Tiếp tuyến tại M và N của O, O’ cắt tại I a Chứng minh rằng tứ giác IMA’N nội tiếp được trong một đường tròn... c Chứng tỏ rằng D luôn luôn qua điểm cố định A∈ P Bài 5 Cho đường tron tâm
Trang 1Bài 1
Cho P = 1 1 + 3 : 1 3 2
9 1
x
a) Thu gọn biểu thức P
b) Tính giá trị của biểu thức P khi x= +6 2 5
c) Tính x để P =65
Bài 2
Cho phương trình : x2−2(m−1)x m+ 2−3m=0(1) a) Định m để (1) có nghiệm x = 0 Tính nghiệm kia.
b) Giả sử (1) có hai nghiệm x1, x2 ( x1 < x2 ) Tìm hệ thức độc lập đối với m giữa các nghiệm x1, x2
c) Định m để (1) có 2 nghiệm x1, x2 mà 2 2
x +x = d) Giả sử (1) có hai nghiệm x0 > 0 Chứng minh rằng nghịch đảo của phương trình (1) là nghiệm của phương trình : (m2 − 3m x) 2 − 2(m− 1) x+ = 1 0
Bài 3
Giảiphương trình sau : 2x2− −8x 3 x2−4x− =5 12
Bài 4
Chứng minh rằng: 2 2 2
1
2 + 3 + +n < −n
Bài 5
Cho hai đường tròn tâm O và O’ cắt nhau tại A và A’ Một cát tuyến qua A cắt đường tròn (O) tại M’ và cắt (O’) tại N Tiếp tuyến tại M và N của O, O’ cắt tại I
a) Chứng minh rằng tứ giác IMA’N nội tiếp được trong một đường tròn
b) Chứng minh rằng : ∆ MA'N : A'OO'∆
c) Giả sử A'OO' = 30 ; AOO' = 45 và AO = n · o · o Tính theo các đoạn AA’ ; Chu vi và diện tích ∆ AOO'
Trang 2
Cho T = − + − − +
15 11 3 2 2 3
a) Rút gọn T
b) Tính x khi T= 12
c) Tính x để biểu thức T đạt giá trị lớn nhất
Bài 2
a) Chứng minh rằng : x2+ +y2 z2 ≥ xy yz zx+ + , ,∀x y z R∈
b) Cho y = ( x +1 ) ( x + 2 ) ( x + 3 ) ( x + 4 )
• Tìm giá trị nhỏ nhất của y
• Giải phương trình y = 3
Bài 3
Cho phương trình
+ + =
− =
− =
2
0 Tìm , biết rằng phương trình có hai nghiệm
5 thỏa mãn :
35
x px q p q
x x
x x
Bài 4
4
y =− x (P) và y=mx− 2m− 1 (D) a) Vẽ đồ thị (P)
b) Tìm m sao cho (D) tiếp xúc (P) Tìm tọa độ tiếp điểm bằng đồ thị và bằng phép tính c) Chứng tỏ rằng (D) luôn luôn qua điểm cố định A∈( )P
Bài 5
Cho đường tron tâm O, dây cung AB, điểm C trên tia đối của tia AB Từ điểm chính giữa P của cung lớn AB, kẻ đường kính PQ của đường tròn cắt dây cung AB tại D Tia CP cắt đường tròn tại điểm thứ hai I ; AB cắt QI tại K
a) Chưng minh rằng PDKI nội tiếp được trong một đường tròn
b) Chứng minh rằng : CI CP = CK CD
c) Chưng minh rằng : CI là tia phân giác góc ngoài đỉnh của ∆AIB
d) Giả sử A, B, C cố định , đường tròn (O) thay đổi nhưng vẫn đi qua A, B thì đường thẳng
QI luôn đi qua điểm cố định
Bài 6
Giải phương trình : x2 −2x+ =1 6 4 2+ − 6 4 2+
Trang 3
Bài 1
Cho biểu thức : 3 1 : 3 2 1 ( -1< < 1)
+
a) Rút gọn biểu thức M
b) Tính giá trị của M khi 3
+ c) Tìm các giá trị của x để M 2 = M
Bài 2
Cho Parabol (P) có phương trình y = x2 và điểm A thuộc (P) có hoành độ xA = 2 a) Vẽ Parabol (P) trên mặt phẵng tọa độ Oxy.
b) Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A và tiếp xúc với Parabol (P)
c) Đường thẳng ∆ cắt trục Oy tại B Tình diện tích của tam giác OAB
Bài 3
Cho a, b, c là ba số thực Chứng minh rằng : nếu a + b + c = 0 thì ab + bc + ca ≤0 Khi nào đẳng thức xãy ra
Bài 4
Cho x, y, z là ba số thực dương, chứng minh rằng nếu x + y + z = 1thì :
Bài 5
Cho đường tròn ( O, r ) đường kính AB Trên một cung AB lấy điểm C ( khác với A và
B ) Gọi M là điểm chính giữa của cung nhỏ AC M’ làđiểm đối xứng của M qua AB Các tia
BM và M’A cắt nhau tại S , kẻ SP vuông góc AB tại P
a) So sánh các ·ASB và BAC·
b) Chứng minh rằng tứ giác SPAM nội tiếp được đường tròn
c) Chứng PM là tiếp tuyến của đường tròn (O)
d) Bốn điểm S, P, M’, C có nằm trên đường tròn hay không ? vì sao ?
Trang 4
Cho P = 2 2 4 : 3
4
x
a) Thu gọn biểu thức P
b) Tính giá trị của x để P > 0 ; P < 0
Bài 2
Giải và biện luận phương trình theo tham số a : ax2+ =5 a x( +5)(1)
Bài 3
Cho phương trình x2 + (2m – 1) x – m = 0 a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
b) Tìm m để (1) có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn : x1 – x2 = 1
Bài 4
Chứng minh rằng nếu các nghiệm của phương trình : x2 + ax +b = 0 ( b ≠1) là các số
nguyên thì a2 +b2 là hợp số
Bài 5
Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O, M là một điểm tùy ý trên cung nhỏ BC Trên đoạn MA đặt MD = MB
a) Chứng minh tam giác MBD là tam giác đều
b) Chứng minh hai tam giác BAD và MBC bằng nhau Suy ra MA = MB + MC c) Gọi P, Q, R lần lượt là hình chiếu của điểm M lên các cạnh AB, BC, CA Chứng minh ba điểm P, Q, R thẳng hàng
d) Chứng minh rằng khi M thay đổi trên cung nhỏ BC thì tích MI MA luôn luôn là hằng số ( Với I là giáo điểm MA với BC )
Trang 5
Tìm tất cả các số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng số đó chia hết cho tích hai chữ số của nó
Bài 2
a) Tìm điều kiện của x để A có nghĩa
b) Rút gọn A
c) Tìm các giá trị của x ∈¢ để A ∈¢
Bài 3
Cho phương trình : x2 – (m – 1)x – m2 + m – 2 = 0 (1) a) Chứng minh rằng (1) có hai nghiệm trái dấu với nhau với mọi gái trị m
b) Gọi hai nghiệm của (1) là x1 và x2 Tìm giá trị của m để T = x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 4
Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước và chảy đầy bể trong 2 giờ 55 phút Nếu chảy riêng thì vòi thứ nhất chảy đầy nhanh hơn vòi thứ hai là 2 giờ Hỏi nếu để chảy riêng thì mổi vòi sẽ chảy đầy bể trong bao lâu?
Bài 5
Cho điểm M nằm trong tam giác ABC Chứng minh rằng :
4.S ABC ≤AM BC BM CA CM AB + +
Bài 6
Trong đường tròn tâm O bán kính R, cho dây cung AB bằng cạnh hình vuông nội tiếp và dây cung BC bằng cạnh tam giác đều nội tiếp đường tròn (O) Điểm A cá C ở cùng một phía so với đường thẳng BO
Tính cạnh của tam giác ABC và đường cao AH của nó theo bán kính R
Trang 6
Tính A = 22
1
a x a x với x ab
b
a x a x
+
+ + − trong đó a > 0 , b> 0
Bài 2
a) Chứng minh bất đẳng thức : 2 (a2 + b2) ≥ ( a + b)2
b) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số : y = x− +4 6−x
c) Giải phương trình : x− +4 6−x = x2−10x+27
Bài 3
Cho phương trình : x2 + (1 – m )x + m – 3 = 0 (m là tham số) a) Chứng minh rằng (1) luôn luôn có nghiệm với mọi giá trị của m
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc m
c) Xác định giá trị của m sao cho hai nghiệm x1, x2 của phương trình thỏa : (x1 – x2)2 - 1
2 (x1 + x2) -10 = 0
Bài 4
Có hai hộp đựng bi, nếu lấy từ hộp thứ nhất ra một số bi bằng số bi có trong hộp thứ hai rồi bỏ vào hộp thứ hai, rồi lấy từ hộp thứ hai một số bi bằng số bi còn lại trong hộp thứ nhất và bỏ vào hộp thứ nhất số bi bằng số bi còn lại trong hộp thứ hai Đến đây số bi trong mỗi hộp đều bằng 16 viên Hỏi lúc đầu mỗi hộp có bao nhiêu viên ?
Bài 5
Hai đường tròn tâm O và O’ có bán kính lần lượt là R và r ( R > r ) tiếp xúc ngoài tại
P Đường thẳng OO’ cắt đưởng tròn tâm O ở A và cắt đường tròn tâm O’ ở B Tiếp tuyến chung ngoài CD ( C thuộc (O), D thuộc (O’))cắt đường thẳng OO’ ở Q Tiếp tuyến chung của hai đường tròn ở F cắt CD tại I
a) Chứng minh rằng tam giác OIO’ và tam giác CPD là tam giác vuông
b) Chứng minh rằng : CD =2 R r c) Tính độ dài các đoạn thẳng OI, O’I, OQ, O’Q theo R và r d) Gọi M, N lần lượt là giáo điểm của OI với CP và O’I với DP Tính diện tích tứ giác IMPN khi R = 3r
Trang 7
1) Tìm x biết a) x2 = 81 ; b ) x2 = 25
49 ; c) ( 2 )2 ( )2
2) Cho a > 0 , b > 0 , a ≠ b Chứng minh rằng biểu thức sau đây không ohu5 thuộc
2
a b
−
Bài 2
Cho hàm số y = ax2
a) Xác định hệ số a biết đồ thị hàm số đi qua điểm có tọa độ (2, 2) vẽ parabol (P) có Phương trình y = 1 2
2x b) Tìm điểm nằm trên parabol (P) có hoành độ là : - 6
c) Tìm điểm nằm trên parabol (P) có tung độ là : 6
d) Gọi M là điểm nằm trên parabol (P) có hoành độ bằng 4 Tính khoảng cách từ M đến gốc tọa độ
Bài 3
Cho phương trình : x2 – 5x – m2 = 0 (1) a) Chứng minh rằng : Phương trình (1) luôn có hai nghiệm trái dấu, ∀ ≠m 0
b) Chứng minh rằng : Nghiệm của phương trình (1) là nghịch đảocác nghiệm của phương trình m x2 2 + 5x− = 1 0
c) Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có các nghiệm thỏa mãn điều kiện : 3x1 + x2
=3
Bài 4
Từ một điểm A ở ngoài đường tròn (O), vẽ hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (O) ( B và C là các tiếp điểm ) Gọi M là điểm bất kỳ trê cung nhỏ BC ( M khác B và C ), vẽ MD,
ME, MF lần lượt vuông góc với các đường thẳng BC, CA, AB Chứng minh rằng :
a) Tứ giác MDBF và MDCE nội tiếp đường tròn
b) ∆FBM : ∆DMC và DBM ∆ : ∆ECM
c) MD2 =ME MF.
d) Tính diện tích tam giác ABC theo bán kính R của đường tròn, cho biết thêm rằng
AO = 2R
