Độ đo tích phân và dung lượng báo cáo nghiệm thu

Giới thiệu đề tài Lý thuyết Độ đo và Tích phân có nhiều ứng dụng không chỉ trong Giải tích Toán học mà còn trong nhiều ngành Toán học khác đặc biệt là trong Xác suất – Thống kê.. Từ thự

Bộ Giáo dục và Đào tạo Trường Đại học Sư phạm TP.Hồ Chí Minh

-oooOOOooo -

Báo cáo nghiệm thu đề tài khoa học cấp cơ sở

ĐỘ ĐO - TÍCH PHÂN VÀ DUNG LƯỢNG

Mã số: CS.2007.19.04 Chủ nhiệm đề tài:

PGS.TS Đậu Thế Cấp

I Giới thiệu đề tài

Lý thuyết Độ đo và Tích phân có nhiều ứng dụng không chỉ trong Giải tích Toán học mà còn trong nhiều ngành Toán học khác đặc biệt là trong Xác suất – Thống kê Vì lý do đó, Độ đo và Tích phân là một môn học quan trọng của sinh viên ngành toán

Là một môn học khó nhưng tài liệu tiếng Việt để học tập môn

Độ đo - Tích phân không nhiều, tài liệu bài tập để tham khảo lại còn hiếm hơn

Từ thực tế đó, mục đích chính của đề tài này là biên soạn một quyển sách về Độ đo và Tích phân có thể sử dụng làm giáo trình giảng dạy cho sinh viên, tham khảo cho học viên cao học Quyển sách đã được Nhà xuất bản Giáo dục phát hành rộng rãi, phục vụ bạn đọc toàn quốc

Quyển sách Độ đo và Tích phân cũng có thể coi là kiến thức chuẩn bị để nghiên cứu về Dung lượng, một biến dạng của Độ đo Trong khuôn khổ đề tài, chúng tôi đã nghiên cứu dung lượng trong không gian tôpô tổng quát, đóng góp mới của chúng tôi là đưa ra và khảo sát khá triệt để dung lượng có giá trị rời rạc Kết quả này đã viết thành một bài báo đã được nhận đăng ở tạp chí Khoa học, trường Đại học Sư phạm TP.Hồ chí Minh Chúng tôi đang bổ sung thêm để gửi công bố ở một tạp chí chuyên ngành

Liên quan đến đề tài, chúng tôi đã hướng dẫn hai học viên cao học làm luận văn tốt nghiệp, một người đã bảo vệ, người còn lại sẽ bảo vệ vào tháng 9/2008

Đề tài đã thực hiện đúng tiến độ và các chỉ tiêu đăng ký

II Các kết quả đã thực hiện

§1 Các sản phẩm

1 Giáo trình “Độ đo và Tích phân”

Giáo trình có ba chương: Chương 1: Độ đo; Chương 2: Tích phân; Chương 3: Các vấn đề bổ sung

Giáo trình đã trình bày các vấn đề lý thuyết cơ bản của Độ đo

và Tích phân với chứng minh đầy đủ và ngắn gọn

Giáo trình có phần bài tập chọn lọc gồm 95 bài, có hướng dẫn giải tương đương với một quyển sách bài tập

Giáo trình đã được Nhà Xuất bản Giáo dục ấn hành, gồm 164 trang khổ 14.3×20.3 cm

2 Bài báo “ Dung lượng trong không gian tôpô” (Capacities in topological spaces)

Bài báo này có sự cộng tác của Th.S.Bùi Đình Thắng, trường Đại học Sài Gòn

Bài báo trình bày lý thuyết dung lượng trong không gian tôpô Hausdorff tổng quát Phần dung lượng có giá trị rời rạc trong bài toán theo chúng tôi là mới và có ý nghĩa Công việc tiếp theo của chúng tôi là khảo sát tích phân Choquet theo dung lượng có giá trị rời rạc

Bài báo gồm 10 trang đã được nhận đăng ở Tạp chí Khoa học

Tự nhiên trường Đại học Sư phạm TP.Hồ Chí Minh

3.Luận văn thạc sỹ

Theo hướng đề tài chúng tôi đã hướng dẫn hai luận văn cao học

1) Định lý giới hạn trung tâm và ứng dụng trong Xác suất –

Thống kê, của học viên cao học Nguyễn Đình Uông, đã bảo vệ tại

trường Đại học Bách khoa TP Hồ Chí Minh, đã bảo vệ năm 2007

Luận văn đã sử dụng biến đổi Fourier và biến diễn tích phân

để chứng minh định lý giới hạn trung tâm tổng quát Sau đó luận văn trình bày các ứng dụng của định lý trong Xác suất – Thống kê cả trong lý thuyết cũng như các vấn đề cụ thể

2) Lý thuyết dung lượng trong không gian tôpô, của học viên

cao học Phan Phụng Hiệp, sẽ bảo vệ tại trường Đại học Sư phạm TP

Hồ Chí Minh trong năm 2008

Luận văn trình bày lý thuyết dung lượng trong không gian tôpô, định nghĩa tích phân Choquet theo dung lượng Chứng minh các định lý tương tự dung lượng trong ¡n Cho nhiều kết quả về dung lượng có giá trị hữu hạn, dung lượng đặc trưng và tích phân Choquet theo chúng

§2 Địa chỉ ứng dụng

Giáo trình Độ đo và Tích phân đã được phát hành và được đông đảo bạn đọc đón nhận

Chương 1 và chương 2 của giáo trình này có thể làm tài liệu giảng dạy cho sinh viên ngành toán, chương 3 của giáo trình này có thể làm tài liệu tham khảo cho sinh viên và học viên cao học

Bài báo “ Dung lượng trong không gian tôpô ” có thể làm tiền

đề để nghiên cứu tiếp về dung lượng theo hướng đó

III Các văn bản

1 Trang bìa, lời nói đầu, mục lục của sách “Độ đo và Tích phân”

2 Toàn văn bài báo “ Dung lượng trong không gian tôpô ” sẽ

in ở Tạp chí Khoa học Tự nhiên trường Đại học Sư phạm TP.Hồ Chí Minh, số 14(48)

3 Thuyết minh đề tài khoa học và công nghệ cấp trường.

DUNG L×ÑNG TRONG KHÆNG GIAN

TÆPÆ

Dau The Capa 1, Bui Dinh Thangb

aUniversity of Pedagogy of HoChiMinh city, HoChiMinh city, VietNam

b SaiGon University, HoChiMinh city, VietNam

Abstract

In this note we introduce a notion of capacities in Hausdorff topological spaces, that generalizes the notion of capacity in IRn The capacities for discrete support will also be investigated

1 Mð ¦u

Lþ thuy¸t dung l÷ñng ÷ñc ÷a ra bði G.Choquet [1] v  ÷ñc ti¸p töc ph¡t triºn bði nhi·u t¡c gi£ (xem t i li»u tham kh£o)

Dung l÷ñng ¢ ÷ñc x²t trong khæng gian o ÷ñc b§t ký nh÷ l  mët kh¡i qu¡t cõa ë o v  g¦n ¥y l  trong IRn vîi σ-¤i sè Borel Trong b i

n y chóng tæi ÷a ra kh¡i ni»m dung l÷ñng trong khæng gian tæpæ Hausdorff têng qu¡t Sau â chóng tæi ¢ kh£o s¡t kh¡ tri»t º tr÷íng hñp dung l÷ñng

câ gi¡ l  tªp ríi r¤c Trong IRn công mîi x²t tr÷íng hñp dung l÷ñng câ gi¡ húu h¤n (xem [9]), do â k¸t qu£ cõa chóng tæi l  mîi c£ trong tr÷íng hñp khæng gian l  IRn

2 Dung l÷ñng trong khæng gian tæpæ

Trong suèt b i n y ta kþ hi»u X l  mët khæng gian tæpæ Hausdorff K(X),

F (X), G(X), B(X) theo thù tü l  hå c¡c tªp con compact, tªp con âng, tªp con mð v  tªp con Borel cõa X Ta câ

K(X) ⊂ F (X) ⊂ F (X) ∪ G(X) ⊂ B(X)

ành ngh¾a 2.1 H m tªp T : B(X) |→ [0; +∞) gåi l  mët dung l÷ñng tr¶n

X n¸u thäa m¢n c¡c i·u ki»n sau

(C1) T (∅) = 0

1 Corresponding author.

E-mail addresses: dauthecap@yahoo.com (Dau The Cap),

buidinhthang1975@yahoo.com.vn (Bui Dinh Thang).

1

(C2) T an d§u c§p húu h¤n, tùc l  vîi c¡c tªp A1, A2, An∈ B(X), n ≥ 2,

·u câ

T (

n

\

i=1

Ai) ≤ X

I ∈ I(n)

(−1)#I+1T ([

i∈I

Ai) (2.1)

trong â I(n) = {I : I ⊂ {1, n}, I 6= ∅}, #I l  sè ph¦n tû cõa tªp

I

(C3) T (A) = sup{T (C) : C ∈ K(X), C ⊂ A} vîi måi A ∈ B(X)

(C4) T (A) = inf{T (G) : G ∈ G(X), G ⊃ C} vîi måi C ∈ K(X)

Kþ hi»u M l  mët σ-¤i sè tr¶n X

Bê · 2.1 Cho µ : M |→ [0; +∞) l  mët h m tªp thäa m¢n i·u ki»n sau

¥y: Vîi måi A, B ∈ M

µ(A ∩ B) = µ(A) + µ(B) − µ(A ∪ B) (2.2) Khi â vîi måi hå c¡c tªp A1, An∈ M, n ≥ 2 ta ·u câ

µ(

n

[

i=1

Ai) = X

I ∈ I(n)

(−1)#I+1µ([

i∈I

Ai) (2.3)

Chùng minh Ta chùng minh b¬ng qui n¤p theo n Theo gi£ thi¸t (2.2) ta câ (2.3) óng vîi n = 2 Gi£ sû (2.3) óng vîi n ≥ 2, ta s³ chùng minh nâ óng vîi n + 1 Kþ hi»u

I(n + 1) = I(n) ∪ {n + 1} ∪ (In, n + 1),

ð ¥y (In, n + 1) = {I ∪ {n + 1} : I ∈ I(n)} °t A = Tn

i=1

Ai Theo gi£ thi¸t

qui n¤p ta câ

µ(

n+1

\

i=1

Ai) = µ(A\An+1)

= µ(A) + µ(An+1) − µ(A[An+1)

= µ(A) + µ(An+1) − µ (

n

\

i=1

Ai)[An+1

!

= µ(

n

\

i=1

Ai) + µ(An+1) − µ(

n

\

i=1

(Ai∪ An+1))

= X

I ∈ I(n)

(−1)#I+1µ([

i∈I

Ai) + µ(An+1) − X

I ∈ I(n)

(−1)#I+1µ([

i∈I 0

Ai)

= X

I ∈ I(n)

(−1)#I+1µ([

i∈I

Ai) + µ(An+1)

I0 ∈ (I(n), n + 1)

(−1)#I0+1µ([

i∈I 0

Ai)

I ∈ I(n + 1)

(−1)#I+1µ([

i∈I

Ai),

trong â I0 = I ∪ {n + 1}, I ∈ I(n) Vªy (2.3) óng vîi n + 1

ành ngh¾a 2.2 Mët ë o µ tr¶n B(X) gåi l  ë o Borel ch½nh qui n¸u vîi måi E ∈ B(X) ·u câ

1 µ(E) = inf{µ(U) : U ∈ G(X), U ⊃ E};

2 µ(E) = sup{µ(C) : C ∈ K(X), C ⊂ E}

Tø bê · 2.1 v  t½nh ch½nh qui cõa ë o Lebesgue tr¶n IRn ta câ

ành lþ 2.1 a) H m tªp µ : B(X) |→ [0, +∞) tho£ m¢n (C1), (C3), (C4)

v  (2.2) l  mët dung l÷ñng tr¶n X

b) Måi ë o ch½nh qui tr¶n B(X) ·u l  dung l÷ñng tr¶n X °c bi»t ë o Lebesgue m tr¶n B(IRn) l  dung l÷ñng tr¶n IRn

3

ành ngh¾a 2.3 H m tªp T : M |→ [0, +∞) gåi l  cüc ¤i n¸u

T (A ∪ B) = max{T (A), T (B)}

vîi måi A, B ∈ M

Bê · 2.2 N¸u T l  h m tªp cüc ¤i th¼ måi hå A1, An ∈ M ta ·u câ

X

I ∈ I(n)

(−1)#I+1T ([

i∈I

Ai) = min{T (Ai) : 1 ≤ i ≤ n}

Chùng minh Ta chùng minh b¬ng qui n¤p theo n Vîi måi A1, A2 ∈ M ta câ

T (A1) + T (A2) − T (A1∪ A2) = T (A1) + T (A2) − max{T (A1), T (A2)}

= min{T (A1), T (A2)}, tùc l  kh¯ng ành óng vîi n = 2 Gi£ sû kh¯ng ành óng vîi n ≥ 2 Vîi måi hå A1, An+1∈ M, khæng m§t têng qu¡t ta câ thº gi£ thi¸t

T (A1) = min{T (Ai) : 1 ≤ i ≤ n + 1}

T (An+1) = max{T (Ai) : 1 ≤ i ≤ n + 1}

Bði gi£ thi¸t qui n¤p ta câ

X

I ∈ I(n + 1)

(−1)#I+1T ([

i∈I

Ai) = X

I ∈ I(n)

(−1)#I+1T ([

i∈I

Ai) + T (An+1)

+ X

I0 ∈ (In, n + 1)

(−1)#I0+1T ([

i∈I 0

Ai)

= T (A1) + T (An+1) +(−Cn1+ Cn2− · · · + (−1)nCnn)T (An+1)

= T (A1) + (1 − 1)nT (An+1)

= T (A1)

Vªy kh¯ng ành óng vîi n + 1

ành ngh¾a 2.4 H m tªp T : B(X) |→ [0, +∞) gåi l  ë o cüc ¤i n¸u

nâ l  h m tªp cüc ¤i v  thäa m¢n c¡c i·u ki»n (C1), (C3), (C4)

Tø bê · 2.2 ta câ ành lþ sau

ành lþ 2.2 Måi ë o cüc ¤i tr¶n X l  dung l÷ñng tr¶n X.

ành lþ 2.3 Cho T l  mët dung l÷ñng tr¶n X Khi â

a) T l  h m tªp khæng gi£m, tùc l  måi A, B ∈ B(X), A ⊂ B th¼ T (A) ≤

T (B)

b) Vîi måi A, B ∈ B(X), A ∩ B = ∅ ·u câ

T (A) + T (B) ≥ T (A ∪ B)

Chùng minh a) Theo (C3)

T (A) = sup{T (C) : C ⊂ A, C ∈ K(X)}

≤ sup{T (C) : C ⊂ B, C ∈ K(X)}

= T (B)

b) 0 = T (A ∩ B) ≤ T (A) + T (B) − T (A ∪ B)

Do â T (A) + T (B) ≥ T (A ∪ B)

H» qu£ 2.1 N¸u A, B ∈ B(X) v  T (A) = 0 th¼ T (A ∪ B) = T (B)

ành ngh¾a 2.5 Ta gåi gi¡ cõa dung l÷ñng T , kþ hi»u supp T l  tªp âng

S nhä nh§t cõa X sao cho

T (X \ S) = 0

H» qu£ 2.2 Vîi måi dung l÷ñng T tr¶n X ta câ

a) T (supp T ) ≥ T (B) ∀B ∈ B(X)

b) T (supp T ) = T (X)

Chùng minh a) °t A = B \ supp T , ta câ A ⊂ X \ supp T n¶n T (A) = 0 V¼ B = A ∪ (B ∩ supp T ) n¶n theo h» qu£ 2.1

T (B) = T (B ∩supp T ) ≤ T (supp T )

b) Theo a) ta câ T (supp T ) ≥ T (X) v  do t½nh khæng gi£m n¶n T (supp T ) ≤

T (X) Vªy T (supp T ) = T (X)

ành ngh¾a 2.6 Mët dung l÷ñng T tr¶n X gåi l  dung l÷ñng x¡c su§t n¸u

T (supp T ) = T (X) = 1

5

3 Dung l÷ñng câ gi¡ ríi r¤c

ành ngh¾a 3.1 Tªp con D cõa X gåi l  ríi r¤c n¸u måi x ∈ D, tçn t¤i l¥n cªn mð Ux cõa x trong X sao cho D ∩ Ux = {x}

Bê · 3.1 Cho D l  tªp con âng, ríi r¤c cõa X Khi â

a) Måi tªp con cõa D âng trong X

b) Tªp con cõa D l  compact n¸u v  ch¿ n¸u nâ l  tªp con húu h¤n

Chùng minh a) A ⊂ D th¼ A âng trong D V¼ D âng trong X n¶n A

âng trong X

b) N¸u C l  tªp con væ h¤n cõa D th¼ C khæng compact trong D do â công khæng compact trong X

ành ngh¾a 3.2 Hå sè thüc khæng ¥m {ti}, i ∈ I gåi l  kh£ têng v  câ têng b¬ng s n¸u

X

i ∈ I

ti = sup{ X

i ∈ J

ti, J ⊂ I, #J < +∞} = s < +∞

Bê · 3.2 N¸u X

i ∈ I

ti < +∞ th¼ tªp I0 = {i ∈ I : ti > 0} l  ¸m ÷ñc

Chùng minh °t An = {i ∈ I0 : ti > 1

n} Ta câ

I0 =

∞

[

n=1

An

N¸u I0 khæng ¸m ÷ñc th¼ tçn t¤i n0 sao cho An0 væ h¤n Khi â

X

i ∈ I

ti = X

i ∈ I

ti ≥ X

i ∈ An0

ti = +∞

Bê · 3.3 N¸u µ : B(X) |→ [0, +∞) l  dung l÷ñng ë o, câ gi¡ l  tªp ríi r¤c D th¼ D l  tªp ¸m ÷ñc

Chùng minh Måi x ∈ D ·u câ µ({x}) > 0 v¼ n¸u tçn t¤i x ∈ D, µ({x}) = 0 th¼ D0 = D \ {x} l  tªp âng ( bê · 3.1 ) v  µ(X \ D0) = 0, m¥u thu¨n vîi

D l  tªp âng nhä nh§t câ t½nh ch§t n y Måi tªp húu h¤n A ⊂ D

µ(A) = X

x ∈ A µ({x}) ≤ µ(D) < +∞

n¶n X

x ∈ D

µ({x}) < +∞ Tø â theo bê · 3.2, D ¸m ÷ñc

ành ngh¾a 3.3 Cho T l  mët dung l÷ñng tr¶n X câ gi¡ l  tªp ríi r¤c D

°t tx = T ({x}) vîi måi x ∈ D, ta gåi T∞ v  T1 l  c¡c h m tr¶n B(X) x¡c

ành bði

T∞(A) =

( sup{tx : x ∈ A ∩ D} n¸u A ∩ D 6= ∅

0 n¸u A ∩ D = ∅,

T1(A) =











X

x ∈ A ∩ D

tx n¸u A ∩ D 6= ∅

0 n¸u A ∩ D = ∅

ành lþ 3.1 Cho T l  mët dung l÷ñng tr¶n X câ gi¡ l  tªp ríi r¤c D Khi

â T∞ l  dung l÷ñng tr¶n X v 

T∞(A) ≤ T (A) vîi måi A ∈ B(X) Chùng minh Hiºn nhi¶n T∞ thäa m¢n (C1), (C3) Vîi måi C ∈ K(X),

G =



S

x∈C∩D

Ux

 S(X \ D) l  tªp mð chùa C, T∞(C) = T∞(C ∩ D) =

T∞(G ∩ D) = T∞(G) n¶n câ (C4) º chùng minh T∞ thäa m¢n (C2), theo

bê · 2.2 ta s³ chùng minh T∞ l  h m cüc ¤i Thªt vªy, måi A, B ∈ B(X)

·u câ

T∞(A ∪ B) = sup{tx : x ∈ (A ∪ B) ∩ D}

= max{sup{tx : x ∈ A ∩ D}, sup{tx : x ∈ B ∩ D}}

= max{T∞(A), T∞(B)}

Cuèi còng, måi A ∈ B(X)

T∞(A) = sup{tx : x ∈ A ∩ D}

= sup{T ({x}) : x ∈ A ∩ D}

≤ T (A)

7

H» qu£ 3.1 Cho D l  mët tªp ríi r¤c trong X, méi x ∈ D chån mët gi¡ trà dx > 0 Vîi måi A ∈ B(X) °t

T (A) =

( sup{dx : x ∈ A ∩ D} n¸u A ∩ D 6= ∅

0 n¸u A ∩ D 6= ∅

Khi â T l  dung l÷ñng n¸u v  ch¿ n¸u sup{dx : x ∈ D} < ∞ Vîi dung l÷ñng n y ta câ T = T∞

ành lþ 3.2 Cho T l  mët dung l÷ñng câ gi¡ l  tªp ríi r¤c D Khi â T1 l  dung l÷ñng n¸u v  ch¿ n¸u D ¸m ÷ñc v  X

x ∈ D

tx < ∞ Vîi måi A ∈ B(X)

ta câ

T (A) ≤ T1(A)

Chùng minh N¸u T1 l  dung l÷ñng th¼ T1(D) = X

x ∈ D

tx < ∞ v  theo bê

· 3.2, D ¸m ÷ñc Ng÷ñc l¤i hiºn nhi¶n T1 thäa m¢n (C1), (C3) Vîi måi

C ∈ K(X), do

G = [

x∈C∩D

Ux

! [ (X \ D)

l  mð chùa C v 

T1(C) = T1(C ∩ D) = T1(G ∩ D) = T1(G) n¶n T thäa m¢n (C4)

Vîi måi A, B ∈ B(X) ta câ

T1(A ∪ B) = X

x ∈ (A ∪ B) ∩ D

tx

= X

x ∈ A ∩ D

tx+ X

x ∈ B ∩ D

tx− X

x ∈ A ∩ B ∩ D

tx

= T1(A) + T1(B) − T1(A ∩ B)

Vªy T1 thäa m¢n (2.1) v  do â l  mët dung l÷ñng theo ành lþ 2.1

Vîi måi a, b ∈ D, a 6= b theo ành lþ 2.3 b)

T ({a, b}) ≤ T ({a}) + T ({b})

tø â ti¸p töc sû döng ành lþ 2.3 b) v  qui n¤p theo sè ph¦n tû cõa C ta câ

T (C) ≤ X

x ∈ C

T ({x}) = T1(C)

vîi måi C ⊂ D, #C < ∞ B¥y gií vîi måi A ∈ B(X) ta câ

T (A) = T (A ∩ D)

= sup{T (C) : C ⊂ A ∩ D, C compact} (do C4)

= sup{T (C) : C ⊂ A ∩ D, #C < ∞} (do bê · 3.1 b)

≤ sup{T1(C) : C ⊂ A ∩ D, #C < ∞}

= T1(A ∩ D)

= T1(A)

H» qu£ 3.2 N¸u T l  dung l÷ñng câ gi¡ D l  tªp ríi r¤c v  X

x ∈ D

T ({x}) <

∞ th¼ T∞ v  T1 l  c¡c dung l÷ñng v 

T∞(A) ≤ T (A) ≤ T1(A) vîi måi A ∈ B(X)

H» qu£ 3.3 Cho D l  tªp ríi r¤c v  âng trong X, vîi méi x ∈ D, chån

dx > 0 Vîi måi A ∈ B(X) °t

T (A) =











X

x ∈ A ∩ D

dx n¸u A ∩ D 6= ∅

0 n¸u A ∩ D = ∅

Khi â T l  dung l÷ñng câ gi¡ D n¸u v  ch¿ n¸u D ¸m ÷ñc v  X

x ∈ D

dx<

∞ Vîi dung l÷ñng n y ta câ T = T1

9

T i li»u tham kh£o

[1]G.Choquet, Theory of capacities, Ann.Inst.Fourier 5(1953-1954), 131-295

[2] S.Graf, A Radon-Nikodym theorem for capacities, J.Reine und

Ange-wandte Mathematik 320(1980), 192-214

[3]P.J.Huber, The use of Choquet capacities in statistics, Bull.Internat.Statist

45(1973), 181-191

[4]P.J.Huber, V.Strassen, Minimax test and Neyman-Pearson lemma for

ca-paciti, Ann.Statist 1(1973), 251-263

[5] N.T.Hung, N.T.Nhu, Tonghui Wang, On capacities functionals in

inter-val probabilities, Inter.J.Uncertainty, Fuzziness and Knowleged-Based System

5(1997), 359-377

[6] N.T.Hung, B.Bouchon-Meunier, Random sets and large deviations

prin-ciple as a foundation for possibility measures, Soft Computing 8(2003), 61-70

[7]J.B.Kodane, L.Wasserman, Symmetic coherent, Choquet capacities, Ann.Statist.24(1996), 1250-1264

[8] G.Matheron, Random sets and integral geometry, J.Wiley, 1975

[9] N.Nhuy, L.X.Son, Probability capacities in IRd and the Choquet integral

for capacities, Acta.Math.Vietnam.29(2004), 41-56

[10] N.Nhuy, L.X.Son, The weak topology on the space of probability

capaci-ties in IRd, Vietnam J.Math.33(2005), 241-251

[11] T.Norberg, Random capacities and their distributions, Prob.Theory

Re-lat.Fields 73(1986), 281-297