Ước lượng tham số

Ước lượng tham số

TRẦN AN HẢI

 

HÀ NỘI - 2009

Chương 5

Ư ỚC LƯỢNG THAM SỐ

_

§1 ĐẶT VẤN ĐỀ

Biết chiều dài một sản phẩm do một xưởng sản xuất ra là

bnn X Hãy ước lượng giá trị của

là một tham số cần ước lượng Muốn ước lượng nó, ta phải dựa vào mẫu gồm một số sản phẩm do xưởng này sản xuất Ta có thể ước đoán bởi một giá trị hoặc

ước đoán thuộc khoảng (a; b) nào đấy

Trong thống kê, gọi là ước lượng điểm của , còn

(a; b) là ước lượng khoảng của

§2 ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM

Giả sử bnn X đã biết được dạng của quy luật ppxs nhưng

chưa biết tham số nào đó Ta ước đoán bởi một con

số * như sau: Ta xây dựng hàm của mẫu ngẫu nhiên tổng quát là

Với mỗi mẫu ngẫu nhiên cụ thể (x1, x2, …, x n), ta lấy

làm ước lượng cho

Gọi

hay

là ước lượng điểm của

Để đánh giá chất lượng * xem “tốt” hay không ta không thể mong muốn nó thật gần bởi vì ta chưa biết Vì vậy, dưới đây người ta đưa ra các tiêu chuẩn để dựa vào

đó kết luận về chất lượng của *

 Ước lượng không chệch (ưlkc)

Gọi là ước lượng không chệch

của , nếu

= Ngược lại, nếu

thì gọi là ước lượng chệch của

 Ước lượng hiệu quả (ưlhq)

Gọi là ước lượng hiệu quả của , nếu nó là ưlkc của và nhỏ nhất so với phương sai của mọi ưlkc khác của

 Ước lượng vững (ưlv)

Gọi là ước lượng vững của , nếu

Ý nghĩa của công thức này

Hầu như chắc chắn sai khác

không nhiều miễn là n đủ lớn

Các kết quả về ước lượng điểm

là ưlkc, ưlhq, ưlv của E(X)

, là ưlkc, ưlv của D(X)

là ưlkc, ưlhq, ưlv của P(A)

, là ước lượng chệch của

D(X)

§3 ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG

Phương pháp ước lượng điểm có nhược điểm là khi kích thước mẫu nhỏ thì ước lượng điểm tìm được có thể sai lệch rất nhiều so với tham số cần ước lượng Ngoài ra không thể đánh giá được khả năng mắc sai lầm khi ước lượng Để khắc phục các nhược điểm này, ta thường dùng phương pháp ước lượng bằng khoảng tin cậy

Giả sử bnn X đã biết được dạng của quy luật ppxs nhưng

chưa biết tham số nào đó Ta đi tìm một khoảng

để nó chứa với xác suất bằng như sau: Ta xây dựng như là các hàm của mẫu ngẫu nhiên tổng quát

sao cho

Khi ấy ta gọi

là ước lượng khoảng (hay khoảng tin cậy của ), còn

là độ tin cậy của ước lượng này Số đo khả năng để rơi vào khoảng này, nên người ta thường chọn nó gần 1

I – Tìm khoảng tin cậy cho kỳ vọng

a) Trường hợp X

Nếu đã biết, ta dùng công thức

trong đó n = kích thước mẫu, còn không âm

Như vậy, khoảng tin cậy của E(X) với độ tin cậy là

Đặc biệt:

 Nếu chọn , thì ta có khoảng tin

cậy đối xứng là

 Nếu chọn , thì ta có khoảng tin cậy bên

Ví dụ

Khối lượng của một loại sản phẩm là bnn tuân theo luật

phân phối chuẩn với độ lệch tiêu chuẩn là 1g Cân 25 sản

phẩm loại này ta thu được kết quả sau

Hãy tìm khoảng tin cậy đối xứng của khối lượng trung bình với độ tin cậy 0,95

Giải

,

Vì vậy, khoảng tin cậy đối xứng của khối lượng trung bình là



Nếu chưa biết, ta dùng công thức

trong đó n = kích thước mẫu, và không âm thỏa

, còn tra từ Bảng giá trị hàm Student

Đặc biệt:

 Nếu chọn , thì ta có khoảng tin

cậy đối xứng là

 Nếu chọn , thì ta có khoảng tin cậy bên

Ví dụ

Chiều cao của thanh niên một vùng là bnn tuân theo luật phân phối chuẩn Đo chiều cao của 16 thanh niên được chọn ngẫu nhiên của vùng đó ta thu được kết quả sau

172 173 173 174 174 175 175 176

166 167 165 173 171 170 171 170

Hãy tìm khoảng tin cậy đối xứng của chiều cao trung bình với độ tin cậy 0,95

b) Trường hợp X có phân bố bất kỳ, và kích thước

mẫu lớn

Khi kích thước mẫu là , ta dùng công thức

và không âm thỏa ,

Giải

,

Vì vậy, khoảng tin cậy đối xứng của khối lượng trung bình là



II – Tìm khoảng tin cậy cho phương sai

Giả sử X , nhưng chưa biết

Nếu đã biết, ta dùng công thức

trong đó n = kích thước mẫu, ,

và không âm thỏa ,

tra từ Bảng giá trị hàm Khi bình phương

Đặc biệt:

 Nếu chọn , thì ta có khoảng tin

cậy đối xứng là

 Nếu chọn , thì ta có khoảng tin cậy bên

Ví dụ

Mức hao phí nguyên liệu ở một cơ sở sản xuất là bnn có

phân phối chuẩn với trung bình là 20g Để ước lượng sự

phân tán của mức hao phí này, người ta cân ngẫu nhiên

25 sản phẩm và thu được kết quả sau

Hao phí nguyên liệu (g) 19,5 20,0 20,5

Với độ tin cậy 0,90, hãy ước lượng mức độ phân tán này

Nếu chưa biết, ta dùng công thức

trong đó n = kích thước mẫu, và không âm thỏa

Đặc biệt:

 Nếu chọn , thì ta có khoảng tin

cậy đối xứng là

 Nếu chọn , thì ta có khoảng tin cậy bên

Ví dụ

Mức hao phí nguyên liệu ở một cơ sở sản xuất là bnn có phân phối chuẩn Để ước lượng sự phân tán của mức hao phí này, người ta cân ngẫu nhiên 25 sản phẩm và thu được kết quả sau

Hao phí nguyên liệu (g) 19,5 20,0 20,5

Với độ tin cậy 0,90, hãy ước lượng mức độ phân tán này

III – Tìm khoảng tin cậy cho xác suất

Cho mẫu định tính kích thước n, trong đó biến cố A xuất hiện m lần là tỉ lệ mẫu, p = P(A), q = 1 - p

Đặc biệt:

 Nếu chọn , thì ta có khoảng tin

cậy đối xứng là

 Nếu chọn , thì ta có khoảng tin cậy bên

Ví dụ

Để ước lượng số cá trong hồ, người ta vớt lên 2000 con để đánh dấu rồi lại thả xuống hồ Sau một thời gian, người ta bắt lên 400 con và thấy trong số đó có 80 con đã đánh dấu Hãy ước lượng số cá có trong hồ, với độ tin cậy 95%

Giải

Gọi p là xác suất bắt được một con cá đã đánh dấu

Kích thước mẫu n = 400 Tần suất bắt được con cá có dấu là

Ta có Với 0,95, ta có

,

Vì vậy, khoảng tin cậy đối xứng của p là

Mặt khác, với N = số cá trong hồ, nên

với độ tin cậy 95% 

Ví dụ

Kiểm tra ngẫu nhiên 400 sản phẩm do một máy sản xuất, thấy

có 20 phế phẩm Với độ tin cậy 0,95, hãy ước lượng tỉ lệ phế phẩm tối đa của máy đó

Giải

Gọi p là tỉ lệ phế phẩm

Kích thước mẫu n = 400 Tỉ lệ mẫu là Ta có

Với 0,95, ta có

,

Vì vậy, khoảng tin cậy bên trái của p là , hay tỉ lệ phế phẩm tối đa của máy là gần 6,79% 

IV – Xác định độ tin cậy và kích thước mẫu

Nếu * là ưlkc của tham số và ước lượng khoảng của có

lượng

Ba con số: độ tin cậy , kích thước mẫu n, độ chính xác có

quan hệ chặt chẽ với nhau Chẳng hạn: Với cho trước, nếu

n càng lớn thì càng nhỏ (tức là độ chính xác càng cao hay

sai số càng nhỏ).

Sau đây là 2 bài toán ngược của bài toán ước lượng khoảng

Bài toán 1: Cho độ tin cậy và độ chính xác Hãy xác định

kích thước mẫu n định lấy

Bài toán 2: Cho kích thước mẫu n định lấy và độ chính xác

Hãy xác định độ tin cậy

Ví dụ

Đo đường kính của 100 chi tiết do một máy sản xuất, được

a) Với độ chính xác = 0,006, hãy xác định độ tin cậy của

ưlkc cho đường kính trung bình

b) Muốn độ chính xác của ưlkc cho đường kính trung bình

là 0,003 và độ tin cậy là 95%, thì cần đo thêm bao nhiêu chi tiết?

Giải Từ mẫu có s = 0,04 Theo công thức

với , có độ chính xác của ước lượng là

a)

b) Từ

Vì vậy phải kiểm tra thêm 683 - 100 = 583 chi tiết nữa 

Ví dụ

Lấy ngẫu nhiên 200 sản phẩm trong một kho hàng thấy có 25 phế phẩm

a) Nếu muốn độ chính xác của ưlkc cho tỉ lệ phế phẩm là

= 0,035, thì độ tin cậy của ước lượng là bao nhiêu?

b) Muốn độ chính xác của ưlkc cho tỉ lệ phế phẩm là 0,001

và độ tin cậy là 95%, thì cần kiểm tra thêm bao nhiêu sản phẩm?

Giải Ta có f = 0,125 Theo công thức

với , có độ chính xác của ước lượng là

a)

b) Từ

Vì vậy phải kiểm tra thêm 420175 - 200 = 419975 sản phẩm nữa

