Chuyên đề: Tứ giác điều hòa

Điều này tương đương với phân giác ABC [ và \ ADC cắt nhau trên AC.... HI là đường đối trung của 4 HBC..[r]

Nguyễn Hoàng Phi - Khóa 34 THPT chuyên Hùng Vương - Phú Thọ

Ngày 16 tháng 7 năm 2018

1 Định nghĩa và một số tính chất

1.1 Định nghĩa:

Tứ giác nội tiếp ABCD được gọi là tứ giác điều hòa nếu tồn tại điểm M thuộc đường tròn ngoại

tiếp tứ giác sao cho M (ACBD) = −1, tức là (ACBD) = −1

1.2 Một số tính chất cơ bản của tứ giác điều hòa

Cho tứ giác điều hòa ABCD nội tiếp (O) Khi đó ta có các tính chất sau:

a, Với mọi điểm M nằm trên (O) thì ta luôn có M (ABCD) = −1

b, AB

AD =

CB

CD ⇔ AB.CD = CB.AD

c, Tiếp tuyến tại A và C của (O) và BD đồng quy hoặc đôi một song song

d, Gọi {I} = AC ∩ BD Khi đó ta có: IA

IC =

 BA BC

2

= DA DC

2

e, Tiếp tuyến tại A, C và BD đồng quy tại P Khi đó (P IBD) = −1

f, Phân giác [ABC và \ADC cắt nhau trên AC

g, Gọi M là trung điểm AC thì ta có \ADB = \M DC

2 Một số ví dụ về tứ giác điều hòa

Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O), AB ∩ CD = {P }; AD ∩ BC = {Q}; AC ∩ BD = {M }

Chứng minh O là trực tâm 4M P Q

(Định lý Brocard)

Ví dụ 1

Qua Q kẻ hai tiếp tuyến QE, QF với (O) EF cắt AD và BC lần lượt tại I, K

Khi đó ta có tứ giác AEDF và BECF là tứ giác điều hòa ⇔ (QIAD) = (QKBC) = −1

⇒ DC, AB, IK và AC, BD, IK đồng quy Mà OQ ⊥ EF ⇔ P M ⊥ OQ

Chứng minh tương tự ta có: QM ⊥ OP Suy ra M là trực tâm 4P OQ

Bài tập đề xuất (Sử dụng định lý Brocard): Cho tam giác ABC nội tiếp (O) có phân giác AD

(ACD) ∩ AB = {A, E}; (ABD) ∩ AC = {A, F } Chứng minh: DO ⊥ EF

(Đề xuất bởi Nguyễn Đăng Khoa)

Cho tứ giác ABCD là tứ giác điều hòa Gọi M là trung điểm BD Đường thẳng qua C song

song với AD cắt AM tại P Chứng minh 4P CD cân

Ví dụ 2

Lời giải

Cách 1(Nguyễn Hoàng Phi): Gọi N là giao của tiếp tuyến tại A, C và BD

Ta có: AC là đường đối trung trong 4BAD ⇒ [CP A = \DAM = [BAC = \N DC.(1)

Mặt khác ta có: \ACN = \ADC = \DCP ⇒ 4ACP ∼ 4N CD(g.g) ⇒ 4DCP ∼ 4N CA(c.g.c)

Suy ra DC = DP nên ta có đpcm

Cách 2(Nguyễn Đăng Khoa):

Ta có: [CP A = \M DC(1) ⇒ M CP D nội tiếp

Suy ra: \CP D = \BM C = \ADC = \DCP ⇒ DC = DP Từ đó ta có đpcm

Cho 4ABC có đường cao AH E là trung điểm AH Đường tròn (I) tiếp xúc với BC tại D

DE ∩ (I) = {D, F } Chứng minh F D là phân giác \BF C

(Tài liệu chuyên toán hình 10)

Ví dụ 3

Gọi M, N lần lượt là các tiếp điểm của (I) trên AB và AC AD ∩ (I) = {D, P } Kẻ đường kính

DQ của (I)

Vì DQ k AH; AE = EH ⇒ D(HAEQ) = −1 ⇔ D(DP F Q) = −1 ⇒ tứ giác DF P Q là tứ giác

điều hòa (1)

Mặt khác ta có tứ giác DM P N là tứ giác điều hòa (2)

Từ (1) và (2) ta có: QF, M N và tiếp tuyến tại P, D đồng quy tại L

Áp dụng Menelaus ta có: LB

LC =

M B

N C =

BD

DC ⇒ (LDBC) = −1

Ta lại có F D ⊥ F L ⇒ F D là phân giác \BF C

Trong mặt phẳng cho hai đường tròn (w1); (w2) cắt nhau tại A và B Một tiếp tuyến chung

ngoài của hai đường tròn tiếp xúc với (w1) tại P và (w2) tại Q Các tiếp tuyến của (AP T )

ở P, T cắt nhau tại S Gọi H là điểm đối xứng của B qua P T Chứng minh: A, H, S thẳng

hàng

(Vietnam TST 2001)

Ví dụ 4

Gọi C = AB ∩ P T Ta có: [BP T = [BAP ; [BT P = [BAT ⇒ [P AT = 180◦− [P BT = 180◦− \P HT

⇒ H ∈ (AP T ) Mặt khác ta có: 4CBP ∼ 4CP A và 4CBT ∼ 4CT A

Suy ra: P C2 = CB.CA = CT2 ⇒ CP = CT và P B

AP =

BC

P C =

BC

CT =

BT

AT ⇔ AP

P H =

AT

T H Vậy suy ra tứ giác AP HT là tứ giác điều hòa nên A, H, S thẳng hàng

Cho tứ giác ABCD là một tứ giác nội tiếp Gọi P, Q, R lần lượt là chân đường vuông góc kẻ

từ D xuống BC, CA, AB Chứng minh rằng P Q = QR khi và chỉ khi phân giác [ABC = \ADC

cắt nhau trên AC

(IMO 2003)

Ví dụ 5

Ta có: P, Q, R thẳng hàng (đường thẳng Simson)

Ta có hai cặp tam giác: 4DQP ∼ 4DAB và 4DQR ∼ 4DCB

Suy ra: QR = QP ⇔ QR

QD =

QP

QD ⇔ BC

CD =

AB

AD ⇔ ADBC là tứ giác điều hòa

Điều này tương đương với phân giác [ABC và \ADC cắt nhau trên AC

Cho tam giác ABC nội tiếp (O) có 3 đường cao AD, BE, CF đồng quy tại H HI là đường

đối trung của 4HBC Kẻ AK ⊥ HI Tia AH cắt (O) tại L, tia M H cắt (O) tại P Chứng

minh:

a, Tứ giác P BLC là tứ giác điều hòa

b, (M IK) tiếp xúc (O)

(Đề thi đội tuyển tỉnh Bắc Ninh)

Ví dụ 6

a, Ta dễ có: P, F, H, E, K, A đồng viên và L đối xứng với H qua BC Từ đó ta có: 4HM B ∼

4BM P và 4M HC ∼ 4M CP (g.g)

Làm tương tự ví dụ 4 thì ta có tứ giác P BLC là tứ giác điều hòa

b, Tiếp tuyến tại P , L của (O) và BC đồng quy tại T

Ta có: HP.HM = HA.HD = HI.HK ⇒ P ∈ (M IK)

Ta lại có: T H2 = T L2 = T B.T C ⇒ \T HB = \HCB Mà [BHI = \M HC ⇒ [T HI = \T M H

Suy ra T P2 = T H2 = T I.T M ⇒ T P là tiếp tuyến của (M IP K) Suy ra (M IK) và (O) tiếp xúc

tại P

Cho đường tròn (O) có đường kính AB C ∈ (O) thỏa mãn 90◦ < [AOC < 180◦ Lấy K ∈ OC.

Từ A kẻ hai tiếp tuyến AD, AE tới (K, KC) Chứng minh rằng: DE, AC, BK đồng quy

(Đề thi chọn đội tuyển VMO Hà nội 2015-2016)

Ví dụ 7

Gọi L, T là giao điểm của AC với DE và (O) Gọi J = IK ∩ T C

Từ đó ta có tứ giác T DCE là tứ giác điều hòa Suy ra tiếp tuyến tại T, C của (K, KC) và DE

đồng quy tại I

Ta có: IL ⊥ AK; AL ⊥ IK ⇒ KL vuông góc với AI tại Q

Khi đó ta có: IQ.IA = IJ.IK = IC2 Mà IC cũng là tiếp tuyến của (O) nên Q ∈ (O) ⇒ BQ ⊥ AI

Suy ra điều phải chứng minh

Cho đường tròn (O; R) và dây cung BC 6= 2R Lấy A thuộc cung lớn BC D, K, J là trung

điểm BC, CA, AB E, M, N là chân đường cao hạ từ A, B, C xuống BC, DJ, DK Chứng

minh rằng tiếp tuyến tại M, N của (EM N ) cắt nhau tại điểm T cố định

Ví dụ 8

Kẻ đường cao BU và lấy H là trực tâm 4ABC.

T D, T E lần lượt cắt (O) tại điểm thứ 2 là X, S

Ta có: H, M, N, D, E đồng viên nên tứ giác M DN X là tứ giác điều hòa

⇒ H(M N XD) = −1 ⇒ H(BCXD) = −1 ⇒ HX k BC (do BD = CD) Suy ra T thuộc trung trực BC

Mặt khác ta có: D(M EN S) = −1 mà DN k AB ⇒ A, S, D thẳng hàng

Ta dễ có: S ∈ (AP HU ) ⇒ DS.DA = DU2 = DC2 và AH.AE = AS.AD

Theo định lý Thales ta có: T D

AE =

DS

AS =

DS AH.AE AD

⇒ T D = DS.AD

AH =

DC2 2OD(không đổi).

Vậy T cố định hay ta có đpcm

Cho 4ABC cân tại A, một đường tròn (O) tiếp xúc AB, AC và cắt BC tại hai điểm phân

biệt là K, L AK cắt (O) tại M Gọi P, Q là điểm đối xứng của K qua B, C Chứng minh

rằng M, O và tâm (M P Q) thẳng hàng

(THTT: T12/437)

Ví dụ 9

Gọi D, E là điểm tiếp xúc của (O) với AB, AC Kéo dài M D cắt BC tại P0

Ta có: D(DEM K) = −1 mà DE k BC ⇒ BP0 = BK ⇒ P ≡ P0 Suy ra M, D, P thẳng hàng

Tương tự ta có: M, E, Q thẳng hàng

Xét VMK : D → P ; E → Q ⇒ (M DE) → (M P Q)

Từ đó ta có đpcm

Cho tam giác ABC có đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với 3 cạnh BC, CA, AB tại D, E, F

Lấy M, N thuộc E, F sao cho BN k AD k CN DM, DN lần lượt cắt (I) tại điểm thứ 2 là

P và Q Chứng minh rằng: BP, CQ, AD đồng quy

(Đề thi Olympic KHTN 2017)

Ví dụ 10

Gọi S = EF ∩ BC AD cắt EF, P Q lần lượt tại T, R AD ∩ (I) = {D, G}.

Ta dễ có: DG là tiếp tuyến của (I) do DF GE là tứ giác điều hòa

Ta có: (SDBC) = −1 ⇒ (ST N M ) = −1 ⇒ D(ST N M ) = −1 ⇒ D(DGQP ) = −1

⇒ DQGP là tứ giác điều hòa nên P Q đi qua S

Suy ra: (SRQP ) = (SDBC) = −1 ⇒ QC, BP, RD đồng quy

Cho (O1) và (O2) cắt nhau tại A, B Tiếp tuyến tại A, B của (O1) cắt nhau tại K Lấy

M ∈ (O1) M A ∩ (O2) = {P, A}; M K ∩ (O1) = {C, M }; CA ∩ (O2) = {A, Q} Gọi H là trung

điểm P Q Chứng minh rằng:

a, M, H, C thẳng hàng

b, Giao điểm tiếp tuyến tại P, Q của (O2) thuộc một đường thẳng cố định khi M di động

(Vietnam TST 2002)

Ví dụ 11

a, Ta có: 4BCQ ∼ 4BM P (g.g) ⇒ BC

M B =

CQ

M P. Mặt khác tứ giác ACBM là tứ giác điều hòa nên CQ

M P =

AC

AM Áp dụng định lý Menelaus ta có điều phải chứng minh

b, Kéo dài AK cắt (O2) tại N

Ta có: 4BQN ∼ 4BCA và 4BN P ∼ 4BAM → P N QB là tứ giác điều hòa

Suy ra giao điểm hai tiếp tuyến tại P, Q của (O2) thuộc đường thẳng BN cố định

Cho 4ABC và điểm P nằm trong tam giác Lấy D, E là điểm đối xứng với P qua AC, AB

I, K là hình chiếu của P trên AC và AB (ADE) cắt đường tròn đường kính AP tại X

Chứng minh tứ giác P IXK là tứ giác điều hòa

Ví dụ 12

Cách 1(Nguyễn Đăng Khoa): Kẻ tia Xx là tia đối của tia XS

Ta có: AP = AS = AT ⇒ [AXx = [AT S = [AST = \AXT Mà AX ⊥ XP ⇒ XP là phân giác

[

SXT

Mặt khác: [SXT = [SAT = 2 [BAC ⇒ [KXI = \P XT = [BAC

⇒ 4XKP ∼ 4XIT (g.g) ⇒ XK

KP =

XI

IT =

XI

IP ⇒ XIP K là tứ giác điều hòa

Cách 2(Nguyễn Hoàng Phi):

KP cắt AC tại Q, IP cắt AB tại R AP ∩ QR = T

Ta có: [AQS = [AT S = 90◦− [BAC ⇒ Q ∈ (AST ) Chứng minh tương tự ta có: R ∈ (AST ) Theo định lý trục đẳng phương thì ta có: AX, IK, QR đồng quy tại L

Mặt khác ta có: (LT RQ) = −1 ⇒ A(LT RQ) = −1 ⇒ A(XP KI) = −1

⇒ XKP I là tứ giác điều hòa

3 Bài tập rèn luyện

Bài 1 Cho tam giác ABC ngoại tiếp (I) Đường tròn (I) tiếp xúc với BC tại D Qua D kẻ đường

vuông góc với AD cắt BI, CI tại E, F Chứng minh: DE = DF

(Nguyễn Minh Hà)

Bài 2 Cho tam giác ABC không cân, nội tiếp đường tròn (O), M là trung điểm của BC Các

điểm N, P thuộc đoạn BC sao cho N đối xứng với P qua M Các đường thẳng AM, AN, AP theo

thứ tự cắt (O) tại X, Y, Z Chứng minh rằng: BC, Y Z và tiếp tuyến tại X của (O) đồng quy

Bài 3 Đường tròn nội tiếp (I) của tam giác ABC theo thứ tự tiếp xúc với BC, CA tại D, E AD

cắt lại (I) tại P Giả sử \BP C = 90◦ Chứng minh rằng: EA + AP = P D

Bài 4 Cho tam giác ABC, D là trung điểm của cạnh BC và E, Z là hình chiếu của D trên AB,

AC Gọi T là giao điểm của các tiếp tuyến tại E, Z của đường tròn đường kính AD

Chứng minh rằng: T B = T C

Hỗ trợ soạn thảo, chỉnh sửa: Nguyễn Đăng Khoa - Khóa 36 THPT chuyên Hùng Vương - Phú Thọ