(Luận văn thạc sĩ) mẫu ising và một số ứng dụng

Hình 1.1: Đường biểu diễn sự phụ thuộc của năng lượng tự do không thứ nguyên f theo tham số trật tự không thứ nguyên  với các giá trị khác nhau của tham số  Hình 1.2: Đường biểu diễn s

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS Bạch Hương Giang

GS TS Bạch Thành Công

Hà Nội – 2016

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất tới GS TS Bạch Thành Công và TS Bạch Hương Giang – hai người Thầy tận tâm đã dành nhiều thời gian,

tâm huyết hướng dẫn tôi trong suốt quá trình làm luận văn để tôi có thể hoàn thành được luận văn này

Tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Ban lãnh đạo trường, các thầy cô khoa Vật lý, các thầy cô giáo trong bộ môn Vật lý chất rắn, phòng Sau đại học trường Đại học Khoa học Tự nhiên – ĐHQGHN, phòng thí nghiệm tính toán trong KHVL và

đề tài NAFOSTED 103.01.2015.92 đã hỗ trợ, tạo điều kiện thuận lợi nhất để tôi có thể tham gia nghiên cứu và thực hiện luận văn

Sau cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã luôn ở bên động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến tất cả mọi người!

Mặc dù tôi đã rất cố gắng để hoàn thành luận văn, nhưng do hạn chế về thời gian, kinh nghiệm và kiến thức nên không tránh khỏi những thiếu sót Tôi mong nhận được sự thông cảm và những ý kiến đóng góp của các thầy cô, anh chị và các bạn để tôi có điều kiện bổ sung, nâng cao kiến thức của mình

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 12 năm 2015

Học viên

Đồng Minh Sơn Huyền Trang

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1: MẪU ISING VÀ LÝ THUYẾT CHUYỂN PHA LANDAU 4

1.1 Mẫu Ising hai trạng thái (S = 1/2) 4

1.2 Lý thuyết chuyển pha Landau 6

1.2.1 Lý thuyết chuyển pha Landau khi không có trường ngoài 6

1.2.2 Lý thuyết chuyển pha Landau khi có trường ngoài 13

1.3 Lý thuyết trường trung bình cho mẫu Ising spin -1/2 trong trường dọc 18

CHƯƠNG 2: ÁP DỤNG MẪU ISING VÀ LÝ THUYẾT CHUYỂN PHA LANDAU CHO MÀNG MỎNG CÓ TRẬT TỰ XA 24

2.1 Mẫu Ising cho màng mỏng có trật tự xa, lời giải trong lý thuyết trường trung bình 24

2.2 Phương trình xác định điểm Curie cho màng mỏng trật tự trong lý thuyết trường trung bình 31

2.3 Khai triển Landau cho màng mỏng có trật tự mô tả bởi mô hình Ising 36

2.4 Nhiệt dung đẳng tích cho màng mỏng 40

2.5 Tính toán số cho màng mỏng đơn lớp có trật tự 41

2.5.1 Phương trình xác định sự phụ thuộc vào nhiệt độ của tham số trật tự 41

2.5.2 Phương trình xác định nhiệt dung cho màng mỏng đơn lớp có trật tự 42

CHƯƠNG 3: TÍNH TOÁN MONTE – CARLO CHO MẪU ISING 2D (MÀNG MỎNG MỘT LỚP) 46

3.1 Phương pháp Monte – Carlo 46

3.1.1 Lý thuyết Monte – Carlo cổ điển 46

3.1.2 Thuật toán Metropolis 47

3.2 Mô phỏng Monte – Carlo áp dụng cho mẫu Ising 2D (màng mỏng một lớp) 48

3.2.1 Mô phỏng Monte – Carlo áp dụng cho mẫu Ising 2D 48

3.2.2 Kết quả mô phỏng Monte – Carlo cho mẫu Ising 2D 50

KẾT LUẬN 53

TÀI LIỆU THAM KHẢO 54

Hình 1.1: Đường biểu diễn sự phụ thuộc của năng lượng tự do không thứ nguyên f

theo tham số trật tự không thứ nguyên  với các giá trị khác nhau của tham số 

Hình 1.2: Đường biểu diễn sự phụ thuộc của tham số trật tự không thứ nguyên ξ theo

từ trường ngoài h với tham số α = 0.1, sgn(B) = -1

Hình 2.1: Mô hình màng mỏng có trật tự xa

Hình 2.2: Đường biểu diễn sự phụ thuộc của nhiệt độ Curie B C

C S

Hình 2.3: Đồ thị so sánh kết quả của lý thuyết trường trung bình và thực nghiệm về sự

phụ thuộc của nhiệt độ Curie sắt điện của perovskite PbTiO vào độ dày màng mỏng 3

Hình 2.4: Đường biểu diễn sự phụ thuộc của momen từ trên một nút mạng m vào

nhiệt độ không thứ nguyên ح k T J B

Hình 2.5: Đường biểu diễn sự phụ thuộc của nhiệt dung (trong đơn vị k B) vào nhiệt độ

tỷ đối حk T J B

Hình 3.1: Mô hình mẫu Ising hai chiều

Hình 3.2: Đường biểu diễn độ phân cực spin trên một nút mạng của mẫu Ising theo

nhiệt độ không thứ nguyên với các kích thước mảng khác nhau trong trường hợp không có trường ngoài

Hình 3.3: Đường biểu diễn nhiệt dung tính trên một nút mạng của mẫu Ising theo

nhiệt độ không thứ nguyên với các kích thước mảng khác nhau trong trường hợp không có trường ngoài

MỞ ĐẦU

Mẫu Ising là một mô hình toán học đơn giản mô tả các hiện tượng trong cơ học thống kê ([16], [8]) Mục đích ban đầu của mẫu Ising, cũng là chủ đề luận án tiến sĩ của Ising là giải thích cấu trúc và tính chất của các chất sắt từ Ở đây, Ising đã cố gắng giải thích một số dữ liệu thực nghiệm quan sát được về vật liệu sắt từ bằng cách sử dụng mô hình do người thầy của mình là Lenz đề xuất năm 1920

Kể từ khi mẫu Ising cho phép đơn giản hóa những tương tác phức tạp thì nó đã được ứng dụng thành công trong các lĩnh vực khoa học Thống kê cho thấy trong khoảng những năm từ 1969 đến 1997 đã có hơn 12.000 bài báo về mẫu Ising được công bố, và con số này cho đến nay vẫn tăng không ngừng Có thể kể đến các biến thể của mẫu Ising giúp hiểu được bản chất sâu xa của nhiều hiện tượng lý sinh như các đường cong bão hòa của Hemoglobin, tốc độ phản ứng ban đầu của enzyme allosteric hay mô hình mạng thần kinh và các đặc trưng quan trọng của màng lipid Ngoài ra mô hình Ising còn được ứng dụng trong các lĩnh vực khác như kinh tế học (nghiên cứu về ảnh hưởng của kinh tế - xã hội đến chỉ số kinh doanh, phân tích chuỗi thời gian tài chính trong thị trường kinh doanh), xã hội học (hành vi xã hội của mỗi cá nhân thay đổi để phù hợp với hành vi của các cá nhân khác trong vùng lân cận của họ) hay ngôn ngữ học (sự thay đổi của ngôn ngữ), …

Đối với ngành Vật lý, trong nhiều thập kỷ qua, mẫu Ising chủ yếu được áp dụng

để nghiên cứu các vật liệu từ Gần đây, sự phát triển của kỹ thuật màng mỏng đã mở ra nhiều hướng nghiên cứu mới về mẫu Ising hai chiều [8], mẫu Ising cho màng mỏng sắt điện hoặc sắt từ trong trường ngoài [12] Những hướng nghiên cứu này thu hút cả các nhà vật lý lý thuyết và vật lý thực nghiệm Về mặt lý thuyết nó giúp xác định tính chất vĩ

mô của hệ vật chất Về mặt thực nghiệm, nó được ứng dụng trong rất nhiều lĩnh vực công nghệ khác nhau, chẳng hạn như trong lưu trữ dữ liệu, xúc tác, điện tử, tạo những bước ngoặt lớn trong tiến bộ của khoa học công nghệ

Trong luận văn này, tôi tiếp tục nghiên cứu phát triển mô hình Ising về mặt lý

thuyết, ứng dụng trong việc khảo sát các tham số nhiệt động của mẫu Ising 2 chiều, mẫu

Ising trong trường dọc, cho màng mỏng có trật tự và so sánh kết quả giữa lý thuyết với

thực nghiệm cho điểm Curie của màng mỏng sắt điện Các tính toán được thực hiện trong

gần đúng phương pháp trường trung bình và lý thuyết Landau cho mẫu Ising đồng thời so

sánh với kết quả dựa trên phương pháp Monte – Carlo cho mẫu Ising 2D (màng mỏng

một lớp)

Phương pháp nghiên cứu

- Dựa trên mô hình Ising và lý thuyết trường trung bình, lý thuyết chuyển pha

Landau thực hiện các bước biến đổi giải tích theo cơ học thống kê để xây dựng các biểu

thức cho năng lượng tự do, độ từ hóa và nhiệt dung của hệ spin đặc trưng cho hệ có trật

tự xa, khảo sát hiện tượng chuyển pha xảy ra trên các hệ khi không và khi có trường

ngoài tác dụng Từ đó sử dụng các phần mềm hỗ trợ tính toán số thu được các kết quả có

thể áp dụng để phân tích các kết quả thực nghiệm khác nhau cho các đại lượng nhiệt động

tương ứng

- Sử dụng phương pháp Monte – Carlo áp dụng cho một số trường hợp màng một

lớp (mẫu 2D) có trật tự xa để so sánh với phương pháp giải tích trong gần đúng trường

trung bình

Cấu trúc luận văn

Bên cạnh phần mục lục và mở đầu, cấu trúc luận văn gồm ba phần chính như sau:

Chương 1: Mẫu Ising và lý thuyết chuyển pha Landau

Chương 2: Áp dụng mẫu Ising và lý thuyết chuyển pha Landau cho màng mỏng có trật tự xa

Chương 3: Tính toán Monte – Carlo cho mẫu Ising 2D (màng mỏng một lớp)

Kết luận

CHƯƠNG 1: MẪU ISING VÀ LÝ THUYẾT CHUYỂN PHA LANDAU

1.1 Mẫu Ising hai trạng thái (S = 1/2)

Vào năm 1925, Ernest Ising đã đưa ra lời giải chính xác cho mô hình Ising một chiều để mô tả hiện tượng sắt từ nhưng nghiên cứu của ông đã bị bác bỏ trong gần hai thập kỷ tiếp theo Đến năm 1944, khi Lars Onsager đưa ra lời giải chính xác cho mô hình Ising hai chiều và tìm ra điểm chuyển pha sắt từ - thuận từ thì những nghiên cứu trên mới được công nhận [6] Từ đây, mẫu Ising có một vị trí nổi bật trong cơ học thống kê và các hướng nghiên cứu về mẫu này được mở rộng theo nhiều hướng đa dạng

Trong lý thuyết sắt từ, tính sắt từ của hệ biểu hiện khi tập hợp các spin nguyên tử của hệ đó sắp xếp sao cho momen từ của chúng cùng hướng, làm cho momen từ tổng hợp của hệ có độ lớn khác không [3] Mô hình Ising là cách biểu diễn lý thuyết đơn giản nhất cho hiện tượng sắt từ, tuy nhiên nó có thể dùng để mô tả các hệ có trật tự khác nhau như trật tự sắt từ, sắt điện, hợp kim có trật tự,…

Xuất phát toán học của mẫu Ising: Coi mỗi nút mạng chỉ có spin σ i và chỉ có hai

định hướng là lên trên (spin up σ i = +1) và xuống dưới (spin down σ i = -1) Đối với vật

liệu có trật tự khác nhau, spin có thể đặc trưng cho độ phân cực từ (vật liệu từ) hay độ phân cực điện (vật liệu sắt điện) hay tỷ số nồng độ thành phần trong hợp kim đôi trật tự

Năng lượng tương tác giữa các spin được mô tả bằng Hamilton tương tác:

 : tổng theo mọi giá trị i ≠ k

Jik: tham số năng lượng tương tác trao đổi giữa các spin ở nút mạng i và k (i; k = 1, 2, …, N là số nút mạng hay số spin) Ở đây, mỗi cặp i, k chỉ tính một lần

Trong phần tiếp theo ta phân tích cụ thể cho trường hợp sắt từ nhưng có thể áp dụng cho các vật liệu có trật tự khác nhau

Vì Jik tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách: Jik ~

21

ik

R

(với Rik là khoảng cách giữa các spin σi và σk) nên ta cho rằng Jik chỉ đáng kể với các lân cận gần nhất

1.2 Lý thuyết chuyển pha Landau

1.2.1 Lý thuyết chuyển pha Landau khi không có trường ngoài

Lý thuyết chuyển pha Landau là lý thuyết hiện tượng luận cho chuyển pha trật tự -

mất trật tự trong đó tham số trật tự  ở pha trật tự khác không và nó bằng không ở pha

mất trật tự Gần điểm chuyển pha TC (điểm Curie) tham số trật tự là bé ta có khai triển

năng lượng tự do vào chuỗi Taylor theo bậc bé của  [5]

Biểu thức năng lượng tự do Landau gần điểm chuyển pha có dạng:

F = a(T – TC) 𝜂2

2 + β 𝜂

4

4 + … (1.7) (ở đây, η là tham số trật tự có thể là độ từ hóa trung bình, trật tự xa, mật độ dòng

siêu lỏng hoặc mật độ dòng siêu dẫn)

Giá trị cân bằng của tham số trật tự ứng với cực tiểu của năng lượng tự do và tìm

Phương trình trên có hai nghiệm là:

 η = 0 ứng với pha không trật tự T > TC (1.8.a)

 η = a(TC T)





 ứng với pha trật tự T < TC (1.8.b)

Cochran và Anderson đưa ra khái niệm “spring constant” ω0 được xác định bởi

Biểu thức (1.7) được dùng khi có một loại trật tự với tham số trật tự  Trong

trường hợp phức tạp hơn trật tự đó có thể bị ảnh hưởng bởi một trật tự khác kém quan

trọng hơn đặc trưng bởi tham số trật tự e

Ta viết biểu thức của năng lượng tự do dưới dạng sau:

2 2

2 0

d c

  ; C = γ > 0 ta được biểu thức của năng lượng tự do của hệ với trật tự đặc trưng bởi tham số  là chủ yếu:

2   4 6

sgn

B A

B B

    tại TC (B < 0) (1.15) Khi đó, biểu thức của năng lượng tự do có dạng:

B C

    

 ta được biểu thức năng lượng tự do không

thứ nguyên như sau:

Trước hết ta tìm điều kiện cực trị của f

Ta có đạo hàm bậc nhất và bậc hai của năng lượng tự do f như sau:

Phương trình trên có hai nghiệm hoặc  = 0 hoặc được xác định bởi biểu thức:   2 4

Khi đó, phương trình (1.20) có hai nghiệm: 02 1 1

 tại 2

0

1 2

Điều này có nghĩa là: Chỉ khi α ≤ 3

16 giá trị f(0) và f(ξ) mới bằng nhau

16 thì pha trật tự  0 là không ổn định nhiệt động học

v Nếu α < 0 thì mạng tinh thể gốc thậm chí còn không ổn định nhiệt

động học

1.2.2 Lý thuyết chuyển pha Landau khi có trường ngoài

Lúc này, biểu thức năng lượng tư do F có dạng:

2 sgn  4 6 '

B A

B C

Trong đó: ξ là độ từ hóa tỉ đối không thứ nguyên

ξ

η là độ từ hóa

η0 là độ từ hóa bão hòa

Thế giá trị η2 vào công thức (1.24) ta được:

rồi thay vào biểu thức (1.26) ta thu được năng lượng

Hình 1.2: Đường biểu diễn sự phụ thuộc của tham số trật tự không thứ nguyên ξ

theo từ trường ngoài h, tham số α = 0.1, sgn(B) = -1

Hình 1.2 là đường biểu diễn sự phụ thuộc của tham số trật tự không thứ nguyên ξ vào từ trường ngoài h khi tham số α = 0.1 và sgn(B) = -1 Trạng thái giả bền (đường nét đứt) có thể tồn tại khi trường ngoài bé

Sau đây ta sẽ đi xác định từ trường tới hạn

i Từ trường tới hạn thứ nhất xác định từ điều kiện f 0

Khai triển biểu thức ta thu được:

h 

1.3 Lý thuyết trường trung bình cho mẫu Ising spin -1/2 trong trường

Xét hệ spin trong mạng tinh thể với Hamiltonian Ising sau:

H = - J

/ 2 ij

Số hạng đầu tiên bên vế phải của phương trình (1.32) là tổng năng lượng liên kết giữa các cặp spin lân cận gần nhất, số hạng thứ hai là năng lượng Zeeman của các momen từ riêng ứng với momen spin σk trong trường ngoài h (ở đây h = g µB H, trong đó

H là cường độ từ trường ngoài, g là nhân tử Lande, µB là magneton Bohr), N là tổng số các spin (hay các nút mạng) và q là số phối vị (hay số lân cận gần nhất) [8]

Mô hình Ising được cho bởi Hamiltonian phương trình (1.32) là bán cổ điển, vì nó

đã đề cập đến sự lượng tử hóa của momen từ nguyên tử (hay spin) nhưng không tính đến

sự thăng giáng lượng tử liên quan tới sự không giao hoán của các thành phần không gian của toán tử spin nguyên tử mà Hamiltonian không đề cập tới

Để tính được Hamiltonian của mẫu Ising theo công thức (1.32) cần những thuật toán rất tinh vi vì tương tác spin - spin rất phức tạp, mỗi spin không chỉ tương tác với các spin lân cận gần nhất mà còn có thể tương tác với tất cả các spin còn lại trong mạng Lý thuyết trường trung bình được đưa ra để tránh sự phức tạp này, bằng cách coi các spin còn lại đó như một tập hợp không tương tác với nhau và thay thế bằng một giá trị kỳ vọng, gọi là giá trị trung bình Do đó, Hamiltonian cho mỗi spin trong trường trung bình

Hm f = h + Jq<σj>

Trong đó: m.f ký hiệu cho trường trung bình (mean field)

Xuất phát từ bất phương trình Gibbs – Bogoliubov ta thu được nguyên lý biến phân Gibbs – Bogoliubov có dạng:

F   F0 HH0 0 (1.34)

Trong đó: F và H lần lượt là năng lượng tự do chính xác Gibbs và Hamiltonian

toàn phần của mẫu mạng thống kê ta đang xét F0 và H 0 là năng lượng tự do thử Gibbs và Hamiltonian thử của mẫu mạng đơn giản mà ta có thể tính được chính xác

Hamiltonian thử của mẫu có dạng:

H 0 = - γ

1

N k k

Ta cũng chứng minh được rằng có thể tách rời giá trị kỳ vọng của mối tương quan spin - spin trong trường trung bình như sau:

2

0 0

      (1.37) Hiệu HH0 trong vế phải của nguyên lý biến phân trở thành:

Trong trường hợp không có từ trường ngoài (h = 0) thì:

và giữ lại hai số hạng khác không đầu tiên

Lúc này coi: tanhx → 0 x ≈ x – x3/3

Định luật phụ thuộc vào nhiệt độ theo hàm mũ với số mũ βm = ½ có dạng:

Khi trường ngoài bằng không, năng lượng tự do Gibbs sẽ giảm xuống:

f = F/N = A0+ A2m2 + A4m4 + … (1.47.b) Trong công thức trên: A0  k T B ln 2

Tại nhiệt độ chuyển pha loại 2, T = TC , β = βC = 1/kBTC ; A2(βC) = 0

Từ (1.48) ta lại nhận được biểu thức (1.44) cho nhiệt độ Curie khi dùng khai triển Landau cho năng lượng tự do:

4

C B

qJ T k

 (1.50)

Trong lý thuyết chuyển pha Landau, sự chuyển pha liên tục bị ràng buộc bởi các điều kiện A2 = 0, A4 > 0 Và theo lý thuyết này thì tại điểm chuyển pha của spin Ising -1/2 giá trị của nhiệt độ chuyển pha phụ thuộc vào số phối vị q cũng như độ lớn của tích phân trao đổi J và spin (S = 1/2)

CHƯƠNG 2: ÁP DỤNG MẪU ISING VÀ LÝ THUYẾT CHUYỂN PHA

LANDAU CHO MÀNG MỎNG CÓ TRẬT TỰ XA

2.1 Mẫu Ising cho màng mỏng có trật tự xa, lời giải trong lý thuyết trường

trung bình

Xét màng mỏng có trật tự xa gồm n lớp song song xếp chồng lên nhau, mỗi

lớp có N spin Mô hình màng mỏng có trật tự xa được minh họa trong hình 2.1

Hình 2.1: Mô hình màng mỏng có trật tự xa

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ Vị trí của spin thứ j (j = 1, 2, …, N)

thuộc lớp ν (ν = 1, 2, …, n) đặc trưng bởi vecto rνj

Trong đó: 𝒛 là vecto đơn vị dọc theo hướng Oz vuông góc với mặt màng

Dễ thấy có (2S + 1) giá trị của Sz j

Trong gần đúng trường trung bình, Hamiltonian trong biểu thức (2.1) có thể viết dưới dạng sau: