Nonlinear methods for nonlinear differential and integral equations

TỔNG QUAN VỀ KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU Trong Giải tích phi tuyến, việc nghiên cứu định lượng và định tính nhiều lớp phương trình xuất phát từ vật lý học, hoá học, cơ học, v.v., bởi tính ứng dụn

TỔNG QUAN VỀ KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU VÀ ĐÀO TẠO

A TỔNG QUAN VỀ KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU

Trong Giải tích phi tuyến, việc nghiên cứu định lượng và định tính nhiều lớp phương trình xuất phát từ vật lý học, hoá học, cơ học, v.v., bởi tính ứng dụng trong thực tiễn của chúng, luôn là dạng đề tài được quan tâm nghiên cứu rộng rãi trên cơ sở

sử dụng các công cụ một cách thích hợp cho từng dạng phương trình

Chúng tôi đã tiến hành tổ chức nhóm nghiên cứu về phương trình vi phân phi tuyến và phương trình tích phân phi tuyến để thực hiện đề tài nghiên cứu như đăng

ký, các kết quả thu được đã được công bố và nhận đăng, trong đó các phương pháp của Giải tích hàm phi tuyến đã được sử dụng phù hợp cho từng bài toán Chúng tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu để có thêm kết quả

Đề tài đã thu được các sản phẩm khoa học gồm:

- 04 bài báo Quốc tế thuộc danh mục ISI (1 SCI, 3 SCI-E), [1] – [4]

- 06 bài báo Quốc tế ngoài danh mục ISI, [5], [6], [8] – [11]

- 02 bài báo trong nước có uy tín, [7], [12]

Đề tài nghiên cứu thuộc lĩnh vực giải tích phi tuyến, với đối tượng nghiên cứu là các phương trình đạo hàm riêng và phương trình tích phân phi tuyến

Tiếp nối các công trình nghiên cứu của nhiều tác giả và của chúng tôi trước đây, đề tài xét một số bài toán biên cho phương trình đạo hàm riêng phi tuyến liên kết với các điều kiện biên phi tuyến ở các dạng cụ thể khác nhau Sử dụng các phương pháp của Giải tích hàm phi tuyến cho từng bài toán, chúng tôi khảo sát tính giải được của bài toán và một số tính chất của nghiệm như sự tồn tại duy nhất, tính chính quy, khai triển tiệm cận nghiệm, dáng điệu nghiệm, tính tắt dần của nghiệm, sự bùng nổ của nghiệm khi biến thời gian dần ra vô cùng

Đề tài cũng khảo sát tính giải được của một số phương trình tích phân phi tuyến nhận giá trị trong không gian Banach trừu tượng và một số tính chất của nghiệm bằng việc áp dụng các định lý điểm bất động phù hợp và các công cụ khác của Giải tích hàm phi tuyến

Đề tài nghiên cứu là mới và có nhiều ý nghĩa về mặt Toán học lý thuyết và có định hướng ứng dụng trong thực tiễn Vẫn còn ít kết quả cho các bài toán đạo hàm riêng phi tuyến cụ thể như thế, bởi vì phải có công cụ phù hợp, cùng với việc tính toán và đánh giá có tính chất kỹ thuật ứng với mỗi bài toán Cũng chưa có nhiều kết quả đối với dạng phương trình tích phân phi tuyến có giá trị trong không gian Banach trừu tượng, so với các kết quả thu được tương ứng trong không gian hữu hạn chiều

Chi tiết hơn, với chủ đề phương trình vi phân phi tuyến, chúng tôi xét các dạng cụ thể của các bài toán biên cho phương trình đạo hàm riêng phi tuyến có điều kiện biên tuyến tính hoặc phi tuyến Các vấn đề nghiên cứu ở đây là sự tồn tại, tính duy nhất

nghiệm, tính chính quy, dáng điệu nghiệm, tính tắt dần của nghiệm khi biến thời gian dần ra vô cùng hoặc sự bùng nổ của nghiệm ở một thời điểm hữu hạn và các tính chất khác của nghiệm của bài toán, khai triển tiệm cận của nghiệm bài toán nhiễu theo một hoặc nhiều tham số Các công cụ sử dụng chủ yếu là phương pháp điểm bất động, phương pháp xấp xỉ trong các không gian hàm được chọn phù hợp cùng với việc điều chỉnh, phát triển các công cụ thích nghi cho từng bài toán Do các bài toán khảo sát là

cụ thể, không nằm trong lớp các bài toán tổng quát đã giải được, nên các công cụ đã

có không hoàn toàn đáp ứng và tương thích để giải được mọi bài toán, sự khác biệt về phương trình hay điều kiện biên sẽ dẫn đến việc lựa chọn các không gian hàm đặc thù,

sử dụng các phép nhúng cùng với các đánh giá nghiệm xấp xỉ cụ thể hơn, Các kết quả thu được khá phong phú và đa dạng, đã phát triển và mở ra nhiều hướng nghiên cứu so với trước đây

Song song với chủ đề nói trên, đề tài nghiên cứu một số phương trình và hệ phương trình tích phân phi tuyến nhận giá trị trong không gian Banach trừu tượng cùng với việc sử dụng các định lý điểm bất động phù hợp Với công cụ chính là các định lý điểm bất động, chúng tôi đã chứng minh tính giải được của một số phương trình tích phân phi tuyến nhận giá trị trong không gian Banach trừu tượng và một số tính chất của nghiệm Kết quả thu được khá quan trọng vì các công trình trước đó đối với bài toán cùng dạng chỉ xét trong không gian hữu hạn chiều

Có một mối liên hệ chặt chẽ khi xem xét phương trình tích phân và phương trình vi phân, thông thường việc giải các phương trình vi phân có thể quy về giải các phương trình tích phân, hơn nữa các phương pháp và các kỹ thuật sử dụng để đạt được mục đích nghiên cứu đã bổ trợ cho nhau, đặc biệt là phương pháp điểm bất động, phương pháp compact; các lý luận thông qua tính trù mật; các kỹ thuật đánh giá trên các tích phân và trên các chuẩn trong các không gian hàm được lựa chọn tương ứng Ở phần dưới đây, chúng tôi sẽ nêu rõ hơn các kết quả chính trong 13 bài báo đã công bố và được liệt kê trong sản phẩm thu được của đề tài

Chương 1 Phương trình tích phân

Sự tồn tại nghiệm của các phương trình tích phân đã được nghiên cứu rộng rãi bởi nhiều tác giả thông qua các phương pháp, kỹ thuật khác nhau trong giải tích hàm, đặc biệt là sử dụng lý thuyết điểm bất động, chẳng hạn như định lý điểm bất động Banach, định lý điểm bất động kiểu Krasnoselskii, định lý điểm bất động Darbo, nguyên lý loại trừ phi tuyến (the nonlinear alternative) của Leray-Schauder Có rất nhiều kết quả đáng chú ý về tính giải được, sự ổn định tiệm cận và một số tính chất khác của nghiệm, về chi tiết có thể xem các tài liệu trích dẫn trong [1], [6] – [10]

Các phương trình tích phân đã thu hút sự quan tâm lớn trong lĩnh vực giải tích phi tuyến không chỉ vì nội dung toán học của chúng mà còn vì các ứng dụng của chúng

trong các lĩnh vực khác nhau của khoa học và công nghệ, kỹ thuật, cơ học, vật lý, kinh

tế, (xem các tài liệu của C Corduneanu, 1991, Integral equations and applications, pp.

273 - 275; K Deimling, 1985, Nonlinear Functional Analysis, pp 240, 243, 244).

1.1 Phương trình tích phân một biến

Kết hợp hai định lý Banach và Schauder, Krasnosel’skii đã chứng minh được định

lý Krasnosel’skii và từ khi xuất hiện định lý này, người ta đã xét đến sự tồn tại nghiệm của các phương trình tích phân chứa tổng hai số hạng tích phân mà các hàm dưới dấu tích phân tương ứng lần lượt thoả điều kiện Lipschitz và điều kiện liên tục, mở ra nhiều công trình nghiên cứu về các định lý điểm bất động kiểu Krasnosel’skii và ứng dụng Tiếp nối các kết quả thu được cho phương trình tích phân Volterra phi tuyến, trên

cơ sở vận dụng một định lý kiểu Krasnosel’skii [Ngoc-Long, Fixed Point Theory and Applications, Vol 2006 (2006), Article ID 30847, Theorem 2.1] làm công cụ chính kết

hợp sử dụng định lý Banach trong không gian Fréchet và định lý hội tụ bị chặn (the dominated convergence theorem) cùng các công cụ khác của giải tích hàm, trong [8], chúng tôi đã chứng minh các điều kiện đủ bảo đảm cho sự tồn tại nghiệm và tồn tại nghiệm ổn định tiệm cận của phương trình tích phân phi tuyến Volterra - Hammerstein

x(t) = V t, x(t),

Z µ

1 ( t )

0 V1 t, s, x(σ1(s)),

Z µ

2 ( )

0 V2(t, s, r, x(σ2(r)))dr ds (1.1)

+

Z ∞

0 F t, s, x(χ1(s)), , x(χq(s)),

Z µ3( )

0 F1(t, s, r, x(σ3(r)))dr ds,

t2 R+, ở đây E là một không gian Banach, các hàm V :R+ E2 ! E; V1 : ∆1 E2 !

E; V2 : ∆2 E ! E; F : R2+ Eq+1 ! E, F1 : R+ ∆3 E ! E; µ1, µ2, µ3, σ1, σ2,

σ3, χ1, , χq 2 C(R+;R+) là các hàm liên tục cho trước và ∆1 = f(t, s) 2 R2+ : s

µ1(t)g, ∆2 = f(t, s, r) 2 R3+ : r µ2(s), s µ1(t)g,∆3 = f(s, r) 2 R2+ : r µ3(s)g Trường hợp E = Rd, dưới các giả thiết thích hợp và áp dụng một định lý điểm bất động kiểu Krasnosel’skii, một số dạng đặc biệt của (1.1), đã được nghiên cứu bởi C

Avramescu và C Vladimirescu [ Electronic J Diff Equat 126 (2005); Electronic J Qualita-tive Theory of Diff Equat 2005(25) (2005)]

Chúng tôi cũng nêu được các ví dụ minh họa để thấy rằng việc xem xét phương trình (1.1) trong không gian Banach tổng quát là cần thiết

1.2 Phương trình tích phân nhiều biến

Cũng áp dụng các công cụ chính như đã nêu trên, với việc cải tiến các kỹ thuật đã

sử dụng, đặc biệt là chứng minh được các bất đẳng thức mới về tích phân, trong [1], [8] – [10], chúng tôi đã thu được các kết quả về sự tồn tại nghiệm ổn định tiệm cận của

các phương trình tích phân nhiều biến Chẳng hạn, trong [8], chúng tôi đã cho được

các điều kiện để phương trình tích phân hàm nhiều biến sau đây tồn tại nghiệm và tồn

tại nghiệm ổn định tiệm cận

u(x) = V x, u(x),

Z

BxV1(x, y, u(σ1(y)))dy +

Z

R NF(x, y, u(σ2(y)))dy, (1.2)

x 2 R+N = f(x1, , xN) 2 RN : x1 0, , xN 0g, trong đó E là không gian Banach với chuẩnj j, V : RN+ E2 ! E; V1 : ∆ E ! E; F :R2N+ E ! E, σ1, σ2 : RN+ ! RN+

là các hàm liên tục và∆ = f(x, y) 2 R2N+ : y 2 Bxg, Bx = [0, x1] [0, xN], các hàm

σ1, σ2 : R+N ! R+N liên tục sao cho σ1(x) 2Bx, 8x2 RN+

Các ví dụ minh họa cho dạng phương trình (1.2) cũng được trình bày để làm rõ hơn kết quả đạt được

Các bất đẳng thức mới về tích phân mà chúng tôi vừa đề cập được nêu trong bổ đề sau, chứng minh bổ đề này được thực hiện bằng phương pháp quy nạp toán học và các tính chất của một chuỗi hội tụ

Bổ đề Giả sử w, a 2 C(RN+;R+) Cho hàm r 2 C(∆;R+) sao cho r(x, y) r(x, 0)

r(0, 0),8y2 Bx, 8x2 RN+, hàm σ12 C(RN+;R+N), sao cho σ1(x) 2 Bx,8x 2 RN+ Nếu

w(x)

Z

B x

r(x, y)w(σ1(y))dy+a(x),

với mọi x2 R+N, thì

(i) w(x) ¯a(x) +¯r(x)∑∞k = 0

( ¯r ( 0 ) x1 xN)k ( k! )N

Z

Bx¯a(y)dy, (ii) w(x) ¯a(x) +¯r(x)exp( ¯r(0)x1 xN)

Z

B x

¯a(y)dy,

với mọi x2 R+N, trong đó

¯a(x) = a(x) +a(σ1(x)), ¯r(x) =r(x, 0) +r(σ1(x), 0)

Chúng tôi cũng nêu được các ví dụ minh họa để thấy rằng việc xem xét phương trình (1.1) trong không gian Banach tổng quát là cần thiết

1.3 Hệ phương trình tích phân

Trong [6], chúng tôi xét hệ phương trình hàm phi tuyến bị nhiễu sau đây

fi(x) = ∑m

k = 1

n

∑

j = 1

εaijkΨ x, fj(Rijk(x)),

Z Xijk(x)

0 fj(t)dt +bijkfj(Sijk(x)) +gi(x),

(1.3)

i =1, , n, x 2 Ω = [ b, b], trong đó ε là một tham số bé, aijk, bijk là các hằng số thực;

Rijk, Sijk, Xijk : Ω ! Ω, gi : Ω ! R, Ψ : Ω R2 ! Rlà các hàm số liên tục cho trước

và fi : Ω! Rlà các ẩn hàm

Bằng cách sử dụng định lý điểm bất động Banach, chúng tôi chứng minh các điều

kiện đủ cho sự tồn tại duy nhất nghiệm và tính ổn định nghiệm của (1.3) Sự hội tụ bậc hai của (1.3) trong trường hợpΨ 2 C2(Ω R2;R)cũng được khảo sát thông qua khai triển Taylor và một số các kỹ thuật tính toán Chúng tôi cũng thiết lập một khai triển tiệm cận nghiệm của (1.3) đến cấp N+1 theo tham số bé ε trong trường hợp

Ψ2 CN(Ω R2;R) Các ví dụ minh họa cho các kết quả cũng được trình bày trong [6]

Chương 2 Phương trình vi phân đạo hàm riêng Phương trình vi phân đạo hàm riêng được nghiên cứu lần đầu tiên vào giữa thế

kỷ XVIII bởi những nhà toán học như L Euler (1707-1783), D’Alembert (1717-1783), Lagrange (1736-1813) và Laplace (1749 -1827) như là một công cụ quan trọng để mô

tả các mô hình của vật lý và cơ học Từ đó đến nay, lý thuyết phương trình đạo hàm riêng đã phát triển không ngừng và đóng vai trò quan trọng trong lĩnh vực toán học

lý thuyết cũng như trong lĩnh vực toán ứng dụng, thúc đẩy sự phát triển các ý tưởng toán học trong nhiều lĩnh vực, làm nảy sinh nhiều phương pháp hữu hiệu để giải quyết các bài toán cho phương trình đạo hàm riêng như phương pháp Fourier, phương pháp Galerkin, v.v

Thực tế cho thấy rằng, có rất nhiều dạng bài toán biên cho phương trình đạo hàm riêng và không tồn tại một phương pháp chung nào để giải được tất cả các bài toán đó, còn nhiều dạng bài toán vẫn là "bài toán mở" - cần tiếp tục khảo sát Do tính chất phi tuyến, bài toán thường khá phức tạp, đòi hỏi phải lựa chọn các công cụ toán học thích hợp kèm theo một số kỹ thuật tính toán tinh tế để thu được các thông tin về nghiệm càng nhiều càng tốt, như sự tồn tại nghiệm, tính duy nhất, tính trơn, tính ổn định hoặc

là khai triển tiệm cận nghiệm, v.v

Ngoài các phương pháp đặc thù thường áp dụng cho các phương trình sóng như

đã nêu, chúng tôi đã xây dựng khai triển Taylor cho hàm hợp, xem [2] Khai triển này

đã giúp việc tính toán thuận lợi hơn, đặc biệt là các tính toán để thiết lập các khai triển tiệm cận cấp cao theo nhiều tham số bé của nghiệm

2.1 Phương trình sóng phi tuyến

Trong [5], từ các kết quả trong các bài báo [Nonlinear Anal Ser B: RWA 4 (3) (2003)

483 – 501; Nonlinear Anal Ser B: RWA 11 (5) (2010) 3453 – 3462] cho các mô hình mô

tả sự lan truyền của sóng điện từ tần số cao trong điện môi phi tuyến, chúng tôi nghiên cứu một mô hình tương tự như sau: Tìm(u, P)sao cho

8

>

>

>

>

utt uxx+α(x)ut+β(x)Ptt(x, t) = f(x, t), 0<x <1, 0<t<T,

ux(0, t) =hu(0, t) +λut(0, t), u(1, t) =0,

u(x, 0) = u˜0(x), ut(x, 0) =u˜1(x),

(2.1)

ở đây h 0, λ > 0 là các hằng số cho trước và ˜u0, ˜u1, f , α, β là các hàm số cho trước

thoả các điều kiện thích hợp, các hàm số chưa biết u(x, t)và P(x, t)thoả mãn phương

trình tích phân

P(x, t) = P˜0(x) +Z t

0 g(x, t s)G(u(x, s), P(x, s))ds, 0<x<1, 0<t <T, với g, G, ˜P0là các hàm số cho trước

Bằng thuật giải lặp tuyến tính kết hợp với phương pháp Faedo-Galerkin, sử dụng các kỹ thuật đánh giá tiên nghiệm và phương pháp compact yếu, chúng tôi chứng minh được các kết quả về sự tồn tại, tính duy nhất, dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi

λ!0+và khai triển tiệm cận của nghiệm đến cấp N theo một tham số bé λ với sai số

λN+

1

2

Trong [11], chúng tôi xét bài toán giá trị biên và ban đầu sau đây cho phương trình sóng phi tuyến

8

>

>

>

>

>

>

<

>

>

>

>

>

>

:

utt ∂x ∂ (µ(x, t)ux) +Kjujp 2u+λjutjq 2ut = F(x, t),

0<x <1, 0<t<T,

µ(0, t)ux(0, t) = g0(t) +

Z t

0 k0(t s)u(0, s)ds,

µ(1, t)ux(1, t) = g1(t) +

Z t

0 k1(t s)u(1, s)ds,

u(x, 0) = u˜0(x), ut(x, 0) = u˜1(x),

(2.2)

với K > 0, λ > 0 là các hằng số cho trước, p, q > 2 và F, µ, g0, g1, k0, k1, ˜u0, ˜u1 là các hàm số cho trước Với giả thiết (u˜0, ˜u1, g0, g1, k0, k1) 2 H2 H1 H2(0, T) 2

W2,1(0, T) 2, µ2C1 QT , µtt 2 L1(0, T; L∞), µ(x, t) µ0 >0 hầu khắp(x, t)2 QT, chúng tôi chứng minh (2.2) tồn tại duy nhất một nghiệm yếu Một khai triển tiệm cận của nghiệm u của bài toán (2.2) đến cấp N+1 theo hai tham số bé K, λ cũng được thiết

lập

Trong [3], chúng tôi xét bài toán giá trị biên và ban đầu cho hệ phương trình sóng phi tuyến

8

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

utt uxx+λ1jutjr1 2

ut = f1(u, v) +F1(x, t), 0<x <1, 0<t<T,

vtt vxx+λ2jvtjr2 2

vt = f2(u, v) +F2(x, t), 0<x <1, 0<t<T,

u(0, t) = u(1, t) =0,

vx(0, t) +Kjv(0, t)jp 2v(0, t) = µjvt(0, t)jq 2vt(0, t), v(1, t) = 0,

u(x, 0) = u˜0(x), ut(x, 0) =u˜1(x),

v(x, 0) = ˜v0(x), vt(x, 0) = ˜v1(x),

(2.3)

ở đây p 2, q 2, K>0, µ >0, λi >0, ri 2(i =1, 2)là các hằng số cho trước và f1,

f2, F1, F2, ˜ui, ˜vi,(i =0, 1)là các hàm số cho trước thoả các điều kiện thích hợp.

Cũng sử dụng phương pháp Faedo-Galerkin, các lý luận về sự trù mật, về sự hội tụ yếu, sử dụng các định lý nhúng compact, chúng tôi đã chứng minh được hai định lý

về sự tồn tại nghiệm Khi nghiên cứu tính giải được, bài toán (2.2) được xét trong hai trường hợp(p, q) : p 2, 2 q 4 hoặc p 3, q >4 và r1 2, r2 2 Trong trường hợp q = 2 và p 2, nghiệm tồn tại duy nhất Mặt khác, khi xét bài toán trong trường hợp p > 2 và q = r1 = r2 = 2, kết quả thu được trong [3] cho thấy rằng nếu năng lượng ban đầu âm thì nghiệm sẽ bùng nổ ở một thời điểm hữu hạn, nếu năng lượng ban đầu dương và đủ bé thì nghiệm tắt dần dưới dạng mũ

Tính tắt dần của nghiệm của phương trình sóng cũng được xem xét và chứng minh trong [12]

2.2 Phương trình Love phi tuyến

Tiếp theo, chúng tôi sẽ đề cập đến kết quả thu được trong [4]

Sử dụng các phương pháp nêu ở trên khi giải các bài toán về phương trình sóng, với sự cải tiến thích hợp và chọn lựa công cụ tương thích, chúng tôi chứng minh được các kết quả về sự tồn tại nghiệm của hai bài toán biên - ban đầu sau đây cho phương trình Love phi tuyến

8

>

>

>

<

>

>

>

:

utt uxx εuxxtt+λjutjq 2ut+Kjujp 2u= F(x, t), 0< x<1, 0<t<T,

εuxtt(0, t) +ux(0, t) = hu(0, t) +g(t),

u(1, t) =0,

u(x, 0) = u˜0(x), ut(x, 0) = u˜1(x),

(2.4)

ở đây p>1, q >1, ε > 0, λ >0, K >0, h 0 là các hằng số và ˜u0, ˜u1, F, g là các hàm

số cho trước thoả các điều kiện thích hợp Mặt khác, dáng điệu tiệm cận của nghiệm

khi ε!0+cũng được trình bày

B KẾT QUẢ ĐÀO TẠO

1 Triển khai vào đề tài nghiên cứu của luận văn Thạc sĩ

Các kết quả nghiên cứu, cùng một số vấn đề có tính chất cụ thể hoá hoặc tổng quát hơn so với kết quả, đã được triển khai vào các đề tài nghiên cứu của luận văn Thạc sĩ

và sau đó mở rộng để tiếp tục nghiên cứu theo các nhóm chuyên sâu, tạo cơ sở cho việc đào tạo nghiên cứu sinh Các buổi sinh hoạt học thuật của các nhóm nghiên cứu cũng tạo điều kiện thuận lợi cho các học viên cao học trong đào tạo và nghiên cứu khoa học

Kết quả là, có 20 luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán Giải tích đã bảo vệ thành công (trong đó 10 luận văn thuộc cơ sở đào tạo là ĐH KHTN Tp HCM) và một số luận

văn đang tiếp tục hướng dẫn theo hướng nghiên cứu của đề tài

2 Triển khai vào đề tài nghiên cứu của luận án Tiến sĩ

Các bài toán biên phi tuyến trên đây được giải bằng việc tìm kiếm và phát triển các công cụ toán học phù hợp cho từng loại bài cụ thể Không có một phương pháp nào có thể giải được cho mọi bài toán, các bài toán biên phi tuyến ở trên nói chung chưa giải được hoặc chỉ giải được một phần tương ứng với các yếu tố phi tuyến cụ thể nào đó,

do đó việc giải các bài toán "mở" này là một trong những dạng đề tài nghiên cứu có ý nghĩa lý luận và thực tiễn cho các luận án Tiến sĩ

Hai NCS Nguyễn Anh Triết và NCS Lê Khánh Luận đã bảo vệ thành công luận án theo hướng đề tài và đang tiếp tục nghiên cứu để tìm kiếm kết quả mới Chúng tôi cũng đang hướng dẫn hai NCS Nguyễn Tuấn Duy và Nguyễn Văn Ý (khóa học 2013-2016) thực hiện theo đúng kế hoạch học tập, nghiên cứu của chương trình NCS

3 Hợp tác nghiên cứu và tham gia hội thảo khoa học để hỗ trợ công tác đào tạo

Nhóm nghiên cứu chúng tôi thường xuyên trao đổi học thuật để tích luỹ kinh nghiệm nghiên cứu, để chia sẻ thông tin và nâng tầm hiểu biết Các thành viên của

đề tài đã rất tích cực và biết phối hợp trong nghiên cứu, để bảo đảm đúng tiến độ thực hiện đề tài

Từ 03/2013 đến nay, chúng tôi đã được Quỹ nghiên cứu trọng điểm của Đại học Quốc gia tạo điều kiện nghiên cứu và do đó đã nghiên cứu có kết quả, góp phần đào tạo các nhà nghiên cứu trẻ đồng thời góp phần tăng số lượng công trình Toán ở Việt Nam được công bố trên các Tạp chí quốc tế có uy tín

Chúng tôi cũng tích cực tham gia và báo cáo tại các hội thảo khoa học tại các trường đại học, tại hội nghị Toán học Toàn quốc, để học hỏi và trao đổi kinh nghiệm, để có thêm hiểu biết về sự phát triển của chuyên ngành nói riêng và nền Toán học nói chung Qua một số hội thảo, chúng tôi có thêm mối quan hệ với các đồng nghiệp cùng lĩnh vực, được biết thêm các định hướng trong đào tạo Thạc sĩ, đào tạo Tiến sĩ để luôn thực hiện tốt công tác này

Qua nghiên cứu, năng lực chuyên môn được nâng cao, để từ đó góp phần hữu ích vào công tác đào tạo của Đại học Quốc gia Tp HCM

KẾT LUẬN

Hoàn thành đề tài nghiên cứu theo đúng đề cương đã được duyệt, đúng tiến độ, với số sản phẩm vượt mức đăng ký

TÀI LIỆU DẪN

[1] Le Thi Phuong Ngoc, Nguyen Thanh Long, Existence of asymptotically stable so-lutions for a mixed functional nonlinear integral equation in N variables, Mathematische

Nachrichten (SCI) (accepted for publication) [manuscript number: mana.201300065 ]

Online ISSN: 1522-2616

Monthly ISSN: 0025-584X

http://onlinelibrary.wiley.com/journal/10.1002/(ISSN)1522-2616

http://mc.manuscriptcentral.com/mana

2013 impact factor: 0.658

[2] Le Thi Phuong Ngoc, Nguyen Anh Triet, Taylor’s expansion for composite functions,

The Scientific World Journal: Mathematical Analysis, Vol 2013, Article ID 536280, 7 pages (SCI-E)

http://www.hindawi.com/journals/tswj/2013/536280/

ISSN 1537-744X

http://dx.doi.org/10.1155/2013/536280

Impact Factor: 1.730

[3] Le Thi Phuong Ngoc, Nguyen Thanh Long, Existence, blow-up and exponential

decay estimates for a system of nonlinear wave equations with nonlinear boundary conditions,

Mathematical Methods in the Applied Sciences, 37 (4) (2014) 464-487 (SCI-E)

http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/mma.2803/abstract

Online ISSN: 1099-1476

Impact Factor: 0.877

[4] Le Thi Phuong Ngoc, Nguyen Tuan Duy, Nguyen Thanh Long, Existence and properties of solutions of a boundary problem for a Love’s equation, Bulletin of the Malaysian

Mathematical Sciences Society, 37(4)(2014) 997-1016 (SCI-E)

http://math.usm.my/bulletin/pdf/v37n3/v37n4p8.pdf

http://math.usm.my/bulletin/html/vol37_4.htm

ISSN: 0126-6705

2013 impact factor: 0.854

[5] Le Thi Phuong Ngoc, Nguyen Huu Nhan, Tran Minh Thuyet, Nguyen Thanh

Long, A nonlinear wave equation associated with a nonlinear integral equation, Nonlinear

Functional Analysis and Applications, 18 (4)(2013) 545-578.

ISSN 1229-1595 http://nfaa.kyungnam.ac.kr/jour-NFAA.htm

[6] Le Thi Phuong Ngoc, Huynh Thi Hoang Dung, Pham Hong Danh, Nguyen

Thanh Long, Linear approximation and asymptotic expansion associated with the system of nonlinear functional equations, Demonstratio Math 47 (1) (2014) 103 – 124.

ISSN: 0420-1213

http://www.degruyter.com/view/j/dema.2014.47.issue-1/issue-files/dema.2014.47.issue-1.xml

[7] Le Thi Phuong Ngoc, Nguyen Thanh Long, Asymptotically stable solutions for

a nonlinear functional integral equation, Acta Mathematica Vietnamica [Ref.: Ms No

AMVI-D-13-00050R2] (accepted for publication) [Feb 10, 2014]

ISSN: 0251– 4184

[8] Le Thi Phuong Ngoc, Nguyen Thanh Long, On the existence of asymptotically stable

solutions for a mixed functional integral equation in N variables, Differential Equations &

Applications, 6 (2) (2014) 187-208.

ISSN: 1847-120X http://dea.ele-math.com/volume/6

[9] Le Thi Phuong Ngoc, Tran Minh Thuyet, Nguyen Thanh Long, A nonlinear

Volterra - Hammerstein integral equation in three variables, Nonlinear Functional

Analy-sis and Applications, 19 (2) (2014)193 – 211.

ISSN 1229-1595 http://nfaa.kyungnam.ac.kr/jour-NFAA.htm

[10] Pham Hong Danh, Le Thi Phuong Ngoc, Nguyen Thanh Long, Solvability and

asymptotically stable of a mixed functional integral equation in N variables,Nonlinear

Func-tional Analysis and Applications, 19 (3) (2014) 435 – 456.

ISSN 1229-1595 http://nfaa.kyungnam.ac.kr/jour-NFAA.htm

[11] Le Thi Phuong Ngoc, Le Khanh Luan, Nguyen Anh Triet, On a nonlinear wave

equation asociated with the nonhomogeneous boundary conditions involving convolution,

Non-linear Functional Analysis and Applications, 19 (4) (2014) 523-545.

ISSN 1229-1595 http://nfaa.kyungnam.ac.kr/jour-NFAA.htm

[12] Le Thi Phuong Ngoc, Nguyen Anh Triet, Nguyen Thanh Long, Existence and

decay of solutions a mixed nonlocal problem, Vietnam Journal of Mathematics (accepted

for publication) [Oct 05, 2014]

ISSN: 0866 – 7179 https://www.editorialmanager.com/vjom/