Vậy O vừa là tâm đường tròn ngoại tiếp vừa là trọng tâm thì đó là tam giác đều.[r]
Trang 1THỰC HIỆN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – VTED.VN – HỌC TOÁN ONLINE CHẤT LƯỢNG CAO 1
Đề thi và lời giải chi tiết Đề thi môn Toán tuyển sinh Hệ
Kỹ sư tài năng 2018 đại học Bách Khoa Hà Nội
Link đề thi: https://goo.gl/7jC8L4 THỰC HIỆN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – VTED.VN – HỌC TOÁN ONLINE CHẤT LƯỢNG CAO
Câu 1: Ba điểm phân biệt A,B,C thuộc đường cong
(C) : y=1
x. Chứng minh trực tâm H của tam
giác ABC cũng thuộc (C)
Gọi các điểm
A a;1 a
⎛
⎝
⎜⎜
⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎟, B b;
1
b
⎛
⎝
⎜⎜
⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎟,C c;
1
c
⎛
⎝
⎜⎜
⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎟, H(x; y)
Khi đó
AH
! "!!
.BC! "!!
= 0
BH
! "!!
.AC! "!!
= 0
⎧
⎨
⎪⎪⎪
⎩
(x − a)(c−b)+ y −1
a
⎛
⎝
⎜⎜
⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎟
1
c−1
b
⎛
⎝
⎜⎜
⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎟=0
(x −b)(c− a)+ y −1
b
⎛
⎝
⎜⎜
⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎟
1
c−1
a
⎛
⎝
⎜⎜
⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎟=0
⎧
⎨
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⇔ x= −
1
abc
y = −abc
⎧
⎨
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
Vậy
H − 1
abc;−abc
⎛
⎝
⎜⎜
⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎟ và rõ ràng H ∈(C)
Câu 2: Giải phương trình
x
2+ 3x −4
+ 2x( 2−5x + 3)3
= 3x( 2−2x −1)3
x2+ 3x −4
+ 2x( 2−5x + 3)3
= 3x( 2−2x −1)3
⇔ (x −1)3(x+ 4)3+ (x −1)3(2x−3)3= (x −1)3(3x+1)3
⇔ (x−1)
3= 0
(x+ 4)3+ (2x −3)3= (3x +1)3
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⇔ (x−1)
3= 0
(x+ 4)3+ (2x −3)3= (x + 4)+ (2x −3)( )3
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⇔ (x−1)3= 0
3(x + 4)(2x −3)(3x +1) = 0
⎡
⎣
⎢
x=1
x= −4
x=3 2
x= −1 3
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
Câu 3: Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Vì OA
! "!
+ OB! "! + OC! "!! = 0"⇔ 3OG! "!! = 0"⇔ O ≡ G.
Mặt khác OA = OB = OC ⇒ O là tâm ngoại tiếp tam giác ABC.
Vậy O vừa là tâm đường tròn ngoại tiếp vừa là trọng tâm thì đó là tam giác đều
Câu 4: Có
dx
(1+ x2)(1+ eax)
−1
1
2
dx
1+ x2
−1
1
2arctan x
1
−1=
π
4
Trang 22 THỰC HIỆN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – VTED.VN – HỌC TOÁN ONLINE CHẤT LƯỢNG CAO
Câu 5: Tìm đa thức hệ số thực p(x) thoả mãn đẳng thức (x−1)p(x+1) = (x+2)p(x), với mọi
x ∈ !.
• Thay x =−2⇒−3.p(−1)= 0.p(−2)= 0⇒ p(−1)= 0
• Thay x =1⇒3.p(1)= 0.p(0)= 0⇒ p(1)= 0
• Thay x = 0⇒ 2.p(0)=−1.p(1)= 0⇒ p(0)= 0
Khi đó p(x) = (x+1)x(x−1)q(x)
Thay ngược lại đẳng thức có:
(x −1) (x + 2)(x +1)xq(x +1)⎡⎣ ⎤⎦ = (x + 2) (x +1)x(x −1)q(x)⎡⎣ ⎤⎦
⇒ q(x +1) = q(x),∀x ⇒ q(x) = C ⇒ p(x) = C(x +1)x(x −1).
Câu 6: Dễ có H = (AEF)∩SC và gọi O là tâm của hình vuông ABCD.
Ta có
OH= AC
2 ⇒ H thuộc mặt cầu đường kính AC.
Câu 7: Tìm m để phương trình
cos63x
2 + cos23x
2 = sin23x
2 + m
⎛
⎝
⎜⎜
⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎟ sin2
3x
2 + m + sin23x
2 + m có nghiệm
cos63x
2 + cos23x
2 = sin23x
2 + m
⎛
⎝
⎜⎜
⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎟ sin2
3x
2 + m + sin23x
2 + m
⇔ cos23x
2
⎛
⎝
⎜⎜
⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎟
3
+ cos23x
2 = sin23x
2 + m
⎛
⎝
⎜⎜
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎟⎟
3
+ sin23x
2 + m
⇔ cos23x
2 = sin23x
2 + m ⇔ m = cos43x
2 −sin23x
2 ∈[−1;1]
Câu 8: Tìm GTLN:
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có:
A ≤ x( 2+ y2) (1+ y +1+ x)= x + y + 2 ≤ (1+1)(x2+ y2)+ 2 = 2+ 2
Dấu bằng đạt tại
x = y = 1
2
Tìm GTNN:
A = x 1+ y + y 1+ x = x x2+ y2+ y + y x2+ y2+ x
= x x
2+ y2+ y + y x2+ y2 + x
(x2+ y2)3 4
= f (t) = t t2+1+1+ t2+1+ t
(t2+1)3
4 ≤ f (≈−5,4934) = − 114−18 2
9 t= x
y
⎛
⎝
⎜⎜
⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎟.
Link đề thi: https://goo.gl/7jC8L4
Trang 3THỰC HIỆN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – VTED.VN – HỌC TOÁN ONLINE CHẤT LƯỢNG CAO 3
Hiện tại Vted.vn xây dựng 2 khoá học Toán cao cấp 1 và Toán cao cấp 2 dành cho sinh viên năm nhất hệ Cao đẳng, đại học khối ngành Kinh tế:
Sinh viên các trường ĐH sau đây có thể học được combo này:
- ĐH Kinh Tế Quốc Dân
- ĐH Ngoại Thương
- ĐH Thương Mại
- Học viện Tài Chính
- Học viện ngân hàng
Trang 44 THỰC HIỆN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – VTED.VN – HỌC TOÁN ONLINE CHẤT LƯỢNG CAO