Tổng hợp đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên năm học 2019 2020(phần 5)

a Chứng minh rằng tứ giác ABDC nội tiếp đường tròn và hai tam giác ACD và IHD đồng dạng.. a Chứng minh rằng tứ giác ABDC nội tiếp đường tròn và hai tam giác ACD và IHD đồng dạng.. Lời gi

= + Gọi A x ; y( A A) và B x ; y( B B) (với xA xB) là các giao điểm của ( )P và

( )d Gọi C x ; y( C C) là điểm thuộc ( )P sao cho xA xC xB Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác ABC

( 2 )( 2 )

A= x −4 x −4 có giá trị lớn nhất

Câu 4 (3.0 điểm)

Cho tam giác nhọn ABC có AB AC và trực tâm là T Gọi H là chân đường cao

kẻ từ A của tam giác ABC và D là điểm đối xứng với T qua đường thẳng BC Gọi I và

K lần lượt là hình chiếu vuông góc của D trên AB và AC Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AC và IH

a) Chứng minh rằng tứ giác ABDC nội tiếp đường tròn và hai tam giác ACD và IHD đồng dạng

b) Chứng minh rằng ba điểm I, H, K thẳng hàng và tam giác DEF là tam giác vuông

b) Có bao nhiêu số nguyên x sao cho

202023x 1+ là số nguyên?

HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1 (1.,5 điểm)

Kết hợp với điều kiện xác định ta được x=4 là giá trị cần tìm

b) Cho x, y là các số thực thỏa mãn điều kiện ( 2 )( 2 )

x+ x +1 y+ y +1 =2 Tính giá trị của biểu thức Q x y= 2+ +1 y x2+ 1

Biến đổi giả thiết của bài toán ta được

= + Gọi A x ; y( A A) và B x ; y( B B) (với xA xB) là các giao điểm của ( )P và

( )d Gọi C x ; y( C C) là điểm thuộc ( )P sao cho xA xC xB Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác ABC

là điểm thuộc ( )P sao cho xA xC xB Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác ABC

Phương trình hoành độ giao điểm của parabol ( )P và đường thẳng ( )d là

2 2

3 3

3

x y

xx

Dễ thấy hệ phương trình trên vô nghiệm

Vậy hệ phương trình đã cho có các nghiệm là ( ) (x; y = −1; 0 , 1; 0) ( )

Câu 3 (1.5 điểm)

a) Giải phương trình x 3 3 2x 3+ + − + x 1− + 2x 3− =2 2

b) Cho phương trình 2 ( )

x + m 1 x m 6 0− + − = với x là ẩn và m là tham số Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x ; x1 2 sao cho biểu thức

32x 3 3 2x 3 1 4 2x 3 0 x

A= x −4 x −4 có giá trị lớn nhất

Từ phương trình ta được ( )2 ( ) 2 ( )2

m 1 4 m 6 m 6m 25 m 3 16 0

 = − − − = − + = − +  với mọi m Do đó phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x ; x1 2 với mọi m Khi đó theo hệ thức Vi – et ta có x1+x2 = −1 m; x x1 2 =m 6− Ta có

=

Câu 4 (3.0 điểm)

Cho tam giác nhọn ABC có AB AC và trực tâm là T Gọi H là chân đường cao

kẻ từ A của tam giác ABC và D là điểm đối xứng với T qua đường thẳng BC Gọi I và

K lần lượt là hình chiếu vuông góc của D trên AB và AC Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AC và IH

a) Chứng minh rằng tứ giác ABDC nội tiếp đường tròn và hai tam giác ACD và IHD đồng dạng

b) Chứng minh rằng ba điểm I, H, K thẳng hàng và tam giác DEF là tam giác vuông

c) Chứng minh rằng BC AB AC

DH = DI +DK

Lời giải

a) Chứng minh tứ giác ABDC nội tiếp

đường tròn và hai tam giác ACD và IHD

đồng dạng

+ Gọi P là giao điểm của tia CT cạnh AB

Ta có DAB TCB= vì cùng phụ với góc

ABC và TCB=DCB do T và D đối xứng

qua BC Do đó ta được DAB=DCB nên

tứ giác ABDC nội tiếp đường tròn

H

D

C B

A

+ Ta cũng có tứ giác BHDI nội tiếp đường tròn nên ta có DIH=DBH=DAC và

b) Chứng minh ba điểm I, H, K thẳng hàng và tam giác DEF là tam giác vuông

+ Tứ giác IBHD nội tiếp đường tròn nên BHI=BDI Tứ giác DHKC có hai đỉnh H và

K cùng nhìn đoạn DC dưới một góc vuông nên nội tiếp đường tròn, do đó ta được

suy ra BDI=KDC Do đó ta được BHI KHC= , lại do I và K nằm khác phía đối với đường thẳng BC nên ba điểm I, H, K thẳng hàng

+ Hai tam giác ACD và IHD đồng dạng với nhau có DE và DF lần lượt là các đường

trung tuyến nên DC DE

DH = DF Do đó suy ra hai tam giác DCE và DHF đồng dạng với nhau nên EDC FDE= Từ đó ta lại có HDC FDE= neo đó hai tam giác HDC và FDE đồng dạng Từ đó suy ra 0

c) Chứng minh rằng BC AB AC

DH = DI +DK

+ Lời giải 1 Trên cạnh BC lấy điểm Q sao cho QDC BDA= Lại có BAD=BCD nên

hai tam giác DBA và DQC đồng dạng với nhau Suy ra AD AD

CQ = CD Lại có hai tam giác

AID và CHD đồng dạng nên AD DI

CD= DH Suy ra ta được AB DI

CQ= DH hay AB CQ

DI = DH Mặt khác ta lại có QDC BDA= nên ta HDC BDQ= nên suy ra hai tam giác BDQ và

ADC đồng dạng, do đó ta được BQ DB

AC= DA Ta cóBAD=BCD HKD= Mặt khác ta lại

có ABD 180= 0−IBD và KHD 180= 0−IHD Mà ta có IBD IHD= nên ABD KHD=

Từ đó dẫn đến hai tam giác ABD và KHD đồng dạng nên DB DH

+ Lời giải 2 Trên đường tròn ( )O lấy điểm N sao cho BN AC= khi đó ta suy ra được

AB CN= Từ đó ta được BDN ACD= Gọi J là giao điểm của ND với BC Khi đó ta có

mà DH và DI là hai đường cao tương ứng nên CJ = AB

DH DI Từ đó ta được

AC AB BJ CJ BC

DK DI DH DH DH

+ Lời giải 3 Ta có các tứ giác DHKC, DHBI, DKAI nội tiếp đường tròn Mà ta lại có ba

điểm I, H, K thẳng hàng Từ đó ta có SDIK =SDHK+SDHI, suy ra DIK DHK DHI

ABC ABC ABC

S = S +S hay

ta được DI.DK DK.DH DH.DI

AB.AC= BC.AC +AB.BC Từ đây ta suy ra được AC AB BC

b) Có bao nhiêu số nguyên x sao cho

202023x 1+ là số nguyên?

Do vậy ta được 2 x 2 2 2y2 2 4z2 1

22x y 5+6y z 6+3z 4x 16 

Vậy bất đẳng thức đã cho được chứng minh

b) Có bao nhiêu số nguyên x sao cho

202023x 1+ là số nguyên?

Do x là số nguyên nên

202023x 1+ là số nguyên khi và chỉ khi 2020 ( )

2 3x 1+ Suy ra

3x 1+ là lũy thừa của 2 hay ta co b

3x 1+ =  với 2 b0;1; 2; 3; ; 2020 Ta xét các trường hợp sau

• Trường hợp 1 Xét b là số chẵn Khi đó tồn tại số tự nhiên k để b 2k=

• Trường hợp 2 Xét b là số lẻ Khi đó tồn tại số tự nhiên k để b 2k 1= +

trường hợp này có 1010 giá trị x nguyên thỏa mãn yêu cầu bài toán

Vậy có tất cả 2021 giá trị x nguyên để

202023x 1+ là số nguyên

Câu 4 (1.0 điểm) Quãng đường từ Gia Nghĩa đến thành phố Buôn Ma Thuột dài 120

km Một người dự định đi xe máy từ Gia Nghĩa đến thành phố Buôn Ma Thuột với vận tốc không đổi Sau khi đi được 45 phút, người ấy dừng lại nghỉ 15 phút Để đến thành phố Buôn Ma Thuột đúng thời gian đã dự định, người đó phải tăng vận tốc thêm 5 km/h trên quãng đường còn lại Tính vận tốc của người đi xe máy theo dự định ban đầu

Câu 5 (1.0 điểm) Tìm m để phương trình 2 ( )

x −2 m 1 x 4m+ + =0 (với x là ẩn và m là tham số) có hai nghiệm x ; x1 2 thỏa mãn điều kiện 3 2 3 2

x −x =x − x

Câu 6 (3.0 điểm) Cho đường tròn (O; R) đường kính AB Kẻ hai đường thẳng d và d’ lần lượt là hai tiếp tuyến tại các tiếp điểm A và B của đường tròn ( )O Điểm M thuộc đường tròn ( )O (M khác A và B) Tiếp tuyến tại M của đường tròn ( )O cắt d và d’ lần lượt tại C và D Đường thẳng BM cắt d tại E

a) So sánh độ dài các đoạn thẳng CM, CA, CE

b) Đường thẳng EO cắt hai đường thẳng d’ và AD lần lượt tại I và J Chứng minh các điểm A, B, I, J cùng thuộc một đường tròn

c) Giả sử AE=BD, tính độ dài đoạn thẳng AM theo R

Thay trực tiếp y 1= hoặc y 3= vào phương trình đã cho ta được ( ) ( )x; y = 2;1 là một nghiệm nguyên dương của phương trình

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là ( ) ( )x; y = 2;1

Đặt t x= 2−4x 4 0+  Khi đó phương trình trên trở thành

t t 1− =12 − −t t 12 0=   −t 3; 4

Do t 0 nên ta được t 4= hay 2 2  

x −4x 4+ = 4 x −4x 0=  x 0; 4 Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S= 0; 4

  là các nghiệm của hệ đã cho

+ Với x 2y 0+ = ta được x= − , thế vào phương trình thứ nhất của hệ đã cho ta được 2y

Từ đó suy ra ( ) (x; y = 2; 1 ,− ) (−6; 3) là các nghiệm của hệ đã cho

Vậy hệ phương trình đã cho có bốn nghiệm là ( ) ( ) 3 3 ( ) ( )

Câu 4 (1.0 điểm) Quãng đường từ Gia Nghĩa đến thành phố Buôn Ma Thuột dài 120

km Một người dự định đi xe máy từ Gia Nghĩa đến thành phố Buôn Ma Thuột với vận tốc không đổi Sau khi đi được 45 phút, người ấy dừng lại nghỉ 15 phút Để đến thành phố Buôn Ma Thuột đúng thời gian đã dự định, người đó phải tăng vận tốc thêm 5 km/h trên quãng đường còn lại Tính vận tốc của người đi xe máy theo dự định ban đầu

x km

Khi đó quãng đường còn lại là 3 ( )

120 x km4

Vậy vận tốc dự định dự định của người đó là 40 km/h

Câu 5 (1.0 điểm) Tìm m để phương trình 2 ( )

x −2 m 1 x 4m+ + =0 (với x là ẩn và m là tham số) có hai nghiệm x ; x1 2 thỏa mãn điều kiện x13−x12 =x32− x22

Lời giải

Từ phương trình đã cho ta có ( )2 2 ( )2

' m 1 4m m 2m 1 m 1 0

 = + − = − + = −  Do đó phương trình đã cho luôn có hai nghiệm x ; x1 2

Khi đó theo hệ thức Vi – et ta có x1+x2 =2m 2; x x+ 1 2 =4m Từ bài ra ta có

+ Với x1−x2 =0 ta được x1 =x2 hay phương trình đã cho có nghiệm kép, do đó ta được ( )2

Dễ thấy ngay phương trình 4m2+2m 2 0+ = vô nghiệm

Vậy m=1 là giá trị thỏa mãn yêu cầu bài toán

a) So sánh độ dài các đoạn thẳng CM, CA, CE

b) Đường thẳng EO cắt hai đường thẳng d’ và AD lần lượt tại I và J Chứng minh các điểm A, B, I, J cùng thuộc một đường tròn

c) Giả sử AE=BD, tính độ dài đoạn thẳng AM theo R

Lời giải

a) So sánh độ dài các đoạn thẳng CM, CA,

CE

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có

CM CA= , suy ra tam giác AMC cân tại C

nên ta được CAM=CMA Mà ta lại có

0

nên ta lại được CME CEM= nên tam giác

CEM cân tại C, suy ra CE CM= Từ các kết

quả đó ta được CA CM CE= =

b) Đường thẳng EO cắt hai đường thẳng d’

và AD lần lượt tại I và J Chứng minh các

điểm A, B, I, J cùng thuộc một đường tròn

F

J

I

O F

E

D

C

B A

Dễ thấy hai tam giác OAE và OBI bằng nhau nên suy ra tứ giác AEBI là hình bình hành, do đó AI song song với BE Lại có OD vuông góc với BE nên suy ra OD vuông góc với AI Mà ta lại có AB vuông góc với DI nên suy ra O là trực tâm của tam giác ADI Do vậy ta được IO vuông góc với AD nên suy ra AJI 90= 0 Mà ta lại có

0

ABI=90 do đó suy ra tứ giác AJBI nội tiếp đường tròn

c) Giả sử AE=BD, tính độ dài đoạn thẳng AM theo R

Tam giác COD vuông tại O có OM là đường cao nên 2

MO =MC.MD Mà như trên ta

có CA CM CE= = nên suy ra AE 2CM= Mặt khác do BD MD= và AE=BD nên ta

được 2CM MD= Đến đây ta được 2CM2=R2 hay CM R 2

3

AE AB

+

Câu 7 (1.0 điểm) Cho hai số thực a, b thỏa mãn 1 a 2;1 b 2    Tìm giá trị lớn nhất

và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P a 2 b 2

Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi ab 2=

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 8, đạt được tại 1 a 2;1 b 2;ab 2    =

Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi a b 1= = hoặc a b 2= =

Vậy giác trị lớn nhất của P là 9, đạt được tại a b 1= = hoặc a b 2= =

Đề số 44

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN TỈNH QUẢNG NGÃI

Năm học 2019 – 2020 Bài 1 (2.0 điểm)

x x x x x x

− + với x 0; x 1  Rút gọn và tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P

b) Cho hai số thực a, b thỏa mãn 2 2

c) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng ( )d : y=(m 2 x m 1+ ) − +

và x+(m 2 y+ ) =m 2+ trong đó m là tham số Chứng minh rằng giao điểm của hai đường thẳng nói trên thuộc một đường cố định khi m thay đổi

Cho đường tròn (O; R) có hai đường kính Ab và CD vuông góc với nhau Gọi

M là điểm di động trên đoạn thẳng OB (M khác O và P) Tia CM cắt đường tròn ( )O

tại N Gọi P là giao điểm của BD với CN và Q là giao điểm của AN với CD

a) Chứng minh rằng PQ song song với AB

b) Chứng minh rằng tam giác CAQ đồng dạng với tam giác AMC, từ đó suy

ra diện tích tứ giác ACMQ không đổi khi M di động trên đoạn thẳng OB

Bài 5 (0.5 điểm)

Trên một bảng ô vuông, ở mỗi ô người ta điền toàn bộ dấu + Sau đó thực hiện quá trình đổi dấu ( dấu + sang dấu – dấu – sang dấu +) lần lượt theo các bước sau: + Bước 1 Các ô ở dòng thứ i đều được đổi dấu j lần với i 1; 2; 3; ; 2019=

+ Bước 2 Các ô ở cột thứ j đều được đổi dấu 3j 1+ lần với J 1; 2; 3; ; 2019=

Tính số dấu còn lại trên bảng ô vuông sau khi thực hiện xong quá trình đổi dấu trên

HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1 (2.0 điểm)

x 3y 6x 9x 6xy y 3y 9 0 x 6x 9 9x 6xy y 0

x 3 3x y 0

x 3; y 33x y 0

Thử lại ta thấy ( ) (x; y = 3; 3 , 3; 3− ) ( ) thỏa mãn hệ phương trình đã cho

Vậy hệ phương trình đã cho có các nghiệm là ( ) (x; y = 3; 3 , 3; 3− ) ( )

Bài 2 (2.5 điểm)

a) Cho biểu thức

22x 3 x x 1 x xP

x x x x x x

− + với x 0; x 1  Rút gọn và tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P

b) Cho hai số thực a, b thỏa mãn a2+4ab 7b− 2 = với a b0  và a − Tính b

giá trị của biểu thức Q 2a b 3a 2b

a b a b

c) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng ( )d : y=(m 2 x m 1+ ) − +

và ( )d' : x+(m 2 y+ ) =m 2+ trong đó m là tham số Chứng minh rằng giao điểm của hai đường thẳng nói trên thuộc một đường cố định khi m thay đổi

Lời giải

a) Cho biểu thức

22x 3 x x 1 x xP

x x x x x x

x 1 x x 1 x x 1 x x 12x 3

2x 3 x x 1 x x 12x 3 x x 1 x x 1

Do đó P 2 2 6 + , dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi x 3

2

= thỏa mãn điều kiện xác định

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 2 2 6+ , đạt được tại x 3

2

=

b) Cho hai số thực a, b thỏa mãn 2 2

a +4ab 7b− = với a b0  và a  − Tính giá trị b

Vậy ta suy ra được P 6=

c) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng ( )d : y=(m 2 x m 1+ ) − + và

( )d' : x+(m 2 y+ ) =m 2+ trong đó m là tham số Chứng minh rằng giao điểm của hai đường thẳng nói trên thuộc một đường cố định khi m thay đổi

Ta xét hai trường hợp sau

+ Với m= −2 khi đó ta viết lại các đường thẳng là ( )d : y=3 và ( )d' : x 0= Khi đó hai đường thẳng ( )d và ( )d ' cắt nhau tại điểm ( )0; 3

+ Với m −2 Khi đó đường thẳng ( )d ' được viết lại thành ( ) 1

B 0;1 khi m thay đổi Từ đó suy ra đoạn thẳng AB cố định

Như vậy khi M thay đổi nhưng tam giác AMB luôn vuông tại M, điều này đồng nghĩa với M thuộc đường tròn đường kính AB cố định

Vậy giao điểm của hai đường thẳng ( )d và ( )d ' nằm trên đường tròn cố định có đường kính AB

a) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình x y 3 1+ + + = x+ y

Do x, y là các số nguyên dương nên ta có biến đổi phương trình

Từ đó ta được ( ) ( ) ( )x; y = 4; 9 , 9; 4 là các nghiệm của phương trình đã cho

b) Số tự nhiên n 111= 6 có tất cả bao nhiêu ước số nguyên dương phân biệt Tính tích của tất cả các ước số đó

Để ý rằng 111 3.37= nên suy ra n 111= 6=3 376 6 Do đó mỗi ước của n đều có dạng 3 37 với x y x0;1; 2; 3; 4; 5; 6 và y0;1; 2; 3; 4; 5; 6 Co x có thể nhận một trong

7 giá trị và y cũng nhận một trong 7 giá trị trên nên suy ra n có tất cả 49 ước nguyên dương phân biệt

Nếu a là một ước nguyên dương khác 3

111 111 =111

Bài 4 (3.5 điểm)

Cho đường tròn (O; R) có hai đường kính Ab và CD vuông góc với nhau Gọi

M là điểm di động trên đoạn thẳng OB (M khác O và P) Tia CM cắt đường tròn ( )O

tại N Gọi P là giao điểm của BD với CN và Q là giao điểm của AN với CD

a) Chứng minh rằng PQ song song với AB

b) Chứng minh rằng tam giác CAQ đồng dạng với tam giác AMC, từ đó suy

ra diện tích tứ giác ACMQ không đổi khi M di động trên đoạn thẳng OB

Lời giải

a) Chứng minh PQ song song với AB

Vì Ab vuông góc với CA nên suy ra CA=CD, do đó ta được CDB ANC= , điều này dẫn đến tứ giác PQDN nội tiếp đường tròn Do đó ta được PND PQD 180+ = 0, mà ta

lại có PND 90= 0 nên suy ra PQD 90= 0 hay PQ vuông góc với CD Do vậy PQ song song với AB

N

M O

C

D

B A

b) Chứng minh tam giác CAQ đồng dạng với tam giác AMC, từ đó suy ra diện tích tứ giác ACMQ không đổi khi M di động trên đoạn thẳng OB

Hai tam giác CAQ và AMC có ACQ MAC 45= = 0 và CAQ AMC= nên hai tam giác

đồng dạng với nhau Do đó suy ra CA CQ

MA=CA hay AM.CQ AC= 2 =2R2 Do từ giác

ACMQ có AM vuông góc với CQ nên 2 2 2

Ta có tứ giác PQDN nội tiếp đường tròn nên ta có PQN PDN= Mà PDN=BCN nên

ta được PQN BCN= Đường thẳng NQ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác CPQ khi ta có PQN PCQ= , khi đó ta được BCN PCQ= , điều này đồng nghĩa với

CN là phân giác của góc OCB Ta có tam giác BOC vuông cân tại O nên BC R 2= Vì

CM là phân giác của tam giác BOC nên ta có MO CO R 1

+ Bước 2 Các ô ở cột thứ j đều được đổi dấu 3j 1+ lần với J 1; 2; 3; ; 2019=

Tính số dấu còn lại trên bảng ô vuông sau khi thực hiện xong quá trình đổi dấu trên

Lời giải

Theo quá trình đổi dấu trên thì ô vuông ở dòng i cột j được đổi dấu i 3j 1+ + lần Dễ thấy (i 3j 1+ + − + = +) ( )i j 2j 1 nên i 3j 1+ + và i j+ là hai số không cùng tính chẳn lẻ

Do đó những ô vuông ở dòng i cột j mà i j+ là số lẻ sẽ đổi dấu một số chẵn lần và dấu

ở ô vuông đó vẫn là dấu +, còn những ô vuông ở dòng i cột j mà i j+ là số chẵn sẽ đổi dấu một số lẻ lần và dấu ở ô vuông đó là dấu – Mà từ 1 đến 2019 có 1009 số chẵn và

1010 số lẻ nên số cặp ( )i; j mà i j+ bằng 1009.1010 1010.1009 2038180+ = Vậy số các ô vuông còn lại mang dấu + bằng 2038180

Đề số 45

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN TỈNH BÌNH PHƯỚC

Năm học 2019 – 2020 Câu 1 (2.0 điểm)

Cho đường tròn (O; R) và đường tròn (O'; R ') cắt nhau tại hai điểm phân biệt

A và B Trên tia đối của tia AB lấy điểm C Kẻ tiếp tuyến CD và CE với đường tròn

(O; R) trong đó D, E là các tiếp điểm và E nằm trong đường tròn (O'; R ') Đường thẳng AD và AE cắt đường tròn (O'; R ') lần lượt tại M và N (M và N khác A) Tia DE cắt MN tại I

a) Chứng minh rằng tứ giác BEIN nội tiếp đường tròn

b) Chứng minh rằng hai ta, giác MIB và AEB đồng dạng với nhau

c) Chứng minh rằng O’I vuông góc với MN

Câu 5 ( 1.0 điểm)

a) Giải phương trình nghiệm nguyên 2 2

4y = +2 199 x− −2x b) Tìm tất cả các cặp số nguyên tố ( )p; q sao cho p2 −2q2 =41

Câu 2 (1.0 điểm) Cho phương trình 2 ( )

x − m 2 x 3m 3 0+ + − = với m là tham số Tìm các giá trị của m để phương trình đã cho có hai nghiệm dương phân biệt x ; x1 2 sao cho x ; x1 2 là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông với cạnh huyền có độ dài bằng 5

Cho đường tròn (O; R) và đường tròn (O'; R ') cắt nhau tại hai điểm phân biệt

A và B Trên tia đối của tia AB lấy điểm C Kẻ tiếp tuyến CD và CE với đường tròn

(O; R) trong đó D, E là các tiếp điểm và E nằm trong đường tròn (O'; R ') Đường thẳng AD và AE cắt đường tròn (O'; R ') lần lượt tại M và N (M và N khác A) Tia DE cắt MN tại I

a) Chứng minh rằng tứ giác BEIN nội tiếp đường tròn

b) Chứng minh rằng hai tam giác MIB và AEB đồng dạng với nhau

c) Chứng minh rằng O’I vuông góc với MN

O'

P D

C

B A

a) Chứng minh rằng tứ giác BEIN nội tiếp đường tròn

Tứ giác BAMN nội tiếp đường tròn nên ta có BAD=BNM hay BAD=BNI Tứ giác BEAD nội tiếpđường tròn nên ta có BAD BED= Từ đó ta được BED=BNI nên suy

ra tứ giác BEIN nội tiếp đường tròn

b) Chứng minh rằng hai tam giác MIB và AEB đồng dạng với nhau

Tứ giác BAMN nội tiếp đường tròn nên BMI=BAE và MNA MBA= Từ giác NEIN

nội tiếp đường tròn nên ta có MNA INE IBE= = Do vậy ta có MBA IBE= , nên ta suy

ra được IBM MBE EBA MBE+ = + hay IBM=EBA Kết hợp với BMI=BAE ta suy ra được hai tam giác MIB và AEB đồng dạng với nhau

c) Chứng minh rằng O’I vuông góc với MN

+ Lời giải 1 Do CD là tiếp tuyến với đường tròn ( )O nên ta có CDA=CBD , do đó

hai tam giác CDA và CBD đồng dạng với nhau Suy rat a được BD CD

AD =CA Chứng minh hoàn toàn tương tự ta cũng có CE EB

CA=EA Mặt khác ta lại có CD CE= nên ta suy

ra được BD BE

AD= AE Hai tam giác MIB và AEB đồng dạng với nhau nên ta có

EB IB

EA=IM Tứ giác BEIN nội tiếp đường tròn nên ABD=AED IEB IBN= = Lại có

INB=DAB nên suy ra hai tam giác INB và DAB đồng dạng với nhau, do đó ta có

BD IB

AD=IN Kết hợp các kết quả trên ta được BI BI

NI =MI nên MI IN= hay I là trung điểm của dây cung MN Do vậy ta được O’I vuông góc với MN

+ Lời giải 2 Như đã chứng minh trên ta có AD BD

AE = BE Từ A kẻ đường thẳng song song với DE cắt MN tại P Theo định lý Talest ta có IP DA

IM= DM và IP EA

IN=EN Tứ giác ADBE nội tiếp nên NEB ADB= , do đó ta được NEB MDB= Xét tam giác DMB và tam giác ENB có NEB MDB= và DMB ENB= nên suy ra tam giác ECB đồng dạng với

tam giác DFB, từ đó suy ra DM BD

EN = BE Do đó ta được AD DM

AE = EN hay DA AE

DM= NE Điều này dẫn đến IP IP

IM= IN hay I là qua trung điểm của MN Vậy O’I vuông góc với

MN đi qua trung điểm N của EF

Câu 5 ( 1.0 điểm)

a) Giải phương trình nghiệm nguyên 2 2

4y = +2 199 x− −2x b) Tìm tất cả các cặp số nguyên tố ( )p; q sao cho p2 −2q2 =41

a) Giải phương trình nghiệm nguyên 4y2 = +2 199 x− 2−2x

Điều kiện xác định của phương trình là 199 x− 2−2x 0 Do x nhận giá trị nguyên nên

từ điều kiện xác định ta được ( )2

x 1+ 200 nên suy ra −14 + x 1 14 Từ đó ta suy ra được x − 15; 14; 13; ; 1; 0;1; ;12;13− − − 

b) Tìm tất cả các cặp số nguyên tố ( )p; q sao cho 2 2

p −2q =41

Ta có p2 −2q2 =41 nên suy ra p2 =2q2+41 Do đó suy ra p là số nguyên tổ lẻ

Do đó tồn tại số nguyên dương k để p 2k 1= +

2k 1+ =2q +414k +4k 2q= +402k +2k q= +20 Đến đây ta lại suy ra được q là số chẵn Do q là số nguyên tô nên ta được q 2=

Thay q 2= vào phương trình đã cho ta được p2 =49 hay p 7=

Vậy cặp số nguyên tố ( ) ( )p; q = 7; 2 thỏa mãn yêu cầu bài toán

b) Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện ( )3

12 x y+ +4xy 2 xy +4zy 3 2xy xy xy+  xy 1 2xy 2 xy 3− + +  0

Từ đó ta suy ra được xy 1  hay 0 xy 1  

Áp dụng bất đẳng thức trong ý a) với xy 1  ta được

Dễ thấy bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng do 0 t 1  

Vậy ta được 2 2018xy 2019

+ nên suy ra P 2019 , dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi x y 1= = Vậy giá trị lớn nhất của P là 2019, đạt được tại x y 1= =

Đề số 46

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN TỈNH BÌNH DƯƠNG

Năm học 2019 – 2020 Câu 1 (3.0 điểm)

Câu 4 (3.5 điểm)

Cho điểm M thuộc nữa đường tròn ( )O đường kính AB (M khác A, M khác B

và MA MB ) Tia phân giác của góc AMB cắt AB tại C Qua C vẽ đường thẳng vuông góc với AB cắt các đường thẳng AM và BM theo thứ tự tại D và H

a) Chứng minh rằng CA CH=

b) Gọi E là hình chiếu vuông góc của H trên tiếp tuyến tại A của đường tròn

( )O và F là hình chiếu vuông góc của D trên tiếp tại B của đường tròn ( )O Chứng minh rằng ba điểm E, M, F thẳng hàng

c) Gọi S ; S1 2 theo thứ tự là diện tích của các từ giác ACHE và BCDF Chứng minh rằng MC2  S S1 2

HƯỚNG DẪN GIAI Câu 1 (3.0 điểm)

hai trường hợp sau

+ Trường hợp 1 Với x 1 = Khi đó ta được ( 2 ) ( )2 3

3

1 + +1 1  3 2− + 3 2 1− + =9

Do đó x 1 = là một nghiệm của phương trình đã cho

+ Trường hợp 2 Với x 1 Khi đó dễ thấy 3

3x 2 1 0− −  Do đó phương trình đã cho tương đương với

(x2+ +x 1 3x 3) ( − )=9(3 3x 2 1− − ) x3− =1 3(3 3x 2 1− − )Đặt 3

t= 3x 2− Khi đó ta có t3=3x 2− và phương trình đã cho được viết lại thành 3

x − = − 1 3t 3

Từ đó ta có hệ phương trình

3 3

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S= − 2;1

b) Cho parabol ( ) 2( )

d : y=4x 2a− Tìm a để đường thẳng ( )d cắt parabol ( )P tại hai điểm phân biệt M, N có hoành độ tương ứng là

Do đó của parabol ( )P và đường thẳng ( )d cắt nhau tại hai điểm phân biệt M, N khi

và chỉ khi ' 0  hay ta được 0 a 1  Khi đó gọi hoành độ giao điểm của parabol

( )P và đường thẳng ( )d lần lượt là xM và xN

Khi đó theo hệ thức Vi – et ta có xM xN 2; x xM N a

a+ = = Từ đó ta có

Do a2  nên ta có 0 3a2−  − Suy ra từ bất đẳng thức trên ta được 1 1 2

Từ đó ta được 2  

x  0;1; 4; 9

Đến đây được x − − − 3; 2 1; 0;1; 2; 3 Thay trực tiếp vào biểu thức x 32

x 1

−+ ta được

x − −2 1; 0;1; 3 thỏa mãn yêu cầu bài toán

Vậy với x − − 2 1; 0;1; 3 thì giá trị của biểu thức x 32

x 1

−+ là một số nguyên

Câu 4 (3.5 điểm)

Cho điểm M thuộc nữa đường tròn ( )O đường kính AB (M khác A, M khác B

và MA MB ) Tia phân giác của góc AMB cắt AB tại C Qua C vẽ đường thẳng vuông góc với AB cắt các đường thẳng AM và BM theo thứ tự tại D và H

a) Chứng minh rằng CA CH=

b) Gọi E là hình chiếu vuông góc của H trên tiếp tuyến tại A của đường tròn

( )O và F là hình chiếu vuông góc của D trên tiếp tại B của đường tròn ( )O Chứng minh rằng ba điểm E, M, F thẳng hàng

c) Gọi S ; S1 2 theo thứ tự là diện tích của các từ giác ACHE và BCDF Chứng minh rằng 2

AMB=BCH, đồng thời có góc MBA chung

nên hai tam giác AMB và BCH đồng dạng

với nhau, suy ra HC MA

BC = MB

H

F D

M E

B O

C A

Cũng có MC là phân giác của góc AMB nên AC MA

BC = MB Kết hợp hai kết quả trên ta có

HC AC

BC = BC suy ra CA CH=

b) Gọi E là hình chiếu vuông góc của H trên tiếp tuyến tại A của ( )O , F là hình chiếu vuông góc của D trên tiếp tuyến tại B của ( )O Chứng minh E, M, F thẳng hàng

Gọi I là giao điểm của AH và CE Tứ giác EHCA có ba góc vuông nên là hình chữ nhật lại có hai cạnh kề nhau HC AC= nên tứ giác EHCA là hình vuông Khi đó vì

+Suy ra CM2  S S1 2 , vì AM BM nên dấu bằng không xảy ra, khi đó ta có điều phải chứng minh

Đề số 47

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN TỈNH SƠN LA

Năm học 2019 – 2020 Câu 1 (2.0 điểm)

b) Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm x ; x1 2 thỏa mãn điều kiện biểu

Câu 6 (1.0 điểm)

Trong các tam giác có cạnh đáy bằng a, chiều cao tương ứng là h (a, h cho trước, không đổi) Hãy tìm tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp lớn nhất