Toán 7 Học Sinh Giỏi De Olympic ThanhOai Toan7

Suy ra tích của chúng là một số chẵn .Vậy A là số chẵn.[r]

PHÒNG GD & ĐT THANH OAI Đề THI OLYMPIC TOÁN 7

Trường THCS Thanh Văn Năm học 2013-2014

(Thời gian 120 phút )

Câu 1 (5điểm )

1 Cho c2=ab Chứng minh rằng:

a ;

b

a c b

c





2 2

2 2

b; 2 2

2 2

c a

a b



 =

a

a

b 

2 Ba phân số có tổng bằng

70

213, các tử của chúng tỉ lệ vối 3;4;5, các mẫu của chúng tỉ lệ vối 5;1;2 Tìm ba phân số đó

Câu 2 (6 điểm )

1 Cho đa thức:

f(x) = x17- 2000x16 + 2000x15 - 2000x14 +….+ 2000x – 1 Tính giá trị của đa thức tại x = 1999

2 Chứng minh rằng nếu m và n là các số tự nhiên thì số:

A = (5m + n + 1) (3m – n + 4) là số chẵn

Câu 3.(2 điểm )

Tìm số tự nhiên x để phân số

3 2

8 7





x

x

có giá trị lớn nhất

Câu 4 (7 điểm )

1 Cho tam giác ABC cân tại A, B= 500.Gọi K là điểm trong tam giác sao cho KBC=100, KCB= 300.

a, Chứng minh BA=BK

b, Tính số đo BAK

2 Cho xAy = 600 có tia phân giác Az Từ điểm B trên Ax kẻ BH

vuông góc với Ay tại H, kẻ BK vuông góc với Az và Bt song song với Ay ,Bt cắt Az tại C Từ C kẻ CM vuông góc với Ay tại M Chứng minh :

a, K là trung điểm của AC

b, KMC là tam giác đều

c, Cho BK = 2 cm Tính các cạnh AKM

- Hết-

Nguyễn Thị Lan Hương

ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM OLYMPIC

Môn: Toán 7( Năm 2013-2014)

Câu 1 (5đ)

1.(2đ) a, Từ c2=a.b   

b

c c

a b a b

b a a b b a

b a a b c

c a b

c c

a





















.

.

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

b, Theo câu a ta có

a

b c a

c b b

a b c

c













2 2

2 2 2

2

2 2

2 2

a

a b c a

a b a

b c

a

c b a

b c a

c





























2 2

2 2 2

2

2 2 2

2

2 2

1 1

2 (3 đ) Gọi các phân số phải tìm là : a ; b ; c ta có : a+b+c =

70 213

Và a : b : c =

2

5 : 1

4 : 5

3

= 6 : 40 : 25 ………

Suy ra a =

35

9 ; b =

7

12 ; c =

14 15

Câu 2.(6điểm )

1 (3đ)

f(x) =x 17 – 1999x 16 – x 16 + 1999x 15 + x 15 – 1999x 14 - x14+…+1999x + x – 1 f(1999) = 199917 - 199917 - 199916 + 199916 + 199915 - 199915-

199914+…+19992+1999 – 1

= 1999 – 1 = 1998

2.(3đ)

Ta xét hiệu (5m + n +1) – (3m – n + 4) = … = 2m + 2n – 3

Với m, n  N thì 2m + 2n - 3 là một số lẻ Do đó trong hai số

5m + n +1 và 3m – n +4 phải có một số chẵn

Suy ra tích của chúng là một số chẵn Vậy A là số chẵn

Câu 3 (2 đ)

Đặt A=

) 3 2 ( 2

5 2

7 ) 3 2 ( 2

5 ) 3 2 ( 7 ) 3 2 ( 2

) 8 7 ( 2 3 2

8 7

























x x

x x

x x

x

Đặt B=

) 3 2 ( 2

5



x Thì A lớn nhất khi và chỉ khi B lớn nhất ……GTLN của A=6 khi và chỉ khi x=2

Câu 4;(7 đ)

1.(4đ)

a,-vẽ tia phân giác ABK cắt CK ở I … .Ta có IBCcân nên IB=IC

… BIA CIA(ccc)

…nên BIA CIA=120o

Do đó BIA BIK(gcg)BA  BK

b, …… Từ phần a ta tính được o

BAK  70



2.(3đ)

V ẽ h ình , GT _ KL

a, ABC cân tại B do CABACB( MAC) và BK là đường cao  BK là đường trung tuyến

 K là trung điểm của AC

b, ABH = BAK ( cạnh huyền + góc nhọn )

 BH = AK ( hai cạnh t ư ) mà AK = 1

 BH = 1

Ta có : BH = CM ( t/c cặp đoạn chắn ) mà CK = BH = 1

2AC  CM = CK

 MKC là tam giác cân ( 1 )

Mặt khác : MCB= 900 và ACB= 300

 MCK = 600 (2)

Từ (1) và (2)  MKC là tam giác đều

c) Vì ABK vuông tại K mà góc KAB = 300 => AB = 2BK =2.2 = 4cm

Vì ABK vuông tại K nên theo Pitago ta có:

AK = 2 2

AB BK   

Mà KC = 1

2AC => KC = AK = 12

KCM đều => KC = KM = 12

Theo phần b) AB = BC = 4

AH = BK = 2

HM = BC ( HBCM là hình chữ nhật)

=> AM = AH + HM = 6