69 DE VA HDC TS10 THPT CHUYÊN TP hồ CHÍ MINH 2015 2016

Đường thẳng qua C vuông góc với CD cắt đường thẳng qua A vuông góc với BD tại F.. Đường thẳng qua B vuông góc với AB cắt đường trung trực của AC tại E.. Hai đường thẳng BC và EF cắt nhau

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

ĐỀ CHÍNH THỨC

(Đề thi gồm 01 trang)

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT

NĂM HỌC 2015 – 2016 MÔN THI: TOÁN CHUYÊN Ngày thi: 12 tháng 6 năm 2015

Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)

Câu 1 (1,5 điểm)

Cho hai số thực a , b thỏa điều kiện ab  1, a +b  0 Tính giá trị của biểu thức:

P

Câu 2 (2,5 điểm)

a) Giải phương trình: 2

2x   x 3 3x x3 b) Chứng minh rằng: abc a( 3b3)(b3c c3)( 3a3) 7 a,b,c RM �

Câu 3 (2 điểm)

Cho hình bình hành ABCD Đường thẳng qua C vuông góc với CD cắt đường thẳng qua A vuông góc với BD tại F Đường thẳng qua B vuông góc với AB cắt đường trung trực của AC tại E Hai đường thẳng BC và EF cắt nhau tại K Tính tỉ số KE

KF

Câu 4 (1 điểm)

Cho hai số dương a , b thỏa mãn điều kiện: a+b  1

Chứng minh rằng: 2 3 9

a a

a b



Câu 5 (2 điểm)

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn ( ) O Gọi M là trung điểm của cạnh BC và N là điểm đối xứng của M qua O Đường thẳng qua A vuông góc với AN cắt đường thẳng qua B vuông góc với BC tại D

Kẻ đường kính AE Chứng minh rằng:

a) Chứng minh BA.BC =2.BD BE

b) CD đi qua trung điểm của đường cao AH của tam giác ABC

Câu 6 (1 điểm)

Mười vận động viên tham gia cuộc thi đấu quần vợt Cứ hai người trong họ chơi với nhau đúng một trận Người thứ nhất thắng x1 trận và thua y1 trận, người thứ hai thắng x2 trận và thua y2 trận, , người thứ mười thắng x10

trận và thua y10 trận Biết rằng trong một trận đấu quần vợt không có kết quả hòa Chứng minh rằng:

1 2 10 1 2 10

x x  x  y y  y

HẾT

Hướng dẫn giải

Câu 1.

Với ab  1 , a + b  0, ta có:

4

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

P

a b

a b







 4

4

4

4

2

2

4

( )

( )

( )

( )

( )

1

a b

a b

a b

a b

a b

a b





 





 











Vậy P  1, với ab  1 , a+b  0

Câu 2a.

Điều kiện: x  3

Với điều kiện trên, phương trình trở thành:

2 2

2

3 (1)

3 2 (2)

0

1 13

2 3

1 13 2

0 (2) : 3 2

x

x

x

�  

 �

 

�

�

�

��



�

�

�� 

� �

��

�

�

  

0 1

1

4

x x

x

x

�

�

�

� ��  

�

So với điều kiện ban đầu, ta được tập nghiệm của phương trình đã cho là: 1;1 13

2

S ���  ���

�

Câu 5.

a) Chứng minh BA BC = 2BD BE

 Ta có: DBA+ ABC  900 , EBM +ABC  900

 DBA =EBM (1)

 Ta có: ONA  OME (c-g-c)

 EAN= MEO

Ta lại có: DAB +BAE+ EAN  900, và BEM +BAE +MEO  900

 DAB= BEM (2)

 Từ (1) và (2) suy ra BDA đồng dạng BME (g-g)

2

DB BE BA

BD BE BA BC

b) CD đi qua trung điểm của đường cao AH của  ABC

 Gọi F là giao của BD và CA

Ta có BD.BE= BA.BM (cmt)

BDM BAE c g c

BA BE

BMD BEA

Mà BCF=BEA(cùng chắn AB)

=>BMD=BCF=>MD//CF=>D là trung điểm BF

 Gọi T là giao điểm của CD và AH

BCD có TH //BD TH CT

BD CD

  (HQ định lí Te-let) (3)

FCD có TA //FD TA CT

FD CD

  (HQ định lí Te-let) (4)

Mà BD= FD (D là trung điểm BF ) (5)

 Từ (3), (4) và (5) suy ra TA =TH T là trung điểm AH