Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất để phương trình có nghiệm dương 2.. Hãy tìm vận tốc riêng của ca nô, biết vận tốc của dòng nước là 4km/h Bài 4: Cho đường tròn tâm O đường kính AB, M là đ
Trang 1ĐỀ SỐ 01
Bài 1: Cho biểu thức: P x 2 x 1 x 1
x 1
x x 1 x x 1
với x ≥ 0 và x ≠ 1
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tìm x để P đạt giá trị nguyên
Bài 2:
1) Cho phương trình ẩn x: 2
x 2m 5 x n 0
a) Tìm m và n biết phương trình có hai nghiệm là (-2) và 3
b) Cho m = 5 Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất để phương trình có nghiệm
dương
2) Cho phương trình : x2 – 2mx + m2 – m + 1 = 0
Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x + 2mx = 912 2
Bài 3: Khoảng cách giữa hai bến sống A và B là 50km Một ca nô đi từ bến A đến bến
B, nghỉ 20 phút ở bến B rồi quay lại bến A Kể từ lúc khởi hành đến khi về tới bến A hết tất cả là 7 giờ Hãy tìm vận tốc riêng của ca nô, biết vận tốc của dòng nước là 4km/h
Bài 4: Cho đường tròn tâm O đường kính AB, M là điểm chính giữa của cung AB, K là
một điểm bất kỳ trên cung nhỏ BM Gọi H là chân đường vuông góc của M xuống AK
a) Chứng minh rằng AOHM là tứ giác nội tiếp
b) Tam giác MHK là tam giác gì? Vì sao?
c) Chứng minh OH là tia phân giác của góc MOK
d) Gọi P là hình chiếu vuông góc của K lên AB Xác định vị trí của K để chu vi
tam giác OPK lớn nhất
Bài 5:
1) Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn: abc = 1
Tính giá trị biểu thức: P 1 1 1
a ab 1 b bc 1 c ca 1
x 7x 6x 1 4x 3x
HẾT
Trang 2LỜI GIẢI ĐẾ SỐ 01 Bài 1: Cho biểu thức: P x 2 x 1 x 1
x 1
x x 1 x x 1
với x ≥ 0 và x ≠ 1
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tìm x để P đạt giá trị nguyên
BÀI LÀM
a) Ta có:
P
x 1
x x 1 x x 1 x 1
( x 1)(x x 1) ( x 1)(x x 1) ( x 1)(x x 1)
( x 1)(x x 1) ( x 1)(x x 1) ( x 1)(x x 1) x x 1
Vậy với x ≥ 0 và x ≠ 1, thì P =
1
x
x x
b) Đặt t x0 Ta có 2
2
t
P Pt (P 1)t P 0 (*)
t t 1
+ Để tồn tại giá trị nguyên của P thì phương trình (*) phải có nghiệm
3P 2 3P 1 1 1 3 0 3P 1 4
1
2 3P 1 2 3 3P 1 1 P
3
+ Mà P là số nguyên P 0 tại x = 0
Vậy x = 0 thì P đạt giá trị nguyên bằng 0
* Nhận xét: Ở phần b) của bài 1 này, ta đã vận dụng phương pháp “miền giá trị” để tìm
giá trị nguyên của P Phương pháp miền giá trị còn giúp chúng ta tìm giá trị lớn nhất - nhỏ nhất của hàm phân thức (vấn đề này thầy sẽ có tài liệu riêng) Ngoài ra, các em cần ghi nhớ công thức 2
A m, (m0) m A m
Bài 2:
1) Cho phương trình ẩn x: 2
x 2m 5 x n 0
a) Tìm m và n biết phương trình có hai nghiệm là (-2) và 3
b) Cho m = 5 Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất để phương trình có nghiệm dương
2) Cho phương trình : x2 – 2mx + m2 – m + 1 = 0
Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x + 2mx = 912 2
Trang 3BÀI LÀM
a) Do (- 2) và 3 là nghiệm của phương trình 2
x m x n nên ta có:
2
2
( 2) 2m 5 ( 2) n 0 4m n 14 m 2
3 2m 5 3 n 0
Vậy với m 2
n 6
thì phương trình đã cho có nghiệm là -2 và 3
b) Với m = 5, phương trình đã cho trở thành: 2
x 5x n 0
+ Để phương trình trên có nghiệm x ; x1 2 thì 25 4n 0 n 25
4
+ Khi đó theo định lý Viét ta có 1 2
1 2
x x 5
x x n
+ Vì x1 x2 5 0 nên để phương trình có nghiệm dương thì x x1 2 n 0 n 0 Kết hợp với điều kiện (*) suy ra n0 Mà n là số nguyên dương nhỏ nhất n 1
Vậy n = 1 là giá trị phải tìm
* Nhận xét: Ở phần b) này thực chất là một dạng bài tập vận dụng hệ thức Vi - ét, khi ta
có x1 x2 5 0 vậy phương trình đã cho sẽ có 2 nghiệm âm hoặc 2 nghiệm trái dấu
Mà theo đề bài để phương trình có nghiệm dương thì chỉ xảy ra trường hợp phương trình
có 2 nghiệm trái dấu, tức là x x1 2 0
' m 1 m m 1 m m m 1 m 1
+ Để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thì ' 0 m –1 0 m 1
+ Theo hệ thức Vi –ét ta có: 1 2 2
1 2
m – m 1 (2)
x x
+ Mà theo bài cho, thì x + 2mx = 912 2 (3)
- Thay (1) vào (3) ta được:
- Thay (1), (2) vào (4) ta được: 4m2m2 m 1 9 3m2 m 10 0
- Giải phương trình ta được: m1= - 2 (loại) ; m2 = 5
3(thỏa mãn)
Vậy m = 5
3 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm x1 x2 :
2
x + 2mx = 9
Trang 4Bài 3: Khoảng cách giữa hai bến sống A và B là 50km Một ca nô đi từ bến A đến bến
B, nghỉ 20 phút ở bến B rồi quay lại bến A Kể từ lúc khởi hành đến khi về tới bến A hết tất cả là 7 giờ Hãy tìm vận tốc riêng của ca nô, biết vận tốc của dòng nước là 4km/h
BÀI LÀM
Đổi 20 phút = 1
3 giờ
- Gọi vận tốc canô trong nước yên lặng là x (km/h, x 4)
- Vận tốc canô khi nước xuôi dòng là x 4 (km/h) và thời gian canô chạy khi nước
xuôi dòng là 50
x4 (giờ)
- Vận tốc canô khi nước ngược dòng là x 4 (km/h) và thời gian canô chạy khi nước ngược dòng là 50
x 4 (giờ)
- Theo đề bài ta có phương trình 50 1 50 7
4 3 4
x x
2
15( 4 4) 2( 16) 2 30 32 0
15 16 0
x x x x
x x x x x
x x
- Giải phương trình ta được x 1 (loại), x16 (thỏa mãn)
Vậy vận tốc canô trong nước yên lặng là 16 km/h
Bài 4: Cho đường tròn tâm O đường kính AB, M là điểm chính giữa của cung AB, K là
một điểm bất kỳ trên cung nhỏ BM Gọi H là chân đường vuông góc của M xuống AK
a) Chứng minh rằng AOHM là tứ giác nội tiếp
b) Tam giác MHK là tam giác gì? Vì sao?
c) Chứng minh OH là tia phân giác của góc MOK
d) Gọi P là hình chiếu vuông góc của K lên AB Xác định vị trí của K để chu vi tam giác
OPK lớn nhất
BÀI LÀM
a) Vì M là điểm chính giữa của cung AB, nên sđAM900 0
AOM 90
(Định lý góc ở tâm), mà MH AK (GT) AHM= 900
+ Trong tứ giác AOHM, ta có: 0
AOM AHM 90
Do đó đỉnh O và H luôn nhìn đoạn AM dưới một góc 900, nên AOHM là tứ giác nội tiếp
Trang 5K
A
O
b) Xét tam giác vuông MHK có sdAM 0
2
(góc nội tiếp chắn AM của đường tròn tâm O) MHK vuông cân tại H (đpcm)
c) MHK vuông cân tại H (theo phần b) HM = HK
+ Xét MHO và KHO có HM = HK (CM trên), HO cạnh chung, OM = OK = R
MHO = KHO (c-c-c) MOH KOH OH là phân giác của MOK(đpcm)
d) Ta có chu vi của OPK là: C = OP + PK + OK Mà OK = R không đổi
chu vi tam giác OPK lớn nhất OP + PK lớn nhất
+ Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cop-ski ta có :
OP PK 1.OP 1.PK 1 1 OP PK R 2
chu vi của OPK lớn nhất bằng: 2R + R = ( 2 1)R , khi OP PK
1 1 hay K là điểm chính giữa của cung MB
Bài 5:
1) Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn: abc = 1
Tính giá trị biểu thức: P 1 1 1
a ab 1 b bc 1 c ca 1
x 7x 6x 1 4x 3x
BÀI LÀM
1) Ta có
2
P
a ab 1 b bc 1 c ca 1 a ab 1 ab abc a abc a bc ab
a ab 1 ab 1 a 1 a ab a ab 1
Vậy a, b, c là các số thực thỏa mãn: abc = 1 thì P = 1
2) Chuyển vế và phương trình trở thành hằng đẳng thức và nghiệm của PT là x = - 1
3
x 7x 6x 1 4x 3x x 3x 3x 1 0 x 1 0 x 1
Vậy phương trình có nghiệm là x = - 1
(HẾT)