D49 - Câu 49-TÍNH-THỂ-TÍCH-KHỐI-ĐA-DIỆN - Muc do 1

Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A với cạnh huyền BC2a.. Hình chiếu vuông góc của điểm S lên mặt đáy ABC nằm trong tam giác ABC.. Cho hình chóp S.ABCD có đáy AB

Câu 1 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A với cạnh huyền BC2a Hình chiếu vuông góc của điểm S lên mặt đáy ABC nằm trong tam giác ABC Biết các mặt bên (SAB),(SBC) (SCA) lần lượt tạo với đáy các góc 0 0 0

60 , 60 , 45 Thể tích của khối chóp S ABC tính theo a

M C

B A

Ta có ABC vuông cân tại A và BC2a  AB AC a  2;

12

 

Vậy thể tích .

1.3

Câu 2 Cho lăng trụ ABC A B C có chiều cao bằng 8 và đáy là tam giác đều cạnh bằng 4 Gọi M, N và   

P lần lượt là tâm các mặt bên ABB A ACC A ,   và BCC B Thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là  

Lời giải

Chọn A

Gọi h là chiều cao của hình lăng trụ ABC.A’B’C’ Vì ∆ABC đều có độ dài cạnh bằng 6 nên

Thể tích lăng trụ ABC.A’B’C’ là V h S ΔABC 8.4 3 32 3 .

Câu 3 Gọi E là trung điểm của cạnh AA’ Thể tích khối chópA.EMN là:

a

3

7 332

a

3

7 368

a

Lời giải

Chọn B

Gọi Q là trung điểm của BC Suy ra AQ A NP   MP AQP  P là trung điểm của BQ.

Ta có BB A M NP , , đồng quy tại S và B là trung điểm của B S  SB2 a

Câu 5 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , BA BC a  3 Khoảng

cách từ A đến mặt phẳng SBC bằng a 2 và SAB SCB  90 Tính thể tích khối chóp đã cho

 

với  là góc hợp bởi giữa đường thẳng SB và mặt phẳng SAC

.Tính thể tích khối chóp S ABC

V =

12

V =

16

V =

Lời giải

Chọn B

1 2

(SAC)



A D

2 2

2

33

Suy ra    

 

2 2

Lại có HA HB HC MA MB MC,   ( do M là tâm mặt cầu ngoại tiếp S ABC. ) suy ra MH là

trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC suy ra MHK vuông tại H

S

C H

h

a N

B

A

S

C H

M P

Gọi M , N , P lần lượt là hình chiếu của H lên các cạnh BC , AB , AC ; h là chiều cao của khối

tan 30 tan 45 tan 60

2

a h

23

a h

 



Thể tích khối chóp S ABC là

1

Câu 9 Cho hình chóp S ABC , có đáy ABC là tam giác đều cạnh a Các mặt bên SAB, SAC

S

C H

h

a N

B

A

S

C H

M P

Gọi M , N , P lần lượt là hình chiếu của H lên các cạnh BC , AB , AC ; h là chiều cao của khối

tan 30 tan 45 tan 60

2

a h

23

a h

 



Thể tích khối chóp S ABC là

1

Câu 10 Cho khối chóp S.ABC có cạnh đáy ABAC5 ,a BC6a và các mặt bên tạo với đáy một góc0

60 Hãy tính thể tích V của khối chóp đó?

A.V 2a3 3. B.V 6a3 3. C.V 12a3 3. D.V 18a3 3.

Lời giải

OA vừa là đường phân giác, vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến Suy ra A O D, , thẳng hàng và D

là trung điểm của BC.

Gọi I K, lần lượt là trung điểm của SA BC, và H là hình chiếu của S lên (ABC)

Ta có: BC (SAI) và HAI SAI, cân tại I

2 2 2

Theo bất đẳng thức trong tam giác ta có: 0x y, 2

Thể tích của khối chóp .S ABC là  2 2

S ABC V

Ta có BB A M NP , , đồng quy tại S và B là trung điểm của B S  SB2 a

Câu 13 Cho hình chóp S ABC. có đáy là tam giác ABC đều cạnh a, tam giác SBA vuông tại B, tam

giác SAC vuông tại C Biết góc giữa hai mặt phẳng SAB

và ABC

bằng 60 Tính thể tích khối chóp S ABC. theo a

a

3

36

a

3

34

Gọi D là hình chiếu của S lên mặt phẳng ABC

Dễ thấy SBASCA (cạnh huyền và cạnh góc vuông), suy ra SB SC

Từ đó ta chứng minh được SBDSCD nên cũng có DB DC

Vậy DA là đường trung trực của BC, nên cũng là đường phân giác của góc BAC

Câu 14 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi; hai đường chéo AC2 3 ,a BD2a và cắt

nhau tại O; hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Biết khoảng cách từ

điểm O đến mặt phẳng (SAB) bằng

34

a , tính thể tích khối chóp S.ABCD theoa.

a

C.

3

7.3

a

D. 3 a3

Lời giải

Chọn A

+Từ giả thiết AC2a 3;BD2a và AC BD, vuông góc

với nhau tại trung điểm O của mỗi đường chéo Ta có tam giác

ABO vuông tại O và AO a 3; BO a , do đó  ABD600

Hay tam giác ABD đều.

Từ giả thiết hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc

với mặt phẳng (ABCD) nên giao tuyến của chúng là



SO ABCD

+Do tam giác ABD đều nên với H là trung điểm của AB, K

là trung điểm của HB ta có DH AB và DH a 3;

Diện tích đáy: S ABCD 4SABO 2.OA OB. 2 3a2;

Đường cao của hình chóp 2

a SO

Thể tích khối chóp S ABCD :

3

Câu 15 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , BA BC a  3 Khoảng

cách từ A đến mặt phẳng SBC bằng a 2 và SAB SCB  90 Tính thể tích khối chóp đã cho

Câu 16 Cho tam giác OAB đều cạnh a Trên đường thẳng d qua O và vuông góc với mặt phẳng

OAB lấy điểm M sao cho OM x Gọi , E F lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên MB và

OB Gọi N là giao điểm của EF và d Thể tích tứ diện ABMN có giá trị nhỏ nhất là:

a

3 612

a

3 26

SI  SO

Mặt phẳng   thay đổi đi qua B và I   cắt các cạnh , ,SA SC SD lần lượt

tại M N P, , Gọi ,m n lần lượt là GTLN, GTNN của

.

N

+) Đặt

SA

x SM

SC

y SN

 

3 2 6

m n

m n

Câu 18 Cho hình chóp S ABC. có đáy là tam giác vuông cân tại B , AB BC a  3, SAB SCB  90

và khoảng cách từ điểm A đến SBC bằng a 2 Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC.bằng

A 2 a 2 B 8 a 2 C 16 a 2 D 12 a 2.

Lời giải Chọn D

Gọi H là hình chiếu của S lên ABC.

Ta hoàn toàn có IJ SA IJ AB//  I là trung điểm SB, hay I  d SC

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp:

  Tam giác SHC vuông tại H SH a 6

Tam giác SHA vuông tại H  SA3a

Câu 19 Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy bằng a Gọi M là trung điểm của AD Biết

khoảng cách giữa hai đường thẳng CM và SA bằng 6

A S

Gọi O là giao điểm của AC và BD, suy ra đường cao hình chóp là h=SO

Gọi N là trung điểm của cạnh BC Suy ra CM song song với AN Þ CM / /(SAN)

Câu 20 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , BA BC a  3 Khoảng

cách từ A đến mặt phẳng SBC bằng a 2 và SAB SCB  90 Tính thể tích khối chóp đã cho

a

.

Câu 21 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi; hai đường chéo AC2 3 ,a BD2a và cắt

nhau tại O; hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Biết khoảng cách từ

điểm O đến mặt phẳng (SAB) bằng

34

a , tính thể tích khối chóp S.ABCD theoa.

a

C.

3

7.3

a

D. 3 a3

Lời giải Chọn A

+Từ giả thiết AC 2a 3;BD2a và AC BD,

vuông góc với nhau tại trung điểm O của mỗi đường

chéo Ta có tam giác ABO vuông tại O và AO a 3;



BO a , do đó ABD600

Hay tam giác ABD đều.

Từ giả thiết hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên giao tuyến của

Diện tích đáy: S ABCD 4SABO 2.OA OB. 2 3a2;

Đường cao của hình chóp 2

a SO

Thể tích khối chóp S ABCD :

3

a

3 58

a

3 1318

SE SM

SK SB   E là trung điểm SK  tam giác SAK cân tại A

32

ABC a

S 

HB

NMS

GC

E

Suy ra:

3

S ABCD biết rằng BM DN với M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh SC và SA

a

3

28 59

a

3

14 59

Tứ giác BEDF là hình bình hành suy ra H là trung điểm của đoạn EF

Gọi G là đỉnh thứ tư của hình bình hành CDFG Xét tam giác EGF ta có

Câu 24 Cho hình chóp S ABC. có đáy là tam giác vuông cân tại B, AB BC a  3, SAB SCB  90

và khoảng cách từ điểm A đến SBC bằng a 2 Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC.bằng

A 2 a 2 B 8 a 2 C.16 a 2 D 12 a 2

Ta hoàn toàn có IJ SA IJ//AB  I là trung điểm SB, hay I  d SC.

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp:

2

  Tam giác SHC vuông tại H SH a 6

Tam giác SHA vuông tại H  SA3a

a

C.

3 2.12

a

D

3 2 15

Dấu " " = xảy ra khi x a= hay N º C M, º D. Chọn C

Câu 26 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi; hai đường chéo AC2 3 ,a BD2a và cắt nhau tại O Hai mặt phẳng SAC và SBD cùng vuông góc với mặt phẳng ABCD. Biết khoảng

cách từ điểm O đến mặt phẳng SAB bằng a43. Tính thể tích khối chóp S ABCD theo a

a

C.

3

7.3

Hay tam giác ABD đều

Từ giả thiết hai mặt phẳng SAC và SBD cùng vuông góc với mặt phẳng ABCD nên giao tuyếncủa chúng là SOABCD

.+Do tam giác ABD đều nên với H là trung điểm của AB K, là trung điểm của HB ta có DH AB

Diện tích đáy: S ABCD 4S ABO 2.OA OB. 2 3 a2

Đường cao của hình chóp 2.

a

SO 

Thể tích khối chóp S ABCD là:

3

Câu 27 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a Biết tam giác SBA vuông tại

B, tam giác SCA vuông tại C và khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB bằng

313

a

Tính thể tích khối chóp S ABC .

a

3 33

Ta có

3 2

a

a 5

C H

Suy ra DBA , DBC  HE HF,  EHF

và tam giác HEF vuông tại E.

Đặt DH x, khi đó 2 2

ax HE

a x



22

xa HF

a

3

20 1313

a

3

10 3913

a

là hình chiếu của S trên mặt phẳng ABC

Từ đó suy ra ABHC là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính HA2R2 7a

Gọi I K, lần lượt là hình chiếu của B H, trên SA và SC Khi đó HK SAC

Gọi E là giao điểm của BH và AC Ta có BE BA .tanBAC4 tan 60a 0 4 3a.Lại có BH  AH2 AB2  2 7a2 4a2 2 3a

Câu 30 Cho khối chóp S ABC. có đáy là tam giác cân tại A, AB a, BAC  120,SBA SCA  90

Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng SAB

và SAC

Khi

3cos

kẻ CK1 SA K, 1SA

Xét hai tam giác vuông KAB và K AC1 có ABAC,BAK CAK  1 (vì SAB SAC) suy ra

BK BC BK



.Đặt SH x x, 0 

a a x BK

a x



Khi SD thay đổi thi AC thay đổi Đặt ACx Gọi OACBD.

Vì SA SB SC nên chân đường cao SH trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Câu 32 Cho hình chóp S ABCD. có ABCD là hình thang vuông tại đỉnh A và D.

Biết độ dài AB4 ,a AD3 ,a CD5a và tam giác SBC đều và góc giữa mặt phẳng SBC và(ABCD bằng) 0

60 Thể tích khối chópS ABCD tính theo a bằng:

a

3

278

a

3

274

a

Lời giải

Chọn A

Kẻ DM BC, mà tam giácSBCđều,nênSM BC Suy ra

a

3

278

a

3

274

a

Lời giải

Chọn C

Kẻ DM BC, mà tam giácSBCđều,nênSM BC Suy ra

3

4 23

a

3

8 23

a

Lời giải

Chọn A

Lấy E SB F SC ,  , thỏa mãn: SE SF  Suy ra a

212

1

Lời giải

Chọn D

Câu 37 Đặt cạnh của hình lập phương làa.

Khối nón tròn xoay có đỉnh là trung điểm của OO' và đá là đường tròn ngoại tiếp hình vuông

a

r 

3 2

cao h a bán kính đáy

3 2

13

Ta có SH ABC; HI BC , HJ CA, HK AB

a

a 2

C B

Khi đó AE AD2 ED2 a

Gọi H K, lần lượt là hình chiếu của E lên ABC , ACD thì EH ABC EK, ACD

nên góctạo bởi hai mặt phẳng ABC và ACD là góc EH EK, 

Nhận xét 2 tam giác SEB và SED là vuông cân tại E nên

22

ra tam giác EHK đều.

Vậy số đo góc tạo bởi hai mặt phẳng ABC và ACDlà 60.

Câu 40 Cho khối chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, SBA SCA  90 Khoảng

cách từ C đến (SAB) bằng 2a Khi đó thể tích khối chóp ABC S. nhỏ nhất bằng

Gọi O là trung điểm của BC Chọn Dlà điểm đối xứng với A qua O

Do ABC là tam giác vuông cân tại A nên tứ giác ABCD là hình vuông

Do

SD AB SB

AB

BD AB

Tương tự AC  SD Vậy hình chóp ABCD S. có đường cao là SD

Do DC//(SAB) d(C,(SAB))d(D,(SAB))2a Dựng DHSB DH (SAB)HSB Ta có

a DH SAB

D d SAB

C

d( ,( )) ( ,( )) 2

Đặt ABx; SDh (x0;h0) 2 2

2 2 2

2 2 2

4

41

14

1

a h

x a x

h x



Đặt SDx( x 0); SC SB a2 x2 ; 2 2

2 2

2a x

a x a CI BI

.

43

2.6

1

a h

h a x

320

)()

4(

)12(

)(4

)

2 2 2

2 2

2 '

2 2 3

loai a

h

a h h

f a

h

a h

h h f a h

h h

f

Ta có bảng biến thiên:

Gọi O là trung điểm của BC Chọn Dlà điểm đối xứng với A qua O

Do ABC là tam giác vuông cân tại A nên tứ giác ABCD là hình vuông

Do

SD AB SB

AB

BD AB

Tương tự AC  SD Vậy hình chóp ABCD S. có đường cao là SD

Do DC//(SAB) d(C,(SAB))d(D,(SAB))2a Dựng DHSB DH (SAB)HSB Ta có

a DH SAB

D d SAB

C

d( ,( )) ( ,( )) 2

Đặt ABx; SDh (x0;h0) 2 2

2 2 2

2 2 2

4

41

14

1

a h

x a x

h x



Đặt SDx( x 0); SC SB a2 x2 ; 2 2

2 2

2a x

a x a CI BI

.

43

2.6

1

a h

h a x

320

)()

4(

)12(

)(4

)

2 2 2

2 2

2 '

2 2 3

loai a

h

a h h

f a

h

a h

h h f a h

h h

f

Ta có bảng biến thiên:

Vậy hình chóp ABC S. có thể tích nhỏ nhất bằng 2a3 3 Đáp án A

Câu 42 Cho hình chóp S ABC. có đáy là tam giác vuông cân tại B , AB BC a  3, SAB SCB  90

và khoảng cách từ điểm A đến SBC bằng a 2 Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC.bằng

A 2 a 2 B 8 a 2 C 16 a 2 D 12 a 2

Lời giải Chọn D

Gọi H là hình chiếu của S lên ABC.

Ta hoàn toàn có IJ SA IJ//AB  I là trung điểm SB, hay I  d SC

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp:

  Tam giác SHC vuông tại H  SH a 6

Tam giác SHA vuông tại H  SA3a

Câu 43 Cho lăng trụ tam giác ABC A B C ' ' ' có BB' , góc giữa đường thẳng a BB và ' ABC bằng

60 , tam giác ABC vuông tại C và góc BAC   Hình chiếu vuông góc của điểm ' 60 B lên ABCtrùng với trọng tâm của ABC Thể tích của khối tứ diện '.A ABC theo a bằng

a

C

3

15 108

a

D

3

9 208

a

Lời giải

Chọn D

Gọi M N, là trung điểm của AB AC,

và G là trọng tâm của ABC

Đặt AB2x Trong ABC vuông tại C có BAC 600

 tam giác ABC là nữa tam giác đều 2 , 3

a BC

Câu 44 Cho hình chóp S ABC có tam giác SAB nhọn và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy

ABC

, tam giác ABC vuông tại C có AC a ABC , 30 Mặt bên SAC

và SBC

cùng tạo với đáy góc bằng nhau và bằng 60 Thể tích của khối chóp S ABC theo a là:

+ Theo đề SAB  ABC

theo giao tuyến AB Dựng SH AB SH SAB

Câu 45 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , BA BC a  3 Khoảng

cách từ A đến mặt phẳng SBC bằng a 2 và SAB SCB  90 Tính thể tích khối chóp đã cho

a

.

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có đường kính là AD.

Khi đó tam giác ABD vuông tại B  AB BD

AD ASD

SA

.Với

ASD  ASD   ABC , AMN  30

Câu 47 Cho x, ylà các số thực dương Xét khối chóp S ABC có SA x , BCy, các cạnh còn lại đều bẳng 1 Khi x, y thay đổi, thể tích khối chóp S ABC có giá trị lớn nhất bằng?

y M

Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA và BC Vì tam giác SAB , SAC lần lượt cân tại B và C

nên BM SA CM, SA Suy ra, SABMC

x y

Vậy thể tích khối chóp S ABC lớn nhất bằng .

2 1 2 3

y M

Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA và BC Vì tam giác SAB , SAC lần lượt cân tại B và C

nên BM SA CM, SA Suy ra, SABMC

x y

Vậy thể tích khối chóp S ABC lớn nhất bằng .

2 1 2 3

a

V =

Lời giải

Chọn C

I B

.Vậy thể tích khối chóp S ABCD là

9 3

9 138.46

Lời giải

Chọn A

Ta có BC2 AB2AC2 2.AB AC. cosBAC  12 22 2.1.2.cos120  Suy ra 7. BC  7.

Câu 51 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1; 2;3) Gọi ( )P là mặt phẳng đi qua điểm

M và cách gốc tọa độ O một khoảng lớn nhất, mặt phẳng ( )P cắt các trục tọa độ tại các điểm A B C, ,

524

343.9

Lời giải

Chọn B

Gọi H là hình chiếu của O lên mp P

Tam giác OHM có OH OM, H

 P cắt Ox ; Oy ; Oz lần lượt tại A14;0;0, B0;7;0 ,

140;0;

O ABC

Câu 52 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a SA a,  và SA vuông góc với đáy

Gọi M là trung điểm SB N, thuộc cạnh SD sao cho SN 2ND Tính thể tích V của khối tứ diện ACMN ?

A

3

1

.12

V  a

B

3

1.6

V  a

C

3

1.8

V  a

D

3

1.36

1

Cách 2 Gọi O là giao điểm của AC và BD

Ta có

3

Vì OM//SD nên SD/ /AMC

Do đó d N AMC ;   d D AMC ;   d B AMC ;  

9 3

9 138.46

Câu 54 Cho hình lăng trụ đều ABC A B C    có tất cả các cạnh bằng 1 Gọi E F, lần lượt là trung điểm

AA và BB, đường thẳng CE cắt đường thẳng C A  tại E , đường thẳng CF cắt đường thẳng C B 

tại F Thể tích khối đa diện EFB A E F     bằng

E'

F E