Chứng Minh Bài 4:3 điểm a Giải phơng trình: b Giải hệ phơng trình: Bài 5:3 điểm Tam giác XYZ có các đỉnh lần lợt năm trên các cạnh BC; CA; AB của tam giác ABC.. Giọi là nội tiếp tam g
Trang 1đề thi học sinh giỏi môn thi : toán
(Thời gian 150 phút )
Bài 1:(3 điểm)
a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của n ta luôn có:
b) Tính tổng
Bài 2 :(3 điểm)
a) Cho x, y thỏa mãn:
Tính
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
với u + v = 1 và u > 0; v > 0
Bài 3:(3 điểm)
a) Cho a > c; b > c; c > 0 Chứng Minh
b) Cho Chứng Minh
Bài 4:(3 điểm)
a) Giải phơng trình:
b) Giải hệ phơng trình:
Bài 5:(3 điểm) Tam giác XYZ có các đỉnh lần lợt năm trên các cạnh BC;
CA; AB của tam giác ABC Giọi là nội tiếp tam giác ABC
a) Giọi và là hình chiếu của Y và Z trên cạnh BC
CMR: Nếu có thì
b) Trong số những tam giác XYZ nội tiếp tam giác ABC theo định nghĩa trên và đồng dạng với tam gíc ABC Hãy xác định tam giác có diện tích nhỏ nhất
Bài 6:(3 điểm) Cho tam giác ABC có , BC = a, O là tâm đờng tròn ngoại tiếp, và Là chân các đờng cao hạ từ B, C xuống các cạnh AC, AB tơng ứng Giọi là điểm đối xứng của O qua và
a) CMR: cùng nằm trên một đờng tròn
b) Tính theo a
Bài 7:(2 điểm)
Xét một hình vuông và một hình tam giác Nếu chúng có diện tích
ĐỀ SỐ : 6
Trang 2-
Hết -Đáp án:
Bài 1:
a) Ta có:
b) áp dụng đẳng thức ở câu a lần lợt với n = 1, 2, 3, , 99
Ta có:
Bài 2:
a) Ta có
Suy ra (1)
Từ (1) và (2) suy ra x = -1, do đó y = 1
Vậy
b) Ta có
Theo BĐT Bunhiacovski ta có
hay Mặt khác: nên
Do vậy Dấu đẳng thức sảy ra khi
Vậy khi
Bài 3:
a) áp dụng BĐT Cauchy cho hai số không âm ta có:
=
b) Bất đẳng thức
Bất đẳng thức đúng với mọi Suy ra (ĐPCM)
Trang 3Y Z
Z ' C ' X Y ' C B
A
45 0
O '
O
C '
B '
C B
A
Bài 4:
giải phơng trình ta đợc: (loại)
Với t = 4 thì Giải phơng trình ta đợc hai nhiệm:
b) Từ phơng trình:
Do đó hệ tơng đơng với hai hệ sau:
Giải các hệ trên ta đợc: (x; y) (1;2); (1;-2); (2;1);
Bài 5:
a) Lấy đối xứng với C qua
Theo cách dựng thì cân tại Y
(2)
Từ (1) và (2) suy ra
tứ giác Nội tiếp (vì cùng thuộc một nữa
mặt phẳng bờ XY)
(ĐPCM) b) Ta có
Đăng thức sảy ra khi XB = XC; YA = YC; ZA = ZB
Bài 6:
Từ (1) và (2) suy ra nằm trên một đờng tròn
đờng kính BC
Mà
cùng nằm trên một đờng tròn
b) Vì tứ giác nội tiếp (c/m câu a)
= (góc nội tiếp cùng chắn )
Mà tứ giác nội tiếp (c/m câu a) nên
Hình thang nội tiếp đợc là hình thang cân
Trang 4Bài 7: Gọi a, b, c là đọ dài 3 cạnh của một tam giác, x là cạnh hình
vuông, là độ dài đờng cao tơng ứng với cạnh a của tam giác
Có b + c > 2
Vậy chu vi của tam giác lớn hơn
