tugiacnoitiep

Gọi G là giao điểm AB, CD... ˆ ˆ MHC MDOc.g.c⇒MHC MDO= ⇒ XétVMBACó SH là đường trung bình⇒SH//MA⇒HSA MASˆ = ˆ sole trong Lại cóMAS ABCˆ = ˆ hệ quả góc tạo bởi tiếp tuyến và dâycung ⇒SCHB

Từ điểm M nằm ngoài Đường tròn (O) , ta kẻ 2 tiếp tuyến MA , MB , Gọi S là trung điểm của

MB , SA cắt (O) Tại C , MC , cắt (O) tại D Gọi Q ,là trung điểm

CD , H là giao điểm của AB , và MO Tìm tất cả các tứ giác nội tiếp tạo ra từ 2 tiếp tuyến và các điểm nêu trên

GIẢI

Xét (O) Ta có , MA , MB , là tiếp tuyến của (O)⇒MAO MBO 90ˆ = ˆ = °

Q , là trung điểm CD (gt)⇒QO⊥ CD⇒MQO=90ˆ °

A,B,Q,Cùng thuộc đường tròn đường kính MO ⇒M, A, B, Q, O,cùng thuộc đường tròn đường kính MO⇒các tứ giác MAQO, MAOB,MQOB,AQOB, Là các tứ

Giác nội tiếp

Gọi G là giao điểm AB, CD

Ta có GQOH có GQO GHO 90ˆ = ˆ = °nên nội tiếp.

MAO

V vuông tại A , có AH là đường cao.⇒MA2 =MH.MO(hệ thức lượng)(1)

2

MA MC MAC MDA(g.g) MA MC.MD

MD MA

V ∽V

(2)

Từ (1) và (2)⇒MH.MO=MC.MD.

ˆ ˆ MHC MDO(c.g.c)⇒MHC MDO= ⇒

XétVMBACó SH là đường trung bình⇒SH//MA⇒HSA MASˆ = ˆ (sole trong)

Lại cóMAS ABCˆ = ˆ (hệ quả góc tạo bởi tiếp tuyến và dâycung)

⇒SCHB nội tiếp(2 đỉnh S,B,Cùng nhìn CH dưới 1 góc bằng nhau )

Gọi J là giao điểm của DH với (O)

Ta có AJBD nội tiếp và AB∩JD={ }H ⇒HA.HB=HJ.HD

Lại có MAOB nội tiếp ⇒HA.HB=HM.HO

⇒HJ.HD=HM.HO

Hay tứ giácMJOD nội tiếp

Xét (O) Có A,D,B,J,C, Cùng thuộc đường tròn (O)⇒ACBD,ACJD,AJBD,CJBD là các tứ giác nội tiếp

Ta có CHOD nội tiếp (cmt)⇒Dˆ2 =Hˆ2

ˆ





Lại có Oˆ1=Oˆ2( CODV Cân)

⇒ = ⇒CHOInội tiếp (2 đỉnhH,O,cùng nhìn CI dưới 1 góc=nhau)

Vì CHOD nội tiếp (cmt)⇒C,H,O,D,I, Cùng thuộc một đường tròn ⇒

CHOD,CODI,CHOI,OHID là các tứ giác nội tiếp

Từ trung điểm Q dựng (d)//BQ Cắt AB Tại K

Ta có CQK CDBˆ = ˆ (đồng vị )

Do ˆCAB CDB= ˆ ()

⇒Tứ giác AQKC nội tiếp (CAK CQKˆ = ˆ ,2 đỉnhA,Q, cùng nhìn CK dưới 1 góc = nhau )

ˆ

ˆ

CKA CQA

Lại có CQA MBAˆ = ˆ (Do M,B,O,Q,A cùng thuộc đường tròn đường kính MO )

⇒CK//MB hay CK⊥OB

Từ C dựng CP Vuông góc với OA ,Gọi Z là giao điểm của CP Và AB

Ta có CZB MABˆ = ˆ (CZ⊥OA , OA⊥MA⇒CZ//MA)(đồng vị )

Do CQB MABˆ = ˆ

Nên CZB CQBˆ = ˆ ⇒Tứ giácCZQB nội tiếp (2 đỉnhZ ,Q cùng nhìn CB dưới 1 góc có số đo

=nhau)

Tóm lại có tất cả 18 Tứ giác nội tiếp