = K n (h 2 r) (F 2 cos nϕ + G 2 sin nϕ) e (jωt - γz) , r > a (2.62)

Với F 1 , F 2 , G 1 , G 2 là những hằng số tùy ý

Nếu có Ez và Hz, chúng ta có thể xác định được các thành phần còn lại: Er Eϕ Hr Hϕ theo

Ez và Hz Thật vậy, từ hai phương trình Maxwell (2.6) và (2.7), ta có thể viết lại như sau, với lưu

ý là:

E j t

E H

j t

H j

E=− ωμo

×

E j

H = ωε

×

Khai triển hai phương trình (2.63) và (2.64) trong hệ tọa độ trụ, sau đó cân bằng từng

thành phần một vế theo vế ta có:

r o z

H j E E

H j E r r

rE

11

ωμϕ

E j H H

E j H r r

rH

ϕδ

Thay Hr và Hϕ từ phương trình (2.64-a) và (2.64-b) vào (2.65-a) và (2.65-b) Thay Er và

Eϕ từ phương trình (2.65-a) và (2.65-b) vào (2.64-a) và (2.64-b) Ta sẽ được kết quả sau:

j r

E h

E r h

0 2

r

j h

H r r

E j h

2.3 Các Sóng Ngang và Hybrid Các Mode Sóng

Sóng trong ống dẫn quang SI có thể được chia làm ba loại [6]:

- Sóng điện ngang (TE: Transverse Electric), đôi khi được gọi là sóng từ (H)

Những sóng này được đặc trưng bởi: Ez = 0 và Hz ≠0

- Sóng từ ngang (TM: Transverse Magnetic), đôi khi được gọi là sóng điện (E)

Những sóng này được đặc trưng bởi: Ez ≠ 0 và Hz = 0

- Sóng hybrid: Sóng hybrid được đặc trưng bởi Ez ≠ 0 và Hz ≠ 0

Š Sóng điện ngang (TE) là sóng có vector E vuông góc với phương truyền

Š Sóng từ ngang (TM) là sóng có vector H vuông góc với phương truyền

2.4 Sóng Ngang và Các Mode

2.4.1 Sóng TE hay sóng H

Đối với sóng ngang TE, Ez = 0 và Hz ≠ 0

Ta viết lại các phương trình (2.61) và (2.62) không đưa biến z và t vào:

Thay (2.70), (2.71) vào (2.72), ta được:

Hϕ=

r h

n

2 1

γ J

n (h 1 r) (F 1 sin nϕ - G 1 cos nϕ) , r < a (2.73)

Hϕ=

-r h

n

2 2

J n (h 1 a ) (F 1 sin nϕ + G 1 cos nϕ) = K n (h 2 a ) (F 2 sin nϕ + G 2 cos nϕ)

Biểu thức này đúng với ∀ϕ nên cũng đúng với ϕ = 0 Suy ra:

Với u = h 1 a, w = h 2 a

Điều kiện với Hϕ:

Từ phương trình (2.73) và (2.74), ta có đẳng thức:

n

2 2

γ K

n (h 2 r) (F 2 sin nϕ - G 2 cos nϕ) , ∀ϕ (2.77)

Vì phương trình (2.77) đúng ∀ϕ, nên ta chọn nϕ = π/2, và đơn giản các thành phần đồng

dạng ở hai vế, ta được:

)()

(

2 2

2 2

1

h

F u J h

- Từ biểu thức (2.76), ta thấy F 1 J n (u) và F 2 K n (w) phải cùng dấu

- Và vì h12 và h22 là những số dương

Nên từ (2.76) và (2.75) ta suy ra hai biểu thức này không thể xảy ra cùng lúc; do đó, điều kiện

biên chỉ thỏa khi n = 0 Khi này Hϕ= 0 (do n = 0), và điều kiện biên (2.78) không còn ý nghĩa

Š Xác định E r Eϕ:

- Vì Ez và Hz không phụ thuộc vào ϕ (xem phương trình (2.79), (2.80) ) nên từ

phương trình (2.66) suy ra:

- Từ phương trình (2.67) suy ra:

r

H h

)(

)('1)(

)('1

0 0 0

0

w K

w K w u J

u J

Phương trình (2.90) được gọi là phương trình đặc tính (characteristic equation) của sóng

ngang TE

Š Tần số chuẩn hóa (normalized frequency):

Tần số chuẩn hóa được định nghĩa như sau [6]:

2 2 2 1 0

2 2 2 1

2

n n

a n

n C

a

λ

πω

(2.91)

Š Quan hệ giữa u, w và V:

Lấy phương trình (2.44) trừ phương trình (2.53) vế theo vế, ta được:

Nhân hai vế của phương trình (2.92) với a 2, được quan hệ:

Nếu cho trước giá trị V, thì phương trình đặc tính có thể giải được với sự giúp đỡ của

phương trình (2.93) Nói chung, có một số hữu hạn các nghiệm nguyên – gọi là giá trị riêng của

hệ thống Các giá trị u và w ứng với một nghiệm cụ thể có thể được thế vào các phương trình

của Hz, Hr, Eϕ (là hàm theo r) để xác định dạng trường điện từ trong lõi hoặc trong lớp bọc

Một sóng điện từ ứng với một nghiệm nguyên được gọi là một mode truyền [6]

Không thể giải phương trình đặc tính bằng phương pháp giải tích, chúng ta sẽ sử dụng

phương pháp đồ thị để minh họa nghiệm của phương trình

2.4.2 Giải phương trình đặc tính bằng phương pháp đồ thị

Các đường cong J0(u) J0’(u) được biểu diễn ở hình 2.4 và hình 2.5 là đồ thị biểu diễn của

phương trình (2.90) theo biến u [6]

Hình 2.4 Các đường cong của các hàm J0 (u) và J 0 ’(u)

Hình 2.5 Đồ thị vế trái của phương trình (2.90)

Hình 2.6 Các đường cong của các hàm K0(w) và K0’(w)

Hình 2.7 Đồ thị vế phải của phương trình (2.90)

Hình 2.8 Các đường cong của cả hai vế của phương trình (2.90) được vẽ chồng lên nhau Tần số

chuẩn hóa được giả sử có giá trị V = 8

Các đường cong K0 (w) và -K0’ (w) được biểu diễn ở hình 2.6 Vế phải của phương trình (2.90) được biểu diễn ở hình 2.7 Hình 2.8 biểu diễn cả hai vế của phương trình đặc tính trên cùng một đồ thị Tần số chuẩn hóa được giả sử có giá trị là V = 8 Trong trường hợp này hai đường cong cắt nhau ở hai điểm, tại đó giá trị của u là nghiệm của phương trình đặc tính Giá trị của w tương ứng có thể được suy ra từ phương trình (2.93)

Mode tương ứng với giao điểm nằm giữa điểm zero thứ m và thứ (m +1) của hàm J 0 (u)

thì được gọi là mode H0m hay mode TE0m (điểm zero là điểm tại đó J 0 (u) = 0) Với u = 2,405, ta có điểm zero thứ nhất của J 0 (u) vì J 0 (2,405) = 0 và là điểm đầu tiên) Nếu u < 2,405 thì không

có giao điểm nào của phương trình đặc trưng, và do đó không có mode H01 (TE01) tồn tại [6]

Š Tần số cắt của mode H om :

Giá trị của V ở điểm zero thứ m của J0(u) được gọi là tần số cắt (cut-off frequency) của mode H0m [6] Như vậy tại tần số cắt u = V và w = 0 Nếu V tăng không giới hạn, thì giá trị u tương ứng với mode H0mtiến tới giá trị của điểm zero thứ m của J0(u) và w tăng không giới hạn

Đối với mỗi mode, một giá trị của tần số chuẩn hóa V thì được kèm theo các giá trị u và

w; do đó, tất cả các thành phần khác không, như H z , Hr, Eϕ được xác định

2.4.3 Sóng TM hay sóng E

Đối với sóng từ ngang TM, thành phần Ez ≠ 0 và Hz = 0

Ta viết lại các phương trình (2.51) và (2.60), không đưa hai biến z và t:

E z = J n (h 1 r).(A 1 cos nϕ + B 1 sin nϕ) , r < a (2.94)

E z = K n (h 2 r).(A 2 cos nϕ + B 2 sin nϕ) , r > a (2.95)

Điều kiện biên:

Từ phương trình (2.94) và (2.95), ta suy ra:

Hay:

J n (h 1 a)(A 1 cos nϕ - B 1 sin nϕ) = K n (h 2 a)(A 2 cos nϕ - B 2 sin nϕ) (2.99)

Phương trình (2.99) đúng với mọi ϕ, suy ra nó cũng đúng với ϕ = 0 Từ (2.99), ta

)(cos

sin)

2 1

1 1 2

1

n B n A a h K a h

n n

B n A a h J

( 2

2

2 2

1

1

w K h

A u

J h

A

n

Vì h 1 2 và h 2 2 dương nên hai biểu thức (2.100) và (2.102) không đồng thời tồn tại; do

đó, điều kiện biên được thỏa khi n=0 Khi này, phương trình (2.94) và (2.95) trở thành:

E r =− 1 '0( 1 ), <

1

a r r h K A h

E r h

E Từ phương trình (2.108) suy ra: H r = 0

Từ phương trình (2.69), suy ra:

r

E h

j

H =− 1 '0( 1 ), <

1 1

ωε

a r r h K A h

j

H = 2 '0( 2 ), >

2 2

Từ phương trình (2.110) và (2.111), ta có:

)(')

(' 2 0 2

2

2 1

0 1 1

1

a h K A h

j a h J A h

)(')

(

)('

0

0 2 0

0 1

w K

w K w u

J

u J u

εε

−

Như vậy phương trình đặc tính của sóng TM giống như của sóng TE nhưng chỉ khác ở

hệ số ε1 và ε2 Do đó dạng đồ thị phương trình đặc tính của sóng TM giống như sóng TE Và

với u<2,405 mode E0m (TM0m) không tồn tại

Như vậy, với u < 2,405, các mode E0m và H0m không tồn tại

2.5 Các Mode Hybrid

2.5.1 Phương trình đặc tính

Đối với sóng Hybrid, Ez và Hz đều khác không

Ta viết lại các phương trình Ez và Hz, không kể hai thừa số z và t:

E z = J n (h 1 r).(A 1 cos nϕ + B 1 sin nϕ) , r < a (2.114)

E z = K n (h 2 r).(A 2 cos nϕ + B 2 sin nϕ) , r > a (2.115)

H z = J n (h 1 r).(F 1 cos nϕ + G 1 sin nϕ) , r < a (2.116)

H z = K n (h 2 r).(F 2 cos nϕ + G 2 sin nϕ) , r > a (2.117)

Thành phần Eϕ có thể được xác định từ phương trình (2.67):

( A n n B n n ) j h J h r (F n G n r a r

h J r

h

E = 12 ⎢⎣⎡− n( 1 ) − 1 sin + 1 cos + 0 1 'n ( 1 ) 1cos + 1sin ⎥⎦⎤, <

1

ϕϕ

ωμϕ

h K r h

E =− 12 ⎢⎣⎡− n( 2 ) − 2 sin + 2 cos + 0 2 'n ( 2 ) 2cos + 2sin ⎥⎦⎤, >

2

ϕϕ

ωμϕ

γωμ

γ

n w

K G h j w K A a

n h u J G h j u J

(

1

2 2 0 2

2 2 1

1 0 1

)(')

(

1)(')

(

1

2 2 0 2

2 2 1

1 0 1

a

n

(2.120)

Vì phương trình (2.120) thỏa với mọi giá trị của ϕ, nên để xảy ra phương trình (2.120)

với mọi ϕ, thì mỗi hệ số của sinnϕ và cosnϕ bằng 0 từng đôi một

Nếu chúng ta giả sử rằng B1, B2, F1 và F2 bằng 0, thì chúng ta có thể tìm được các

nghiệm không tầm thường với các giá trị hữu hạn của A1, A2, G1 và G2 Nếu chúng ta giả sử

A1, A2, G1 và G2 bằng 0, thì chúng ta có thể tìm được các nghiệm không tầm thường với các

giá trị hữu hạn của B1, B2, F1 và F2 hữu hạn Nghiệm sau sẽ trực giao với nghiệm trước [6]

Bắt đầu vời trường hợp thứ nhất, tức B 1 = B 2 = F 1 = F 2 = 0 và A 1 , A 2 , G 1 , G 2 khác 0

Các phương trình (2.114), (2.115), (2.116), (2.117) bây giờ là:

n h

γ

a r n r h K G h j r h K A r

n h

E =− 12 ⎢⎣⎡ 2 n( 2 )+ 0 2 2 'n( 2 )⎥⎦⎤sin , >

2

ϕωμ

h J G r

n j r h J A h h

ϕ

ωμ

a r n r

h K G r

n j r h K A h h

)(

1 2

w K

u J A A

n

n

)(

)(

1 2

w K

u J G G

(

1)

(')

(

1

2 2 0 2

2 2 1

1 0 1

2

1

w K G h j w KJ A a

n h u

J G h j u J A a

2 1

0 1

1 2

1

a

n j w K A h h u J G a

n j u J A h

ωμγ

εωμ

γ

Thế A2 và G2 từ các phương trình (2.129), (2.130) vào (2.131) và (2.132) và lưu ý:

γ=jβ, h1a=u, h2a=w, ta có các biểu thức sau khi sắp xếp lại các số hạng:

(

)('1)(

)('11

1

1 0 1

K

w K w u J

u J u A n w

n n

0)

(

)(')

(

)('

1 0 2 2 2 1 1 2

A w K

w K w u J

u J

n n

Đặt:

)(

)('1)(

u J

u J u u Y

n

n

)(

)('1)(

w K

w K w w X

2 2 2 2 2

w pX u Y w X u Y w

p u w u

)()

()

()(

)/1()/1(

2 2 2 1

2 1

0 1

2 2

0 1 1

w u

w X u

Y n

A w

X u Y

w u

n A

βωμ

+

−

Từ phương trình (2.140) và các phương trình (2.129), (2.130), ta có thể xác định được

tỉ số giữa tất cả các hằng số

Đối với các mode trực giao, tức khi B1, B2, F1, F2 khác 0, thì bằng phương pháp tương

tự chúng ta cũng thu được phương trình đặc tính giống như trên (phương trình (2.138)) và có

cùng quan hệ giữa các hằng số

2.5.2 Giải phương trình đặc tính

Phương trình đặc tính này không thể giải bằng phương pháp giải tích, nên chúng ta sẻ

dùng phương pháp đồ thị [6] Khai triển vế phải phương trình (2.138), và sau khi sắp xếp lại

các thành phần, ta được:

11)

()

()()1()

+

+

w

p u w u n w pX u Y w X p u

)()1(4

1)(2

1)

(

w

p u w u n w X p w

X

p u

Phương trình này có thể giải bằng phương pháp đồ thị bằng cách chồng chập vế trái

và vế phải lên nhau theo hàm của biến u; được minh họa ở hình 2.9 (với n=1) và hình 2.10

(với n=2)

Vế phải của phương trình (2.141) không chỉ phụ thuộc vào biến u mà còn phụ thuộc

vào các thông số p và V Giá trị của w được xác định theo quan hệ ở phương trình (2.93)

Trong ví dụ được vẽ ở hình 2.9 và 2.10, có: p =0,99 và V = 9 [6]

Hình 2.9 Nghiệm đồ thị của phương trình đặc tính khi n=1

Các đường cong trên hình 2.9 và 2.10, các nhãn a và b là vế phải của phương trình

(2.142) tương ứng với dấu ‘+’ và dấu ‘-‘ Giao điểm của đường cong Yn(u) với đường a, các

mode tương ứng này được gọi là mode EHnm Còn giao điểm của đường Yn(u) với đường

cong b, thì các mode tương ứng được gọi là mode HEnm [3]

Từ hình 2.9, ta thấy mode HE11 là mode duy nhất không có tần số cắt Do đó, nếu V

giảm thì giao điểm tương ứng với mode này luôn tồn tại

Có điểm khác biệt tiêu biểu giữa đường cong b với n=1 và đường cong b với n>1

trong vùng lân cận u=V Để phân tích sự khác biệt này, chúng ta sẽ đi thiết lập những hàm

mô tả các đường cong a và b trong vùng lân cận u=V Dựa vào tính chất của hàm Bessel, ta

có thể biểu diễn Kn(w) và K’n(w) theo Kn-1(w) và Kn+1(w):

)(

)(1)(

w

n w K

w K w w X

với C là hằng số Euler, và được định nghĩa như sau:

577215665,

0ln

1

3

12

11

2)!

1(2

1)(

w

Thay (2.147) và (2.149) vào (2.146), ta được:

2 1

12ln

w w

)1(2

12

Thay các biểu thức Xn(w) này vào phương trình (2.141), khai triển và bỏ qua thành

phần bé bậc hai, ta được các phương trình bậc hai với n=1 và n>1 như sau:

ln

2ln

2)(

2ln

1)1()

−

w u

p w

p w w

p u

Y w w

p u

Y

γγ

và

,4,3,2,

0)

1(

)1)(

1()

()1()

(

2 2

2 2 1

+

w u n

p n n pnu u

Y p w

n u

4

2 2

, 1

1 1/2 ) Áp dụng điều này vào các phương trình (2.161) và (2.162), ta có kết quả sau:

Nếu 0<w<<1thì:

2 1

1)(

w

p u

≈

w p

p u

Y

γ

2ln1

2)(

1 (dấu -) (2.167)

2

)1()(

w

p n u

Y n ≈ + (dấu +) (2.168)

2

)1)(

1()(

u

n p n

p u

++

với n = 2, 3, 4, …

Nhận xét:

Các đường cong tương ứng với vế phải của các phương trình (2.166), (2.167) đườn

biểu diễn trên hình 2.9 có tên là a và b; cả hai có đường u=V làm tiệm cận

Đường cong vế phải của phương trình (2.168) là đường cong a trên hình 2.10, cũng

nhận đường u = V làm tiệm cận, khác với đường cong phương trình (2.169), có tên là b trên

hình 2.10 Khi u → V, đường cong này (b) tiến tới một giá trị hữu hạn, giới hạn này là một

hàm của biến u theo phương trình (2.169); nó được vẽ trong hình 2.10 và được đặt tên là (c)

Giao điểm của đường c với đường Y2(u) tương ứng với tần số cắt của các mode HE2m Như