XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ QUY HOẠCH PHI TUYẾN

ĐẶT VẤN ĐỀ :Quy hoạch phi tuyến một biến, không ràng buộc có dạng :tối ưu hoá : z=f(x) khi f(x) là một hàm số (phi tuyến) theo biến x và việc tìm kiếm giá trị tối ưu (cực đại hoặc cực tiểu) được tiến hành trên một khoảng không xác định (∞, +∞). Nếu việc tìm kiếm được giới hạn thành một đoạn xác định a, b, thì bài toán trở thảnh :tối ưu hoá : z=f(x) với : a ≤x≤b đây là bài toán một biến, có ràng buộc.TỐI ƯU CỤC BỘ VÀ TOÀN CỤC :Hàm mục tiêu f(x) có cực tiểu cục bộ (cực tiểu tương đối) tại x0 nếu tồn tại một khoảng (nhỏ) (thuộc miền xác định của x) chứa x0 mà f(x) ≥ f(x0) với mọi x trong khoảng này. Nếu f(x) ≥ f(x0) với mọi x trong miền xác định, thì cực tiểu cục bộ tại x0 sẽ trở thành cực tiểu toàn cục (hay cực tiểu tuyệt đối). Cực đại cục bộ và cực đại toàn cục cũng được định nghĩa tương tự (thay lớsn hơn thành nhỏ hơn).

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HỌC VIỆN KỸ THUẬT QUÂN SỰ KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN

-o0o -BÁO CÁO ĐỀ TÀI GIỮA HỌC PHẦN

ĐỀ TÀI SỐ 11:

XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ QUY HOẠCH PHI TUYẾN

HỌ TÊN:

LÊ ANH HUY

LỚP K26A - CHUYÊN NGÀNH: KHMT

TP.HCM, Tháng 11/2014 Quy Hoạch Phi Tuyến

Bài Toán Quy Hoạch Phi Tuyến: Cho trước các hàm số f, g1, , gm của n biểu thức, hãy

xác định vectơ n chiều x = (x1, x2, , xn) thoả mãn các điều kiện xj ≥ 0, j = 1, 2, , n gi(x) ≤ 0, i = 1, 2, , m và đạt cực tiểu toàn cục của hàm mục tiêu f(x)

CHƯƠNG X: QUY HOẠCH PHI TUYẾN : TỐI ƯU HOÁ MỘT BIẾN

ĐẶT VẤN ĐỀ :

- Quy hoạch phi tuyến một biến, không ràng buộc có dạng :

tối ưu hoá : z=f(x) khi f(x) là một hàm số (phi tuyến) theo biến x và việc tìm kiếm giá trị tối ưu (cực đại hoặc cực tiểu) được tiến hành trên một khoảng không xác định (-∞, +∞)

- Nếu việc tìm kiếm được giới hạn thành một đoạn xác định [a, b], thì bài toán trở thảnh :

tối ưu hoá : z=f(x) với : a ≤x≤b đây là bài toán một biến, có ràng buộc

TỐI ƯU CỤC BỘ VÀ TOÀN CỤC :

- Hàm mục tiêu f(x) có cực tiểu cục bộ (cực tiểu tương đối) tại x0 nếu tồn tại một khoảng (nhỏ) (thuộc miền xác định của x) chứa x0 mà f(x) ≥ f(x0) với mọi x trong khoảng này Nếu f(x) ≥ f(x0) với mọi x trong miền xác định, thì cực tiểu cục bộ tại x0 sẽ trở thành cực tiểu toàn cục (hay cực tiểu tuyệt đối) Cực đại cục bộ và cực đại toàn cục cũng được định nghĩa tương tự (thay lớsn hơn thành nhỏ hơn)

Ví dụ 10.1

- Đồ thị của hàm số ở hình 10.1 được xác định trên đoạn [a, b]

- Cực tiểu cục bộ tại : a, x2, x4

- Cực đại cục bộ tại : x1, x3, b

- Cực tiểu toàn cục tại : x2

- Cực đại toàn cục tại : x1, b

NHỮNG KẾT QUẢ TỪ TÍNH TOÁN :

- Định lý 10.1 : Nếu f(x) liên tục trên đoạn đóng và bị chặn [a, b] thì f(x) có cực trị (cả cực đại lẫn cực tiểu) trên đoạn này

- Định lý 10.2 : Nếu f(x) có một cực trị cục bộ tại x0 và f(x) khả vi (có đạo hàm) trên khoảng chứa x0 thì f’(x0) = 0

- Định lý 10.3 : Nếu f(x) có đạo hàm bậc hai trên khoảng chứa x0, và nếu

- f’(x0) = 0 và f’’(x0) > 0 thì f(x) có cực tiểu cục bộ tại x0

f’(x0) = 0 và f’’(x0) < 0 thì f(x) có cực đại cục bộ tại x0

- Hai định lý 10.1 và 10.2 chỉ ra rằng, nếu hàm f(x) liên tục trên đoạn [a,b] thì cực trị cục bộ và toàn cục sẽ xảy ra tại những điểm sau : những điểm mà f’(x) không tồn tại, những điểm mà f’(x)=0 (thường được gọi là những điểm tới hạn hoặc điểm dừng), hoặc trong số những điểm biên x=a hoặc x=b

BÀI TẬP MẪU:

- Cực đại: z = x(5π-x) trên đoạn [0, 20]

- Ở đây f(x) = x(5π-x) là hàm liên tục, và f’(x) = 5π-2x Với đạo hàm luôn xác định, cực đại toàn cục trên đoạn [0, 20] xảy ra tại điểm biên x=0 hoặc x=20, hoặc tại điểm dừng khi f’(x)=0 Ta tính được x=5π/2 là điểm dừng duy nhất trên đoạn [0, 20] Tính giá trị của hàm tại những điểm này, ta thu được bảng sau :

Kết luận : x* = 5π/2 , với z* = 85.84

I Bài Tập Áp Dụng

Bài 10.15:

Tính A[0,3]; B [0,2]; C [0,]

Bài Giải

Lấy đạo hàm cấp 1 ta có:

Với

 A[0,3] khi cho

Tại A[0,3] độ dốc là [-1,32]

 B[0,2] khi cho

Tại B[0,2] độ dốc là [-4,4]

 C[0,] khi cho

Tại B[0,] độ dốc là [-4,]

CHƯƠNG XI: CHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN TỐI ƯU ĐA BIẾN KHÔNG HẠN CHẾ

HOOKE – JEEVES’ PATTERN SEARCH

Phương pháp này là một thuật toán trực tiếp tìm kiếm mà sử dụng thăm dò, trong đó xác định một hướng đi thích hợp và mô hình di chuyển , trong đó đẩy mạnh việc tìm kiếm Phương pháp này được bắt đầu bằng cách chọn một vector ban đầu

và kích thước h

Bước 1: Di chuyển thăm dò xung quanh B được thực hiện bởi xáo trộn các thành phần

của B, theo thứ tự, bởi + hoặc - đơn vị h Nếu một trong hai nhiễu loạn cải thiện (tức là

tăng) giá trị của hàm mục tiêu vượt quá giá trị hiện tại, giá trị ban đầu là f (B), giá trị nhiễu loạn của thành phần đó được giữ lại Sau khi mỗi thành phần đã được thử nghiệm lần lượt, các vectơ kết quả được ký hiệu là C Nếu C = B, đi đến Bước 2; nếu không thì chuyển sang Bước 3

Bước 2: B là vị trí của tối đa trong khả năng chịu đựng của h Hoặc h được giảm xuống

và lặp đi lặp lại bước 1, hoặc tìm kiếm được, chấm dứt với X * = B

Bước 3: Thực hiện chuyển mô hình để tạm thời vector T = 2C-B (T đạt được bằng cách

di chuyển từ B đến C và tiếp tục trong một khoảng cách bằng nhau trong cùng một

hướng.)

Bước 4: Hãy di chuyển thăm dò xung quanh T tương tự như xung quanh B được mô tả

trong Bước 1 Gọi kết quả vector S Nếu S = T, đi đến bước 5; nếu không đi đến Bước 6

Bước 5: Set B = C và trở về Bước 1

Bước 6: Set B = C, C = S, và quay lại Bước 3.

Bài Tập Áp Dụng:

Bài Giải

Max: Z =

-Chuyển bài toán về:

Min: Z =

Ta có: => Z = 10

Khi thì là giá trị nhỏ nhất và là giá trị lớn nhất đạt được khi :

Bài 11.21:

Tìm Max Z =

-CHƯƠNG XII

TỐI ƯU HOÁ PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN VỚI HÀM NHIỀU BIẾN

CÓ HẰNG SỐ

Dạng chuẩn cho các quy hoạch phi tuyến chỉ chứa các ràng buộc là đẳng thức:

Cực đại:

Ràng buộc:

(12.1)

với:

Dạng chuẩn cho quy hoạch phi tuyến chỉ chứa các ràng buộc là bất đẳng thức:

Cực đại:

Ràng buộc:

(12.2)

Hoặc

Cực đại:

Ràng buộc:

(12.3)

Với:

Hai quy hoạch (12.2) và (12.3) là như nhau

Quy hoạch dạng (12.3) thích hợp với các phương pháp giải yêu cầu các biến không âm.

Bài Giải:

Đưa bài toán về dạng chuẩn:

Maximize: (2)

Với ràng buộc:

Ta có:

n = 2 biến, m = 1 ràng buộc

Xét hàm Lagrange:

Ta được:

(3)

(4) (5) Giải hệ 3 phương trình (3), (4), (5):

Từ (4):

(Vì nếu thì (3) không thỏa mãn: )

Từ (5) và (6): => hoặc (7)

Bài 12.17:

Với ràng buộc:

Từ (3) và (7): => hoặc

Ta được hai không điểm: (2, 0) và (-2, 0)

Xét hàm mục tiêu tại hai điểm này:

Với

Với

Hàm mục tiêu của bài toán (2) đạt giá trị cực đại toàn cục tại (2, 0) và đạt giá trị cực tiểu toàn cục tại (-2, 0)

Vì vậy hàm mục tiêu của bài toán (1) đạt giá trị cực tiểu toàn cục tại (2, 0):

Bài Giải:

Đưa dạng chuẩn : Min Max

Max:

Ta thấy bài toán có 3 biến và 1 ràng buộc

Xét hàm:

Bài 12.22:

Tìm Min

Ràng buộc

Từ (3)

Từ (1)

Ta được :

Trường hợp 1:

Với (A )

Thế (A) vào (4) Ta có:

Đặt

Với

Với

Với

Trường hợp 2:

Với (B)

Thế (B) vào (4) ta có:

Đặt

Với

Thế vào (4)

_The end_