Tiếng Anh 6,7,8 năm học 2017-2018

Cho tam giác ABC cân tại A (góc A tù). Trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia đối của CB lấy điểm E sao cho BD = CE. Trên tia đối của tia CA lấy điểm I sao cho CI = CA. Chứng minh MN đi qua[r]

PHÒNG GD&ĐT

THÁI THỤY

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI HUYỆN

NĂM HỌC 2017 - 2018 Môn: Toán 7 Thời gian làm bài: 120 phút

(Không kể thời gian giao đề)

Bài 1 (4,0 điểm)

a) Thực hiện phép tính: 9 0

25

x 4 x2 1 x 3 0

Bài 2 (4,0 điểm)

a) Tìm x, y biết: x y xy x y

2017 2018 2019

a2bc  2a b c  4a4bc

x2yz  2xyz  4x4yz (với điều kiện các mẫu thức khác 0)

Bài 3 (3,0 điểm)

a) Cho đa thức f (x)axb Tìm a, b biết f (1)3 và f ( 2) 0

b) Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho A(1;2) và 2

M(m; m ) Tìm m để 3 điểm phân biệt O, A, M thẳng hàng

Bài 4 (3,0 điểm)

a) So sánh: 333

222 và 222

333

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q x2017  x2018  x2019

Bài 5 (5,0 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A (góc A tù) Trên cạnh BC lấy điểm

D, trên tia đối của CB lấy điểm E sao cho BD = CE Trên tia đối của tia CA lấy điểm I sao cho CI = CA

a) Chứng minh:ABD  ICE và AB + AC < AD + AE

b) Từ D và E kẻ các đường thẳng cùng vuông góc với BC cắt AB, AI theo thứ tự tại M, N Chứng minh MN đi qua trung điểm DE

c) Chứng minh chu vi của tam giác ABC nhỏ hơn chu vi của tam giác AMN

Bài 6 (1,0 điểm) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n2 thì tổng:

2 2



     không thể là một số nguyên

-HẾT -

Họ và tên thí sinh:………Số báo danh: ………… …

HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 7 – NĂM HỌC 2017-2018

điểm

1

(4,0đ)

a) Thực hiện phép tính: 9 0

25

x4 x2 1 x 3  0

1a

0

        

1b

2

x 4 x 2 1 x 3 0

x 4 0

x 2 1 0



   



0,5

+) 2

x  3 0 x 3 hoặc x  3 (loại) 0,5

2

(4,0đ)

a) Tìm x, y biết: x y xy x y

2017 2018 2019

a2bc  2a b c  4a4bc

x2yz  2xyz  4x4yz (với điều kiện các mẫu thức khác 0)

2a

Ta có: x y xy x y  1

2017 2018 2019

Áp dụng tính chất của tỷ lệ thức ta có:

2017 2019 2017 2019 2.2018 2018

 

2

2018 2018

TH2: x0, từ (2) suy ra: y = 1, thay vào (1) tìm được x = -2018 (thỏa mãn) 0,5 Vậy x; y  0;0 ; x; y  2018;1 0,25

2b

Từ giả thiết suy ra:

 

 

 3 9

4 4 4

4 4 4 8

4 4

8 4

4

2 9

2 4

4 2

2 4 2

2

1 9

2 4

4 2 2 4

2 2

c

z y x c b a

z c

b a

y c

b a

x

b

z y x c b a

z c

b a

y c

b a

x

a

z y x c b a

z c

b a

y c

b a

x



































































0,5

0,5 0,5

Từ (1), (2), (3) ta có:

c

z y x b

z y x a

z y x

9

4 4 9

2 9













Hay

z y x

c z

y x

b z

y x

a















9 2

9 2

9

0,25

Vậy

z y x

c z

y x

b z

y x

a















3

(3,0đ)

a) Cho đa thức f (x)axb Tìm a, b biết f (1)3 và f ( 2) 0

b) Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho A(1;2) và 2

M(m; m ) Tìm m để 3 điểm phân biệt O, A, M thẳng hàng

3a

f (1) 3 a.1 b   3 a b 3 b  3 a 0,5

f ( 2) 0 2.ab0 2a    3 a 0 3a  3 a 1 0,5

3b

Đường thẳng OA là đồ thị hàm số cho bởi công thức y = ax (dOA)

A(1; 2) thuộc đường thẳng (dOA)  2 = a.1  a = 2  y = 2x

0,25 0,25

Để O, A, M thẳng hàng thì 2

M(m; m ) phải thuộc (dOA) 2

m 2m

    m = 0 hoặc m = 2

0,25 0,25

Vì 3 điểm O, A, M phân biệt nên m = 0 (loại)

Vậy m = 2

0,25 0,25

4

(3,0đ)

a) So sánh: 333

222 và 222

333

b) Tìm GTNN của biểu thức Q x2017  x2018  x2019

4a

Ta có: 333  3111 222  2111

222  2.111 8.111 8.111.111 888.111

333  3.111 9.111

0,25 0,25

Vì 888 9 888.1112 9.1112

0,25

 111  111

222 333

4b

Q x2017  x2018  x2019

Q x2017  x2019  x2018 ,vì: x2019  2019 x

Q x 2017 2019 x x 2018

Mà: x2017  2019 x  x20172019 x  2

0,25

0,25

Q x 2017 2019 x x 2018 2 x 2018

Q 2

x 2018 0





Dấu bằng xảy ra x 2017 2019 x 0

x 2018 0



 



2017 x 2019

x 2018

 



 



  x2018

0,5

Vậy Q đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 khi x2018 0,25

5

(5,0đ)

Cho tam giác ABC cân tại A (góc A tù) Trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia

đối của CB lấy điểm E sao cho BD = CE Trên tia đối của CA lấy điểm I

sao cho CI = CA

a) Chứng minh: ABD  ICE và AB + AC < AD + AE

b) Từ D và E kẻ các đường thẳng cùng vuông góc với BC cắt AB; AI theo

thứ tự tại M; N Chứng minh MN đi qua trung điểm DE

c) Chứng minh chu vi của tam giác ABC nhỏ hơn chu vi của tam giác AMN

Vẽ hình và ghi GT, KL

O

N

M

A

D

E

I

0,25

0,25

5a

∆ABC cân tại A suy ra AB = AC, ABC ACB

Mà AC = IC (gt)  AB = IC

ACBICE (đối đỉnh)  ABDICE

0,25 0,25

Xét ∆ABD và ∆ICE có: AB = IC; ABDICE; AB = IC

Suy ra ∆ABD = ∆ICE (c-g-c) (đpcm)

0,25 0,25

Ta có: AB = CI  AB + AC = CI + AC =AI (1) 0,25 Theo chứng minh trên ∆ABD = ∆ICE (c.g.c)  AD = IE

Áp dụng BĐT trong tam giác AEI ta có: IE + AE > AI (3) 0,25

Từ (1), (2) và (3) suy ra: AD + AE > AB + AC 0,25

5b

Gọi O là giao điểm của MN với DE

+) HS chứng minh ∆ BDM = ∆CEN (g-c-g)  DM = EN 0,75 +) HS chứng minh ∆ ODM = ∆OEN (g-c-g)  OD = OE

5c

có BD = CE (gt)  BC = DE

 

MN BC 5



0,25

ABC

C ABACBC

AMN

Từ (4), (5) và (6)  Chu vi ABC nhỏ hơn chu vi AMN 0,25

6

(1,0đ)

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n2 thì tổng:

2 2



     không thể là một số nguyên

S Có (n-1) số hạng:

2

                

0,25

Mặt khác 12 12 12 12 1 1 1 1 1 1

2 3 4  n 1.22.33.4 (n 1)n   n

        

0,5

Từ (1) và (2) ta có n 2 Sn 1

Vậy S không có giá trị nguyên với mọi số tự nhiên n 2 0,25

Lưu ý :

- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày những ý cơ bản của một cách giải, nếu học sinh có cách giải khác mà đúng thì Giám khảo vẫn cho điểm nhưng không vượt quá thang điểm của mỗi ý đó

- Phần hình học, học sinh không vẽ hình thì không cho điểm

- HS làm đến đâu cho điểm tới đó và cho điểm lẻ đến 0,25 Tổng điểm toàn bài bằng tổng điểm của các câu không làm tròn