Tìm các nghiệm của phương trìnhz n−1= iz.. Bài 8.43 : Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn mỗi số phức z thỏa mãn các trường hợp dưới đây : 1... Tìm phần thực và phần ảo c
Trang 1Số phức
Bài 8.1 : 1 Mối quan hệ z = z đúng nếu và chỉ nếu z là số thực ;
2 Với bất kì số phức z quan hệ z = z là đúng ;
3 Với bất kì số phức z, số phức z.z ∈ R là một số thực không âm ;
4 z1+ z2= z1+ z2(liên hợp của một tổng bằng tổng các liên hợp) ;
5 z1.z2 = z1.z2(liên hợp của một tích bằng tích các liên hợp) ;
6 Với bất kì số phức z , 0, có z−1= (z)−1;
7
z1
z2
=z1
z2
,z2,0(liên hợp của một thương bằng thương các liên hợp) ;
8 ℜ(z) = z + 22 và ℑ(z) = z 2i − z
Bài 8.2 : 1 Tính z = 5 + 5i
3− 4i+
20
4 + 3i ;
2 Giả sử z1,z2∈ C Chứng minh rằng số E = z1.z2+ z1.z2là một số thực
Bài 8.3 : Chứng minh các khẳng định sau :
1 −|z| ≤ ℜ(z) ≤ |z| và −|z| ≤ ℑ(z) ≤ |z| ;
2 |z| = | − z| = |z| ;
3 z.z = |z|2;
4 |z1.z2| = |z1|.|z2| (môđun của một tích bằng tích các môđun) ;
5 |z1| − |z2| ≤ |z1+ z2| ≤ |z1| + |z2| ;
6 |z−1| = |z|−1,z , 0;
7
z1
z2
=|z1|
|z2|,z2,0(môđun của một thương bằng thương các môđun) ;
8 |z1| − |z2| ≤ |z1− z2| ≤ |z1| + |z2|
Bài 8.4 : Chứng minh rằng
|z1+ z2|2
+|z1− z2|2
= 2(|z1|2
+|z2|2)
với mọi số phức z1,z2
Bài 8.5 : Chứng minh rằng nếu |z1| = |z2| = 1 và z1.z2,−1, thì z1+ z2
1 + z1z2
là số thực
Bài 8.6 : Giải sử a là một số thực dương và
Ma=
§
z∈ C∗:
z +1 z
= a
ª
Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của |z| khi z ∈ M
Trang 2Bài 8.7 : Chứng minh rằng với bất kì số phức z, có
|z + 1| ≥ √1
2 hoặc |z2
+ 1| ≥ 1
Bài 8.8 : Chứng minh rằng :
r
7
2 ≤ |1 + z| + |1 − z + z2
| ≤ 3
r
7 6
với mọi số phức mà |z| = 1.
Bài 8.9 : Xét tập
H = {z ∈ C : z = x − 1 + xi, x ∈ R}.
Chứng minh rằng có duy nhất số z ∈ H sao cho |z| ≤ |w| với mọi w ∈ H.
Bài 8.10 : Giả sử x, y, z là các số phức phân biệt sao cho
y = tx + (1 − t)z, t ∈ (0; 1).
Chứng minh rằng
|z| − |y|
|z − y| ≥
|z| − |x|
|z − x| ≥
|y| − |x|
|y − x|.
Bài 8.11 : Giải phương trình trên tập số phức
z2− 8(1 − i)z + 63 − 16i = 0.
Bài 8.12 : Giả sử p, q là các số phức với q , 0 Chứng minh rằng nếu các nghiệm của phương trình bậc hai x2
+ px + q2 = 0 có cùng môđun, thì p
q là một số thực
Bài 8.13 : Giả sử a, b, c là các số phức khác không với |a| = |b| = |c|.
1 Chứng minh rằng nếu các nghiệm của phương trình az2+ bz + c = 0 có môđun bằng 1, thì b2= ac.
2 Nếu mỗi phương trình
az2+ bz + c = 0 và bz2+ cz + a = 0
có một nghiệm có môđun bằng 1, thì |a − b| = |b − c| = |c − a|.
Bài 8.14 : Giải các phương trình sau trong C :
1 z2
+ 1 = 0
Bài 8.15 : Tìm các số thực x, y thỏa mãn mỗi trường hợp sau :
1 (1 − 2i)x + (1 + 2i)y = 1 + i ;
2 x− 3
3 + i +
y− 3
3− i = i ;
3 (4 − 3i)x2
+ (3 + 2i)xy = 4y2−12x2+ (3xy − 2y2)i
Bài 8.16 : Tính :
1 (2 − i)(−3 + 2i)(5 − 4i) ;
2 (2 − 4i)(5 + 2i) + (3 + 4i)(−6 − i) ;
3
1 + i
1− i
16
+
1− i
1 + i
8
;
4
−1 + i√3 2
6
+
1− i√7 2
6
;
5 3 + 7i
2 + 3i +
5− 8i
2− 3i
Bài 8.17 : Tính :
1 i2000
+ i1999+ i201+ i82+ i47;
2 E n = 1 + i + i2+· · · + i n , với n ≥ 1 ;
3 i1.2.3 .i2000;
4 i−5+ (−i)7+ (−i)13+ i−100+ (−i)94
Trang 3Bài 8.18 : Giải phương trình trong C :
1 z2
=1
2 − i
√
2
2
Bài 8.19 : Tìm tất cả các số phức z , 0 sao cho z + 1z ∈ R
Bài 8.20 : Chứng minh rằng :
1 E1= (2 + i√
19 + 7i
9− i
n
+
20 + 5i
7 + 6i
n
∈ R
Bài 8.21 : Chứng minh các đẳng thức sau :
1 |z1+ z2|2
+|z2+ z3|2
+|z3+ z1|2
=|z1|2
+|z2|2
+|z3|2
+|z1+ z2+ z3|2;
2 |1 + z1z2|2+|z1− z2|2= (1 +|z1|2)(1 +|z2|)2;
3 |1 − z1z2|2− |z1− z2|2= (1− |z1|2)(1− |z2|)2;
4 |z1+ z2+ z3|2
+| − z1+ z2+ z3|2
+|z1− z2+ z3|2
+|z1+ z2− z3|2
= 4(|z1|2
+|z2|2
+|z3|2)
Bài 8.22 : Giả sử z ∈ C∗sao cho
z3+ 1
z3
≤ 2 Chứng minh rằng
z +1 z
≤ 2
Bài 8.23 : Tìm tất cả các số phức z sao cho :
1 |z| = 1 và |z2
+ 8|z|2
= z.
Bài 8.24 : Xét số phức z ∈ C với ℜ(z) > 1 Chứng minh rằng
1
z −12
<1
2.
Bài 8.25 : Giả sử a, b, c là các số thực và ω = −12+ i
√
3
2 Tính
(a + bω + cω2)(a + bω2+ cω).
Bài 8.26 : Giải các phương trình :
1 |z| − 2z = 3 − 4i ;
2 |z| + z = 3 + 4i ;
3 z3
= 2 + 11i, ở đây z = x + yi và x, y∈ Z ;
4 iz2+ (1 + 2i)z + 1 = 0 ;
5 z4+ 6(1 + i)z2+ 5 + 6i = 0 ;
6 (1 + i)z2
+ 2 + 11i = 0.
Bài 8.27 : Tìm tất cả các số thực m sao cho phương trình
z3+ (3 + i)z2− 3z − (m + i) = 0
có ít nhất một nghiệm thực
Bài 8.28 : Tìm tất cả các số phức z sao cho
z′= (z − 1)(z + i)
là một số thực
Bài 8.29 : Tìm tất cả các số phức z sao cho |z| =
1
z
Bài 8.30 : Giả sử z1,z2∈ C là các số phức sao cho |z1+ z2| = √3và |z1| = |z2| = 1 Tính |z1− z2|
Bài 8.31 : Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho
−1 + i√3 2
n
+
−1 − i√3 2
n
= 2
Trang 4Bài 8.32 : Giả sử n > 2 là một số nguyên Tìm các nghiệm của phương trình
z n−1= iz.
Bài 8.33 : Giả sử z1,z2,z3là các số phức với
|z1| = |z2| = |z3| = R > 0.
Chứng minh rằng
|z1− z2|.|z2− z3| + |z3− z1|.|z1− z2| + |z2− z3|.|z3− z1| ≤ 9R2
Bài 8.34 : Giả sử u, v, w, z là các số phức sao cho |u| < 1, |v| = 1 và w = v(u u.z − z)
− 1 Chứng minh rằng |w| ≤ 1 nếu và chỉ nếu |z| ≤ 1.
Bài 8.35 : Giả sử z1,z2,z3là các số phức sao cho
z1+ z2+ z3 = 0 và|z1| = |z2| = |z3| = 1
Chứng minh rằng
z21+ z22+ z23= 0
Bài 8.36 : Xét các số phức z1,z2, ,znvới
|z1| = |z2| = · · · = |z n | = r > 0.
Chứng minh rằng số
E = (z1+ z2)(z2+ z3)· · · (z n−1+ z n )(z n + z1)
z1.z2· · · z n
là số thực
Bài 8.37 : Giả sử z1,z2,z3là các số phức khác nhau sao cho
|z1| = |z2| = |z3>0.|
Nếu z1+ z2z3,z2+ z1z3và z3+ z1z2là các số thực, chứng minh rằng z1z2z3 = 1
Bài 8.38 : Giả sử x1và x2là các nghiệm của phương trình x2
− x + 1 = 0 Tính
1 x2000
1 + x20002 ; 2 x1999
1 + x19992 ; 3 x n
1+ x n2, với n ∈ N.
Bài 8.39 : Phân tích thành tích các nhị thức bậc nhất các đa thưc sau :
Bài 8.40 : Tìm tất cả các phương trình bậc hai với hệ số thực có một nghiệm là :
2− i ; 3 i51
+ 2i80+ 3i45+ 4i38
Bài 8.41 (Bất đẳng thức Hlawka) : Chứng minh bất đẳng thức sau
|z1+ z2| + |z2+ z3| + |z3+ z1| ≤ |z1| + |z2| + |z3| + |z1+ z2+ z3|
đúng với mọi số phức z1,z2,z3
Bài 8.42 : Biểu diễn hình học của các số phức sau : z1= 3 + i ; z2=−4 + 2i ; z3 =−5 − 4i ; z4 = 5− i ; z5 = 1 ; z6 =−3i ; z7 = 2i ;
z8=−4
Bài 8.43 : Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn mỗi số phức z thỏa mãn các trường hợp dưới đây :
1 |z − 2| = 3 ;
2 |z + i| < 1 ;
3 |z − 1 + 2i| > 3 ;
4 |z − 2| − |z + 2| < 2 ;
Trang 55 0 < ℜ(iz) < 1 ;
6 −1 < ℑ(z) < 1 ;
7 ℜ
z− 2
z− 1
= 0 ;
8 1 + z
z ∈ R ;
9 |√x2+ 4 + i√y
− 4| = √10, với z = x + yi ;
10
z +1 z
= 2
Bài 8.44 : Biểu diễn lượng giác của các số phức sau và xác định argument của chúng :
1 z1=−1 − i ; 2 z2= 2 + 2i ; 3 z3=−1 + i√3; 4 z4= 1− i√3
Bài 8.45 : Biểu diễn lượng giác của các số phức sau và xác định argument của chúng :
Bài 8.46 : Tìm biểu diễn lượng giác của số phức
z = 1 + cos a + i sin a, a∈ (0; 2π)
Bài 8.47 : Tìm tất cả các số phức z sao cho |z| = 1 và
z
z+z
z
= 1
Bài 8.48 : Tính (1 + i)1000
Bài 8.49 : Chứng minh rằng
sin 5t = 16 sin5t− 20 sin3
t + 5 sin t; cos 5t = 16 cos5t− 20 cos3
t + 5 cos t.
Bài 8.50 : Tính z = (1− i)10(
√
3 + i)5 (−1 − i√3)10
Bài 8.51 : Tính :
1 (1 − cos a + i sin a) n với a ∈ [0; 2π) và n ∈ N ; 2 z n
+ 1
z n , nếu z +1
z = √
3
Bài 8.52 : Giả sử z1,z2,z3là các số phức sao cho
|z1| = |z2| = |z3| = r > 0
và z1+ z2+ z3 ,0 Chứng minh rằng
z1z2+ z2z3+ z3z1
z1+ z2+ z3
= r.
Bài 8.53 : Giả sử z1,z2là các số phức sao cho
|z1| = |z2| = r > 0.
Chứng minh rằng
z1+ z2
r2+ z1z2
2
+
z1− z2
r2− z1z2
2
≥r12
Bài 8.54 : Giả sử z1,z2,z3là các số phức sao cho
|z1| = |z2| = |z3| = 1 và
z21
z2z3 + z
2 2
z3z1 + z
2 3
z1z2 + 1 = 0
Chứng minh rằng
|z1+ z2+ z3|{1; 2}
Bài 8.55 : Giả sử z1,z2là các số phức sao cho |z1| = |z2| = 1 Chứng minh rằng
|z + 1| + |z + 1| + |z z + 1| ≥ 2
Trang 6Bài 8.56 : Giả sử n > 0 là một số nguyên và z là số phức sao cho |z| = 1 Chứng minh rằng
n |1 + z| + |1 + z2
| + |1 + z3
| + · · · + |1 + z 2n
| + |1 + z 2n+1 | ≥ 2n.
Bài 8.57 : Dùng công thức khai triển Newton (1 + i)19và công thức Moa-vrơ để tính
C190 − C2
19+ C419− · · · + C16
− C18
Bài 8.58 (CĐ10) : Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (2 − 3i)z + (4 + i)z = −(1 + 3i)2 Tìm phần thực và phần ảo của z.
Bài 8.59 (CĐ10) : Giải phương trình z2
− (1 + i)z + 6 + 3i = 0 trên tập hợp các số phức.
Bài 8.60 (A09) : Gọi z1,z2là hai nghiệm phức của phương trình z2
+ 2z + 10 = 0 Tính giá trị của biểu thức A = |z1|2
+|z2|2
Bài 8.61 (A10) : Tìm phần ảo của số phức z, biết z = (√2 + i)2(1−√2i)
Bài 8.62 (A10) : Cho số phức z thỏa mãn z = (1− √3i)3
1− i Tìm môđun của số phức z + iz.
Bài 8.63 (B09) : Tìm số phức z thỏa mãn |z − (2 + i)| = √10và z.z = 25.
Bài 8.64 (B10) : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn :
|z − i| = |(1 + i)z|
Bài 8.65 (D09) : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện |z − (3 − 4i)| = 2 Bài 8.66 (D10) : Tìm số phức z thỏa mãn : |z| = √2và z2là số thuần ảo
... giác số phức sau xác định argument chúng :Bài 8.46 : Tìm biểu diễn lượng giác số phức
z = + cos a + i sin a, a∈ (0; 2π)
Bài 8.47 : Tìm tất số phức...
r
7
với số phức mà |z| = 1.
Bài 8.9 : Xét tập
H = {z ∈ C : z = x − + xi, x ∈ R}.
Chứng minh có số z ∈ H cho |z| ≤ |w| với w ∈...
Bài 8.11 : Giải phương trình tập số phức
z2− 8(1 − i)z + 63 − 16i = 0.
Bài 8.12 : Giả sử p, q số phức với q , Chứng minh nghiệm phương