CÂU hỏi CHỨA đáp án CHUYÊN đề 24

cosin của góc giữa hai mặt phẳng MABvà MC D  bằng: Câu 3... Gọi Hlà hình chiếu vuông góc của Atrên A B và K là hình chiếu vuông góc củaA trên A D.. Khi đó giá trị sin của góc giữa đư

Dạng 1 Ứng dụng hình học giải tích OXYZ để giải quyết bài toán tìm GÓC

Câu 1 (MĐ 103 BGD&ĐT NĂM 2017-2018) Cho hình lập phương ABCD A B C D.     có tâm O Gọi

I là tâm của hình vuông A B C D    và điểm M thuộc đoạn OI sao cho MO2MI (thamkhảo hình vẽ) Khi đó sin của góc tạo bởi hai mặt phẳng MC D  và  MAB bằng

Lời giải Chọn C

Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ, cạnh hình lập phương là 1, ta được tọa độ các điểm như sau :



Câu 2 [2H3-6.6-3] (THPT QUỐC GIA 2018 - MÃ ĐỀ 102)Cho hình lập phương ABCD A B C D.    

có tâm O. Gọi I là tâm của hình vuông A B C D    và M là điểm thuộc đoạn thẳng OI sao cho

12

7 85

6 85

17 13.65

Không mất tính tổng quát ta đặt cạnh của khối lập phương là 1.

Chọn hệ trục tọa độ sao cho A(0;0;0), B(1;0;0), D(0;1;0) và A(0;0;1)(như hình vẽ)

cosin của góc giữa hai mặt phẳng (MAB)và (MC D ) bằng:

Câu 3 [2H3-2.5-3] (THPT HÙNG VƯƠNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hình

hộp chữ nhật ABCD A B C D    , có AB a AD a ,  2,góc giữa A C và mặt phẳng ABCD

bằng 30 Gọi Hlà hình chiếu vuông góc của Atrên A B và K là hình chiếu vuông góc của

A trên A D Tính góc giữa hai mặt phẳngAHK

Chú ý: Ta có thể giải bài toán với cạnh hình vuông a 1.

Gọi ,O M lần lượt là trung điểm của , AB CD Vì SAB là tam giác đều và SAB

vuông góc với ABCD nên SOABCD

Câu 5 [2H3-4.1-3] (THPT CHUYÊN SƠN LA NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hình chóp tứ giác

đều S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , tâm O Gọi M và N lần lượt là trung

điểm của hai cạnh SA và BC , biết

62

a MN

Khi đó giá trị sin của góc giữa đường thẳng

MN và mặt phẳng SBD bằng

Gọi I hình chiếu của M lên ABCD

, suy ra I là trung điểm của AO

Ta có: O0;0;0

,

20; ;02

B 

 ,

20; ;02

Câu 7 [2H3-4.1-3] (SỞ GD&ĐT BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hình chóp O ABC có

ba cạnh OA , OB , OC đôi một vuông góc và OA OB OC a Gọi    M là trung điểm cạnh

AB Góc tạo bởi hai vectơ 

BC và OM bằng

Lời giải

C

B O

2





a a

Câu 8 [2H3-6.6-3] (THPT TRẦN PHÚ - ĐÀ NẴNG - 2018) Cho hình chóp S ABCD. có đáy

ABCD là hình vuông có độ dài đường chéo bằng a 2 và SA vuông góc với mặt phẳng

ABCD

Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng SBD và ABCD

Nếu tan  2 thì góc giữahai mặt phẳng SAC và SBC bằng

; SC a a; ; a

; SB a;0; a

.Mặt phẳng SAC

có vectơ pháp tuyến n  1  1;1;0

.Mặt phẳng SBC

5arccos

5 C

5arccos

3 D

15arccos

A ABC là tứ diện đều cạnh a Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AA và BB Tính tan

của góc giữa hai mặt phẳng ABC và CMN

A 

1

;0;02

M là trung điểm AA 4 12 6

Câu 11 (THPT CHuyên Lam Sơn - Thanh Hóa - Lần 2 - 2017 - 2018 - BTN)Xét tứ diện OABC có

OA, OB, OC đôi một vuông góc Gọi  , ,  lần lượt là góc giữa các đường thẳng OA,

OB, OC với mặt phẳng ABC

(hình vẽ)

B A

Khi đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức M 3 cot 2  3 cot 2  3 cot 2

là

Lời giải Chọn B

Gọi H là trực tâm tam giác ABC, vì tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc nên

 

, sin

OH OB

 

, sin

OH OC

3 cot2   3 cot2   3 cot2 

Câu 12 (Mã đề 102 BGD&ĐT NĂM 2018) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu  S

I N

M

B D

Mặt cầu  S

có bán kính r IA  4 4 4 2 3.  Đặt AB a AC b AD c ;  ; 

Ta có

2 2 2 2

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a b c  .

Câu 13 (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu  S

có tâm

 1;0;2

I  và đi qua điểm A0;1;1 Xét các điểm B , C , D thuộc  S sao cho AB , AC ,

AD đôi một vuông góc với nhau Thể tích của khối tứ diện ABCD có giá trị lớn nhất bằng

R c b

a

I

M B

Câu 14 [2H3-4.1-3] (CHUYÊN HÙNG VƯƠNG GIA LAI NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong không

gian Oxyz , cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D.     có A trùng với gốc tọa độ O , các đỉnh

( ;0;0)

B a , (0; ;0)D a , (0;0; )A b với ,a b  và 0 a b  Gọi 2 M là trung điểm của cạnh CC

Thể tích của khối tứ diện BDA M có giá trị lớn nhất bằng

'

B

C M

Tọa độ điểm ( ; ;0), '( ; ; ), ( ; ; )2

b

C a a C a a b M a a

' (- ;0; ), (- ; ;0), (0; ; )

2

.2

1',

Câu 15 [2H3-4.1-4] (THPT-THANG-LONG-HA-NOI-NAM-2018-2019 LẦN 01) Cho hình lập

phương ABCD A B C D.     cạnh a Gọi M N lần lượt là trung điểm của , BC và A B  Mặtphẳng MND' chia khối lập phương thành hai khối đa diện, trong đó khối chứa điểm C gọi là

H Tính thể tích khối H

A

35572

a

355144

a

3181486

a

35548

1

Ta có C0;0;0, C0;0;1,

1

;0;04

E  

10; ;02

M  

10;0;

H

Câu 16 [2H3-6.18-4] (THPT CHUYÊN THĂNG LONG - ĐÀ LẠT - 2018) Trong không gian với

hệ trục tọa độ Oxyz cho hình hộp chữ nhật , ABCD A B C D     có A trùng với gốc tọa độ O các

đỉnh B m ;0;0 , D0; ;0 ,m  A0;0;n

với ,m n  và 0 m n  Gọi 4 M là trung điểm của

cạnh CC Khi đó thể tích tứ diện . BDA M đạt giá trị lớn nhất bằng

m m

C'

B

D' A'

B'

; ;2

Câu 17 [2H3-6.9-2] (ĐỀ GK2 VIỆT ĐỨC HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ tọa

độ Oxyz , cho hình chóp S ABCD. , đáy ABCD là hình chữ nhật Biết A0;0;0 ,D2;0;0,

C C C

x y z

d B CDM    

Câu 18 [2H3-4.1-2] (ĐỀ HỌC SINH GIỎI TỈNH BẮC NINH NĂM 2018-2019) Cho hình lăng trụ

đứng ABC A B C.    có đáy ABC là tam giác vuông cân, AB AC a  , AA h  a h , 0 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AB và BC theo a , h

Câu 19 [2H3-4.1-3] (TT HOÀNG HOA THÁM - 2018-2019) Cho hình chóp S.ABCcó đáy ABC là

tam giác đều cạnh 2a 3, mặt bên SAB là tam giác cân với ASB 1200 và nằm trong mặt

phẳng vuông góc với đáy Gọi M là trung điểm của SC và N là trung điểm của MC Tính

khoảng cách giữa hai đường thẳng AM , BN

A

2 32779

a

23779

a

2 23779

a

5 237316

a

Lời giải

Ta có: OC là đường cao của tam giác đều cạnh 2a 3 nên: OC3a

Gắn hình chóp S.ABC lên hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ Khi đó ta có:

0 0 0  3 0 0  3 0 0 0 3 0 0 0  2 3 0 0

O ; ; ,B a ; ; , A a ; ; ;C ; a; ;S ; ;a  AB a ; ;

M là trung điểm SC nên M có tọa độ:

30

Câu 20 [2H3-4.1-3] (CỤM LIÊN TRƯỜNG HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hình

chóp S ABC. có đáy là tam giác đều cạnh bằng a Gọi I là trung điểm của AB , hình chiếu

của S lên mặt phẳng ABC là trung điểm của CI , góc giữa SA và mặt đáy bằng 0

45 (hình

vẽ bên) Gọi G là trọng tâm tam giác SBC Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và CGbằng

A

2114

a

B

148

a

C

7722

a

D

217

a

Lời giải Chọn B

Đặt hệ trục tọa độ Oxyz sao cho I0;0;0, 2;0;0

a A

,

;0;02

a B

Ta có

32

a CI

,

34

a IH

,

74

a AH

H là trung điểm CI suy ra

Câu 21 [2H3-6.12-3] (THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN - ĐÀ NẴNG - LẦN 1 - 2018) Cho hình lập

phương ABCD A B C D.     cạnh bằng a Gọi K là trung điểm DD Tính khoảng cách giữa hai

đường thẳng CK và A D

A

43

a

34

Câu 22 [2H3-1.3-4] (CHUYÊN THÁI BÌNH NĂM 2018-2019 LẦN 03) Cho hình chóp S ABCD. có

đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng với đáy Gọi

M và N lần lượt là trung điểm của BC và CD Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

S CMN bằng

A

9312

a

298

a

Lời giải

Chọn hệ tọa độ Oxyz như hình vẽ.

Với C là điểm nằm trên trục Oz , gọi H là trực tâm của tam

giác ABC Khi C di động trên trục Oz thì H luôn thuộc một đường tròn cố định Bán kính

Dễ thấy tam giác ABC cân tại C Gọi E 4; 2;0

là trung điểm của AB

x y

R 

Câu 24 [2H3-6.0-3] (CHUYÊN VINH - LẦN 2 - 2018) Trong không gian Oxyz cho các điểm A , B,

, C (không trùng O) lần lượt thay đổi trên các trục Ox , Oy , Oz và luôn thỏa mãn điều kiện: tỉ

số giữa diện tích của tam giác ABC và thể tích khối tứ diện OABC bằng

3

2 Biết rằng mặtphẳng ABC

luôn tiếp xúc với một mặt cầu cố định, bán kính của mặt cầu đó bằng

Lời giải

d O ABC



Mà

32

ABC OABC

S

V  nên d O ABC  ,   2.Vậy mặt phẳng ABC

luôn tiếp xúc mặt cầu tâm O, bán kính R  2

Câu 25 [2H3-6.5-4] (THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG - TPHCM - 2018) Trong không gian

với hệ tọa độ Oxyz , cho 3 đường thẳng  1

Vì mặt cầu tâm I a b c ; ; 

tiếp xúc với 3 đường thẳng  d1 , d2

,  d3 nên bán kính

1

,

AI u R

,

BI u u

,

CI u u

2

1 2 2

2 2 2

R

khi

72

a 

,

32