Với mỗi giá trị và , tìm số lượng nhỏ nhât các quân có thể đặt được như trên.[r]
Trang 1Thcmn.wordpress.com
EGMO 2016 Bustani - Romania
Ngày 1
April 12
1 Cho là số nguyên dương lẻ, và , , , … , là các số thực không âm Chứng minh rằng:
, , ( + ) ≤
với =
2 Cho tứ giác nội tiếp, với hai đường chéo và giao nhau tại Gọi
, và lần lượt là trung điểm của , và giao tại ,
giao lần lượt hai đường chéo , tại , Chứng minh là tiếp tuyến của đường tròn ( ).
3 Cho là một số nguyên dương Ta xét hình vuông x Hai ô vuông đơn vị
được coi là liên hệ nếu như chúng ở cùng cột hoặc cùng hàng Một ô vuông đơn vị không thể liên hệ với chính nó Một số ô vuông được tô màu xanh sao cho mỗi hình vuông đều liên hệ với ít nhất 2 ô hình vuông xanh Tìm số lượng nhỏ nhất ô vuông
cần tô xanh
Trang 2Thcmn.wordpress.com
Ngày 2
April 13
4 Hai hình tròn có bán kính như nhau , giao nhau tại hai điểm , Vẽ hình tròn tiếp xúc ngoài với đường tròn tại và tiếp xúc trong với đường tròn tại Chứng minh rằng giao với tại 1 điểm thuộc đường tròn .
5 Cho và là hai số nguyên sao cho ≥ và ≤ ≤ − Đặt các quân chữ
nhật kích thước x hoặc x lên bàn cờ x sao cho mỗi quân chữ nhật đó bao
phủ đúng ô vuông đơn vị của bàn cờ và không có hai quân nào đè lên nhau Tiếp tục đặt như vậy cho tới khi không thể đặt được quân chữ nhật nào được nữa Với mỗi giá trị và , tìm số lượng nhỏ nhât các quân có thể đặt được như trên
6 Cho là tập hợp tất cả các số nguyên dương sao cho có một ước nằm trong khoảng + , + , … , + Chứng minh rằng có vô số phần tử của có thể biểu diễn dưới một trong các dạng , + , + , + , + , với
mỗi dạng có vô hạn số, và không có phần tử nào biểu diễn được dưới dạng
+ , + , với là số nguyên