a Khi M cố định trên đường thẳng a, chứng minh MC.MD không đổi.. Tìm điều kiện của cát tuyến sao cho tứ giác AMED nội tiếp.. Chứng minh D là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC... Một h
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN TIN QUỐC HỌC
-Bài 1: ( 2 điểm)
Cho biểu thức A = x x y+x y+y x+x y− x x− y
+
a) Tìm điều kiện của x; y để biểu thức A có nghĩa
b) Rút gọn A
c) Tìm các giá trị nguyên của x; y để A có giá trị nguyên
Bài 2: ( 1,5 điểm)
x
x x
x2 − 4962 + − 4962 =
Bài 3: (1,5 điểm)
Cho hàm số (P): y = x2 và (d): y = (2m – 1) x + 2 – m2
a) Trên cùng mặt phẳng toạ độ Oxy vẽ đồ thị hàm số (P) và (d) khi m = 2 Xác định toạ độ giao điểm
b) Xác định m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x1 ; x2 thoả mãn
2
1
2 =
Bài 4: (2,5 điểm)
Trên đường thẳng a không cắt đường tròn (O) lấy điểm M Từ M lần lượt kẻ các tiếp tuyến MA; MB (A; B là tiếp điểm) và cát tuyến cắt (O) tại C và D (C nằm giữa M; D).
a) Khi M cố định trên đường thẳng a, chứng minh MC.MD không đổi
b) AC cắt BD tại E Tìm điều kiện của cát tuyến sao cho tứ giác AMED nội tiếp
c) Tìm quỹ tích trung điểm của MO khi M di động trên a
Bài 5: (1,5 điểm)
Cho hai đường tròn (O ) và ( O′) cắt nhau tại A và B và O thuộc ( O′) Dãy OC của ( O′) cắt (O) tại D Chứng minh D là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC
Trang 2Một học sinh viết các phân số thành các nhóm theo một quy luật như sau:
2
6
; 3
5
; 4
4
; 5
3
; 6
2
; 7
1
; 2
5
; 3
4
; 4
3
; 5
2
; 6
1
; 2
4
; 3
3
; 4
2
;
; 5
1
; 2
3
; 3
2
; 4
1
; 2
2
;
3
1
;
2
1
Hãy phát biểu quy luật đó và phân số 20102011thuộc nhóm có số thứ tự là bao nhiêu và nhóm đó
có bao nhiêu phân số?
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN TIN QUỐC HỌC
1a x y + y x − x − y =( x + y)( xy − 1)
Điều kiện: x ≥ 0; y≥ 0; x, y không đồng thời bằng 0 x.y ≠1
0,25 điểm 0,25 điểm 1b
A = ( x y)( xy 1)
x y x y
x
x
− +
+ +
+
= ( )
( x y)( xy 1)
x y x 1 xy x
− +
+ +
− = ( )( ) ( ( )( ) ) xy 1
xy 1
xy y x
y x xy 1
xy y x
x y y x
−
=
− +
+
=
− +
+
0,5 điểm 1c A =
1 xy
1 1 1 xy
xy
− +
=
Để A ∈ Z thì xy1−1∈ Z ⇔ 1 ( xy − 1)
⇔ [ xy 1 1
1 1 xy
−
=
−
=
−
⇔ [ xy 0
2 xy
=
=
Vì x; y ∈ Z nên x = 1 thì y = 2 ; x = 2 thì y = 1
x = -1 thì y = -2 ; x = -2 thì y = -1 hoặc x = 0 hoặc y = 0
0,25 điểm
0,25 điểm 0,5 điểm
Trang 3TXĐ = {x/x ≥ 2 62}
Biến đổi phương trình đã cho thành
2 2
x
496
x − = x - 2
x
496
x −
⇔ x2 - 2
x
496
= x2 – 2x 2
x
496
x − + x - 2
x 496
x
496
x − =
2
1 ⇔ 4x3 – x2 – 1984 = 0 ⇔ (y – 8) (4x2 + 31x + 248) = 0
⇔ [ x 31 x 248 0
0 8 x
2 + + =
=
− ⇔ x = 8
0,25 điểm
0,5 điểm 0,5 điểm
0,25 điểm
3a Vẽ chính xác đồ thị hàm số (P): y = x2 và (d): y = 3x – 2
Xác định đúng toạ độ giao điểm (1 ; 1) ; (2 ; 4)
0,5 điểm 0,25 điểm 3b Ta có: x2 – (2m – 1) x + m2 – 2 = 0
= (2m – 1)2 – 4 (m2 – 2) = - 4m + 9
Để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt thì:
> 0 ⇔ m <
4 9
Theo hệ thức Viet ta có: x1 + x2 = 2m – 1 ; x1.x2 = m2 – 2
2 2 2
1 x
x + = 4 ⇔ (x1 + x2)2 – 2x1x2 = 4
⇔ (2m – 1)2 – 2 (m2 – 2) = 4
⇔ 2m2 – 4m + 1 = 0
⇔
4
2 2 4
m= + ; m =
4
2 2
4 −
Vì
4
2 2
4 + <
4
9
và
4
2 2
4 − <
4
9
Vậy với m =
4
2 2
4 + hoặc m=
4
2 2
4 − thì (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x1 ; x2 thoả mãn 2
2 2
1 x
x + = 4
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
4a Do M thuộc a và M cố định; (O) cố định nên:
MA = MB không đổi
Xét ∆MAC và ∆MDA
Có Mˆ chung
M
Dˆ
A = M AˆC (cùng chắn cung AC)
Do đó: ∆MAC ~ ∆MDA ⇒
MD
MA MA
⇒MC.MD = MA2 không đổi
0,25 điểm 0,5 điểm 0,25 điểm
I
A M
O C a
Trang 4B
D
C
Mà đối với đường tròn (O):
sđ A Mˆ D = 21 (sđ AD – sđ AC) (góc có đỉnh bên ngoài (O))
sđ A EˆD =
2
1
(sđ AD – sđ CB) (góc có đỉnh bên ngoài(O)) Nên AC = CB hay C là điểm chính giữa cung AB
Do đó cát tuyến MCD qua O
Vậy để tứ giác AMED nội tiếp thì cát tuyến MCD đi qua O
0,5 điểm 0,25 điểm 4c Gọi I là trung điểm của MO Từ O kẻ OH ⊥ a ( H ∈ a )
Gọi K là trung điểm của OH Khi đó CK // a
Do O cố định; a cố định nên OH cố định, suy ra
K cố định và đường thẳng CK cố định Vậy khi M di động trên a thì quỹ tích trung điểm I của MO là đường thẳng song song với a và đi qua trung điểm K của OH ⊥ a
0,25 điểm 0,25 điểm
0,25 điểm
Đối với (O):
D
Oˆ
A = 2 ABˆD (góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn cung AD) Đối với ( O′):
C
Oˆ
A = A BˆC ( cùng chắn cung AC) Nên A BˆC = 2.A BˆD
Hay BD là phân giác của A BˆC Tương tự:
D
Oˆ
B = 2.B AˆD (góc ở tâm và góc nội tiếp chắn cung BD) C
Oˆ
B = B AˆC (cùng chắn cung BC)
Do đó B AˆC = 2.B AˆD nên AD là phân giác của B AˆC Vậy D là giao điểm hai đường phân giác của ∆ABC Hay D là tâm đường tròn nội tiếp ∆ABC
0,25 điểm 0,25 điểm
0,5 điểm 0,25 điểm
Trang 5*Số phân só ở mỗi nhóm bằng số thứ tự của nhóm đó
*Ở mỗi nhóm có tổng tử và mẫu các phân số bằng nhau
*Ở mỗi nhóm, phân số cuối cùng có mẫu luôn bằng 2 và tử số là số
phân số của nhóm đó
Do đó phân số 20112010 sẽ thuộc nhóm có các phân số tổng tử và mẫu
là : 2010 + 2011 = 4021 nên các phân số tận cùng của nhóm này là:
2
4019
và nhóm này có 4019 phân số
0,5 điểm
0,5 điểm