Khi đó ngày chơi cầu lông là thứ Năm và ngày bơi là thứ Bảy (thỏa điều kiện của đề bài).. Từ đó suy ra điều cần chứng minh... b)Ta chứng minh bằng phản chứng..[r]
Trang 1Bài 1: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2011 – 2012)
Bài 2: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2014 – 2015)
*Cách 1: Gọi ( )S n là tổng các chữ số của số tự nhiên n Hãy tìm số tự nhiên n biết
Thử lại với n = 2015, thấy thỏa S n( )n2 2015n8
Vậy số tự nhiên cần tìm là n = 2015.
*Cách 2:
* Nếu n = 2015 thì S(n) = 20152 – 2015.2015 + 8 = 8 nên 0 < S(n) = 8 2015
Trang 3Nếu q 2 4k k 1 không tìm được k
k q
Vậy theo (1) và (2) suy ra n5 – n chia hết cho 30
Bài 6: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2018 – 2019)
Bài 7: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2019 – 2020)
a) Tồn tại hay không ba số thực , ,a b c thỏa mãn
Trang 42 2 2
1
?2019
Điều này mâu thuẫn với 4.1 Vậy không tồn tại ba số thực , ,a b c thỏa yêu cầu bài toán.
b) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương x y, thỏa mãn
.13
170
.13
Giải (4.4), ta thu được hai cặp nghiệm 6;7 , 7;6 .
Bài 8: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2012 – 2013- ĐỀ DỰ PHÒNG)
VËy víi n 882 th× n 18 vµ n 41 lµ hai sè chÝnh ph¬ng
Bài 9: ( HSG TỈNH BÀ RỊA - VŨNG TÀU NĂM HỌC 2008 – 2009)
Ta có: abc100a10b c n 21 (1)
cba100c10b a n 2 4n4 (2)
Từ (1) và (2) ta có 99(a-c)=4n – 5 4n 5 99 (3)
Trang 5Mặt khỏc: 100n2 1 999101n2 100011 n 31
39 4 n 5 119 (4) Từ (3) và (4) suy ra n = 26
Vậy abc 675
Bài 10: ( HSG TỈNH BÀ RỊA - VŨNG TÀU NĂM HỌC 2008 – 2009)
Ta cú kết quả quen thuộc sau đõy:
Bài 11: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2009 – 2010)
Suy ra p 3 Do p là số nguyên tố nên p = 2 hoặc p = 3.
Thử lại đợc p = 3 thỏa mãn yêu cầu bài toán
Bài 12: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2009 – 2010)
a)Xột ( a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ) - ( a + b + c + d)
= a(a -1) + b( b -1) + c( c – 1) + d( d – 1)
Vỡ a là số nguyờn dương nờn a, (a – 1) là hai số tự nhiờn liờn tiếp
a(a-1) 2 tương tự ta cú b(b-1); c(c-1); d(d-1) đều chia hết cho 2
Trang 6 x(xy +3) – 3(x+y) (xy 3) 3(x+y) (xy 3)
3( x+y) = k(xy+3) ( kN*) (2)
+Nếu k 3thì 3( x y ) (k xy3) 3( xy3) x y xy 3 x1 y1 2 0
(Vô lí vì x, y nguyên dương)
+Nếu k = 1 thì từ (2) (x-3)(y-3) =6, mà x, y là các số nguyên dương nên x = 6 và
y = 5 hoặc x = 5 và y= 6 hoặc x=4 và y=9 hoặc x=9 và y=4.
Thử lại thấy x = 6 và y = 5 hoặc x=9 và y=4 thỏa mãn (1).
+Nếu k=2 thì từ (2) ta có: 3( x+y) = 2(xy+3) suy ra xy chia hết cho 3 (*)
mặt khác 3( x+y) = 2(xy+3) y(x-3)+x(y-3)+6=0 suy ra x >3 và y >3 vô lý (**)
Từ (*) và (**) ta có x; y 1;3 , 3;1
Thử lại vào (1) ta được (x;y)=(3;1).
Vậy , x y 6;5 ; 9; 4 ; 3;1
Bài 13: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2012 – 2013)
+ Từ giả thiết suy ra:
13
66a55 a ( do a > b)+ Với c 3 từ giả thiết suy ra
Trang 7Với n = 4004 ta có A 427 4201644004 227240042
là số chính phươngVậy n = 4004 thì A = 427 + 42016 + 4n là số chính phương
Bài 15: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2017 – 2018)
Với x 3 1 ta có a1;b và 4 c 2 nguyên, thỏa mãn đầu bài
b) Vì 4x314x29x 6 là số chính phương, nên ta có 4x314x29x 6=k2 với k N
Ta có 4x314x29x 6=…=x2 4 x26x 3
nên ta có x2 4 x26x 3
=k2Đặt x2, 4x26x 3 d
c) -Nếu n là lũy thừa bậc 2 của 1 số tự nhiên bài toán chứng minh xong
-Nếu n không là lũy thừa bậc 2 của 1 số tự nhiên, ta luôn tìm được 1 số nguyên dương k sao cho
Vậy mọi k nguyên dương , nên ta có k2 nk12 2n
Vậy trong dãy luôn có ít nhất một lũy thừa bậc 2 của 1 số tự nhiên
Bài 16: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2018 – 2019)
Khi chia 12 số tự nhiên có ba chữ số cho 11 ta được các số dư Trong các số dư đó có ít nhất hai số bằng nhau
Trang 8Giả sử hai số trong 12 số đó khi chia cho 11 có cùng số dư là abc mnp;
Suy ra (abc mnp- )M11
.Khi ghép chúng cạnh nhau ta được số có sáu chữ số abcmnp
Ta có
abcmnp= abc mnp+ = abc+ mnp abc- = abc+ mnp abc
-Suy ra abcmnpM11. Điều phải chứng minh.
Bài 17: ( HSG TỈNH BẮC NINH NĂM HỌC 2018 – 2019)
Coi đây là phương trình bậc hai ẩn p
điều kiện cần để tồn tại nghiệm của phương trình là:
Sau đó cách làm giống như trên
Bài 18: ( HSG TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2009 – 2010)
Do P(x) nhận giá trị 2003 với 4 giá trị nguyên khác nhau của x nên ta đặt :
Trang 9Bài 19: ( HSG TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2011 – 2012).
a) n3 – n = n(n2 – 1) = n(n – 1)(n + 1)
Với n lẻ thì n – 1 và n + 1 là hai số chẵn liên tiếp nên có một số chia hết cho 2 , số còn lại chia hết cho 4 Do đó tích (n – 1)(n + 1) chia hết cho 8
Mặt khác, tích n(n – 1)(n + 1) là tích của ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 3
Mà (3; 8) = 1 nên n(n – 1)(n + 1) chia hết cho 3.8 = 24
Vậy : n3 – n chia hết cho 24 với n lẻ
Mà: a + b + c 4 a + b + c 2 (theo giả thiết) (2)
Do đó (1) và (2) mâu thuẫn Điều giả sử là sai
Trong ba số a, b, c ít nhất có một số chia hết cho 2
2abc 4 (**)
Từ (*) và (**) P 4
Bài 21: ( HSG TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2017 – 2018).
Trang 10a) Ta có n6 2n + n4 2n n2 2 12n n + 1 n + 2 2
Lại có: n n + 1 2; n n 1 n 1 3 (vì n N*) mà (2 ; 3) = 1 nên n n 1 n 1 6
Đặt A = n n 1 n 1
ta có A 6 A 362Vậy n6 2n + n4 2 chia hết cho 36 với mọi n N*
Vì a, b, c phân biệt nên a b + b2 c + c2 a2 > 0 x + y + z 0 (1)
Giả sử cả ba số x, y, z 0 Từ (1) suy ra vô lí
Nếu có 2 số nhỏ hơn 0 hoặc 2 số bằng 0 thì thì từ (1) suy ra có ít nhất 1 số lớn hơn 0
Nếu có 1 số nhỏ hơn 0 và 1 số bằng 0 thì từ (1) suy ra đpcm
Bài 22: ( HSG TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2018 – 2019).
Gọi A Ai j
là hai điểm xa nhau nhất trong các điểm thuộc tập hợp 8073 điểm đã cho
Giả sử A là điểm cách xa đoạn thẳng k A Ai jnhất Khi đó
Tam giác A Ai jA là tam giác lớn nhất và có diện tích hông lớn hơn 1k
Vẽ các đường thẳng đi qua các điểm A , i Aj
, A lần lượt song song với các cạnh của k A Ai j Ak
Ta được 4 tam giác nhỏ bằng nhau và một tam giác lớn chứa cả 4 tam giác nhỏ
Tam giác lớn có diện tích không quá 4 đơn vị Do đó, tam giác lớn chứa tất cả 8073 điểm đã cho
Ta có 8073 chia cho 4 được 2018 và dư là 1 nên theo nguyên lý Dirichlet suy ra có ít nhất 1 trong 4 tam giác có 1 tam giác chứa 2019 trong 8073 điểm đã cho
Bài 23: ( HSG TỈNH BÌNH DƯƠNG NĂM HỌC 2012 – 2013).
a) Ta có: n6 - n4 – n2 + 1 = n4 (n2 - 1)- (n2 – 1) = (n2 – 1)(n4 – 1) = (n2 – 1)2(n2 + 1)
Vì n lẻ , nên n = 2k + 1 với k là số tự nhiên
Khi đó: (n2 – 1) = 4k2 + 4k = 4k(k + 1) chia hết cho 4
Vậy chỉ cần điều kiện q ≤ r
Bài 24: ( HSG TỈNH BÌNH PHƯỚC NĂM HỌC 2018 – 2019).
Trang 11Suy ra n3 20n chia hết cho 16 Từ đó dẫn đến A chia hết cho 16.
Vậy A chia hết cho 48 với mọi n là số tự nhiên chẵn
Bài 25: ( HSG TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2013 – 2014).
a) * Chứng minh xyz chia hết cho 5
+) Nếu xy chia hết cho 5 thì xyz chia hết cho 5
+) Nếu xy không chia hết cho 5 thì x2 và y2 chia 5 dư 1 hoặc dư 4
Khi đó z2 = x2 + y2 chia 5 dư 0 hoặc 2 hoặc 3 nhưng vì z2 không thể chia 5 dư 2 hoặc dư 3 => z2 chia hết cho 5 hay z chia hết cho 5
Vậy xyz chia hết cho 5
* Chứng minh xyz chia hết cho 3
- Nếu x hoặc y không chia hết cho 3 thì x2 hoặc y2 chỉ có thể chia 3 dư 1
khi đó z2 chia 3 dư 2 (Vô lí)
Vậy xy chia hết cho 3 hay xyz chia hết cho 3
* Chứng minh xyz chia hết cho 4
+) Nếu x ,y chẵn thì xyz chia hết cho 4
+) Nếu trong hai số x hoặc y có một số lẻ, giả sử x chẵn, y lẻ suy ra z lẻ
Đặt x = 2k; y = 2n + 1, z = 2m + 1.Theo bài ra : (2m+1)2 = 4k2 + (2n+1)2
suy ra k2 = m(m+1) - n(n+1) chia hết cho 2 => x chia hết cho 4
Vậy, xyz chia hết cho 4
Mà (3,4,5) =1 nên xyz chia hết cho 60.
b) Gọi 3 số tự nhiên thoả mãn đề bài là x, y, z với x,y,z đều khác nhau và khác 0
Trang 12a D B
y suy ra 1 x <y <2 (loại)
Vậy từ các TH trên ta được 3 số thoả mãn đề bài là 2 ; 3 và 6.
c) Gọi độ dài ba cạnh của tam giác vuông ABC là: a, b, c (a, b, c N*)
Ta có: a, b P và b – a = 50: là số chẵn nên a, b đều lẻ (b > a).
Giả sử cạnh thứ ba c là cạnh huyền
Theo định lý Pi-ta-go, ta có:
c2 = a2 + b2 c2 = a2 + (a + 50)2 = 2a2 + 100a + 2500 = 2(a2 + 50a + 1250): số chẵn
Vì a lẻ nên (a2 + 50a + 1250): lẻ do đó 2(a2 + 50a + 1250) 4: điều này vô lý vì c2 là số chính
phương chẵn phải chia hết cho 4
Vậy ba chữ số tận cùng của S là 600
Bài 27: ( HSG TỈNH ĐAKLAK NĂM HỌC 2010 – 2011).
27.1a) Q a 3b3c3 3abca b 3 3ab a b c3 3abc
b a
Trang 13Bài 28: ( HSG TỈNH ĐAKLAK NĂM HỌC 2012 – 2013).
Do p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p có dạng p 3 k 1
TH1: Nếu a là số nguyên chẵn, suy ra a b c ( ) 2 , theo (1)Suy ra: b.c 2
Vậy abc chia hết cho 4
TH2: Nếu a là số nguyên lẻ Với b và c là hai số cũng lẻ thì: b c 2 a b c ( ) 2
Mà a b c không chia hết cho 2 (vì a, b, c đều lẻ) Suy ra mâu thuẫn.
Vậy trong hai số, b, c tồn tại ít nhất 1 số chẵn
+ Với b chẵn, mà a lẻ nên c chẵn (vì b.c chẵn nên a(b+c) chẵn suy ra c chẵn, vì a lẻ)
Suy ra abc chia hết cho 4
+ Với c chẵn, tương tự abc chia hết cho 4
Ta thấy a, b, c không thể đều là số lẻ vì nếu vây thì abc là số lẻ, còn b+c là số chẵn
Vậy trong 3 số tồn tại ít nhất 1 số chẵn
Nếu a chẵn thì a2 chia hết cho 4, từ (2) suy ra abc chia hết cho 2
Nếu b chẵn, do a lẻ nên b + c chẵn (vì abc chẵn) suy ra c chẵn Vậy abc chia hết cho 2
Tương tự cho trường hợp c chẵn
Phân tích số m ra thừa số nguyên tố: mp p p1x 2y 3z
Số các số nguyên dương không vượt quá m và nguyên tố cùng nhau với m là
Có 648 số nguyên tố cùng nhau với 999 và không vượt quá 999
Vây có 649 số nguyên tố cùng nhau với 999 và không vượt quá 1000
Cách 2:
Trang 14Gọi A là số các số nguyên dương không vượt quá 1000 Suy ra A = 1000
B là số các số nguyên dương không vượt quá 1000 mà không nguyên tố cùng nhau với 999
C là số các số nguyên dương không vượt quá 1000 nguyên tố cùng nhau với 999
+ Số các số nguyên dương không vượt quá 1000 và chia hết cho cả 37 và 3 (chia hết cho 111) là:
999 111
1 9 111
Trang 15b >1 ⇒ b =1 loại vì không thỏa mãn b > a.
Kết hợp các trường hợp và do vai trò bình đẳng nên các số (a, b, c) cần tìm là:
b c+a +
c a+b =
Thử lại các trường hợp ta có a2;b suy ra số cần tìm là 27.7
Bài 35: ( HSG TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2009 – 2010).
Trang 16Khi đó A chính phương, 2n chính phương suy ra
Với n = 8 B 2 25 1 35 (loại) Vậy n = 9
Bài 36: ( HSG TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2012 – 2013).
b b
b) 2a2a3b2b
2(a b)(2a 2b 1) b
Bài 38: ( HSG TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2014 – 2015).
a) Tìm số nguyên tố p sao cho các số 2p21; 2p2 3; 3p24 đều là số nguyên tố
+) Nếu p=7k+i; k,i nguyên, i thuộc tập 1; 2; 3 Khi đó p2chia cho 7 có thể dư: 1;4;2
Xét p 2 2p21; 2p23 & 3p2 4 7
Nếu p2chia cho 7 dư 1 thì 3p 2 4chia hết cho 7 nên trái GT
Nếu p2chia cho 7 dư 4 thì 2p 2 1 chia hết cho 7 nên trái GT
Nếu p2chia cho 7 dư 2 thì 2
2p 3 chia hết cho 7 nên trái GT
+) Xét p = 2 thì 3p 2 4=16 (loại)
Trang 17+) Xét p = 7k, vì p nguyên tố nên p = 7 là nguyên tố, có:
Khi đó 3x 32 27 x 32 9, x nguyên dương nên tìm được x=6
Nếu y2 4 y2(vì y nguyên dương) thì (1) có dạng:
Bài 39: ( HSG TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2016 – 2017)
Tìm các cặp số nguyên (x; y) thoả mãn: 2x22y2 3x 6y 5xy 7 (1)
Trang 18Bài 40: ( HSG TỈNH HẢI PHÒNG NĂM HỌC 2016 – 2017)
Ta có (a + b2) (a2b – 1) suy ra: a + b2 = k(a2b – 1), với k *
a + k = b(ka2 – b) hay mb = a + k (1) với m ka – b 2 *
m + b = ka2 (2)
Từ (1) và (2) suy ra: mb m b 1 a k ka 21
(m – 1)(b – 1) = (a + 1)(k + 1 – ka) (3)
Do m, b* m –1 b –1 0
Vì thế từ (3) suy ra: (a + 1)(k + 1 – ka) 0
Lại do a > 0 nên suy ra: k + 1 – ka 0 1 k(a – 1)
Vì a – 1 0, k > 0 nên 1 k a –1 0 vµ k a –1
a 1k(a 1) 0
a 2k(a 1) 1
Vậy, trường hợp này ta được hai cặp a = 1; b = 2 và a = 1; b = 3
Với a = 2 và k = 1 Thay vào (3) ta có: (m – 1)(b – 1) = 0
Vậy có 4 cặp số (a; b) thỏa mãn là: (1; 2), (1; 3), (2; 3), (2; 1)
Bài 41: ( HSG TỈNH HẬU GIANG NĂM HỌC 2012 – 2013).
Giả sử x = 5 được 5yz = 5(5+y+z) yz = 5+y+z
yz -y - z + 1 = 6 (y-1)(z-1) = 6
Trang 19y, z là cỏc số nguyờn dương cú vai trũ như nhau nờn ta cú cỏc hệ:
{ y−1=1 z−1=6 ⇔ { y=2 z=7 và { y−1=2 z−1=3 ⇔ { y=3 z=4
k k
Ak-1 = 1 + 2 + 3 + + (k – 1) =
( 1)2
Gọi số cần tìm là A = aabb = 1100.a +11.b =11(100.a + b)
Do số cần tìm là số chính phơng và 11 là số nguyên tố nên
211
A
Suy ra (100.a b ) 11 , dẫn đến (a b ) 11 từ đó có a b 11,
Do A chính phơng nên b = 0; 1; 4; 5; 6; 9
Trang 20Bài 44: ( HSG TỈNH HÒA BÌNH NĂM HỌC 2013 – 2014).
a) Tính giá trị của biểu thức
( 5)( 1)( 5)
n dẫn đến điều phải c/m
c) Tìm các cặp số nguyên ( ; x y ) sao cho x x( 1)y21
Giả sử 3n 4 a2, với a nguyên dương (a 2), ta có: 3n (a 2)(a2) (*)
Vì (a2) ( a 2) 4 nên (a 2) và (a 2) không cùng chia hết cho 3 nên với n 2thì không có
Trang 21b) Vì f x( )ax2bx c thoả mãn với mọi x sao cho 1 x 1 và f x( ) Nên :p
Trang 22p q
p q
p q
Lần thứ nhất, chia 6 vật có khối lượng 19992, , 20042 thành ba phần: A+25, A+17, A+13
Lần thứ hai, chia 6 vật có khối lượng 20052, , 20102 thành ba phần: B+25, B+17, B+13
Lần thứ ba, chia 6 vật có khối lượng 20112, , 20162 thành ba phần: C+25, C+17, C+13
Lúc này ta chia thành các nhóm như sau: Nhóm thứ nhất A+25, B+17, C+13; nhóm thứ hai B+25,C+17, A+13; nhóm thứ ba C+25, A+17, B+13 Khối lượng của mỗi nhóm đều bằng A + B + C +
55 gam
b) Viết phương trình đã cho về dạng: 9.(3x – 2 +19) = y2 (x2) Để y là số nguyên thì điều kiện
cần và đủ là 3x – 2 + 19 = z2 là số chính phương (z là số nguyên dương)
Nếu x – 2 = 2k + 1 là số lẻ thì 3 2k + 1 + 19 = (32k + 1 + 1) + 18 = 4.B + 18 chia hết cho 2 nhưng khôngchia hết cho 4 nên không thể là số chính phương
4
c 3.
b 2 2
Trang 23p q 6pq 6 suy ra p 7 và q 43
Vậy m;n;p;q là 2;3;7;43 và các hoán vị của nó.
Bài 50:( HSG TỈNH NGHỆ AN NĂM HỌC 2018 – 2019).
a) Ta có: 2 y2 x 2 y 5 xy x y ( 1) 2 y2 2 y 5
5 2
Trang 24Vậy chỉ có các chữ số a1,b9, c3, d thỏa mãn điều kiện bài toán.6
b) + Gọi x là số học sinh giỏi cả 3 môn Văn, Toán, Ngoại ngữ(x > 0), dựa vào biểu đồ ta có:
Số học sinh chỉ giỏi một môn Toán là:
Vậy có 23 học sinh giỏi cả 3 môn
Bài 52:( HSG TỈNH HƯNG YấN NĂM HỌC 2013 – 2014).
Với x=0 thỡ (*) ⇔y ( y−1 )≤0 ⇔0≤ y≤1 ⇒ [
y=0 y=1 ( thỏa món)
Trang 25Với x1 thì (*) ⇔2 y2−4 y+1≤0 ⇔2( y−1 )2≤1 ⇒ y=1 ( thỏa mãn)
Vậy các nghiệm nguyên dương của phương trình là (2; 1)
Bài 54:( HSG TỈNH KOMTUM NĂM HỌC 2016 – 2017).
Từ (2) suy ra có ít nhất một trong ba số x y z , , phải bằng 2.
Bài 55:( HSG TỈNH LẠNG SƠN NĂM HỌC 2015 – 2016).
Trang 26Bài 56:( HSG TỈNH LẠNG SƠN NĂM HỌC 2018 – 2019).
a) Từ giả thiết ta có f (2017), (2018) f là các số nguyên và x = 2017,
x = 2018 không là nghiệm của PT f x ( ) 0
Giả sử PT f x ( ) 0 có nghiệm nguyên là x a Z , theo định lý Bơ-zu : f x ( ) ( x a g x ) ( )
với g x ( ) là đa thức hệ số nguyên không nhận x = 2017, x = 2018 làm nghiệm
Vậy ta có tất cả 24 + 4.24 = 120 trận đấu diễn ra
Từ giả thiết có n đội, mỗi đội đấu với n – 1 đội còn lại nên số trận đấu diễn ra là n(n – 1) , nhưng đây
là tính cả trận lượt đi và lượt về, giả thiết mỗi đội đấu với nhau đúng 1 lần nên tổng số trận giảm đi một nửa, do đó có tất cả
n(n 1) 2
trận đấu
KL : Có tất cả 16 đội bóng tham gia
Bài 57:( HSG TỈNH LONG AN NĂM HỌC 2011 – 2012).
Trang 276 5 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4
D
C B
A
O
y=1 y=5
Khi đó P =
2012 2012
íï + = ïî
íï =
ïî (tđk)Vậy cặp số nguyên dương cần tìm là (x; y) = (8;1)
Bài 58:( HSG TỈNH NAM ĐỊNH NĂM HỌC 2015 – 2016).
a) Ta có xy z 1xy x y 1 x1 y1
Trang 28Ta có điều phải chứng minh.
d) Giả sử tất cả các câu lạc bộ đều có không quá 8 học sinh
Gọi N là số câu lạc bộ có hơn 1 học sinh
Nếu N 4 , từ 5 trong số các câu lạc bộ này, chọn mỗi câu lạc bộ 2 học sinh, khi đó 10 học
sinh này không thỏa mãn điều kiện bài toán
Nếu N<4, khi đó số học sinh tham gia các câu lạc bộ này không quá 3.8 24 , nghĩa là còn
ít nhất 35 24 11 học sinh, mỗi học sinh tham gia 1 câu lạc bộ mà câu lạc bộ này chỉ có 1 học
sinh Chọn 10 học sinh trong số này, không thỏa mãn điều kiện bài toán
Vậy N=4.
Số học sinh tham gia 4 câu lạc bộ này không quá 4.8 32 , nghĩa là còn ít nhất 3 học sinh, mỗi học sinh tham gia 1 câu lạc bộ mà câu lạc bộ này chỉ có 1 học sinh
Chọn 2 trong số học sinh này và mỗi câu lạc bộ trên chọn 2 học sinh, khi đó 10 học sinh không
thỏa mãn điều kiện