Trắc nghiệm Lũy thừa, mũ và logarit thi THPTQG môn Toán, có đáp án

Với các số thực a, b bất kỳ, mệnh đề nào dưới đây đúngA. Mệnh đề nào dưới đây đúng.[r]

KIỂM TRA

1 Mức độ nhận biết 3

2 Mức độ thông hiểu 73

3 Mức độ vận dụng thấp 245

4 Mức độ vận dụng cao 340

5 Bài toán vận dụng thực tế 386

NỘI DUNG CÂU HỎI

Điều kiện để hàm số y = logaf (x) (0 < a 6= 1) có nghĩa là f (x) > 0

Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 3 https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/

Gọi A là giao điểm của (C) với trục tung, suy ra A(0; 4).

Đường thẳng d có phương trình d : y = k(x − 0) + 4 = kx + 4 Hoành độ giao điểm của d và (C) là

nghiệm của phương trình

−x3+ 6x2− 9x + 4 = kx + 4 ⇔ x(x2− 6x + 9 − k) = 0 ⇔

"

x = 0g(x) = x2− 6x + 9 + k = 0.Đường thẳng d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình g(x) = 0 có hai nghiệmphân biệt khác 0, tương đương với

(

∆0g > 0g(0) 6= 0

Câu 12 Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Hình chóp có đáy là hình thang cân thì có mặt cầu ngoại tiếp

B Hình chóp có đáy là tứ giác thì có mặt cầu ngoại tiếp

C Hình chóp có đáy là hình thang vuông thì có mặt cầu ngoại tiếp

D Hình chóp có đáy là hình bình hành thì có mặt cầu ngoại tiếp

Lời giải

Hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp khi và chỉ khi đáy nội tiếp được trong một đường tròn Trong cáchình gồm: hình thang cân, tứ giác thường, hình thang vuông và hình bình hành thì chỉ có hình thangcân nội tiếp trong một đường tròn Vậy hình chóp có đáy là hình thang cân thì có mặt cầu ngoạitiếp

(1 + i)2z + (−3 + i)z = −13 + 21i ⇔ 2i(a + bi) + (−3 + i)(a − bi) = −13 + 21i

⇔ (−3a − b) + (3a + 3b)i = −13 + 21i ⇔( − 3a − b = −13

Câu 14 Với a và b là hai số thực dương tùy ý, log(ab2) bằng

A 2 log a + log b B log a + 2 log b C 2(log a + log b) D log a + 1

Câu 16 Tập nghiệm của bất phương trình log2(3x + 1) < 2 là

ãbằng

a3

Câu 22 Cho biểu thức P = 2x× 2y, x; y ∈ R Khẳng định nào sau đây đúng?

c) Vì 0 < 0, 5 < 1 và a < b nên (0, 5)a> (0, 5)b nên (0, 5)a < (0, 5)b sai

d) Vì 2 > 1 và a < b nên 2a < 2b nên 2a > 2b sai

1 ln a + ln b = ln(ab) 6= ln(a + b) nên ln a + ln b = ln (a + b) sai.

2 ln(a + b) 6= ln a · ln b nên ln (a + b) = ln a · ln b sai

Câu 32 Cho a, b > 0 Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A log (ab2) = 2 log a + 2 log b B log (ab) = log a − log b

C log (ab) = log a · log b D log (ab2) = log a + 2 log b

Lời giải

Ta có log (ab2) = log a + log b2 = log a + 2 log b

Chọn đáp án D Câu 33 Tập xác định của hàm số y = (x2− 3x + 2)π là

Chọn đáp án C Câu 40 Với a, b là các số thực dương tùy ý và a khác 1, đặt P = logab3+ loga2b6 Mệnh đề nàodưới đây đúng?

A P = 27 logab B P = 15 logab C P = 9 logab D P = 6 logab

Lời giải

Ta có P = logab3+ loga2b6 = 3 logab + 6

2logab = 3 logab + 3 logab = 6 logab.

Câu 43 Cho a, b, c > 0, a 6= 1; b 6= 1.Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A loga(b.c) = logab + logac B logab logbc = logac

Câu 46 Cho các mệnh đề sau

(I) Cơ số của lôgarit phải là số dương

(II) Chỉ số số thực dương mới có lôgarit

(III) ln(A + B) = ln A + ln B với mọi A > 0, B > 0

(IV) logab · logbc · logca = 1 với mọi a, b, c ∈ R

Số mệnh đề đúng là

Lời giải

(I) Sai vì cơ số của logab chỉ cần thỏa mãn 0 < a 6= 0

(II) Đúng vì điều kiện có nghĩa của logab là b > 0

(III) Sai vì ln A + ln B = ln(AB) 6= ln(A + B) với A, B > 0

(IV) Sai vì nếu a, b, c < 0 thì các biểu thức logab, logbc, logca không có nghĩa



= loga

Ça

3

»

a · a12å

= loga

Ça

3

»

a32å

= loga

Å

a · a12ã

= logaa32

= 3

2.

Câu 48 Lũy thừa với số mũ hữu tỉ thì cơ số phải thỏa mãn điều kiện nào sau đây?

A Cơ số phải là số thực khác 0 B Cơ số phải là số nguyên

C Cơ số phải là số thực tùy ý D Cơ số phải là số thực dương

Lời giải

Theo định nghĩa lũy thừa mũ hữu tỉ amn thì a > 0

Câu 49

Đồ thị hình bên là của hàm số nào?

x

y

−1 1 3

Lời giải

Đồ thị đi xuống nên hàm số đã cho là nghịch biến nên loại A và B

Đồ thị hàm số đi qua điểm (−1; 3) nên chỉ có đáp án C thỏa

√

2 +√3

ãx C y =

Ç √

2 +√33

åx D y =

Ç √32

åx

åxđồng biến trên R

x

π3

x

Lời giải

Hàm số y = log√

10−3x có cơ số a =√

10 − 3 nên hàm số nghịch biến trên (0; +∞)

Hàm số y = log2(x2− x) có tập xác định D = (−∞; 0) ∪ (1; +∞) nên hàm số đồng biến trên R.Hàm số y =e

Câu 57 Với các số thực dương x, y Ta có 8x, 44, 2 theo thứ tự lập thành một cấp số nhân và các

số log245, log2y, log2x theo thứ tự lập thành cấp số cộng Khi đó y bằng

27 ⇒ x = 5

Mặt khác log245, log2y, log2x theo thứ tự lập thành cấp số cộng suy ra

log2y = (log245 + log2x) : 2 ⇔ log2y = (log245 + log25) : 2 ⇔ log2y = log2√

Chọn đáp án D Câu 60 Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào nghịch biến trên tập số thực R?

Lời giải

Phương pháp: Sử dụng công thức tính đạo hàm (ln u)0 = u

0uCách giải: [ln (5 − 3x2)]0 = −6x

´

Câu 65 Tính đạo hàm của hàm số y = 2x.

ãx

Lời giải

Phương pháp: Hàm số y = ax(a > 0, a 6= 1)

Nếu a > 1 thì hàm số y = ax đồng biến trên R

Nếu 0 < a < 1 thì hàm số y = ax nghịch biến trên R

Cách giải: Ta có π

3 > 1 ⇒ Hàm số y =

π3

xđồng biến trên R

−1

1 2

Lời giải

Từ hình vẽ suy ra hàm số đồng biến nên loại hàm số y = log1

2x

Lại từ hình vẽ suy đồ thị hàm số đi qua điểmÅ 1

2; −1

ã.Kiểm tra ta thấy −1 6= log2

Å

2 ·12

ã

; −1 = log21

2 và −1 6= log

√ 2

c = logab − logac. B loga(bc) = logab + logac.

C logac = c ⇔ b = ac D loga(b + c) = logab + logac

Câu 78 Giả sử a, b là các số thực dương tùy ý thỏa mãn a2b3 = 44 Mệnh đề nào sau đây đúng?

A 2 log2a − 3 log2b = 8 B 2 log2a + 3 log2b = 8

C 2 log2a + 3 log2b = 4 D 2 log2a − 3 log2b = 4

3

 23

ã13

·Å 23

ã13· 1 3

·Å 23

ã12· 1

3 · 1 3

=Å 23

ã13+19+181

=Å 23

0 = 2x ln 9

x2+ 1. D y

0 = 2 ln 3

x2+ 1.

Lời giải.

Ta có y0 = (x

2+ 1)0(x2+ 1) ln 9 =

2x(x2+ 1) ln 32 = 2x

(x2+ 1) 2 ln 3 =

x(x2+ 1) ln 3.

Lời giải

î# »

AC,# »

DC0ó· # »

AD

î# »

AC,# »

DC0ó

= a

√3

3 .

C0

D0

yA

Bài toán đã cho trở thành

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình t

24(t + 1) > m, ∀t > 0. (1)Đặt f (t) = t

24(t + 1), (t > 0) ⇒ f

0(t) = t

2+ 2t4(t + 1)2 ⇒ f0(t) = 0 ⇔

"

t = 0 (loại)

t = −2 (loại).Bảng biến thiên

Câu 90 Đạo hàm y0 của hàm số y = log2(2x2+ x + 3) là

A y0 = 1

0 = (4x + 1) · ln 22x2+ x + 3 .

4x + 1(2x2+ x + 3) · ln 2.

1 Nếu a > 1 thì logab > logac ⇔ b > c

2 Nếu 0 < a < 1 thì logab > logac ⇔ b < c

Câu 93 Cho a, b, c > 0 và a 6= 1 Khẳng định nào sau đây sai?

A loga(bc) = logab + logac B logab

c = logab − logac.

C logab = c ⇔ b = ac D loga(b + c) = logab + logac

Lời giải

Các công thức loga(bc) = logab + logac, logab

c = logab − logac, logab = c ⇔ b = a

c là các tính chấtcủa logarit nên đúng

Công thức logab + logac = loga(bc) nên loga(b + c) = logab + logac là sai

2; +∞

ò D D = R \n1

2

o

ã2−xlàA

Lời giải

Å 23

ã4x

≤Å 32

ã2−x

⇔Å 32

ã−4x

≤Å 32

ã2−x

⇔ −4x ≤ 2 − x ⇔ x ≥ −2

3.

Chọn đáp án D Câu 96 Tìm tập nghiệm của bất phương trình log3(x − 2) > 2.

Câu 97 Cho x, y là hai số thực thỏa mãn 2x = 5 và 4y = 20 Tính x + 2y

A 2 + 2 log25 B 2 + log25 C 1 + 2 log25 D 4 + 2 log25

ã2x+6là

Phương trình đã cho tương đương với

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt

Câu 103 Cho a là số thực dương bất kỳ Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A log3(3a) = 3 + log3a B log3(3a) = 1 + a

C log3(3a) = 1 + log3a D log3(3a) = log3a

Lời giải

Ta có

log3(3a) = log33 + log3a = 1 + log3a

Câu 104 Cho 0 < a 6= 1 và x > 0, y > 0 Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây

A loga(xy) = logax + logay B loga(xy) = logax · logay

C loga(x + y) = logax + logay D loga(x + y) = logax · logay

™

2;

12

ã

™

Câu 107 Cho a là số thực dương khác 1 Tính loga√

Câu 118 Với mọi số thực dương a, b, x, y và a, b khác 1, mệnh đề nào sau đây sai?

A loga(xy) = logax + logay B logba · logax = logbx

2(2x + 1) ln 3 ⇒ f0(0) = 2

ã

Å

−∞;32

ã

0 = ln 2

0 = 12(x − 1) ln 2.

Lời giải

Đạo hàm của hàm số y = log2(x − 1) là y0 = 1

(x − 1) ln 2.

Câu 123 Tìm nghiệm thực của phương trình 2x = 7.

Điều kiện của phương trình là x > 0 Phương trình đã cho tương đương với

(1 + log x)2− 3 (2 + log x) + 5 = 0 ⇔ log2x − log x = 0 ⇔

"

log x = 0log x = 1 ⇔

Câu 136 Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau đây:

A Hàm số y = log2x đồng biến trên R

2 < logb

23

ãx D y = 2018x

Lời giải

Xét hàm số y = 2018x có tập xác địnhD = R và cơ số a = 2018 > 1 Do đó, hàm số y = 2018x đồngbiến trên R

Câu 147 Cho a là số thực khác 0, mệnh đề nào sau đây là đúng?

A log22a2 = log22a B log22a2 = 4 log22|a| C log22a2 = 4 log22a D log22a2 = 1

Trong điều kiện x > 2

3, phương trình tương đương với 3x − 2 = 8 ⇔ x =

10

3 .

Chọn đáp án B Câu 151 Cho a > 0, a 6= 1; x, y > 0 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A logaÅ x

y

ã

= logax − logay B aloga(xy)= xy

C logaxy = y logax D loga(x + y) = logax + logay

2

™ C D =Å 1

2; +∞

ã D D = R

C log2(x2− y) = 2 log2x − log2y D log2(xy) = log2x log2y

Lời giải

Điều kiện 3x − 5 > 0 ⇔ x > 5

3 Khi đólog1

5

(3x − 5) > log1

5(x + 1) ⇔ 3x − 5 < x + 1 ⇔ x < 3

Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm của bất phương trình là S =Å 5

3; 3

ã

logax

ln 10 . D log x =

logaxlog a .

ò

Ålog2 3

9

2; +∞

ã

Lời giải

Bất phương trình đã cho tương đương với

Å 23

Å

−∞; log2

3

92

ã

Câu 162 Phương trình log3(x2− 6) = log3(x − 2) + 1 có bao nhiêu nghiệm?

2; +∞

ã C D =Å 1

2; +∞

ã D D = R

Lời giải

Điều kiện xác định: 2x − 1 > 0 ⇔ x > 1

2.Vậy tập xác định của hàm số là D =Å 1

2; +∞

ã

0 = 4 ln 34x + 1. D y

0 = 1(4x + 1) ln 3.

Lời giải.

Ta có y0 = (4x + 1)

0(4x + 1) ln 3 =

4(4x + 1) ln 3.

2)x D y =Å 1

3

ãx

Câu 169 Với mọi a > b > 1, khẳng định nào dưới đây sai?

A ab > ba B logab < logba C aa−b > bb−a D logaa + b

Câu 174 Cho a là một số thực dương Viết biểu thức P = a3.√3

a2 dưới dạng lũy thừa với số mũhữu tỉ

Câu 178 Cho 0 < a 6= 1 và x, y là các số thực âm Khẳng định nào sau đây đúng?

A loga(−x2y) = −2 logax + logay B logaÅ x

y

ã

= loga(−x)loga(−y).

C loga(xy) = logax + logay D loga(x4y2) = 2 (logax2+ loga|y|)

Lời giải

Với các điều kiện đề bài cho, ta có

loga(x4y2) = logax4+ logay2 = 2 logax2 + 2 loga|y| = 2 (logax2+ loga|y|)

Câu 181 Phương trình log3(2x + 1) = 3 có nghiệm duy nhất bằng

2; +∞

ã D D =Å−∞; −1

2

ã

Câu 188 Cho a, b, x, y là các số thực dương, a 6= 1, b 6= 1 Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A logba logax = logbx B logax

y =

logaxlogay.

ã

Å0;13

ã

Å0;12

ã

Lời giải

Điều kiện: 0 < x < 1

3.Bất phương trình đã cho tương đương với 1 − log1

2

x < 0 ⇔ 0 < x < 1

2.Kết hợp điều kiện, suy ra bất phương trình có nghiệm 0 < x < 1

Câu 193 Cho số thực a > 1, b 6= 0 Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A logab2 = −2 loga|b| B logab2 = 2 logab

C logab2 = 2 loga|b| D logab2 = −2 logab.

Câu 195 Cho hai hàm số f (x) = log0,5x và g(x) = 2−x Xét các mệnh đề sau:

(I) Đồ thị hai hàm số đối xứng nhau qua đường thẳng y = −x

(II) Tập xác định của hai hàm số trên là R

(III) Đồ thị của hai hàm số cắt nhau tại đúng một điểm

(IV) Hai hàm số đều nghịch biến trên tập xác định của nó

Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên?

* Đồ thị hai hàm số đối xứng nhau qua đường thẳng y = x ⇒ (I) sai

Câu 197 Cho a là một số dương lớn hơn 1 Mệnh đề nào dưới đây sai?

A loga(xy) = logax + logay với x, y > 0 B loga1 = 0, logaa = 1

C logax có nghĩa khi và chỉ khi x > 0 D logax

y =

logaxlogay với x, y > 0

Lời giải

Các công thức đúng theo sách giáo khoa Toán 12, chỉ có công thức sau sai: logax

y =

logaxlogay với

x, y > 0 Công thức đúng là logax

y = logax − logay với x, y > 0

Câu 198 Có bao nhiêu số nguyên x > 0 để hàm số y = log2018(10 − x) xác định?

Lời giải

Hàm số y = log2018(10 − x) xác định khi và chỉ khi 10 − x > 0 ⇔ x < 10

Kết hợp với giả thiết x là số nguyên dương, suy ra x ∈ {1; 2; ; 9}

Câu 199 Cho a là một số dương, biểu thức a23√

a viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ là

ã−43, ta được

 ba

b

1 6

b

31 30

… a

b =

ab

1

5 Å ba

ã1

15 ab

1 30

=ab

1

5 ab

−151 a

b

1 30

=ab

=ab

1 6

Câu 209 Cho biểu thức P =»3 xpx4 3√

x, với x > 0 Mệnh đề nào dưới đây đúng?

√ 3−2bằng

A m2

√

3−2 B m2

√ 3−3 C m−2 D m2

√ 3−2

= m

√ 3−(√3−2) = m2

Câu 211 Số nào dưới đây nhỏ hơn 1?

3ã

√ 2

Lời giải

Ta có 2

3 < 1 ⇒

Å 23ã

√ 2

<Å 23

ã0

= 1

Câu 212 Tính giá trị của biểu thức K =

2 : 4−2+ (3−2)3·Å 1

9ã−3

5−3· 252+ (0, 7)0·Å 1

2ã−3

5−3· 252 + (0, 7)0·Å 1

2ã−3 = 2 · 2

Câu 216 Cho a là số thực dương Biểu thức a2√3

a được viết dưới dạng lũy thừa với số hữu tỉ là

Theo tính chất lũy thừa ta suy ra mệnh đề aα· aβ = aαβ là sai.

Câu 219 Cho a là số thực dương Biểu thức a2·√3

a được viết dưới dạng lũy thữa với số mũ hữu

qa

2x

2+ 1

x+ 2x −

12

Chọn đáp án A 

Câu 230 Rút gọn biểu thức P =

Äa

√ 3−1ä

√ 3+1

√ 3+1

Câu 233 Cho các số thực a, b thỏa mãn 0 < a < b Mệnh đề nào sau đây đúng?

A ax < bx với mọi x 6= 0 B ax < bx với mọi x > 0

C ax < bx với mọi x < 0 D ax < bx với mọi x ∈ R

α−β D aα· bα = (ab)α

Câu 237 Với mọi số thực dương a và m, n là hai số thực bất kì Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Câu 243 Cho biểu thức P =√4

x5, với x > 0 Mệnh đề nào sau đây đúng?

Chọn đáp án C Câu 245 Với các số thực a, b bất kỳ, mệnh đề nào dưới đây đúng?

a3 = aα, 0 < a 6= 1 Khi đó α thuộc khoảng nào?

a3 = a

5 6

13ã

1 5

= (a)309 = (a)103

Chọn đáp án A Câu 252 Cho các số thực m, n và a là số thực dương Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?

Ta xét hàm số y = ax (0 < a, a 6= 1) Hàm số đồng biến khi a > 1 và nghịch biến khi 0 < a < 1

Từ điều kiện ax < ay ⇔ x > y, ta suy ra 0 < a < 1

Câu 259 Cho a là một số dương Biểu thức a

và (−5)−34 không có nghĩa vì các số mũ không là số nguyên nên cơ số phải là

số thực dương Biểu thức 0−3 không có nghĩa

Biểu thức (−3)−6 là biểu thức có nghĩa

Lời giải.

Áp dụng lý thuyết sách giáo khoa

Câu 265 Cho biểu thức P = x12 · x13 ·√6

x với x > 0 Mệnh đề nào sau đây đúng?

15

Chọn đáp án D Câu 272 Cho biểu thức T = pa5 √3

a với a > 0 Viết biểu thức T dưới dạng lũy thừa với số mũ hữutỉ

ã−1

Chọn đáp án A Câu 279 Giá trị của biểu thức A = 6412 · 6413 ·√6

√

3; +∞

ã

ã

x < −13

Câu 287 Lũy thừa với số mũ hữu tỉ thì cơ số phải thỏa mãn điều kiện nào sau đây?

A Cơ số phải là số thực khác 0 B Cơ số phải là số nguyên

C Cơ số phải là số thực tùy ý D Cơ số phải là số thực dương

Hàm số xác định khi và chỉ khi 2x2− 3x − 9 > 0 ⇔





x < −32

4; +∞

ã D D =Å 3

4; +∞

ã

Lời giải

Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi 4x − 3 > 0 ⇔ x > 3

4.Vậy, tập xác định của hàm số làD = Å 3

4; +∞

ã

4; +∞

ã D D =Å 3

4; +∞

ã

Lời giải

Hàm số f (x) = (4x − 3)1 có số mũ 1

2 ∈ Z nên xác định khi và chỉ khi 4x − 3 > 0 ⇔ x >/ 3

4.Vậy D =Å 3

4; +∞

ã

là hàm số lũy thừa với số mũ vô tỉ nên có điều kiện xác định: 1 − x > 0 ⇔ x < 1.Vậy tập xác định của hàm số D = (−∞; 1).

Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi 5 + 4x − x2 > 0 ⇔ −1 < x < 5

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là D = (−1; 5)

A D = (2; 4) B D = (−∞; 2) C D = (4; +∞) D D = R.

Lời giải

Hàm số y = (−x2+ 6x − 8)

√ 2

là hàm lũy thừa có số mũ không nguyên nên hàm số xác định khi

2; +∞

ã D D =Å 1

2; +∞

ã

Lời giải

Ta có số mũ −5

3 ∈ Z nên hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi 2x − 1 > 0 ⇔ x >/ 1

2.Vậy tập xác định của hàm số đã cho là D =Å 1

2; +∞

ã

là hàm lũy thừa có số mũ không nguyên nên hàm số xác định

2; +∞

ã D D =Å 1

2; +∞

ã

Lời giải

Ta có số mũ −5... class="page_container" data-page="48">

Chọn đáp án D Câu 272 Cho biểu thức T = pa5 √3

a với a > Viết biểu thức T dạng lũy thừa với số mũ hữutỉ

ã−1